pobierz plik

Transkrypt

pobierz plik

KLASYFIKACJA ZACHOWAŃ
WYBRANYCH UKŁADÓW
DYNAMICZNYCH
Wojciech MITKOWSKI
Katedra Automatyki
Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Zielona Góra, 22 listopada 2010
WPROWADZENIE
•
•
•
•
•
•
•
Podstawowe kierunki badań
Zachowania klasyczne i „dziwne”
Diagnostyka dziwnych zachowań
Źródła zachowań „chaotycznych”
System pojęciowy
Przykłady
Uwagi końcowe
Wojciech Mitkowski, KA AGHKraków, wersja robocza
2
DWA PODSTAWOWE
KIERUNKI BADAŃ
• Poszukiwanie zachowań regularnych (np.
stabilnych w różny sposób).
• Poszukiwanie i zrozumienie zachowań
nieregularnych (chaos).
3
ZACHOWANIA REGULARNE
• Globalna asymptotyczna stabilność
• Asymptotyczna stabilność-zbiory
przyciągania
• Stabilność praktyczna
• Trajektorie okresowe
• Parametry określające zachowania
• Układy liniowe
4
STABILNOŚĆ PRAKTYCZNA
RÓWNANIE VAN DER POLA:
&x& + µ (a 2 x 2 − 1) x& + β x = δ sin t
x 1= x , x 2= ẋ , a= 1.
δ =0
β = 1, µ = −1
δ = 0.9
5
DZIWNE ZACHOWANIA
I STABILNOŚĆ PRAKTYCZNA
&x& + ax& − x + bsign ( x ) = δ sin(ω t )
6
"ONION" ATRAKTOR
7
NORMA W CZASIE
8
AUTOKORELACJA
9
ANALIZA WIDMOWA
10
DIAGNOSTYKA DZIWNYCH
ZACHOWAŃ
•
•
•
•
•
Obserwacja „normy” w czasie
Atraktor
Autokorelacja
Analiza widmowa
Inne
11
WYBRANE HIPOTEZY
BADAWCZE
Ocena " wrazeniowa"
Istnienie atraktora ⇒ chaos (Tuc ker 1999)
Sygnaly okresowe ⇒ autokorelacja okresowa
Szybkie zanikanie autokorelacji ⇒ chaotycznosc sygnalu
Wykladnicze zanikanie autokorelacj ⇒ mieszanie
Widmo szerokopas mowe z jednym ostrzem ⇒ chaos
12
DETERMINIZM
A PRZYPADKOWOŚĆ
• „Chaos” deterministyczny
• Szum losowy (przypadkowy)
• Metody badania chaosu tworzą pomost pomiędzy
zachowaniami deterministycznymi i przypadkowymi
13
KIEDY MOŻEMY MÓWIĆ
O CHAOSIE ? -INTUICJA
1. Potok trajektorii ma deterministyczny i prosty
opis.
2. Zachowania trajektorii są skomplikowane i
przypadkowe.
Przypadkowość oznacza, że potok jest
nieprzewidywalny i trajektorie są wrażliwe na
małe perturbacje warunków początkowych –
potok wygląda jak szum losowy.
14
ŹRÓDŁA DYNAMIKI
„CHAOTYCZNEJ”
•
•
•
•
Różnego rodzaju nieliniowości.
Czas ciągły - n>2.
Czas dyskretny - n>0.
„Chaos” w układach liniowych –
nieskończenie wymiarowych.
• Wiele (setki) różnych definicji „chaosu”.
ale
15
TRZY RÓŻNE PODEJŚCIA
BADANIA CHAOSU
1. Makroskopowe: badanie całego potoku, w
konsekwencji szukanie atraktorów o
skomplikowanej strukturze.
2. Mikroskopowe: badanie własności
poszczególnych trajektorii, trajektorii
niestabilnych, turbulentnych lub gęstych w
przestrzeni stanu.
3. Stochastyczne: wykorzystuje teorię ergodyczną
– bada się istnienie ergodycznej miary
niezmienniczej.
16
WYBRANE POJĘCIA
W CELU WPROWADZENIE
PORZĄDKU
17
UKŁAD DYNAMICZNY (X, f)
{ f t }t ≥ 0
uklad ( semidynamiczny ) dynamiczny na X
f t : X → X, t ≥ 0
f 0 = I,
f t +s = f t o f s , t, s ≥ 0
f : [0, ∞) × X → X
jest ciagla
Przykłady:
x& (t ) = Ax(t ), t ≥ 0
x(k + 1) = Ax(k ), k = 0,1, 2,K
x(t ) = e At x(0)
x(k ) = Ak x(0)
f = eA,
f =A
X = Rn
18
UKŁAD MINIMALNY
∗ Zbiór niezmienniczy : D ⊂ X : f ( D) ⊂ D
∗ Gdy D jest domkniety , czyli para ( D, f | D ) jest ukladem dynamicznym,
to mówimy : D jest podukladem ( X , f )
•Układ, który nie posiada żadnych niepustych właściwych
podukładów nazywamy układem minimalnym.
•Jeżeli domknięty zbiór niezmienniczy wyznacza układ minimalny,
to nazywamy go zbiorem minimalnym.
•Układ jest minimalny wtedy i tylko wtedy, gdy każda orbita
jest gęstym podzbiorem przestrzeni fazowej (domknięcie dowolnej
orbity jest zawsze podukładem).
19
UKŁAD DYSKRETNY
(Trajektoria ) orbita punktu x0 ∈ X wzgledem f
O( x0 ) = {x0 , f ( x0 ), f 2 ( x0 ), K}
xk = f ( xk −1 ) = f k ( x0 ), k ≥ 0
∗ Punkt okresowy x0 dla f
∃n ≥ 1 : f n ( x0 ) = x0
∗ Okres podstawowy
najmniejsza liczba m ≥ 1 : f m ( x0 ) = x0
∗ Cykl o dlugosci m (m − cykl ) − orbita punktu
okresowego o okresie podstawowym m.
∗ Zbior punktów okresowych − Per ( f )
∗ Zbiór punktów staych − Fix( f ) = {x : f ( x) = x}
20
ZASADA ODWZOROWAŃ
ZWĘŻAJĄCYCH
(Stefan Banach, Kraków 30.03.1892-Lwów 31.08.1945)
F : X → X , ρ ( F ( x1 ), F ( x2 )) ≤ αρ ( x1 , x2 ),
α ∈ (0,1), x1 , x2 ∈ X
∃ ! xo : xo = F (xo )
xn +1 = F ( xn ), n = 0,1,2,3, K x0 ∈ X
xn → x o
m
α
o
ρ ( x , xm ) ≤
ρ ( x0 , F ( x0 )), m = 0,1,2,3, K
1−α
21
PRZESTRZEŃ FRAKTALI
METRYKA HAUSDORFFA
d(x,B)
x
B
B
A
d ( A, B) = max d ( x, B)
x∈A
d ( B, A) = max d ( y, A)
y∈B
h( A, B) = max{d ( A, B), d ( B, A)}
22
ODWZOROWANIA ITEROWANE
x(i + 1) = Ax(i ) + b, x(0) = 0, i = 0,1,2,3, K
A1 = A2 = A3 =
0 
 2
1
1 1 0 
,
b
=
,
b
=
,
b
=
1
2
3


0 
0 
 3
2 0 1 
 
 
 
TRÓJKĄT SIERPIŃSKIEGO
n=1
n=2
h( An , Am ) < 2
−n
n=3
dla n < m
n=10 000
23
ODWZOROWANIE
ODCINKA [0, 1] W SIEBIE
x (i + 1) = F ( x (i ), λ ), F ( x, λ ) = λx (1 − x ), i = 1,2,3,4,5,..
generator (λ , n, x (0))
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
2
4
6
generator(3.8284,15,0.5)
8
10
12
14
16
generator(3.8284,15,0.55)
24
ORBITA dla lambda=4
25
Histogram dla orbity
26
ROZWIĄZANIE NUMERYCZNE
x& (t ) = ax(t ) 2 + bx(t ) + c
xi +1 − xi
= axi2 + bxi + c, xi = x(ih), i = 0, 1, 2, ....
h
a = −1, b = 3 / 4, c = 0, x(0) = 0.5
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
0
10
20
30
40
50
60
0
10
h = 0 .5
20
30
40
50
60
h = 3.99
27
ORBITY OKRESOWE
PORZĄDEK SZARKOWSKIEGO (1964)
3f 5f 7 fKf 2⋅3f 2⋅5f 2⋅7 fK
K f 2 2 ⋅ 3 f 2 2 ⋅ 5 f 2 2 ⋅ 7 f K f 23 ⋅ 3 f 23 ⋅ 5 f 2 3 ⋅ 7 f K
K f 2n ⋅ 3 f 2n ⋅ 5 f 2n ⋅ 7 f K
K f K f 25 f 2 4 f 23 f 2 2 f 21 f 20 = 1
f : [0,1] → [0,1]
Jeżeli f posiada orbitę okresową o okresie podstawowym m
a k jest liczbą naturalną mniejszą od m w porządku Szarkowskiego,
to f posiada także orbitę okresową o okresie podstawowym k.
28
ZBIÓR CZASÓW
PRZEJŚCIA
Zbiór N (U ,V ) czasów przejscia z U do V :
zbiory otwarte U ,V ⊂ X ,
N (U , V ) = {n ∈ Ν : f n (U ) ∩ V ≠ Θ},
Θ − zbiór pusty , Ν − liczby natura ln e
29
TRANZYTYWNOŚĆ
f : X → X jest tranzytywne
(uklad jest przechodni na X ) wtedy i tylko wtedy, gdy
∀U , V ⊂ X − niepustych i otwartych ∃n ∈ Ν : f n (U ) ∩ V ≠ Θ.
Zbiór ω ( f , x0 ) − zbiór graniczny punktu x0 ∈ X :
zbiór wszystkich mozliwych punktów które mozna uzyskać
jako granice jakiegoś podciagu ciagu O ( x0 ) = {x0 , f ( x0 ), f 2 ( x0 ),K}.
f jest tranzytywn e ⇔ ∃x ∈ X : ω ( f , x ) = X
Każdy układ minimalny jest tranzytywny
Układ (X, f) jest tranzytywny wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych niepustych i otwartych
zbiorów U i V zbiór N(U,V) jest nieskończony.
30
WRAŻLIWOŚĆ NA
WARUNKI POCZĄTKOWE
f : X → X jest wrazliwe na warunki poczatkowe,
jezeli ∃δ > 0 : ∀x ∈ X i jego otoczenia U ∃y ∈ U ∃n > 0 :
ρ ( f n ( x), f n ( y )) ≥ δ . ρ − metryka w X
Jeżeli układ tranzytywny (przechodni) i posiada gęsty zbiór
punktów okresowych, to jest również wrażliwy na zmiany
warunków początkowych (Banks i inni 1992).
Wrażliwość na warunki początkowe implikuje niestabilność
w sensie Lapunowa.
31
MIESZANIE I SPLĄTANIE
f jest mieszajace, gdy
∀U , V ⊂ X niepustych otwartych ∃N : f n (U ) ∩ V ≠ Θ ∀n > N .
Zbior S ⊂ X nazywamy spla tan ym przez f , gdy
∀x, y ∈ S , x ≠ y zachodzi warunek dla n → ∞
lim sup | f n ( x) − f n ( y ) |> 0 oraz lim inf | f n ( x) − f n ( y ) |= 0.
32
DEFINICJE CHAOSU
Układ jest chaotyczny w sensie Auslandera i Yorke’a (1980), jeżeli jest tranzytywny
i wrażliwy na warunki początkowe.
Układ jest chaotyczny w sensie Li i Yorke’a (1983), gdy istnieje nieprzeliczalny zbiór
zbiór splątany S w X. Wcześniej w innym języku była to pierwsza definicja chaosu (1975).
Układ jest chaotyczny w sensie Devaneya (1986), jeżeli jest tranzytywny i zbiór punktów
okresowych f jest gęsty w X (oraz f jest wrażliwe na warunki początkowe).
Jeżeli układ tranzytywny (przechodni) i posiada gęsty zbiór
punktów okresowych, to jest również wrażliwy na zmiany
warunków początkowych (Banks i inni 1992).
33
CHAOS DYSTRYBUCYJNY
W definicji Li i York’a wymaga się by iteracje dwóch punktów nieskończenie wiele
razy oddalały się od siebie i zbliżały dowolnie blisko. W chaosie dystrybucyjnym
wymaga się dodatkowo by zbliżanie i oddalanie odbywało się odpowiednio często.
34
PRZYKŁADY
•
•
•
•
Równanie Lorenza
Obwód elektryczny Chuy
Sieci komórkowe
Układ LC
35
RÓWNANIE LORENZA
x& (t ) = Ax(t ) + ε Bu (t ),
0
− a a
0 0 
A =  b − 1 0 , B = 1 0
 0
0 1
0 − c 
0


Bu (t ) = − K1 x1 (t ) x3 (t ), x(t ) ∈ R 3 , u (t ) ∈ R 2
 K 2 x1 (t ) x2 (t ) 
a > 0, b > 0, c > 0
u1 (t ) = − K1 x1 (t ) x3 (t ), u 2 (t ) = K 2 x1 (t ) x2 (t ),
Typowe rownanie, gdy : K1 = 1, K 2 = 1 ε = 1
36
LORENZ 1
80
30
60
20
40
10
0
20
-10
0
-20
-20
-30
-40
-40
-60
0
10
20
30
40
50
-50
-30
-20
-10
0
10
20
37
LORENZ 2
38
ATRAKTOR LORENZA
39
WYKRES NORMY W CZASIE
40
AUTOKORELACJA
41
KORELACJA WZAJEMNA, BLISKIE
WARUNKI POCZĄTKOWE: (1;0;0) I (1.1;0;0)
42
ANALIZA WIDMOWA
43
OBWÓD ELEKTRYCZNY CHUY
i (t ) = g ( x1 (t ))
R
R0
x3 (t )
L
C2
x 2 (t )
C1
x1 (t )
g (v) = av + bv3 , a < 0, b > 0
R=2.0
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
-0.2
-0.2
-0.4
-0.4
-0.6
-0.8
-3
R=2.1
-0.6
-2
-1
0
1
2
3
-0.8
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
44
TRAJEKTORIA FAZOWA
45
WYKRES NORMY OD CZASU
46
AUTOKORELACJA
47
KORELACJA WZAJEMNA, BLISKIE WARUNKI
POCZĄTKOWE: (0.1;0.05;0.08) I (0.101;0.05;0.08)
48
ANALIZA WIDMOWA
49
SIEĆ KOMÓRKOWA
p1
-s
x
f(x)
y
f(y)
z
f(z)
-s
-s
p2
-r
-s
-r
p3
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
50
MODEL SIECI
KOMÓRKOWEJ
Galias 1995, s. 26; model złożonej sieci komórkowej.
p1=1.25; p2=1.1; p3=1.0; s=3.2; r=4.4;
w& (t ) = Aw(t ) + Bu (t ),
− 1 0 0 
 p1 − s − s 
A =  0 − 1 0 , B = − s p 2 − r ,
 0 0 − 1
− s − r p3 
u1 (t ) = f ( x(t )), u 2 (t ) = f ( y (t )), u3 (t ) =
 x(t ) 
 y (t )


 z (t ) 
f ( z (t ))
51
Trajektoria sieci komórkowej
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-3
-2
-1
0
1
2
52
TURBULENCJE
W UKŁADZIE LC
∂ 2 x (t , z ) ∂ 2 x(t , z )
LC
=
, t ≥ 0,
2
2
∂t
∂z
L
L
C
ωi =
x(t ,0) = 0,
z ∈ [0, 1]
1
( n + 1)
L
x1 (t )
2
LC
sin
x 2 (t )
ϕi
2
, ϕi =
x (t ,1) = 0
L
C
x n (t )
iπ
, i = 1, 2, K , n
n +1
53
RZUT TRAJEKTORII
dla n=20
54
NORMA W CZASIE
55
AUTOKORELACJA
56
ANALIZA WIDMOWA
57
Analiza widmowa c.d.
wi
0,00
71
0,01
42
0,02
12
0,02
81
0,03
48
0,04
13
0,04
76
0,05
36
0,0594
m
ax
0,00
76
0,01
41
0,02
12
0,03
45
0,03
47
0,03
53
0,04
75
0,05
89
0,0591
wi
0,06
98
0,07
45
0,07
87
0,08
25
0,08
58
0,08
87
0,09
10
0,09
29
0,09
42
m
ax
0,06
94
0,07
84
0,08
05
0,08
49
0,08
85
0,09
12
0,06
48
0,09
50
0,09
78
0,10
15
58
UWAGI KOŃCOWE
• Ograniczone możliwości komputera
• Sterowanie komputerowe
59
REDUKCJA WYMIARU
Utrata informacji
Redukcja wymiaru: n=2
n=1
n = +∞ ⇒ dim n < +∞
60
OGRANICZONE MOŻLIWOŚCI
KOMPUTERA
xi +1 = F ( xi ), F ( x ) = ( x + 2 / x ) / 2
x>0
xi → 2
1
= 0.33333333K = 0.(3) ≈ 0.3333
3
61
STEROWANIE KOMPUTEROWE
x (k + 1) = Ax( k ) + Bu( k ), x (0) ∈ R n
y ( k ) = Cx(k ), u( k ) ∈ R r , y ( k ) ∈ R m ,
k = 0, 1, 2,........
t ∈ [kh , ( k + 1)h )
t = kh, h > 0, k = 0,1, 2,....
h
A := e Ah ,
B := ∫ e At Bdt , C := C
0
C/A
C/A
SYSTEM
CIĄGŁY
u (k )
A/C
y (k )
62
Wykorzystane prace
•
•
•
•
•
•
Lasota, Rudnicki (2004)
Oprocha (2008), Kwietniak (2008)
Banasiak (2005), Galias, Kudrewicz (1993)
Mitkowski P.(2009, 2010), Obrączka (2010)
Dawidowicz, Zgliczyński, Srzednicki
Inne ...np. Bronsztejn i inni (2004)
63
DZIĘKUJĘ I PROSZĘ
O UWAGI
[email protected]
64

pobierz plik

Transkrypt

Podobne dokumenty

Lp. Nazwisko Imię 1 Branny-Jankowska Emilia 2 Choderska

Metallic Chemistry

prof. dr hab. Wojciech Chudziak prof. dr hab. Józef Dobosz prof.

Analiza ryzyka w przemyśle

przykładowy tok projektowy

CENA (PLN): 689

Data Czas zajęć Prowadzący 29 czerwca do 3 lipca 2015

Kino Nocne - PTK