modelowanie drgań układu maszt-gondola elektrowni wiatrowej z

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
44, s. 187-198, Gliwice 2012
ISSN 1896-771X
MODELOWANIE DRGAŃ UKŁADU MASZT-GONDOLA
ELEKTROWNI WIATROWEJ Z TŁUMIKIEM DYNAMICZNYM
WALDEMAR ŁATAS1, PAWEŁ MARTYNOWICZ2
1
2
Politechnika Krakowska, Instytut Mechaniki Stosowanej, e-mail: [email protected]
AGH Akademia Górniczo-Hutnicza, Katedra Automatyzacji Procesów, e-mail: [email protected]
Streszczenie. Rozważono drgania układu maszt-gondola elektrowni wiatrowej.
Maszt zamodelowano jako pryzmatyczną belkę sztywno połączoną z masą
skupioną reprezentującą gondolę. Do masy skupionej został dołączony tłumik
dynamiczny pracujący w kierunku poziomym. Założono małe, liniowe drgania
belki opisanej modelem Eulera-Bernoullego. Układ poddano wymuszeniu siłą
poziomą. Równanie ruchu rozwiązano metodą rozdzielenia zmiennych Fouriera.
Dokonując czasowej transformacji Laplace’a, otrzymano zależności opisujące
amplitudę w dziedzinie częstotliwości dla ugięcia dowolnego przekroju belki.
1. WSTĘP
Maszt elektrowni wiatrowej wraz z fundamentem, obok łopat, jest elementem
wymagającym przeprowadzenia analizy naprężeń i odkształceń w warunkach pracy przy
zmieniającym się obciążeniu ze strony wiatru, wirnika, czy też fal morskich/lodu,
w przypadku instalacji zlokalizowanych na morzu. Analiza dynamiki konstrukcji układu
maszt-gondola ma na celu określenie częstotliwości oraz postaci drgań własnych
charakteryzujących się najmniejszymi wartościami tłumienności, a w związku z tym
stanowiących największe wyzwanie z punktu widzenia projektowania i eksploatacji instalacji.
W podstawowym zastosowaniu prawidłowo dostrojone tłumiki dynamiczne, dołączone do
drgającej konstrukcji poddanej wymuszeniu harmonicznemu, mają spowodować zanikanie
drgań ustalonych w punkcie zamocowania [1–4]. Wykorzystuje się je zarówno do tłumienia
drgań podłużnych, poprzecznych, jak i skrętnych. Wiele prac teoretycznych poświęcono
metodom optymalnego doboru parametrów tłumików, zarówno dla zagadnień liniowych jak
i nieliniowych [5–17].
W budownictwie tłumiki dynamiczne znalazły głównie zastosowanie w smukłych
konstrukcjach: mostach wiszących [18–20], wieżowcach [21–26], kominach [27–28],
masztach poddanych różnorodnym wymuszeniom związanym z oddziaływaniem wiatru bądź
ruchem sejsmicznym podłoża. Podobnie smukłą budowlą jest konstrukcja wsporcza (maszt)
elektrowni wiatrowej o poziomej osi obrotu.
Tłumiki dynamiczne znajdują zastosowanie w mostach drogowych i kolejowych [28–33]
oraz przeznaczonych do ruchu pieszego [34–35], w których dynamiczne obciążenie
konstrukcji wynika ze sposobu ruchu pociągów, pojazdów samochodowych czy też specyfiki
ruchu pieszych.
188
W. ŁATAS, P. MARTYNOWICZ
Z uwagi na ilość możliwych zastosowań w wielu różnorodnych konstrukcjach wiele uwagi
poświęcono zagadnieniu prawidłowego doboru parametrów tłumików dynamicznych
w układach belkowych [33–39]. Dla układów ciągłych, takich jak belki, z reguły najlepszym
punktem zamocowania tłumika dynamicznego jest punkt przyłożenia obciążenia, ale może się
to okazać technicznie niemożliwe. Zarówno wtedy, jak i w przypadku obciążenia
rozłożonego, nieprawidłowo dobrany punkt zamocowania tłumika może spowodować wzrost
amplitudy drgań w niektórych obszarach układu.
W zależności od tego, czy rozpatruje się
c
lokalne zagadnienia optymalizacji – na przykład
minimalizacja amplitudy drgań konstrukcji w
M
m
ustalonym punkcie, czy też globalne zagadnienia
optymalizacji – na przykład minimalizacja
k
średniej energii kinetycznej całego lub części
drgającego układu, można uzyskać różne
P(t)
parametry optymalne tłumika dynamicznego, czy
też układu tłumików. Okazuje się, że dostrojone
tłumiki dynamiczne mogą powodować wzrost
energii kinetycznej układu w pewnych zakresach
częstotliwości,
a kluczowym zagadnieniem
D
w globalnych problemach optymalizacji jest ich
odpowiednia lokalizacja [37,40].
l
Wadą pasywnych tłumików dynamicznych jest
xE
efektywne działanie jedynie w wąskim zakresie
częstotliwości, nieskuteczność tłumienia drgań
x0
niestacjonarnych oraz wrażliwość na niedokładne
dostrojenie. W celu poprawy efektywności
x
wprowadza się siłę aktywną pomiędzy tłumik
a konstrukcję [22–23,41]. Wadą układów
aktywnych jest z kolei duże zużycie energii
i uzależnienie od jej bezawaryjnego dostarczania.
Układy semiaktywne, które mogą zmieniać
sztywność albo tłumienie [21,42–44] w czasie
w rzeczywistym, mają lepszą efektywność od
Rys. 1. Model układu maszt-gondola
układów pasywnych i nie wymagają dużej ilości
z tłumikiem dynamicznym
energii.
Aby poprawić skuteczność eliminacji drgań stosuje się układy tłumików dynamicznych,
dostrajanych w najogólniejszym przypadku różnorodnymi metodami na jedną [29–31,45]
bądź też na kilka częstotliwości rezonansowych [33,35].
Uogólnieniem układów tłumików dynamicznych są tłumiki o parametrach rozłożonych
[46], które są odpowiednie do zastosowania w przypadkach wymuszeń szerokopasmowych,
na przykład w zagadnieniach redukcji hałasu [47].
Maszt elektrowni wiatrowej jest poddawany różnym rodzajom wymuszeń oddziałujących
bezpośrednio (wiry Karmana, siła naporu wiatru), bądź za pośrednictwem wirnika turbiny
(siła naporu wiatru). Wymuszenia zmienne w czasie są źródłem drgań, które mogą być
niebezpieczne dla konstrukcji. Podczas projektowania konstrukcji wsporczej oraz fundamentu
należy uwzględnić ekstremalne przypadki obciążeń dynamicznych. Zastosowanie w układzie
maszt-gondola tłumika dynamicznego pozwoli zredukować wymagania wytrzymałościowe
konstrukcji wsporczej i fundamentu.
MODELOWANIE DRGAŃ UKŁADU MASZT-GONDOLA ELEKTROWNI WIATROWEJ …
189
W pracy rozważono drgania modelu układu maszt-gondola elektrowni wiatrowej
z tłumikiem dynamicznym. Maszt został zamodelowany jako utwierdzona pryzmatyczna
belka sztywno połączona z masą skupioną reprezentującą gondolę. Do masy skupionej został
dołączony tłumik dynamiczny pracujący w kierunku poziomym (rys. 1).
2. MODEL TEORETYCZNY
Rozważanym układem, przedstawionym na rys. 1, jest pionowa pryzmatyczna belka
utwierdzona na jednym końcu, ze sztywno zamocowaną masą skupioną M na drugim,
swobodnym końcu. Belka ma długość l, średnicę D, gęstość , pole przekroju poprzecznego
A, moment bezwładności przekroju I, moduł Younga E. Na końcu belki do masy skupionej
dołączony jest dynamiczny tłumik drgań o masie m, sztywności k i współczynniku tłumienia c
(DODATEK 1), wykonujący ruch w kierunku poziomym. Układ poddany jest wymuszeniu
poziomą siłą przyłożoną w dowolnej odległości od podstawy. Założono małe, liniowe drgania
belki opisanej modelem Eulera-Bernoullego z tłumieniem wewnętrznym opisanym
parametrem  .
Przy powyższych założeniach równanie drgań układu przedstawionego na rys. 1 ma
postać:
2w
5w
4w
 A 2  EI 4  EI 4  P(t ) ( x  x0 )  F (t ) ( x  xE )
(1)
t
x t
x
gdzie oznaczono:
P (t ) – siła wymuszająca przyłożona w punkcie o współrzędnej x0 ,
F (t ) – siła działająca na belkę pochodząca od dołączonego w punkcie o współrzędnej xE
tłumika dynamicznego (w badanym przypadku przyjmujemy xE  l ).
Przedstawione obliczenia oraz użyte oznaczenia są analogiczne do zawartych w pracy [40].
Do rozwiązania równania ruchu (1) zastosowano metodę rozdzielenia zmiennych Fouriera:

w( x, t )   qi (t )i ( x )
(2)
i 1
W powyższym wyrażeniu przez i ( x) oznaczono funkcje własne belki z masą skupioną na
końcu bez dołączonego tłumika dynamicznego. Należy wyznaczyć funkcje czasu qi (t ) .
Na wstępie przedstawiono w postaci szeregów Fouriera dystrybucje Diraca występujące po
prawej stronie równania (1):

 ( x  x0 )   dii ( x )
(3)
 ( x  xE )   bii ( x )
(4)
i 1

i 1
Po podstawieniu szeregu (2) do równania (1) i wykorzystaniu związków (3) oraz (4)
dokonano transformacji Laplace’a tego równania ze względu na zmienną czasową:

2
   As Q ( s)  EI
i
i 1
4
i
sQi ( s )  EI  i4Qi ( s )  P (s )d i  F (s )bi i ( x)  0
(5)
190
W. ŁATAS, P. MARTYNOWICZ
A 2
i ; i jest i-tą częstością drgań własnych układu bez dołączonego tłumika
EI
dynamicznego dla belki bez tłumienia wewnętrznego. Przez Qi ( s ) , P ( s ) , F ( s ) oznaczono
transformaty Laplace’a odpowiednio qi (t ) , P (t ) , F (t ) .
Z liniowej niezależności funkcji własnych i ( x) wynika, iż:
di P ( s )  bi F ( s )
(6)
Qi ( s ) 
 As 2  EI (1   s )  i4
gdzie:  i4 
Wykorzystując zależność (6), otrzymano wyrażenie na transformatę funkcji opisującej linię
ugięcia belki:

di P( s)  bi F ( s)
W ( x, s )  
 ( x)
(7)
2
4 i
i 1  As  EI (1   s )  i
2.1. Siła w tłumiku dynamicznym przekazywana na belkę
xE
x
c
k
m
w1
w
Rys. 2. Schemat części belki z dołączonym tłumikiem dynamicznym
Wykorzystując oznaczenia na rys. 2, można zapisać równanie ruchu masy tłumika oraz
wyrażenie na rzut na kierunek w siły przekazywanej od tłumika na belkę:
1 (t )  k  ( w1 (t )  w( xE , t )   c  ( w1 (t )  w ( xE , t ) 
mw
(8)
F (t )  k  ( w( xE , t )  w1 (t )   c  w ( xE , t )  ( w 1 (t ) 
(9)
W porównaniu z rys. 1 tłumik na rys. 2 został zamocowany w dowolnym miejscu belki
opisanym współrzędną xE (dla przejrzystości belka na rys. 2 została narysowana poziomo).
Po wykonaniu transformacji Laplace’a wyrażeń (8) i (9) otrzymano:
mW1 ( s)  k  (W1 ( s)  W ( xE , s)   cs  (W1 ( s)  W ( xE , s) 
(10)
F ( s)  k  (W ( xE , s)  W1 ( s)   cs W ( xE , s)  (W1 ( s) 
Z wyrażenia (10) uzyskano transformatę ruchu masy tłumika W1 ( s ) :
cs  k
W1 ( s )  2
W ( xE , s )
ms  cs  k
(11)
(12)
Ostatnia zależność oraz związek (11) dają wyrażenie na transformatę siły przekazywanej na
belkę od tłumika dynamicznego:
MODELOWANIE DRGAŃ UKŁADU MASZT-GONDOLA ELEKTROWNI WIATROWEJ …
F ( s)  W ( xE , s)
(cs  k )ms 2
ms 2  cs  k
191
(13)
2.2. Przemieszczenie tłumika dynamicznego oraz linia ugięcia belki
Wykorzystując zależność (13), otrzymano ze związku (7) wyrażenie na transformatę linii
ugięcia belki:
(cs  k )ms 2
( xE , s ) 2
 d i P ( s )  bW
i
ms  cs  k  ( x )
(14)
W ( x, s )  
i
2

As

EI
(1

 s )  i4
i 1
Powyższa zależność powinna zachodzić także dla x  xE :

W ( x E , s)  
i 1
(cs  k )ms 2
ms 2  cs  k  ( x )
i
E
 As 2  EI (1   s )  i4
d i P (s )  bW
( xE , s )
i
(15)
Z ostatniego wzoru uzyskano transformatę przemieszczenia przekroju belki w miejscu
zamocowania tłumika dynamicznego:

dii ( xE )
P( s)
2
4
i 1  As  EI (1   s )  i
W ( x E , s) 
(16)
bii ( xE )
(cs  k )ms 2 
1 2

ms  cs  k i 1  As 2  EI (1   s) i4
Ostatnie wyrażenie po podstawieniu do (12) oraz (14) pozwala uzyskać wzory na
transformatę linii ugięcia belki W ( x, s ) oraz transformatę przemieszczenia tłumika
dynamicznego W1 ( s ) .
2.3. Moment gnący i siła tnąca w podporze
Wykorzystując wyprowadzone wcześniej związki, otrzymać można wyrażenia dla
transformat siły tnącej oraz momentu gnącego dla dowolnego przekroju belki:
(cs  k )ms 2
d
P
(
s
)

bW
(
x
,
s
)

i
i
E
ms 2  cs  k  ( x ) (17)
T ( x, s )   EI (1   s )W ( x, s )   EI (1   s ) 
i
 As 2  EI (1   s )  i4
i 1

M g ( x, s )   EI (1   s )W ( x, s )   EI (1   s )
i 1
(cs  k )ms 2
ms 2  cs  k  ( x) (18)
i
2
 As  EI (1   s )  i4
d i P (s )  bW
( xE , s )
i
2.4. Drgania ustalone, charakterystyki amplitudowo częstotliwościowe
Rozpatrując stan ustalony, można w miejsce s podstawić j  j  1 . Pozwala to
otrzymać charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowe dla badanych wielkości.
Przykładowo, poniższy wzór przedstawia stosunek amplitudy przemieszczenia przekroju
belki w miejscu zamocowania tłumika dynamicznego do amplitudy siły wymuszającej:
192
W. ŁATAS, P. MARTYNOWICZ

dii ( xE )
  A 2 )  EI i4 j
i 1
W ( x E , j ) 
(k  cj )m 2 
bii ( xE )
1

2
4
(k  m )  cj i 1 ( EI  i   A 2 )  EI i4 j
 ( EI 
4
i
(19)
Analogiczne wyrażenia można otrzymać na charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowe
linii ugięcia belki, przemieszczenia tłumika dynamicznego, siły tnącej oraz momentu
gnącego.
2.5. Funkcje własne układu bez tłumika dynamicznego
Funkcje własne układu bez tłumika dynamicznego oraz ich drugie i trzecie pochodne
występujące w wyrażeniach na moment gnący i siłę tnącą dane są wzorami:
sin(  il )  sinh(  i l )
(20)
i ( x )  (sin( i x )  sinh(  i x)) 
(cos(  i x)  cosh( i x ))
cos(  il )  cosh( i l )


sin( i l )  sinh( i l )
i( x )  i2 (sin( i x)  sinh(i x)) 
(cos(i x )  cosh(i x)) 
cos( i l )  cosh( i l )




sin( i l )  sinh(i l )
i( x )  i3  (cos( i x)  cosh( i x)) 
(sin( i x)  sinh( i x )) 
cos( i l )  cosh( i l )


(21)
(22)
zi
, gdzie zi są pierwiastkami równania charakterystycznego:
l
1  cos z cosh z   z  sin z cosh z  cos z sinh z   0
(23)
Wartości własne wynoszą  i 
Wielkość  oznacza stosunek masy skupionej znajdującej się na końcu pręta do masy belki
pryzmatycznej:   M  Al . Funkcje własne są ortogonalne z wagą (DODATEK 2):
l
 (1  l ( x  l )) ( x)
i
j
(24)
( x)dx  0, i  j
0
Oznaczając funkcję wagową przez:  ( x )  1   l ( x  l ) , otrzymuje się wyrażenia na
współczynniki szeregów funkcyjnych (3) oraz (4):
di 
l
l
  ( x) ( x  x0 )i ( x)dx
  ( x) ( x  x
0
E
,
 i2
bi 
)i ( x )dx
0
(25)
 i2
l
gdzie:  i2    ( x )i2 ( x) dx . Po obliczeniach otrzymuje się:
0
di 
i ( x0 )
,
l

0
2
i
2
i
( x )dx   l (l )
bi 
i ( xE )
(26)
l
2
i

0
2
i
( x)dx   l (l )
MODELOWANIE DRGAŃ UKŁADU MASZT-GONDOLA ELEKTROWNI WIATROWEJ …
193
3. WYNIKI OBLICZEŃ
Przyjęto w obliczeniach, że amplituda siły wymuszającej jest równa P = 30 [N],
a współrzędna jej przyłożenia jest równa współrzędnej zamocowania tłumika dynamicznego:
x0  xE  l . Obliczenia przeprowadzono dla trzech wariantów parametrów masowogeometrycznych modelu. Przy przyjętych wartościach parametrów fizycznych i masowogeometrycznych zadowalającą zbieżność numeryczną osiągnięto dla 10 wyrazów rozwinięcia
wyrażeń w szeregi funkcyjne.
Parametry rozważanych trzech wariantów konfiguracji modelu dobrano po wzięciu pod
uwagę zasady podobieństwa dynamicznego do rzeczywistych konstrukcji elektrowni
wiatrowych oraz ograniczone możliwości laboratoryjne, tj. wysokość pomieszczenia,
dostępne wzbudniki drgań oraz dostępny tłumik MR (który zostanie zastosowany docelowo
w miejsce tłumika wiskotycznego). Przyjęto założenie, iż masa dodatkowa m tłumika
dynamicznego będzie stanowić 10% masy modalnej pierwszej postaci drgań giętnych układu
maszt-gondola (takie założenie pozwala uzyskać kilkunastokrotny wzrost tłumienności tej
postaci):
– Model 1:
D  0.100 [ m] ,
M  130.633 [ kg ] ,
k  18488 [ N / m] ,
m  16.397 [ kg ] ,
c  184.83 [ Ns / m] ,
– Model 2:
D  0.105 [ m] ,
M  162.441[ kg ] ,
k  22472 [ N / m] ,
m  19.919 [ kg ] ,
c  224.61[ Ns / m] ,
– Model 3:
D  0.110 [ m] , M  199.623 [ kg ] ,
k  27068 [ N / m] .
m  23.997 [ kg ] ,
c  270.56 [ Ns / m] ,
Amplituda wychylenia gondoli (m)
Ponadto przyjęto:   7800.00 [kg / m3 ] , E  2.10 1011 [ N / m 2 ] (gęstość i moduł Younga
stali konstrukcyjnej),   0.00008 [ s ] , l  2.40 [ m] . Na podstawie analizy wyników obliczeń
stwierdzono, iż wyższe postacie drgań charakteryzują się znacznie większymi tłumiennościami
i znacznie mniejszymi
(a)
amplitudami, w związku z tym
0.05
zilustrowano jedynie amplitudy
Model 1
Model 2
dla pierwszej postaci drgań
Model 3
giętnych. Charakterystyki
0.04
amplitudowo-częstotliwościowe
wychylenia gondoli
0.03
zamieszczono na rys. 3.
Wykres widoczny na rys. 3
(a) przedstawia amplitudy
0.02
wychylenia gondoli ze sztywno
połączonym tłumikiem, czyli
bez działającego układu redukcji
0.01
drgań. Dla trzech wariantów
modelu otrzymano podobne
0.00
wartości częstotliwości
5.25
5.35
5.45
5.55
5.65
5.75
5.85
rezonansowych: 5.582 Hz
Częstotliwość (Hz)
(model 1), 5.586 Hz (model 2),
5.587 Hz (model 3).
194
W. ŁATAS, P. MARTYNOWICZ
(b)
0.0007
Model 1
Model 2
Model 3
Amplituda wychylenia gondoli (m)
0.0006
0.0005
0.0004
0.0003
0.0002
0.0001
0.0000
2
3
4
5
6
7
8
9
Częstotliwość (Hz)
Rys. 3. Charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowe:
a) układ bez działającego tłumika dynamicznego,
b) układ z tłumikiem dynamicznym
Wykres przedstawiony na
rys. 3 (b) obrazuje amplitudy
drgań gondoli z dostrojonym
tłumikiem dynamicznym.
Włączenie tłumika
dynamicznego skutkuje
prawie 100-krotnym spadkiem
amplitudy drgań przy
częstotliwości rezonansowej, a
co za tym idzie, podobnym
spadkiem wartości momentu
gnącego oraz siły tnącej w
punkcie utwierdzenia belki.
Zastosowanie tłumika
dynamicznego oznacza zatem
możliwość znacznego
ograniczenia kosztów budowy
konstrukcji wsporczej turbiny
wraz z fundamentem.
4. WNIOSKI KOŃCOWE
Zaprezentowaną metodykę wykorzystano do obliczenia amplitudy przemieszczenia masy
skupionej (gondoli) (rys. 3), a także amplitud siły poprzecznej i momentu gnącego w miejscu
zamocowania belki do podłoża. Na podstawie otrzymanych wyników możliwe jest
zaprojektowanie stanowiska badawczego do analizy dynamiki modelu układu maszt-gondola
elektrowni wiatrowej oraz rozbudowanie go o dynamiczny tłumik drgań.
DODATEK 1 – OPTYMALNE PROJEKTOWANIE TŁUMIKÓW DYNAMICZNYCH
Tłumiki dynamiczne są zwykle dostrojone do pojedynczej formy drgań układu.
Z analitycznego punktu widzenia tłumik jest dołączony do oscylatora (modalnego) o jednym
stopniu swobody, w wyniku czego powstaje układ o dwóch stopniach swobody. Dla takich
układów liniowych istnieje kilka metod, których celem jest optymalne dostrojenie tłumika
dynamicznego, opisanego dwoma parametrami:

   a , gdzie a  k , S – częstość drgań oscylatora (modalnego);
m
S
c
  
– bezwymiarowy współczynnik tłumienia tłumika dynamicznego.
2 km
Optymalne wartości wymienionych parametrów zależą od tego, czy rozpatrywany układ
jest wymuszony siłą, czy też ruchem podłoża oraz czy wartość wymuszenia jest funkcją
deterministyczną czy losową.
W przypadku drgań o jednym stopniu swobody z dołączonym tłumikiem dynamicznym
z reguły pomija się tłumienie w układzie [1][3]. Dla przyjętej wartości parametru  i przy
zmieniającej się wartości  istnieją dwa niezmiennicze punkty, przez które przechodzą
wszystkie charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowe. Dla ustalonego stosunku masy
tłumika dynamicznego m do masy modalnej mS (dla danej formy drgań)   m mS ,
położenie tych punktów zależy jedynie od parametru , który jest zmieniany, aż amplitudy
MODELOWANIE DRGAŃ UKŁADU MASZT-GONDOLA ELEKTROWNI WIATROWEJ …
195
wychylenia w punktach niezmienniczych osiągną wartości minimalne (które okazują się być
takie same). Tłumienie jest z kolei tak dobrane, żeby charakterystyki miały w punktach
niezmienniczych poziomą styczną. Powyższe rozważania prowadzą do następujących
optymalnych wartości parametrów tłumika dynamicznego [1]:
1
3
 OPT 
,
 OPT 
1 
8(1   )
W przypadku tłumienia występującego w drgającym układzie można tak dobrać parametr
, że maksymalne amplitudy ruchu będą występować w pobliżu punktów niezmienniczych.
Przykładowo, biorąc średnią wartość ze współczynników tłumienia, dla których maksima
amplitud znajdują się w jednym oraz drugim punkcie niezmienniczym, otrzymuje się
optymalną wartość tłumienia daną wzorem [3]:
3
 OPT 
8(1   )3
Wszystkie optymalne wartości parametrów podane powyżej zostały wyprowadzone przy
założeniu małej, w porównaniu z jednością, wartości współczynnika mas .
DODATEK 2 – WARUNEK ORTOGONALNOŚCI FUNKCJI WŁASNYCH
Funkcje własne i ( x) ,  j ( x ) spełniają równania:
iIV ( x)   i4i ( x)  0 ,
 IVj ( x )   j4 j ( x)  0
(1')
Pierwsze równanie mnoży się stronami przez  j ( x ) , drugie przez i ( x) , a następnie
odejmuje stronami:
( i4   j4 )i ( x ) j ( x)  iIV ( x) j ( x)   IV
(2')
j ( x)i ( x)
Wyrażenie (2') całkuje się po zmiennej x w granicach od 0 do l. Po przekształceniach
otrzymuje się :
l
4
i
4
j
l
l
l
0
0
0
l
(    )  i ( x ) j ( x ) dx  i( x) j ( x)  i( x)  j ( x)   j ( x)i ( x)   j ( x ) i( x) 0
(3')
0
Rozdzielone warunki brzegowe dla belki utwierdzonej w punkcie x  0 oraz z masą skupioną
M na końcu swobodnym belki dla x  l mają postać:
M 4
i i (l )  0
i (0)  0 , i(0)  0 , i(l )  0 , i(l ) 
(4')
A
Po uwzględnieniu warunków (4') otrzymano ze wzoru (3'):
l
4
i
4
j
(    )  i ( x) j ( x) dx  (  j4   i4 )
0
M
i (l ) j (l )
A
(5')
Ostatni wynik można zapisać w postaci:
l
4
i
4
j
(    )  (1   l ( x  l ))i ( x ) j ( x ) dx  0
0
(6')
196
W. ŁATAS, P. MARTYNOWICZ
LITERATURA
1. Den Hartog J.P.: Mechanical vibrations, Dover Publications, Mineola, NY, 1985.
2. Korenev B.G., Reznikov L.M.: Dynamic vibration absorbers :theory and technical
applications. New York: Wiley, 1993.
3. Harris C.M., Piersol A.G.: Harris’ shock and vibration handbook. McGraw-Hill, 2002.
4. Mead D.J.: Passive vibration control. New York: Wiley, 1999.
5. Lee Ch.-L., Chen Y.-T., Chung L.-L., Wangd Y.-P.: Optimal design theories and
applications of tuned mass dampers. “Engineering Structures” 2006, 28, p. 43–53.
6. Rüdinger F.: Tuned mass damper with fractional derivative damping.”Engineering
Structures” 2006, 28, p. 1774–1779.
7. Li C., Zhu B.: Estimating double tuned mass dampers for structures under ground
acceleration using a novel optimum criterion. “Journal of Sound and Vibration” 2006,
298, p. 280–297.
8. Krenk S., Høgsberg J.: Tuned mass absorbers on damped structures under random load.
“Probabilistic Engineering Mechanics” 2008, 23, p. 408–415.
9. Mohtat A., Dehghan-Niri E.: Generalized framework for robust design of tuned mass
damper systems. “Journal of Sound and Vibration” 2012, 330, p. 902–922.
10. Leung A.Y.T., Zhang H.: Particle swarm optimization of tuned mass dampers.
“Engineering Structures” 2009, 31, p. 715–728.
11. Sgobba S., Marano G.C.: Optimum design of linear tuned mass dampers for structures
with nonlinear behaviour. “Mechanical Systems and Signal Processing” 2010, 24, p.
1739–1755.
12. Marano G.C., Greco R., Sgobba S.: A comparison between different robust optimum
design approaches: application to tuned mass dampers. “ Probabilistic Engineering
Mechanics” 2010, 25, p. 108–118.
13. Chakraborty S., Roy B.K.: Reliability based optimum design of tuned mass damper in
seismic vibration control of structures with bounded uncertain parameters.
“Probabilistic Engineering Mechanics” 2011, 26, p. 215–221.
14. Farshi B., Assadi A.: Development of a chaotic nonlinear tuned mass damper for
optimal vibration response. “Communication in Nonlinear Science and Numerical
Simulation” 2011, 16, p. 4514–4523.
15. Jokic M., Stegic M., Butkovic M.: Reduced-order multiple tuned mass damper
optimization: a bounded real lemma for descriptor systems approach. “Journal of Sound
and Vibration” 2011, 330, p. 5259–5268.
16. Tigli O.F.: Optimum vibration absorber (tuned mass damper) design for linear damped
systems subjected to random loads. “ Journal of Sound and Vibration” 2012, 331, p.
3035–3049.
17. Bisegna P., Caruso G.: Closed-form formulas for the optimal pole-based design of
tuned mass dampers. “ Journal of Sound and Vibration” 2012, 331, p. 2291–2314.
18. Chen S.R., Cai C.S.: Coupled vibration control with tuned mass damper for long-span
bridges. “Journal of Sound and Vibration” 2004, 278, p. 449–459.
19. Abdel-Rohman M., Mariam J.J.: Control of wind-induced nonlinear oscillations in
suspension bridges using multiple semi-active tuned mass dampers. “Journal of
Vibration and Control” 2006, 12(9), p. 1011–1046.
20. Chen S.R., Wu J.: Performance enhancement of bridge infrastructure systems: longspan bridge, moving trucks and wind with tuned mass dampers. “Engineering
Structures” 2008, 30, p. 3316–3324.
MODELOWANIE DRGAŃ UKŁADU MASZT-GONDOLA ELEKTROWNI WIATROWEJ …
197
21. Nagarajaiah S., Varadarajan N.: Short time Fourier transform algorithm for wind
response control of buildings with variable stiffness TMD. “Engineering Structures”
2005, 27, p. 431–441.
22. Wang A.-P., Lin Y.-H.: Vibration control of a tall building subjected to earthquake
excitation. “Journal of Sound and Vibration” 2007, 299, p. 757–773.
23. Guclu R., Yazici H.: Vibration control of a structure with ATMD against earthquake
using fuzzy logic controllers. “Journal of Sound and Vibration” 2008, 318, p. 36–49.
24. Liu M.-Y., Chiang W.-L., Hwang J.-H., Chu Ch.-R.: Wind-induced vibration of highrise building with tuned mass damper including soil-structure interaction. “Journal of
Wind Engineering and Industrial Aerodynamics” 2008, 96, p. 1092–1102.
25. Bekdaş G., Nigdeli S.M.: Estimating optimum parameters of tuned mass dampers using
harmony search. “Engineering Structures” 2011, 33, p. 2716–2723.
26. Moon K.S.: Structural design of double skin facades as damping devices for tall
buildings. “Procedia Engineering” 2011, 14, p. 1351–1358.
27. Ricciardelli F.: On the amount of tuned mass to be added for the reduction of the
shedding-induced response of chimneys. “Journal of Wind Engineering and Industrial
Aerodynamics” 2001, 89, p. 1539–1551.
28. Brownjohn J.M.W., Carden E.P., Goddard C.R., Oudin G.: Real-time performance
monitoring of tuned mass damper system for a 183m reinforced concrete chimney.
“Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics” 2010, 98, p. 169–179.
29. Yau J.-D., Yang Y.-B.: A wideband MTMD system for reducing the dynamic
response of continuous truss bridges to moving train loads. “Journal of Structural
Engineering” 2004, 26, p. 1795–1807.
30. Yau J.-D., Yang Y.-B.: Vibration reduction for cable-stayed bridges travelled by highspeed trains. “Finite Elements in Analysis and Design” 2004, 40, p. 341–359.
31. Li J., Su M., Fan L.: Vibration control of railway bridges under high-speed trains
using multiple tuned mass dampers. ASCE “Journal of Bridge Engineering” 2005,
10(3), p. 312–320.
32. Shi X., Cai C.S.: Suppression of vehicle-induced bridge vibration using tuned mass
damper. “Journal of Vibration and Control” 2008, 14(7), p. 1037–1054.
33. Luu M., Zabel V., Könke C.: An optimization method of multi-resonant response of
high-speed train bridges using TMDs. “Finite Elements in Analysis and Design” 2012,
53, p.13–23
34. Li Quan., Fan J., Nie J., Li Quanwang., Chen Y.: Crowd-induced random vibration of
footbridge and vibration control using multiple tuned mass dampers. “Journal of Sound
and Vibration” 2010, 329, p. 4068–4092.
35. Caetano E., Cunha Á., Magalhães F., Moutinho C.: Studies for controlling humaninduced vibration of the Pedro e Inês footbridge. Part 2: Implementation of tuned mass
dampers. “Engineering Structures” 2010, 32, p.1082–1091.
36. Esmalizadeh E., Jalili N.: Optimal design of vibration absorbers for structurally
damped Timoshenko beams. ASME “Journal of Vibration and Acoustics” 1998, 120,
p. 833–841.
37. Brennan M.J., Dayou J.: Global control of vibration using a tunable vibration
neutralizer. “Journal of Sound and Vibration” 2000, 232(3), p. 585–600.
38. Younesian D., Esmailzadeh E., Sedaghati R.: Passive vibration control of beams
subjected to random excitations with peaked PSD. “Journal of Vibration and Control”,
2006, 12(9), p. 941–953.
39. Yang F., Sedaghati R.: Vibration suppression of non-uniform curved beams under
random loading using optimal tuned mass damper. “ Journal of Vibration and Control”
2009, 15(2), p. 233–261.
198
W. ŁATAS, P. MARTYNOWICZ
40. Cheung Y.L., Wong W.O.: Isolation of bending vibration in a beam structure with a
translational vibration absorber and a rotational vibration absorber. “Journal of
Vibration and Control” 2008, 14(8), p. 1231–1246.
41. Lim Ch.-W.: Active vibration control of the linear structure with an active mass damper
applying robust saturation controller. “Mechatronics” 2008, 18, p. 391–399.
42. Ricciardelli F., Occhiuzzi A., Clemente P.: Semi active tuned mass damper control
strategy for wind-excited structures. “Journal of Wind Engineering and Industrial
Aerodynamics” 2000, 87, p. 57–74.
43. Keye S., Keimerb R., Homannc S.: A vibration absorber with variable eigenfrequency
for turboprop aircraft. “Aerospace Science and Technology” 2009, 13, p. 165–171.
44. Kim H.-S., Kang J.-W.: Semi-active fuzzy control of a wind-excited tall building using
multi-objective genetic algorithm. “Engineering Structures” 2012, 41, p. 242–257.
45. Li H.-N., Ni X.-L.: Optimization of non-uniformly distributed multiple tuned mass
damper. “Journal of Sound and Vibration” 2007, 308, p. 80–97.
46. Du D., Gu X.-J., Chu D.-Y., Hua H.: Performance and parametric study of infinitemultiple TMDs for structures under ground acceleration by H∞ optimization. “Journal
of Sound and Vibration” 2007, 305, p. 843–853.
47. Thompson D.J.: A continuous damped vibration absorber to reduce broad-band wave
propagation in beams. “Journal of Sound and Vibration” 2008, 311, p. 824–842.
MODELLING VIBRATION OF WIND TURBINE TOWER-NACELLE ASSEMBLY
WITH A TUNED MASS DAMPER
Summary. The paper deals with vibration of wind turbine tower-nacelle
assembly. The tower is modelled as a prismatic beam with a lumped mass
representing the nacelle. In order to attenuate vibration, a horizontal tuned mass
damper is attached to the nacelle. Assuming small and linear vibration, an
analytical Euler-Bernoulli model is introduced. The system is subjected to the
horizontal excitation force. The solution to the problem is expanded in a Fourier
series. Performing time-Laplace transform, formulas describing displacement
amplitudes of arbitrary point of the beam may be written in the frequency domain.
Projekt został sfinansowany ze środków Narodowego Centrum Nauki.