2. Systemy pozycyjne

ARYTMETYKA MODULARNA
Grzegorz Szkibiel
Wiosna 2014/15
Spis tre±ci
1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci
3
2 Systemy pozycyjne
8
3 Elementy odwrotne
12
4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
17
5 Maªe Twierdzenie Fermata
20
6 Twierdzenie Eulera
23
7 Twierdzenie Lagrange'a
27
8 Chi«skie Twierdzenie o Resztach
30
9 RSA i gra w orªa i reszk¦ przez telefon
36
10 Kongruencje wy»szych stopni
40
11 Liczby pseudopierwsze
46
12 Pierwiastki pierwotne
51
13 Istnienie pierwiastków pierwotnych
55
14 Logarytm dyskretny
60
15 Pewne zastosowania pierwiastków pierwotnych
63
2
Wykªad 2
Systemy pozycyjne
Warsztatem pracy dla arytmetyka jest zbiór liczb caªkowitych. Liczby caªkowite mo»emy przedstawia¢ w rozmaity sposób, ale najlepszym zdecydowanie
sposobem jest zapis pozycyjny.
Przypomnijmy, »e stosowany powszechnie
system zapisu liczb nazywamy systemem pozycyjnym, poniewa» znaczenie
cyfry zale»y od pozycji, na której si¦ owa cyfra znajduje.
Poza tym nasz
system liczenia nazywamy dziesi¦tnym, poniewa» mamy dokªadnie 10 cyfr.
Liczba cyfr w systemie pozycyjnym zale»y od podstawy. Dokªadnie, dowoln¡
liczb¦ caªkowit¡ nieujemn¡
n
zapisujemy przy podstawie
b≥2
w postaci
(dk−1 dk−2 . . . d1 d0 )b ,
gdzie
dk−1 , dk−2 , . . . , d1 , d0
nymi oraz niewi¦kszymi od
(2.1)
s¡ liczbami caªkowitymi (dziesi¦tnymi) nieujem-
b − 1.
Liczby te nazywamy cyframi. Zapis (2.1)
oznacza, »e
n = dk−1 bk−1 + · · · + d1 b + d0 .
Je»eli
n
jest liczb¡ ujemn¡ to wyra»enie po prawej stronie równo±ci (2.2)
zacz¦liby±my od znaku
liczb¡
(2.2)
k -cyfrow¡
−.
Je»eli
dk−1
n jest
b = 10 to
nie jest zerem, to mówimy, »e
w systemie pozycyjnym o podstawie
b.
Je»eli
nawiasy w (2.1) opuszczamy, gdy» wtedy mamy do czynienia ze zwykªym
dziesi¦tnym systemem pozycyjnym. Podobnie opu±cimy nawiasy gdy wybór
podstawy jasno wynika z kontekstu.
liczby
n
przy podstawie
Je»eli
b > 10,
Zapis (2.2) nazywamy rozwini¦ciem
b.
to pisownia niektórych cyfr jest uci¡»liwa (wymaga do-
datkowych nawiasów) lub niejasna ((101)b mo»na rozumie¢ na dwa sposoby).
Dlatego dla oznaczenia cyfr 10, 11, 12,
...
u»ywamy liter:
A, B , C , . . .
Oczy-
wi±cie, mo»na u»ywa¢ liter lub innych znaków dla oznaczenia wszystkich cyfr.
8
Na przykªad, podstawa 26 (liczba liter w alfabecie ªaci«skim) jest u»ywana
w kryptograi i cyframi s¡ po prostu litery alfabetu.
Przypiszmy ka»dej literze alfabetu liczb¦, która jest jej pozycj¡ w alfabecie. Otrzymujemy:
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Wówczas przeksztaªcenie
stu. Tutaj
n
stawie 26, a
lub
f (n) = n + k mod BAl
jest szyfrowaniem tek-
k s¡ liczbami caªkowitymi zapisanymi w systemie o podl > 0. Kiedy l = 1, to nasz szyfr nazywamy cyklicznym
oraz
Cezara. Dla przykªadu, zaszyfrujmy sªowo ARYTMETYKA za pomoc¡
klucza
J. Mamy
A + J = J,
E + J = N, K + J = T,
M + J = V,
R + J = BA, BA mod BA = A, T + J = BC, BC mod BA = C,
Y + J = BH, BH mod BA = H.
Zatem szyfrem sªowa
ARYTMETYKA jest JAHCVNCHTJ.
Wykorzystuj¡c twierdzenie o podzielno±ci, poka»emy »e istnieje dokªadnie jedno rozwini¦cie liczby caªkowitej nieujemnej w systemie pozycyjnym o
b ≥ 2. Istotnie, je±li dana jest liczba n ≥ 0, to istnieje dokªadnie
jedna reszta d0 z dzielenia n przez b, wi¦c n = bq0 + d0 , gdzie 0 ≤ d0 ≤ b − 1.
Dalej mamy istnienie dokªadnie jednej liczby 0 ≤ d1 ≤ b − 1, takiej »e
q0 = bq1 + d1 , lub »e n = b2 q1 + bd1 + d0 . Post¦puj¡c tak dalej otrzymamy
jednoznacznie okre±lone liczby d0 , d1 , . . . , dk−1 , dla których zachodzi równo±¢
podstawie
(2.2). Podobnie, a w zasadzie identycznie pokazujemy, »e rozwini¦cie liczby
caªkowitej ujemnej w systemie o podstawie
b
te» jest jednoznaczne.
Podane powy»ej rozumowanie jest te» algorytmem na zmian¦ podstawy
systemu na
b.
Aby przej±¢ do podstawy 10, wystarczy jedynie obliczy¢
warto±¢ wyra»enia po prawej stronie (2.2).
Zatem sprawa si¦ tu znacznie
upraszcza. Zademonstrujemy na przykªadzie, jak przej±¢ z zapisu w systemie
o podstawie 10 do zapisu w systemie o podstawie 3.
2.1 Przykªad.
Zapiszemy liczb¦ 346 w systemie trójkowym, czyli przy pod-
346 = 115·3+1.
2
St¡d 346 = 38 · 3 + 1 · 3 + 1.
stawie 3. Dzielimy 346 na 3 otrzymuj¡c 115, reszta 1. Zatem
Teraz dzielimy 115 na 3 otrzymuj¡c 38, reszta 1.
Kontynuuj¡c ten proces otrzymamy
346 = 35 + 34 + 2 · 32 + 31 + 1,
9
czyli
346 = (110211)3 .
Je»eli przechodzimy od podstawy
b1 6= 10 do podstawy b2 6= 10, to mo»na
tu przechodzi¢ po±rednio przez podstaw¦ 10. Czasem jednak bardziej efek-
b1
tywne jest zapisanie
i cyfr w systemie o podstawie
pogrupowanie. Je»eli dodatkowo
b1
jest pot¦g¡
b2 ,
b2
oraz odpowiednie
to sposób ten jest bardzo
szybki.
Przykªady
2.2.
(548)16 w systemie dwójkowym.
2
1 · 2 + 1, 4 = 1 · 22 oraz 8 = 1 · 23 , mamy
Zapiszemy
Poniewa»
16 = 24 , 5 =
(548)16 = 5 · 162 + 4 · 16 + 8 = 1 · 210 + 1 · 28 + 1 · 26 + 1 · 23 = (10101001000)2 .
2.3.
Zapiszemy n = (212021)3 w systemie o podstawie 9. Grupujemy cyfry
2
po 2 (bo 9 = 3 ) zaczynaj¡c od prawej strony: 21, 20, 21. (Je±li ,,nie starcza
cyfr na ostatni¡ grup¦, dodajemy z przodu odpowiedni¡ liczb¦ zer. Poniewa»
(21)3 = 2 · 3 + 1 = 7,
a
(20)3 = 2 · 3 = 6,
wi¦c
n = (767)9 .
Zajmiemy si¦ teraz uogólnieniem pewnych cech podzielno±ci jakie maj¡
liczby w systemie o podstawie 10. Zauwa»my, »e liczba
n (w systemie dziesi¦t-
nym)
•
•
dzieli si¦ przez 2, je»eli jej ostatnia cyfra dzieli si¦ przez 2,
dzieli si¦ przez 4, je»eli liczba zªo»ona z dwóch ostatnich cyfr
n
dzieli
si¦ przez 4,
•
ogólnie, liczba
cyfr liczby
n
n
dzieli si¦ przez
dzieli si¦ przez
2s ,
je»eli liczba zªo»ona z
s
ostatnich
n.
Podobne reguªy obowi¡zuj¡ przy dzieleniu przez pot¦gi liczby 5, a zachodz¡
one dlatego, »e zarówno 2 jak i 5 s¡ dzielnikami podstawy systemu, czyli 10.
Udowodnimy twierdzenie, które uogólnia powy»sze fakty.
2.4 Twierdzenie.
Przypu±¢my, »e
d|b. Wówczas liczba n zapisana w sysb dzieli si¦ przez ds (s ≥ 1) wtedy i tylko wtedy,
s ostatnich cyfr liczby n dzieli si¦ przez ds .
temie pozycyjnym o podstawie
gdy liczba zªo»ona z
Dowód
⇒.
ds | n.
Zapiszmy (2.2) w troch¦ inny sposób, mianowicie
Przypu±¢my, »e
n
jest zapisana w systemie o podstawie
n = ns bs + ds−1 bs−1 + · · · + d1 b + d0 ,
{z
}
|
n0
10
b
oraz
n a ns liczb¡ zªo»on¡ z pos
s
zostaªych cyfr n (je±li n ma mniej ni» s cyfr, to ns = 0). Poniewa» b | n−ns b ,
s
s
s
wi¦c n ≡ ns b (mod d ), sk¡d d | n0 .
⇐. Korzystaj¡c z oznacze« wprowadzonych w pierwszej cz¦±ci dowodu zas
s
s
s
ªó»my »e d | n0 . Poniewa» d | b , wi¦c d |n.
gdzie
n0
jest liczb¡ zªo»on¡ z
s
ostatnich cyfr
Rozwa»ymy jeszcze cech¦ podzielno±ci przez odpowiedniki liczb 3 i 9
w systemie o podstawie
2.5 Twierdzenie.
b.
Zaªó»my, »e
w systemie o podstawie
b
d | b − 1.
Liczba
wtedy i tylko wtedy, gdy
d
d
dzieli liczb¦
n
zapisan¡
dzieli sum¦ cyfr liczby
n.
Dowód. Skorzystamy z kongruencji
b ≡ 1 (mod d) danej w zaªo»eniu oraz z
f (x) = dk−1 xk−1 + dk−2 xk−2 + · · · + d1 x + d0 , gdzie d0 , d1 , . . . ,
dk−1 s¡ cyframi liczby n w systemie o podstawie b. Wówczas n = f (b), a
f (1) jest sum¡ cyfr liczby n. Z twierdzenia 1.7 mamy f (b) ≡ f (1) (mod d),
zatem d | f (b) wtedy i tylko wtedy, gdy d | f (1).
wielomianu
Dziaªania arytmetyczne na liczbach w systemie o podstawie
bez anga»owania w to podstawy 10.
b wykonujemy
Dodawanie, odejmowanie i mno»enie
pisemne przeprowadzamy tak jak dotychczas, przy czym przy ,,po»yczaniu
bierzemy nie 10 lecz
b.
Tak»e uªamki mo»na rozwija¢ przy dowolnej podstawie. Maj¡ one (sko«czon¡ lub niesko«czon¡ posta¢
(dk−1 dk−2 . . . d1 d0 , d−1 d−2 . . . )b .
Warto tu za-
uwa»y¢, »e przy zmianie podstawy, mog¡ te» zmieni¢ si¦ uªamki okresowe.
Na przykªad
0, 33333 · · · = (0, 1)3 ,
a
0, 5 = (0, 11111 . . . )3 .
11