Teoria zdarzen ekstremalnych

Teoria wartości ekstremalnych
Matematyczne podstawy teorii
ryzyka i ich zastosowanie
R. Łochowski
Zdarzenia ekstremalne
• Zdarzeniem ekstremalnym będziemy nazywać
zdarzenie, które prowadzi do szkód znacznie
przewyższających typowe szkody
• Przykłady zdarzeń ekstremalnych w
działalności ubezpieczeniowej
– pożar teatru, muzeum, kościoła,
– zatopienie statku,
– katastrofa samolotu,
– katastrofa budowlana,
– powódź, sztorm, huragan, trzęsienie ziemi.
Zdarzenia ekstremalne, c. d.
• Zdarzenia ekstremalne są również
charakterystyczne dla ryzyka operacyjnego
(ryzyko wynikające z nieodpowiednich lub
błędnych procesów, procedur, działania ludzi,
systemów, zdarzeń zewnętrznych) w różnych
obszarach ludzkiej działalności, np.
– awaria systemu informatycznego w banku,
– awaria łączności,
– awaria zasilania,
– awaria elektrowni atomowej.
Modelowanie zdarzeń
ekstremalnych
• Zdarzenia ekstremalne powodują zwykle
stratę X=u występującą w ogonie rozkładu
prawdopodobieństwa strat odpowiadającą
wysokiemu kwantylowi (bliskiemu 1) i są
bardzo rzadkie
P ( X ≥ u) ≈ 0
• Z tego powodu modelowanie rozkładu strat
zdarzeń ekstremalnych napotyka na trudności
P ( X > x + u | X > u) = ?
Modelowanie zdarzeń
ekstremalnych
• Rozkład nadwyżki zmiennej X ponad u
definiujemy jako rozkład warunkowy
Fu ( x ) := 1 − P ( X > x + u | X > u )
=1−
P ( X > x + u)
P ( X > u)
=
F ( x + u ) − F (u )
1 − F (u )
• Zadanie: wyznacz rozkład nadwyżki dla
rozkładu wykładniczego i rozkładu Pareto
.
Uogólniony rozkład Pareto
• Uogólniony rozkład Pareto o parametrachξ , β > 0
URP (ξ , β ) definiujemy jako rozkład o
dystrybuancie
Gξ , β ( x ) = 1 − e − x / β , gdy ξ = 0
oraz o dystrybuancie
Gξ , β ( x ) = 1 − (1 + ξ x / β )
−1/ ξ
,
gdy ξ ≠ 0,1 + ξ x / β > 0
• Okazuje się, że dla dużych u i wielu rozkładów
(wykładniczego, normalnego, gamma, Pareto)
rozkład nadwyżki można przybliżyć URP
Przybliżenie ogonów
• Dla dużych x>u mamy przybliżoną równość
F ( x ) ≈ F ( u ) + (1 − F ( u ) ) Gξ , β ( x − u )
• Okazuje się, że często łatwiej jest estymować
parametry (ξ , β ) , niż wartości F(x) dla dużych
x na podstawie danych historycznych
• Jeżeli (ξ est , β est ) , są estymatorami
parametrów (ξ , β ) , wówczas stosujemy
przybliżenie
−1/ ξ
Nu 
x −u
F (x) ≈ 1 −
 1 + ξ est

N 
β est 
est
Przybliżenie VaR
• Korzystając z przybliżenia kwantyla, dla q>F(u)
otrzymujemy natychmiast przybliżenie VaR:
β est
VaRq ≈ u +
ξ est
− ξ est
 N



1 − q)
− 1
(
  Nu




• Zadanie: dla q>F(u) uzasadnić przybliżenie
FVaRq ( x ) ≈ Gξ , β + ξ
(
VaRq − u
x)
(
)
Przybliżenie ES
• Dla ξ < 1 zachodzi równość
ESq
1
β − ξ iu
≈
+
VaRq 1 − ξ (1 − ξ )iVaRq
• Skąd natychmiast dostajemy przybliżenie na
ES:
β est − ξ est iu
1
ESq ≈
VaRq +
1 − ξ est
1 − ξ est
Rozkład wartości ekstremalnych
tw. Fishera-Tippeta, Gniedenki
• Niech X1 , X 2 ,..., X N będzie próbą prostą
• Jeżeli N → ∞ oraz X N:N = max1≤ i ≤ N X i to dla
dużej rodziny rozkładów można znaleźć takie
ciągi aN , bN, że zmienna aN ( X N:N − bN )
zbiega do zmiennej o dystrybuancie
(
Hξ ( x ) = exp − (1 + ξ x )
lub
−1/ ξ
) , 1 + ξ x > 0, ξ ≠ 0,
H0 ( x ) = exp ( − exp ( − x ) )
Rozkład wartości ekstremalnych,
c.d.
• Dla ξ < 0 mamy do czynienia z rozkładem
Weibulla,
• dla ξ = 0 mamy do czynienia z rozkładem
Gumbela,
• dla ξ > 0 mamy do czynienia z rozkładem
Frécheta.
• Zadanie: udowodnić, że jeżeli próba pochodzi
z rozkładu URP (ξ , β ) to istnieją takie aN , bN ,
że dystrybuanta aN ( X N:N − bN ) zbiega do Hξ
Rozkład Weibulla – odbity
symetrycznie
• Rozkład Weibulla W (η , β ) o dystrybuancie
β
Wη , β ( x ) = 1 − exp − ( x / η ) , x > 0, β , η > 0
jest często stosowanym rozkładem do
modelowania żywotności skomplikowanych
urządzeń lub bezawaryjnej pracy
skomplikowanych systemów
• Jeżeli X ∼ W (η , β ), to
)
(

r 
EX = η Γ  1 + 
β

r
r