INDEKSY SIŁY JAKO ELEMENT TEORII GIER

INDEKSY SIŁY JAKO ELEMENT TEORII GIER
Co to jest w ogóle indeks siły?
indeks siły jest to w teorii gier metoda obliczania względnej siły poszczególnych uczestników
głosowania.
Co to jest gra?
Gra to dowolna sytuacja konfliktowa, gracz natomiast to dowolny jej uczestnik. Graczem
moŜe być na przykład człowiek, przedsiębiorstwo lub zwierzę. KaŜda strona wybiera pewną
strategię postępowania, po czym zaleŜnie od strategii własnej oraz innych uczestników kaŜdy
gracz otrzymuje wypłatę w jednostkach uŜyteczności. ZaleŜnie od gry jednostki te mogą
reprezentować pieniądze, wzrost szansy na przekazanie własnych genów czy teŜ cokolwiek
innego, z czystą satysfakcją włącznie. Wynikowi gry zwykle przyporządkowuje się pewną
wartość liczbową.
Teoria gier bada jakie strategie powinni wybrać gracze Ŝeby osiągnąć najlepsze wyniki.
Gry dzielimy na:
•
•
gry o sumie stałej (zysk jednego gracza jest równowaŜny stracie drugiego) i na gry o
sumie zmiennej
gry sprawiedliwe (gdy wartość oczekiwana wypłaty kaŜdego z graczy jest taka sama)
oraz gry niesprawiedliwe
NajwaŜniejsze indeksy siły:
ZałóŜmy Ŝe do grupy popierającej pewien projekt przyłączają się kolejni głosujący. W
którymś momencie ich koalicja staje się zdolna do uchwalenia tego projektu. Procent
układów, w których dany głosujący jest wyborcą krytycznym, czyli tym po przyłączeniu
którego koalicja moŜe uchwalić projekt, jest jego indeksem siły Shapleya-Shubika.
Indeks siły Shapleya-Shubika – jeden z dwóch najwaŜniejszych indeksów siły.
Indeksu tego uŜywa się do określenia względnej siły graczy w danym systemie wyborczym.
System wyborczy jest tu opisywany w następujący sposób:
•
•
Podajemy zbiór uczestników
Podajemy, które koalicje wyborcze (podzbiory zbioru uczestników) są wygrywające
Taki system musi spełniać pewne dodatkowe załoŜenia:
•
•
•
•
koalicja wszystkich graczy jest wygrywająca (jest moŜliwe wygranie głosowania)
koalicja pusta nie jest wygrywająca (jest moŜliwe przegranie głosowania)
jeśli koalicja juŜ jest wygrywająca, to dołączenie do niej dodatkowych graczy nie
spowoduje jej przegranej
jeśli jakaś koalicja juŜ jest wygrywająca, to z pozostałych uczestników nie da się
zbudować innej koalicji wygrywającej (w systemach wyborczych "kaŜdy gracz ja
jeden głos" oznacza to, Ŝe próg zwycięstwa nie moŜe być niŜej niŜ 50% + jeden głos).
Indeks ten liczy się następująco:
Bierze się wszystkie moŜliwe uporządkowania uczestników. KaŜde takie
uporządkowanie przedstawia moŜliwa kolejność przyłączania się graczy do koalicji.
Gracz, po przyłączeniu którego budowana właśnie koalicja stanie się koalicją
wygrywającą dostaje jeden punkt.
Indeks siły gracza jest równy ilości takich punktów podzielonej przez ilość wszystkich
uporządkowań, tak Ŝeby suma indeksów siły wszystkich graczy wynosiła 100%.
Przykład
Jeśli jest 3 graczy, i dowolnych 2 potrzeba do wygrania głosowania, ich punktacja wygląda
następująco:
Kolejność
przyłączania
Uczestnik, po przyłączeniu którego koalicja uzyskuje wymaganą
większość
ABC
B
ACB
C
BAC
A
BCA
C
CAB
A
CBA
B
Ilość punktów kaŜdego uczestnika wynosi więc 2, a zatem kaŜdy uczestnik ma siłę
Obliczanie
JuŜ dla 4 uczestników obliczenia stały się dość długie. Dzieje się tak dlatego, Ŝe wszystkich
uporządkowań n graczy jest n!.
Ale moŜna te obliczenia znacznie uprościć korzystając z matematycznej właściwości: to czy
przyłączenie się danego uczestnika umoŜliwi uzyskanie większości nie zaleŜy od kolejności w
jakiej przyłączali się pozostali uczestnicy, ani tym bardziej od kolejności w jakiej
przyłączaliby się kolejni.
Zamiast więc sprawdzać wszystkie permutacje wystarczy, Ŝe sprawdzimy wszystkie
Wybieramy gracza x, dla którego będziemy liczyć indeks siły
Sprawdzamy po kolei wszystkie moŜliwe podzbiory c pozostałych graczy
Niech i będzie równe ilości graczy w aktualnie sprawdzanej koalicji c
Jeśli wybrany podzbiór jest przegrywający, ale dołączenie gracza x czyni go
wygrywającym, to:
Dodajemy do punktacji gracza (i)!(n − i − 1)!
Dzielimy wynik przez liczbę wszystkich moŜliwych uporządkowań (n!)
Indeks siły Banzhafa
Indeks siły Banzhafa oblicza się przez przyjęcie siły proporcjonalnej do liczby koalicji, w
których dany wyborca jest wyborcą krytycznym, i znormalizowanie do 100%.
•
•
•
•
•
•
•
•
Zielona Czerwona
Zielona śółta
Zielona Niebieska
Zielona Czerwona śółta
Zielona Czerwona Niebieska
Zielona Niebieska śółta
Zielona Czerwona śółta śółta
Czerwona śółta śółta
•
•
•
•
Partia Zielona jest wyborcą krytycznym w 6/8 koalicji
Partia Czerwona jest wyborcą krytycznym w 2/8 koalicji
Partia śółta jest wyborcą krytycznym w 2/8 koalicji
Partia Niebieska jest wyborcą krytycznym w 2/8 koalicji
Prowadzi do takiego samego wyniku jak indeks Shapleya-Shubika (jednak w bardziej
złoŜonych metodach głosowania, mogą one dawać bardzo odmienne wyniki).
Jeśli zastąpimy koalicję kilku graczy przez jednego gracza o liczbie głosów będącej sumą
głosów uczestników (np. utworzymy Partię Zielono-Niebieską), uzyska on siłę 100%,
znacznie większą niŜ suma indeksów siły poszczególnych członków
Indeksy zakładają, Ŝe interesy poszczególnych wyborców są nieskorelowane – interes Partii
Zielonej moŜe równie często być taki sam jak Partii Niebieskiej lub partii śółtej bądź
Czerwonej. Utworzenie trwałej koalicji między partiami oznaczałoby więc co prawda, Ŝe
wygra ona kaŜde głosowanie, a zatem jej siła to 100%, ale Ŝe często będzie zmuszona
przyjmować projekty, na które nie ma zgody wśród części członków. Tak więc sens ma
tworzenie trwałej koalicji tylko, jeŜeli zysk ze wzrostu siły jest większy niŜ strata z
konieczności uzgadniania nienajlepszej wersji ustawy, pomimo iŜ moŜliwe byłoby
przegłosowanie wersji która bardziej nam się podoba współpracując z opozycją.
ANALIZA SONDAśU PRZEDWYBORCZEGO JAKO PRZYKŁAD PORÓWNANIA
INDEKSÓW SIŁY
Jesienią 2001 odbyły się w Polsce wybory parlamentarne. Przygotowania do
wyborów rozpoczęły się wcześniej. Wyniki sondaŜy wskazywały na poraŜkę dotychczas
rządzących ugrupowań prawicowych z AWS na czele i sukces lewicowej SLD.
Zaowocowało to zmianami. Po pierwsze, zmieniono ordynację wyborczą. Zamiast
metody d'Hondta wprowadzono metodę Saint Laguë, promującą mniejsze partie. Po
drugie , rozpoczął się proces zmian na prawicy i w centrum. Wyłoniło się nowe, centro
- prawicowe, o liberalnym charakterze ugrupowanie, Platforma Obywatelska. Wyniki
sondaŜy z lutego wskazywały na duŜą przewagę SLD, ale jeszcze nie dawały tej partii
większości potrzebnej do samodzielnego rządzenia.. Późniejsze sondaŜe
najpierw zwiększyły przewagę SLD tak, Ŝe mogłaby rządzić samodzielnie, zaś następne
podziały na prawicy uczyniły sytuację trudno czytelną. Te przyczyny powodowały
wyborem do analizy tego właśnie sondaŜu.
SondaŜ został przedstawiony w tygodniku "Polityka" (Paradowska,2001) z
24.II.2001. Głosy przeliczono na miejsca w Sejmie metodą Saint Laguë. Wyniki są
następujące:
1. Sojusz Lewicy Demokratycznej (SLD) - 226 miejsc,
2. Platforma Obywatelska (PO) -88 miejsc,
3. Akcja Wyborcza Solidarność (AWS) - 66 miejsc,
4. Polskie Stronnictwo Ludowe (PSL) - 63 miejsca,
5. Unia Wolności (UW)- 14 miejsc,
6. Mniejszość Niemiecka (MN) - 3 miejsca.
Konstruujemy waŜoną grę większości opartą na wynikach tego sondaŜu.
Stosujemy większość bezwzględną czyli 231. W grze są następujące minimalne koalicje
wygrywające:
(1) SLD, PO - 314 miejsc,
(2) SLD, AWS - 292 miejsc
(3) SLD, PSL - 289 miejsc,
(4) SLD, UW - 240 miejsc,
(5) PO, AWS, PSL, UW - 231 miejsc.
W poniŜszej tabeli przedstawione są wartości następujących indeksów siły
wyznaczonych dla podanej wyŜej liczbie miejsc w Sejmie. Obliczeń dokonano stosując
pakiet "Indices of Power IOP.2.0" Thomasa Brauna i Thomasa Königa.
ZauwaŜmy, Ŝe wartości indeksów dla PO, AWS, PSL i UW są takie same .
Wynika to z postaci minimalnych koalicji wygrywających. W ich konstrukcji te partie
pełnią taką samą rolę. Dla SLD indeksy Shapleya - Shubika i oba Banzhafa sa większe
od 0,5, natomiast indeksy Hollera i Deegana - Packela mniejsze. Wynika to z róŜnic
stojących u podstawy konstrukcji tych indeksów. Indeksy Shapleya - Shubika, absolutny
i znormalizowany Banzhafa są to waŜone (w róŜny sposób) krańcowe przyrosty siły
graczy. Indeksy Hollera i Deegana - Packela są zbudowane inaczej, uwzględniają tylko
minimalne koalicje wygrywające. Powstaje problem, którego indeksu uŜywać do
mierzenia siły. Odpowiedź brzmi: tego, który jest odpowiedni w danej sytuacji. Nie
chodzi tu o to aby promować doraźne rozwiązania polityczne, na przykład uŜywać
indeksu Hollera dlatego, Ŝe wtedy SLD ma najmniejszą siłę. Chodzi o własności
indeksów, o to czy one są zgodne z odczuciami polityków i wyborców. Wtedy uŜycie
danego indeksu moŜna uznać za uzasadnione.
........................
PowyŜszy przykład zaczerpnięty z publikacji Honoraty Sosnowskiej „Jak róŜnią się indeksy siły?” styczeń 2001
Pozostałe źródła:
Straffin P. D. Teoria gier, rozdział 27 i 28
www.wikipedia.pl