Porządki i półprzestrzenie wypukłe

Porządki i półprzestrzenie wypukłe
Słowo półprzestrzeń ma w języku polskim dwa znaczenia. W pierwszym znaczeniu (ang.
semispace) oznacza maksymalny podzbiór wypukły przestrzeni liniowej rzeczywistej L
rozłączny z pewną jej podprzestrzenią M. W drugim (half-space, lub dokładniej convex halfspace) oznacza taki podzbiór wypukły przestrzeni L, którego uzupełnienie jest teŜ wypukłe.
Z konieczności więc dla odróŜnienia będziemy uŜywali w pierwszym przypadku słowa
semiprzestrzeń. Dowodzi się, Ŝe semiprzestrzeń jest półprzestrzenią oraz Ŝe kaŜda
półprzestrzeń jest przesunięciem pewnej semiprzestrzeni lub jej dopełnienia ([2]), ale tylko
wtedy, gdy wymiar L jest skończony ([3]). Na przykład w R2 półprzestrzeniami są
półpłaszczyzny otwarte i domknięte oraz sumy półpłaszczyzn otwartych i półprostych
(otwartych lub domkniętych) leŜących na ich brzegu. Czytelnik łatwo odgadnie, które z nich
są przesunięciami semiprzestrzeni, a które ich dopełnień.
Okazuje się ([3]), Ŝe semiprzestrzeń S przestrzeni liniowej L względem podprzestrzeni M
moŜna określić równowaŜnie przy pomocy następującego zestawu warunków: (1) S+S ⊂ S
oraz (2) L jest rozłączną sumą S, −S oraz M. Jest to tak zwany preporządek na L. Jeśli
M={0}, to preporządek nazywamy porządkiem, gdyŜ relacja < określona przy pomocy
warunku a<b ⇔ b−a∈S jest relacją liniowego porządku w L. (Zwykle mówimy wtedy, Ŝe S
jest stoŜkiem dodatnim porządku <). Jeśli M ≠ {0}, to porządek < jest tylko częściowy.
Dobrym przykładem takiej sytuacji jest czterowymiarowa przestrzeń Minkowskiego L,
w której pierwsze trzy wymiary są przestrzenne i tworzą podprzestrzeń M, a czwartym
wymiarem jest czas. Wówczas S interpretujemy jako zbiór zdarzeń przyszłych, M
teraźniejszych, a −S przeszłych; a<b oznacza, Ŝe zdarzenie a poprzedza zdarzenie b, natomiast
zdarzenia równoczesne są nieporównywalne. Jest to interpretacja zgodna z mechaniką
klasyczną, natomiast interpretacja relatywistyczna przestrzeni Minkowskiego prowadzi do
częściowego porządku, który nie jest preporządkiem.
Klasyfikacja semiprzestrzeni została dokonana przez Klee ([1]). PowyŜsza interpretacja
pozwala zastosować teorię uporządkowanych ciał i przestrzeni liniowych w celu uzyskania
w czysto algebraiczny sposób tego samego wyniku, a takŜe jego uogólnienia dla przestrzeni
liniowych nad ciałami uporządkowanymi w sposób archimedesowy ([4]).
Moja przygoda z półprzestrzeniami wypukłymi zaczęła się na zjeździe PTM w Łodzi od
rozmowy z Markiem Lassakiem, wówczas doktorem, a obecnie profesorem UTP. Mój
rozmówca podejrzewał, Ŝe jeśli podzbiór X przestrzeni liniowej L ma tę własność, Ŝe kaŜde
jego przesunięcie zawiera X lub jest zawarte w X, to X jest półprzestrzenią, nie umiał jednak
tego udowodnić. W wyniku dyskusji okazało się, Ŝe kontrprzykład moŜna podać nawet na
prostej rzeczywistej, choć w nieefektywny sposób - przy pomocy bazy Hamela. Zaowocowało
to notatką w [2], a następnie naszą wspólną pracą nad artykułami [3] i [4]. W pracy [3]
podaliśmy 10 warunków równowaŜnych powyŜszej własności, a w [4] jedenasty warunek.
Jeden z tych warunków mówi, Ŝe X jest Q-wypukłą półprzestrzenią, co oznacza, Ŝe X i X'
posiadają następującą własność: wraz z kaŜdymi dwoma elementami zbioru naleŜą do niego
wszystkie te punkty łączącego je odcinka, które dzielą go na części z nim współmierne.
[1] V. L. Klee, Structure of semispaces, Math. Scand. 4 (1956), 54-64
[2] M. Lassak, Convex half-spaces, Fund. Math. 120 (1984), 7-13
[3] M. Lassak, A. Prószyński, Translate-inclusive sets, orderings and convex half-spaces,
Bull. Polish Acad. Sci. 34 (1986), 195-201
[4] M. Lassak, A. Prószyński, Algebraic and geometric approach to the classification of
semispaces, Math. Scand. 61 (1987), 204-212