Lista 1

Lista 1
Prowadzący: mgr Marcin Spryszyński
www: http://www-users.mat.uni.torun.pl/ ∼spryszyn
e-mail: [email protected]
Zadanie. 1 Oblicz wartość wyrażenia
1+
1
2+
.
1
3+
1
1
4+ 1
Zadanie. 2 Znajdź 2009-tą cyfrę rozwinięcia dziesiętnego liczby
√ √2
2 .
Zadanie. 3 Oblicz wartości przybliżone, z dokładnością do 20 cyfr po przecinku, liczb:
(a)
sin (2009)
e
π +e
(b)
π
ln (| cos(π · e)|)
sin
cos(ln(π · e))
(c)
!
Zadanie. 4 Wyznacz podane sumy i iloczyny. Wynik zapisz w postaci „symbol”=„wynik”.
(a)
∞
X
1
,
2
k=1 k
[log7 (2009)]
∞
X
(π · i)k
,
k!
k=0
(b)
(c)
Y
t=−12
2 − ki
.
1 − 4k 2 i
Zadanie. 5 Dane są liczby zespolone zk = 1 − k 2 i.
(a) Wyznacz część rzeczywistą i urojoną liczby
(b) Wyznacz argument i moduł liczby
P1
k=1
Pn
2
k=1 zk .
5 sin(zk ) z dokładnością do 7-ego miejsca po przecinku.
(c) Wyznacz moduł różnicy liczników części rzeczywistej i urojonej liczby
100
Y
!,
z2k
k=1
100
Y
!
z2k−1 .
k=1
(d) Wyznacz sprzężenie liczby
∞
X
1
.
2
k=1 zk
Problem może pojawić się w przypadku nieznanego parametru n. Program nie rozumie i nie musi rozumieć,
że n ∈ N. Aby określić zakres zmienności parametru n przy określaniu części rzeczywistej liczby z ∈ C
wystarczy rozszerzyć komendę Re(z), przed średnikiem o, zwrot assuming n::integer.
Zadanie. 6 Dana jest liczba naturalna
N=
500
X
i=1
pi ! −
2009 )
[log3 (2009
]
X
Fi ,
i=[log15 (20092009 )]
gdzie
pi - i-ta liczba pierwsza,
Fi - i-ta liczba ciągu fibonacciego.
(a) Zdefiniuj liczbę N , tak aby jej dokładna wartość nie była wyświetlana w oknie.
1
(b) Ile cyfr ma liczba N ?
(c) Czy liczba N jest liczbą pierwszą? Jeśli nie to podaj największą liczbę pierwszą, która jest dzielnikiem
liczby N .
(d) Podaj liczbę dzielników całkowitych liczby N .
(e) Wyznacz resztę z dzielenia liczby N przez 2012.
Funkcja fibonacci(n) dostępna jest w pakiecie combinat. Aby móc się nią posłużyć należy dodać pakiet, bądź tylko żądaną funkcję z pakietu, komendami with(combinat) lub with(combinat,fibonacci)
odpowiednio.
Zadanie. 7 Wyznacz sumę liczb naturalnych większych od 41 i mniejszych od 20082 , które przy dzieleniu
przez 7 dają resztę 3. Ile cyfr ma ta liczba?
Zadanie. 8 Wyznacz wzory na
(a)
n
X
k2
n
X
(b)
k=1
(e)
k3
(c)
k=1
n
X
k9
(f )
k=1
n
X
k4
k=1
n
X
k
k
k=1 3
(g)
(d)
n
X
k5
k=1
n
X
1
k=1 k(k + 1)(k + 2)
i przedstaw je w postaci iloczynowej i ogólnej następująco „wzór”=„wynik w postaci iloczynowej”=„wynik
w postaci ogólnej”
Zadanie. 9 Wyznacz liczbę k o tej własności, że
10k
10k+1
6
NWW (9! + 123456, (8!)!) ,
NWW (9! + 123456, (8!)!) ,
gdzie NWW(a,b) oznacza najmniejszą wspólną wielokrotność liczb a, b.
2