Zagadnienia egzaminacyjne: semestr 1

Zagadnienia egzaminacyjne Inż.M. i B.: semestr I
Egzamin pisemny składa się z 3. zadań (12 pkt) i 4. pytań (12 pkt). Pytania będą wybrane z poniższych haseł, ale
dopuszczalne są pewne zmiany sformułowań. Ocena pozytywna od 12 pkt, w tym co najmniej 4 pkt z teorii. Terminy:
Inżynieria biomedyczna: 3.02 godz. 9.45, CW7
Inżynieria materiałowa: 3.02 godz. 8, CW7
Poprawka: 17.02 godz. 9.45, CW7
Na egzamin proszę przynieść własny papier.
1. Wyjaśnij pojęcia: zdanie, funkcja zdaniowa, tautologia.
2. Czy jest tautologią ....(np. p ∨ (p ⇒ q) ⇒ q) ?
3. Wyjaśnij pojęcia: warunek konieczny, dostateczny.
4. Prawa de Morgana, prawo transpozycji.
5. Wytłumaczyć terminy: relacja, relacja zwrotna, symetryczna, antysymetryczna, przechodnia, spójna. Przykłady.
6. Relacja równoważności i klasa równoważności. Przykład.
7. Określenie ciągu monotonicznego i ciągu ograniczonego.
8. Definicja granicy ciągu.
9. Twierdzenia o granicach.
10. Liczba e jako granica ciągów.
11. Definicja funkcji różnowartościowej. Przykład.
12. Funkcja odwrotna - definicja, wykres, przykład.
13. Definicje i wykresy funkcji y = arcsin x, y = arccos x.
14. Definicja i wykresy funkcji y = sinh x i y = cosh x. Wzór
jedynkowy dla funkcji hiperbolicznych.
15. Definicja funkcji parzystej i nieparzystej, przykłady.
16. Definicja granicy funkcji.
17. Definicja pochodnej funkcji. Interpretacja geometryczna
ilorazu różnicowego i pochodnej.
18. Równanie stycznej do krzywej. Kąt między krzywymi.
19. Twierdzenie o pochodnej iloczynu i ilorazu.
20. Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej.
21. Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej.
22. Pochodna logarytmiczna i jej zastosowanie.
23. Różniczka funkcji i jej geometryczna interpretacja. Porównanie z przyrostem funkcji.
24. Zastosowanie różniczki do szacowania błędów.
25. Twierdzenie Rolle’a i jego geometryczna interpretacja.
26. Twierdzenie Lagrange’a o wartości średniej i jego geometryczna interpretacja.
27. Twierdzenie i wzór Taylora.
28. Wzór Maclaurina dla funkcji ex , sin x, cos x
29. Twierdzenie de l’Hospitala.
30. Określenie maksimum i minimum funkcji.
31. Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji. Czy
funkcja może mieć ekstremum tylko w punkcie x0 takim,
że f 0 (x0 ) = 0? Podać przykład.
32. Warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji.
33. Wartość największa i najmniejsza funkcji na przedziale
domkniętym.
34. Funkcja wklęsła i funkcja wypukła, punkt przegięcia.
35. Warunek konieczny i dostateczny istnienia punktu przegięcia.
36. Co to jest asymptota ukośna i jak się ją znajduje?
37. Zmienności zależne i różniczkowanie funkcji uwikłanej.
38. Definicje: ciała liczbowego i ciała.
39. Działania modulo p. Tabelki dodawania i mnożenia dla
Zp .
40. Określenie liczb zespolonych (konstrukcja Hamiltona).
41. Co to jest moduł, argument i postać trygonometryczna
liczby zespolonej?
42. Działania na liczbach w postaci trygonometrycznej i
wzór de Moivre’a.
43. Symbol eiφ — definicja i własności.
44. Definicja pierwiastka. Wzory na pierwiastki stopnia n.
Interpretacja na płaszczyźnie Gaussa.
45. Pierwiastki wielomianu. Twierdzenie Bezout.
46. Zasadnicze twierdzenie algebry. Rozkład wielomianu na
czynniki: a) w zbiorze R; b) w zbiorze C.
47. Wyjaśnij pojęcia: macierz, macierz dolnotrójkątna, diagonalna, symetryczna, transponowana.
48. Definicja iloczynu macierzy i jego własności.
49. Co to jest minor, a co dopełnienie algebraiczne?
50. Co nazywamy rozwinięciem Laplace’a wyznacznika?
51. Własności wyznacznika.
52. Twierdzenie Cramera.
53. Macierz odwrotna — definicja, sposoby obliczania.
54. Układ równań w postaci macierzowej.
55. Metoda eliminacji Gaussa (opis algorytmu).
56. Wektory i wartości własne macierzy.
57. Kiedy dwie macierze są podobne? Jakie wspólne własności mają?
58. Co to jest diagonalizacja macierzy? Jakie ma znaczenie
i czy zawsze jest możliwa?
59. Współrzędne biegunowe i ich związek z prostokątnymi.
60. Definicja, równanie i wykres elipsy.
61. Definicja, równanie, wykres i asymptoty hiperboli.
62. Definicja, równanie i wykres paraboli.
63. Definicja i sposób obliczania iloczynu skalarnego.
64. Definicja i sposób obliczania iloczynu wektorowego.
65. Definicja i sposób obliczania iloczynu mieszanego.
66. Dwie możliwości zastosowania iloczynu wektorowego.
67. Równanie ogólne płaszczyzny. Interpretacja współczynników.
68. Prosta w przestrzeni — różne równania.
69. Jak znaleźć punkt przebicia płaszczyzny prostą?
70. Co to jest funkcja pierwotna? Podaj podstawowe twierdzenie o funkcjach pierwotnych.
71. Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie.
72. Twierdzenie o całkowaniu przez części.
73. Co to są wzory rekurencyjne? Podaj 3 przykłady całek,
które obliczamy przy pomocy takich wzorów.
74. Co to są ułamki proste? Jaką funkcję rozkładamy na
ułamki proste?
Pytania: 5, 6, 65 nie obowiązują.
Zadania:
1. Zastosowanie pochodnych (zadanie z treścią)
2. Algebra (układy równań i macierze) lub geometria (wektory, płaszczyzna, prosta).
3. Całki nieoznaczone.