X\Y 1 2 3 0 0,10 0,10 - E-SGH

Statystyka ćwiczenia nr 9
mgr Sylwia Timoszuk
Rozkład zmiennej dwuwymiarowej i jego parametry.
Test niezależności χ2.
Współczynnik V-Cramera.
Zad. 1. Dany jest rozkład zmiennej losowej dwuwymiarowej (X,Y), proszę:
X\Y 1
2
3
0
1
2
0,10
0,10
0,05
???
0,2
0,15
0,10
0,00
0,0
a)
b)
c)
d)
uzupełnić tabelkę
wyznaczyć rozkłady brzegowe zmiennych
wyznaczyć EX i DX
uzasadnić czy istnieje zależność stochastyczna
i korelacyjna między tymi zmiennymi
Zad. 2. Dla wylosowanych z pewnej populacji gospodarstw domowych w dużym mieście
definiujemy zmienne: X-miesięczne dochody gospodarstwa domowego (zaokrąglone do
tys. zł) oraz Y- miesięczne wydatki na żywność (zaokrąglone do tys. zł). Łączny rozkład
zmiennych przedstawia się następująco:
X\Y
1
2
3
a) Wyznacz rozkłady brzegowe obu zmiennych
3
0,2
0,1
0
i oblicz dla nich wartości oczekiwane
4
0,1
0,2
0,1
i odchylenia standardowe.
5
0
0,2
0,1
b) Określ funkcję prawdopodobieństwa rozkładu wydatków na żywność pod warunkiem,
że dochody w gospodarstwie domowym wynosiły 4 tys. zł. Jaka jest wartość oczekiwana
wydatków w tej grupie dochodowej? A jakie odchylenie standardowe wydatków?
c) Oblicz kowariancję i współczynnik korelacji obu zmiennych. Co oznaczają uzyskane
wyniki?
Zad. 3. Zmienna losowa Y przyjmuje wartości = 0 i = 1, natomiast zmienna losowa
X przyjmuje wartości = 4 i = 8. Dane są ponadto prawdopodobieństwa warunkowe:
P(Y=0|X=4)=0,25; P(Y=1|X=8)=0,75; P(X=4|Y=0)=0,8, P(X=8|Y=1)=0,2. Wiedząc, że
zmienne X i Y są niezależne, proszę określić łączny rozkład zmiennej (X,Y).
Odp.
= 0,2;
= 0,6;
= 0,05;
= 0,15
Zad. 4. Dany jest rozkład zmiennej losowej (X,Y):
X\Y 1
2
3
3
0,2
0,2
0
4
0,1
0,2
0,3
a) Znaleźć rozkłady brzegowe i obliczyć E(X) i D(X).
b) Wyznaczyć rozkład warunkowy P(X/Y=1) i obliczyć wartość oczekiwaną w tym
rozkładzie. O czym świadczy porównanie wyników E(X) i E(X/Y=1) ?
Odp. a)
= 3 = 0,4;
= 4 = 0,6;
= 1 = 0,3;
= 2 = 0,4; =3 =
0,3;
= 3,6;
= 2; b)
= 3| = 1 = 0,67;
= 4| = 1 = 0,33.
E(X/Y=1) = 3,33; porównanie wyników E(X) i E(X/Y=1) świadczy o zależności X i Y.
Zad. 5. Czy istnieje zależność między Y- rodzajem opinii o nowym systemie nauczania
w 500 osobowej losowej próbie a X- miejscem zamieszkania, jeśli 250 respondentów
pochodziło z miast oraz 250 ze wsi. W mieście uzyskano 200 odpowiedzi pozytywnych, na
wsi zaś jedynie 3/5 zapytanych osób wypowiedziało się za reformą.
Zadania opracowane z wykorzystaniem materiałów dr Anity Abramowskiej-Kmon
Statystyka ćwiczenia nr 9
mgr Sylwia Timoszuk
Rozkład zmiennej dwuwymiarowej i jego parametry.
Test niezależności χ2.
Współczynnik V-Cramera.
Zad. 6. Na próbie losowej 1000 respondentów przeprowadzono sondaż opinii społecznej
dotyczący skuteczności negocjacji rządowych ze związkami zawodowymi. Na podstawie
uzyskanych wyników ustalono siłę zależności stochastycznej, między oceną skuteczności
i płcią respondentów w tej próbie. Miarę tej zależności stanowił współczynnik Cramera V
= 0,38. Czy zależność tę można uznać za statystycznie istotną, jeśli możliwe odpowiedzi
respondentów to: negocjacje były skuteczne, negocjacje były nieskuteczne, nie mam zdania
na ten temat?
Odp.:
= 144,4; , ; = 5,991;
odrzucamy
Zad. 7. W sondażu na temat przystąpienia Polski do Unii Europejskiej w pewnym
województwie dla 200 wylosowanych niezależnie osób uzyskano następujące wyniki w
zależności od miejsca zamieszkania respondentów:
Akceptacja akcesji
Miejsce
zamieszkania
Tak
Nie
Ogółem
Miasto
80
20
100
Wieś
40
60
100
Razem
120
80
200
Czy akceptacja przystąpienia Polski do Unii Europejskiej zależy od miejsca zamieszkania?
Odp.:
= 33,3; , = 5,991;
odrzucamy
Zad. 8. Międzyuczelniane Biuro Śledcze zbadało przebieg studiów 200 wylosowanych
absolwentów wyższych uczelni. Wśród zbadanych 30% przyznało, że ściągało podczas
egzaminów. Czterdziestu ściągających weszło potem w konflikt z prawem. Stu zbadanych
zawsze pisało egzaminy uczciwie i nigdy w przyszłości nie weszło w konflikt z prawem.
Czy powyższe informacje upoważniają do twierdzenia, że wśród młodzieży akademickiej
występuje zależność między faktem ściągania w trakcie egzaminów i kolizją z prawem
w przyszłości?
Odp.:
= 23,65; , = 3,841;
odrzucamy
Zad. 9. Na podstawie zaprezentowanych w poniższej tablicy danych o potrzebie posiadania
samochodu oraz potrzebie mieszkania a płcią 100 losowo wybranych kobiet i mężczyzn
w wieku 20-25 lat oceń:
a) Czy zależność ta jest istotna statystycznie przy poziomie istotności 0,05?
b) Jaka jest siła tej zależności?
Płeć
Tak
Nie
Kobiety
20
20
Mężczyźni 50
10
Odp.: a)
= 12,70; ,
;
= 3,84;
odrzucamy; b)
= 0,356
Zadania opracowane z wykorzystaniem materiałów dr Anity Abramowskiej-Kmon