Milena Dziêbaj praca mgr
Transkrypt
Milena Dziêbaj praca mgr
Wydział Podstawowych Problemów Techniki Metody otrzymywania i właściwości optyczne materiałów z ujemnym współczynnikiem załamania Praca dyplomowa magisterska Milena Dziębaj Opiekun: dr hab. inŜ. Włodzimierz Salejda prof. PWr. Wrocław 2006 1 Serdecznie dziękuję Panu profesorowi Włodzimierzowi Salejdzie za pomoc, cenne uwagi merytoryczne i wsparcie w trakcie pisania tej pracy 2 Spis treści Cel pracy ...........................................................................................................................4 Wykaz waŜniejszych oznaczeń i skrótów.........................................................................5 I Wprowadzenie................................................................................................................6 I.1 Ukryte właściwości równań Maxwella..............................................................7 I.2 Ośrodek „dodatni” ...........................................................................................10 I.3 Ośrodek „ujemny” ...........................................................................................12 II Wytwarzanie metamateriałów.....................................................................................15 II.1 Pierwsze materiały o ujemnych parametrach ..................................................15 Powierzchniowy rezonans plazmowy .......................................................16 II.2 Tablica długich drutów metalicznych..............................................................18 II.3 Rozproszone rezonatory kołowe .....................................................................23 II.4 Pierwszy ośrodek o ujemnym współczynniku załamania ...............................26 II.5 Model linii transmisyjnych..............................................................................27 Symulacja rzeczywistego dielektryka .......................................................28 Symulacja ujemnego współczynnika załamania .......................................34 II.6 Nanostruktury z drutów metalicznych.............................................................37 II.7 Metamateriały dla zakresu widzialnego ..........................................................40 III Eksperymenty ............................................................................................................44 III.1 Pierwsze dowody eksperymentalne.................................................................44 Ujemne załamanie – fikcja czy rzeczywistość? ........................................47 III.2 Modulacja transmisji fali EM ..........................................................................50 III.3 Istnienie fal wstecznych...................................................................................53 III.4 Ujemne załamanie światła ...............................................................................54 IV Zastosowania .............................................................................................................58 IV.1 Perfekcyjna soczewka......................................................................................58 Idealna soczewka płaska............................................................................58 Idealna soczewka sferyczna.......................................................................61 IV.2 Urządzenia mikrofalowe..................................................................................62 IV.3 Najnowsze odkrycia ........................................................................................63 V Transmitancja warstwowych układów optycznych ....................................................65 V.1 Ujemne załamanie fali EM ..............................................................................67 V.2 Polaryzacja typu „s” i „p”................................................................................68 V.3 Dyspersja współczynnika załamania ...............................................................69 V.4 Amplitudowe współczynniki transmisji ..........................................................69 V Podsumowanie ............................................................................................................74 Dodatek A – Iloczyn wektorowy ....................................................................................76 Dodatek B – Magnetyczny potencjał wektorowy...........................................................76 Dodatek C – Teoria linii transmisyjnych ........................................................................78 Dodatek D – Formalizm macierzowy.............................................................................82 Bibliografia .....................................................................................................................84 3 Cel pracy Zjawisko ujemnego załamania opisane w 1967 roku przez Viktora Veselago wywołało oŜywioną dyskusję w świecie naukowym w dziedzinie, której zjawiska i rządzące nimi prawa wszyscy traktowali juŜ jak dogmat. Opisane przez niego ukryte właściwości równań Maxwella wymogły ponowną dogłębną analizę bardzo dobrze znanych juŜ obszarów fizyki. Celem pracy była analiza syntetyczna osiągnięć naukowych związanych ze zjawiskiem ujemnego załamania fali elektromagnetycznej oraz z wytwarzaniem sztucznych materiałów dielektrycznych (metamateriałów) na przestrzeni lat 1967-2006. Uzasadnione było to niesłabnącym w ostatnich latach zainteresowaniem naukowców tym zagadnieniem i mnogością publikacji dotyczących tematu. Ze względu na dość liczne głosy krytyki podwaŜające sam fakt istnienia zjawiska ujemnego załamania, w pracy przedstawiono wyniki kilku najbardziej przełomowych eksperymentów, potwierdzających moŜliwość przyjmowania przez współczynnik załamania wartości ujemnych, jak równieŜ inne ciekawe właściwości metamateriałów. Omówione zostały dotychczasowe osiągnięcia w dziedzinie zwanej niekiedy „nową optyką”. Podstawy fizyczne dotyczące zjawiska ujemnego załamania oraz sposób rozumowania, który doprowadził Veselago do przełomowych wniosków, przedstawione zostały w rozdziale I. Rozdział II stanowi przegląd technologii wytwarzania metamateriałów począwszy od pierwszych prób uzyskania takiego ośrodka, aŜ do stworzonego w tym miesiącu metamateriału dla zakresu optycznego. Szereg prób doświadczalnej weryfikacji właściwości projektowanych ośrodków, z których te najbardziej udane i o kluczowym znaczeniu dla historii zjawiska ujemnego załamania zebrane zostały w rozdziale III, otworzył drogę do dyskusji na temat potencjalnych zastosowań sztucznych ośrodków w Ŝyciu mniej lub bardziej codziennym (rozdział IV). Rozdział V zawiera wyprowadzenie analitycznych wzorów Fresnela na współczynniki transmitancji i reflektancji dla dwóch warstwowych układów zawierających elementy ujemne oraz opis zachowania się fali EM na granicy ośrodka dodatniego i ujemnego wraz ze schematem polaryzacji poszczególnych składowych fali. 4 Wykaz waŜniejszych oznaczeń i skrótów Skróty LHM – Left-Handed Material; ośrodek „ujemny”; RHM – Right-Handed Material, ośrodek „dodatni”; ALMW – Array of Long Metallic Wires, tablica długich drutów metalicznych; SRR – Split-Ring Resonators, rozszczepione rezonatory kołowe; CSRR – Crossed Split-Ring Resonators, skrzyŜowane rozszczepione rezonatory kołowe; fala EM – fala elektromagnetyczna; Oznaczenia r E – wektor natęŜenia pola elektrycznego; r H – wektor natęŜenia pola magnetycznego; r D – wektor indukcji elektrycznej; r B – wektor indukcji magnetycznej; r S – wektor Poyntinga; r k – wektor falowy; ε0 – przenikalność elektryczna próŜni; µ0 – przenikalność magnetyczna próŜni; εr – względna przenikalność elektryczna ośrodka; µr – względna przenikalność magnetyczna ośrodka; n – współczynnik załamania światła; ω – częstość fali elektromagnetycznej; f – częstotliwość fali elektromagnetycznej; c – prędkość światła w próŜni; v ( f ) – prędkość fazowa fali; v ( g ) – prędkość grupowa fali; d – grubość warstwy; rs, rp – amplitudowe współczynniki odbicia dla polaryzacji s i p; ts, tp – amplitudowe współczynniki transmisji dla polaryzacji s i p; Γ – macierz charakterystyczna ośrodka; P – macierz propagacji fali w warstwie dielektrycznej; D – macierz transmisji fali na granicy ośrodków dielektrycznych; τ – ślad macierzy 2 x 2; σ – antyślad diagonalny macierzy 2 x 2; ς – antysymetryczny antyślad niediagonalny macierzy 2 x 2; η – symetryczny antyślad niediagonalny macierzy 2 x 2; ΦD – strumień indukcji elektrycznej; ΦB – strumień indukcji magnetycznej; j – wektor gęstości prądu. 5 I Wprowadzenie W ostatnich kilku latach moŜna zauwaŜyć znaczny wzrost zainteresowania nieznanym dotąd zjawiskiem tak zwanego ujemnego załamania światła. Za inicjatora tej tendencji powszechnie uwaŜa się rosyjskiego fizyka Victora Veselago, jednakŜe zjawisko to było przedmiotem zainteresowania naukowców o wiele wcześniej, bo juŜ na początku XX wieku [1]. Veselago jednak był pierwszym, który swoje przewidywania wyraził otwarcie dodatkowo popierając je spójnym i pełnym uzasadnieniem oczekiwanych zjawisk. W 1967 roku1 Victor Veselago w jednej ze swoich publikacji [1], [2] rozwaŜał jak zachowywałaby się fala świetlna padająca na wyimaginowany ośrodek charakteryzujący się obiema jednocześnie ujemnymi przenikalnościami – elektryczną i magnetyczną. Rok później praca ta przetłumaczona została na język angielski [4]. Veselago rozwaŜania swe oparł na wnikliwej analizie równań Maxwella, dzięki czemu odkrył nowe i nieoczekiwane ich właściwości. Konsekwencją tego była teza o istnieniu nowej grupy materiałów charakteryzujących się nieznanymi dotychczas właściwościami, które radykalnie zmieniłyby wiele dobrze znanych – jak się wydawało – zjawisk. Przez wiele lat temat ten nie był poruszany z uwagi na swój jedynie teoretyczny charakter i brak praktycznych moŜliwości realizacji takiego ośrodka. Jednak od końca XX wieku, kiedy J.B.Pendry i in. po raz pierwszy opisali obiecujące zastosowania hipotezy Veselago [5]−[7], zjawisko tak zwanego ujemnego załamania nieodmiennie skupia uwagę świata naukowego. Niniejszy rozdział zawiera obszerne omówienie teorii wysuniętej przez Victora Veselago. Podkreślone zostały podstawowe róŜnice między materiałami „dodatnimi” i „ujemnymi”. 1 W większości publikacji wymieniany jest jednak błędnie rok 1968 jako data pierwszej publikacji Victora Veselago na ten temat. Obie prace (w języku rosyjskim z roku 1967 jak i w języku angielskim z roku 1968) dostępne są na stronie autora [3]. 6 I.1 Ukryte właściwości równań Maxwella Podstawowymi równaniami elektrodynamiki są równania zaprezentowane w 1873 r. przez szkockiego matematyka i fizyka Jamesa Clerka Maxwella [8]−[10]. Celem Maxwella było przedstawienie zjawiska elektromagnetyzmu w jak najprostszy i jednolity sposób. Równania te – znane dziś jako równania Maxwella – mają następujące postacie2 Postać róŜniczkowa Postać całkowa r Sens fizyczny r r ∇ ⋅ D = ρV ε 0 ∫ E ⋅ d s = ∫ ρV ⋅ dV = Q Prawo Gaussa dla elektryczności – r r ∂ B ∇×E = − ∂ t r r dΦ B d E ⋅ l = − ∫ dt L źródłem pola elektrycznego są ładunki S r ∇×B = 0 r r B ∫ ⋅ ds = 0 r r r ∂D ∇×H = j + ∂t ∫ B ⋅ d l = µ 0 ε 0 S r r L dΦ E +I dt Prawo indukcji Faradaya – zmienne w czasie pole magnetyczne wytwarza wirowe pole elektryczne Prawo Gaussa dla magnetyzmu – pole magnetyczne jest bezźródłowe, linie pola magnetycznego są zamknięte Prawo Ampere’a–Maxwella – zmienne pole elektryczne oraz przepływający prąd wytwarzają wirowe pole magnetyczne Dodatkowo, równania materiałowe mają postać r r r D = εE = ε 0 ε r E , r r r B = µH = µ 0 µ r H . (1.1) (1.2) Na granicy dwóch ośrodków fala elektromagnetyczna musi spełniać następujące warunki r ciągłości składowych stycznych wektorów natęŜenia pola elektrycznego E r r i magnetycznego H i składowych normalnych wektorów indukcji elektrycznej D (1.1) r i magnetycznej B (1.2): D1 ⊥ = ε 1 E1 ⊥ = ε 2 E 2 ⊥ = D2 ⊥ B1 = B2 ⊥ ⊥ E1 = E 2 || || || H1 = || B1 µ1 = B2 || µ2 (1.3) = H2 || gdzie E1⊥ , E 2⊥ , D1⊥ , D2⊥ to składowe wektora natęŜenia i indukcji pola elektrycznego normalne do kierunku propagacji fali elektromagnetycznej odpowiednio dla ośrodka 1 i 2, analogicznie B1⊥ , B2⊥ – składowe prostopadłe wektora indukcji magnetycznej, zaś E1|| , E 2|| , B1|| , B2|| , H 1|| , H 2|| – składowe styczne. 2 Spis uŜywanych w pracy oznaczeń znajduje się na stronie 5. 7 Victor Veselago [4] zauwaŜył dwa dodatkowe rozwiązania znanej równości opisującej związek współczynnika załamania ośrodka i jego przenikalności elektrycznej i magnetycznej n2 = ε r ⋅ µr . (1.4) Dopuszczając wartości zespolone, uzyskał cztery moŜliwe pierwiastki powyŜszego równania n = + ε r ⋅ µr n = + (−ε r ) ⋅ (− µ r ) , n = − ε r ⋅ µr , n = − (−ε r ) ⋅ (−µ r ) (1.5) Aby sprawdzić, które z powyŜszych moŜliwości są dopuszczalne, Vesalago rozpatrzył równania Maxwella dla monochromatycznej fali płaskiej o postaci rr r r E = E0 ⋅ ei⋅(k⋅r −ω⋅t ) , rr r r B = B 0 ⋅ ei⋅(k⋅r −ω⋅t ) . (1.6) (1.7) Równania Maxwella dla takiej fali prowadzą do równości r r r k × E = µ0 ⋅ µr ⋅ ω ⋅ H , r r r k × H = −ε 0 ⋅ ε r ⋅ ω ⋅ E , (1.8) (1.9) r r gdzie E – wektor natęŜenia pola elektrycznego, H – wektor natęŜenia pola r r magnetycznego, k̂ – wersor na kierunek k , k – wektor falowy r n ⋅ω k= ⋅ kˆ c (1.10) Uwzględniając wzór (1.10) otrzymujemy następujące równania: r n ⋅ω ˆ r ⋅ k × E = µ0 ⋅ µr ⋅ ω ⋅ H , c r n ⋅ω ˆ r ⋅ k × H = −ε 0 ⋅ ε r ⋅ ω ⋅ E , c (1.11) (1.12) z których wynikają następujące cztery moŜliwe rozwiązania: • • jeŜeli µ r > 0 , to n > 0 ; jeŜeli µ r < 0 , to n < 0 ; 8 • jeŜeli ε r > 0 , to n > 0 ; • jeŜeli ε r < 0 , to n < 0 . Następnie zestawiając wszystkie przypadki otrzymujemy tylko dwie moŜliwości zgodne z równaniami Maxwella i nie zmieniające ich postaci: • • gdy µ r > 0 i ε r > 0 , to n > 0 gdy µ r < 0 i ε r < 0 , to n < 0 (1.13) (1.14) Oznacza to, iŜ równania Maxwella dopuszczają dwa spośród przytoczonych wcześniej zespolonych równań na bezwzględny współczynnik załamania ośrodka n = + ε r ⋅ µr , (1.15) n = − (−ε r ) ⋅ (− µ r ) . (1.16) Pierwsza z powyŜszych zaleŜności (1.15) odpowiada ośrodkowi określanemu przez Veselago mianem prawoskrętnego, zaś druga (1.16) tak zwanemu ośrodkowi lewoskrętnemu. Opisywane tu materiały, ze względu na swoją krótką historię, nie mają jeszcze jednoznacznie ustalonej nazwy. W głównych pozycjach literaturowych [4] zauwaŜyć moŜna pewną dowolność w tej kwestii. Ośrodki charakteryzujące ujemne załamanie nazywane są na przykład materiałami lewoskrętnymi3, jednak określenie to zostało juŜ uŜyte w opisie ośrodków chiralnych [12]. Innym zaproponowanym terminem jest materiał wsteczny4 uŜyty przez Lindell’a i in. [13], jednak termin ten z góry narzuca definicję kierunku wstecznego oraz stwarza problemy przy opisie innych niŜ płaskie czoła fali. Ziółkowski i Heyman w swojej pracy [14] uŜywają określenia materiał podwójnie ujemny 5 , które wyraźnie sugeruje jednoczesną ujemność rzeczywistych składowych przenikalności elektrycznej i magnetycznej, jednak nie podkreśla dostatecznie znaczenia efektów rozpraszania. Kolejnymi spotykanymi w wielu publikacjach terminami są materiał o ujemnym współczynniku załamania6 oraz materiał o ujemnej prędkości fazowej7, które są dość trafnymi nazwami dla tego typu ośrodków. W tej pracy uŜyte zostały dwa ostatnie określenia, jak równieŜ ośrodek „dodatni” oraz ośrodek „ujemny” intuicyjnie odnoszące się do dodatniego i ujemnego kąta załamania w omawianych ośrodkach. Ponadto naleŜy mieć na uwadze, iŜ uŜywane tu określenie metamateriał domyślnie oznacza sztuczny materiał ujemnie załamujący fale elektromagnetyczne. 3 LHM (left-handed medium) BW (backward medium) 5 DNG (double negative medium) 6 NIM (negative index medium) 7 NPV (negative phase-velocity medium) 4 9 I.2 Ośrodek „dodatni” Ośrodki, których współczynnik załamania opisać moŜna wzorem (1.15), zwane przez Veselago ośrodkami prawoskrętnymi, stanowią dobrze poznaną grupę powszechnie istniejących materiałów. Propagacja fal elektromagnetycznych przez takie ośrodki jest przedmiotem zainteresowania między innymi optyki czy akustyki i została juŜ wielokrotnie i wyczerpująco omówiona [8]−[10], [15]. Zachowanie fali EM w takim r r r ośrodku określają prawa odbicia i załamania [10], zaś wektory E , H i k opisujące falę tworzą prawoskrętną trójkę (Rys. 3). Szybkość, z jaką fala elektromagnetyczna przemieszcza się w przestrzeni określić moŜna mierząc jak zmienia się połoŜenie pewnego jej fragmentu, czyli jak szybko w ośrodku przemieszcza się jej faza [10]. Mówimy wtedy o prędkości fazowej fali v ( f ) i taki opis dobrze sprawdza się w przypadku fali monochromatycznej. JeŜeli mamy do czynienia z falą modulowaną – jaką jest rzeczywista fala elektromagnetyczna – złoŜoną z kilku sinusoidalnych fal składowych o róŜnej częstotliwości, to prędkość propagacji energii moŜe być inna niŜ prędkość fazowa fal składowych. Wtedy mówimy o prędkości przemieszczania się obwiedni lub paczek falowych, czyli o prędkości grupowej fali v ( g ) (Rys. 1). Rys. 1 Dwie fale sinusoidalne y1 i y2 o zbliŜonych częstotliwościach i długościach fal oraz obwiednia ich sumy (linia przerywana) rozchodzi się z prędkością grupową [16]. Prędkość fazową moŜna opisać zaleŜnością v( f ) = ω k =λ⋅ f =ω λ . 2π (1.17) PoniewaŜ dla fal elektromagnetycznych częstość ω zaleŜna jest od wektora falowego (długości fali) ω (k ) = ck , n( k ) (1.18) 10 więc prędkość fazowa wyraŜa się jako v( f ) = c , n(k ) (1.19) gdzie n(k ) jest współczynnikiem załamania dla danej liczby falowej k = 2π λ . Analizując wzór (1.19) moŜna zauwaŜyć, Ŝe gdy n<1 prędkość fazowa moŜe przekroczyć prędkość światła. Nie oznacza to jednak moŜliwości przekazu informacji z prędkością większą niŜ prędkość światła8. Szybkość przepływu informacji określa prędkość grupowa, rozumiana jako prędkość przemieszczania się fali modulowanej. Jako Ŝe prędkość grupowa zawiera w sobie informację o tempie transportu energii, więc z punktu widzenia dynamiki ma ona większe znaczenie niŜ prędkość fazowa. Prędkość grupową określa równanie v(g) = ∂ω = ∂k c n +ω ∂n ∂ω (1.20) i jest ona mniejsza od prędkości światła c , czyli teoria względności nie zostaje naruszona. ∂n >> 1 . Mówimy ∂ω wówczas o świetle spowolnionym, co jest zagadnieniem intensywnie badanym w ostatnich latach [17]. Prędkość grupowa moŜe osiągać małe wartości v ( g ) << c dla ω Poglądowe symulacje dotyczące prędkości grupowej i fazowej zamieszczone są w Internecie na stronach [18]−[20]. 8 Fala sinusoidalna ma z góry ustaloną postać na początku i na końcu kanału transmisyjnego, więc nie moŜna w niej zawrzeć Ŝadnej informacji [16]. 11 I.3 Ośrodek „ujemny” Materiał zaproponowany w 1967 r. przez Vesalago [1] był fikcją naukową – charakteryzował się ujemnym współczynnikiem załamania. Cecha ta powoduje, Ŝe faza fali przechodzącej przez taki ośrodek zmniejsza się zamiast zwiększać, jak to się dzieje w ośrodkach prawoskrętnych. Vesalago podkreślał, Ŝe ta podstawowa róŜnica między ośrodkami prawoskrętnymi i lewoskrętnymi ma decydujący wpływ na niemalŜe wszystkie zjawiska elektromagnetyczne. Wiele niespotykanych dotąd dla ośrodków prawoskrętnych efektów badanych jest do dziś [21]. Najłatwiej zauwaŜalnym efektem, wynikającym z ujemnej wartości współczynnika załamania, jest zmiana kąta ugięcia się fali załamanej na granicy ośrodków o przeciwnych znakach współczynnika załamania – doznaje ona ugięcia po tej samej stronie normalnej (Rys. 2). JeŜeli wartości współczynnika załamania obu materiałów są jednakowe, fala załamana moŜe nie być w ogóle obecna [22]. OP nP > 0 OL nL < 0 VL(f) L P Vp(f) VL(g) Vp(g) Rys. 2 Załamanie fali elektromagnetycznej na granicy ośrodka prawo- i lewoskrętnego. JeŜeli porównamy przytoczone wcześniej równania Maxwella (1.11) i (1.12) dla ośrodka prawoskrętnego, któremu odpowiada dodatnia wartość współczynnika załamania (1.15) oraz dla ośrodka lewoskrętnego o ujemnym współczynniku (1.16), odkryjemy podstawową róŜnicę między tymi ośrodkami. 12 Analizując równania (1.11) i (1.12) dla pierwszej z dopuszczonych moŜliwości (1.13), gdzie wszystkie parametry są większe od zera, postać przytoczonych równań nie zmienia się. Po opuszczeniu wartości skalarnych, moŜna zapisać r r kˆ × E = H , r r kˆ × H = E , (1.21) (1.22) co zgodnie z właściwościami iloczynu wektorowego (Dodatek A) oznacza prawoskrętność r r r trójki wektorów E , H i k jak zostało to pokazane na Rys. 3. Rys. 3 Wzajemne połoŜenie wektorów natęŜenia pola elektrycznego, magnetycznego, wektora falowego oraz wektora Poyntinga w ośrodkach „dodatnich”. JeŜeli natomiast weźmiemy pod uwagę drugą moŜliwość (1.14), gdzie wszystkie parametry są mniejsze od zera, równania (1.11) i (1.12) przyjmą postać r − n ⋅ω ˆ r ⋅ k × E = µ 0 ⋅ (− µ r ) ⋅ ω ⋅ H , c r ( − n) ⋅ ω ˆ r ⋅ k × H = −ε 0 ⋅ (−ε r ) ⋅ ω ⋅ E . c (1.23) (1.24) Analogicznie po opuszczeniu wartości skalarnych zapisać moŜna jako r r kˆ × E = H , r r kˆ × H = −E . (1.25) (1.26) Zgodnie ze wspomnianymi juŜ właściwościami iloczynu wektorowego odpowiada r r r to lewoskrętnej trójce wektorów E , H i k (Rys. 4). 13 Rys. 4 Wzajemne połoŜenie wektorów natęŜenia pola elektrycznego, magnetycznego, wektora falowego oraz wektora Poyntinga w ośrodkach „ujemnych”. Wektor Poyntinga, definiowany jest za pomocą iloczynu wektorowego r 1 r r r r S= E× B = E× H , µ0 (1.27) r r r gdzie E , B i H są chwilowymi wartościami pola elektromagnetycznego w danym punkcie. Po raz pierwszy wprowadzony został przez Johna Henry’ego Poyntinga [8]-[10] i określa kierunek transportu energii przez falę elektromagnetyczną. Jednostką wektora J Poyntinga w układzie SI jest 2 . Za jego pomocą opisać moŜna szybkość przepływu m s energii płaskiej fali elektromagnetycznej przez jednostkową powierzchnię. Jak widać r na Rys. 3, w ośrodku dodatnim kierunek i zwrot wektora Poyntinga S są takie same r jak wektora falowego k , co oznacza Ŝe energia propaguje się zgodnie z kierunkiem r r rozchodzenia się fali. W ośrodku ujemnym (Rys. 4) kierunki wektorów S i k są zgodne, ale ich zwroty przeciwne, co oznacza wsteczną propagację energii fali. Fakt ten stanowi kolejną istotną róŜnicą między ośrodkiem dodatnim i ujemnym. Fala taka określana jest mianem fali wstecznej9 i zjawisko to opisywał juŜ poczynając od roku 1904 H.Lamb [23], A.Schuster [24], H.C.Pocklington [25], L.I.Mandel’shtam [26], [27] oraz D.V.Sivukhin [28]. Jak zostało powyŜej zaznaczone, za przenoszenie informacji w fali odpowiada prędkość grupowa, zatem jej zwrot wskazuje kierunek propagacji energii przy przejściu fali EM przez granicę ośrodków dodatniego i ujemnego. Energia w takim układzie propaguje się tak samo jak w przypadku układu zbudowanego tylko z materiałów dodatnich, zatem zwrot prędkości grupowej przy przejściu przez granicę ośrodków nie (g) (f) zmienia się. Prędkość grupowa v1 i prędkość fazowa v1 w ośrodku lewoskrętnym (izotropowym) są równe co do wartości, lecz antyrównoległe. Przechodząc z ośrodka dodatniego do ujemnego prędkość fazowa zmienia zwrot na przeciwny (Rys. 2). 9 BW – backward wave 14 II Wytwarzanie metamateriałów Rozdział stanowi podsumowanie dotychczasowych dokonań naukowych dotyczących metod wytwarzania metamateriałów o ujemnym współczynniku załamania począwszy od pierwszych prób budowy kompozytów o moŜliwych do projektowania właściwościach fizycznych aŜ do najnowszych publikacji związanych z tematem pracy. Omówiono dające się zauwaŜyć analogie pomiędzy ośrodkami naturalnymi a metamateriałami oraz ewolucję struktury przestrzennej wytwarzanych kompozytów pozwalającą na rozszerzenie operacyjnego zakresu częstotliwości aŜ do zakresu optycznego. W naturalnych materiałach dielektrycznych lokalne (mikroskopowe) oddziaływania elektromagnetyczne między tworzącymi je atomami i cząstkami powodują efekty na większą (makroskopową) skalę w postaci parametrów materiałowych znanych jako przenikalność elektryczna i przenikalność magnetyczna. Aby parametry te miały znaczenie praktyczne, wykluczone musi być zjawisko dyfrakcji fali EM na strukturze materiału, co sprowadza się do warunku d >> λ , gdzie d to wymiary elementarnej komórki tworzącej sieć krystaliczną danego materiału. Dla naturalnych dielektryków i fali z zakresu widzialnego warunek ten jest spełniony, bowiem długość fali świetlnej jest o wiele rzędów większa od rozmiaru atomu i komórki elementarnej. JeŜeli rozwaŜymy jednak przypadek promieniowania rentgenowskiego, którego λ ≈ d 10, obserwować będziemy efekty dyfrakcyjne. Początkowo wytworzenie jakiegokolwiek sztucznego materiału mogącego symulować materiał naturalny wydawało się nieosiągalne właśnie ze względu na skalę, jaką naleŜy osiągnąć, aby wyeliminować dyfrakcję światła. JeŜeli jednak uŜyjemy promieniowania z zakresu mikrofalowego, których długość fali jest rzędu centymetrów, stworzenie sieci z komórek o rozmiarach mniejszych od długości takich fal nie jest juŜ abstrakcją. To właśnie miał na myśli Winston E. Kock wprowadzając po raz pierwszy w 1949 roku w swojej pracy [29] termin „sztuczny dielektryk”. Opisał on elektromagnetyczne struktury o moŜliwych praktycznie do wytworzenia rozmiarach, które naśladowałyby sposób oddziaływania naturalnych kryształów z promieniowaniem EM. Dwa lata wcześniej w swoich pracach [30], [31] Kock badał wielkogabarytowe anteny wykorzystujące układ płaskich soczewek metalicznych, początkowo nie zdając sobie sprawy z analogii zachodzących między jego metalicznymi soczewkami a naturalnymi dielektrykami. Kiedy jego późniejsze badania sztucznych dielektryków złoŜonych z komponentów o róŜnych kształtach wykazały liczne interakcje z promieniowaniem EM obserwowane w naturalnych kryształach – idea metamateriałów przestała być jedynie naukową fikcją. II.1 Pierwsze materiały o ujemnych parametrach Metamateriał jest to sztucznie wytworzony ośrodek, którego właściwości fizyczne wynikają nie tylko z rodzaju tworzących go elementów, ale głównie z jego struktury przestrzennej. Inspiracja metamateriałoznawców i technologów hipotezą Veselago [4] zaowocowała kilkoma propozycjami takich ośrodków [32]–[37]. Głównym załoŜeniem było podejście do kaŜdego materiału naturalnie występującego w przyrodzie jak do kompozytu złoŜonego z atomów i cząstek, których rodzaj i wzajemne ułoŜenie mają decydujący wpływ na elektromagnetyczne właściwości danego ośrodka i sztuczne 10 Dla kryształu NaCl długość boku komórki elementarnej wynosi 0.562737 nm zaś długość fali promieniowania X jest rzędu 0.1 nm – dla porównania światło Ŝółte ma długość fali równą 589 nm [16]. 15 wytworzenie analogicznego materiału tylko na większą skalę [7]. Struktura taka miałaby być zbudowana z powtarzających się komórek elementarnych (zwanych takŜe „fotonicznym atomem”) o rozmiarach znacznie mniejszych niŜ długość fali elektromagnetycznej, dzięki czemu moŜna by traktować ją jak materiał jednorodny oraz miała być bardzo lekka, dzięki uŜyciu drobnych i cienkich metalowych elementów. Jednymi z pierwszych propozycji były ośrodki wytworzone przy uŜyciu tablicy długich i cienkich drutów metalicznych11 [5], [6], której ε < 0 lub na bazie rozproszonych rezonatorów kołowych12 o bardzo wysokiej polaryzowalności magnetycznej [7], których µ < 0 (przy częstotliwościach z zakresu mikrofalowego). Zadaniem tak zaprojektowanych struktur miała być symulacja zachowania plazmy, w której upatrywano klucza do wytworzenia ujemnych przenikalności elektrycznej i magnetycznej. Powierzchniowy rezonans plazmowy Plazma jest czwartym stanem skupienia obok stałego, ciekłego i gazowego, w jakim moŜe znaleźć się materia [38]. W stan plazmy przechodzi gaz, jeŜeli zostanie podgrzany do temperatury tak wysokiej, Ŝe elektrony uwalniane są z orbit atomowych, czyli następuje jego jonizacja. Ten sam efekt uzyskać moŜna oddziałując bardzo duŜym polem elektrycznym lub zmiennym polem magnetycznym. Obecność w plazmie swobodnych ładunków elektrycznych jest przyczyną tego, Ŝe plazma jest stanem przewodzącym i silnie oddziałuje z polem elektromagnetycznym. Cechą charakterystyczną tego stanu jest funkcja przenikalności elektrycznej, która poniŜej pewnej częstotliwości zwanej częstotliwością plazmową, przyjmuje wartości ujemne, co skutkuje urojoną wartością stałej propagacji energii. Ta właściwość plazmy zaowocowała zainteresowaniem naukowców moŜliwością modelowania ujemnej wartości przenikalności elektrycznej w sztucznych dielektrykach wykorzystując zjawisko rezonansu plazmowego. Plazmon jest kwazicząstką powstałą w wyniku kwantyzacji drgań gęstości ładunku plazmy na powierzchni metalu. Plazmon powierzchniowy jest elektromagnetyczną falą powierzchniową, o polaryzacji typu p, propagującą się wzdłuŜ powierzchni styku dwóch materiałów, których stałe dielektryczne mają przeciwne znaki [10]. Związane z nią jest zanikające wykładniczo pole elektromagnetyczne prostopadłe do kierunku propagacji fali. Zmieniając kąt padania lub długość fali promieniowania, które są funkcją współczynnika załamania, moŜliwe jest wzbudzenie powierzchniowego rezonansu plazmowego13, czego rezultatem jest skokowy spadek intensywności promieniowania odbitego. Powierzchniowy rezonans plazmowy jest zjawiskiem fizycznym mogącym wystąpić, gdy płasko spolaryzowana fala elektromagnetyczna z zakresu widzialnego lub bliskiego ultrafioletu pada na powierzchnię metalu przy spełnionych warunkach całkowitego wewnętrznego odbicia [10]. Wtedy pomimo, iŜ padające promieniowanie jest całkowicie odbijane przez powierzchnię metalu, pole elektromagnetyczne fotonów powierzchniowych rozciąga się poza powierzchnię metalu na odległość około ¼ długości fali promieniowania. Materiały naturalne, na przykład metale, mogą zostać doprowadzone do stanu plazmy, jednak dla nich częstość plazmowa jest tak wysoka, Ŝe odpowiadające jej promieniowanie EM charakteryzuje się tak małą długością fali, Ŝe zbudowanie komórki o rozmiarach jeszcze od niej mniejszych jest właściwie niemoŜliwe. NaleŜało zatem 11 ALMW – Array of Thin Metallic Wires SRR – Split Ring Resonator 13 SPR – Surface Plasmon Resonance 12 16 znaleźć materiał, dla którego stan plazmy występuje przy niŜszej częstości. Zastosowanie tutaj znalazły opisane przez Kock’a sztuczne dielektryki [29], będące przedmiotem zainteresowania takŜe kilku innych prac naukowych [39]−[41]. Podsumowania historii dotyczącej rozwoju sztucznych dielektryków dostarcza praca [42]. Symulacji zachowań plazmowych przy uŜyciu sztucznych dielektryków jako jeden z pierwszych podjął się w 1962 roku Walter Rotman [43]. Efektem jego pracy był opis ośrodka dielektrycznego złoŜonego z drutów zorientowanych zgodnie z kierunkiem wektora falowego przyłoŜonego pola EM oraz ośrodek zbudowany z przewodzących pasków metalu. Analiza charakterystyk dyspersyjnych potwierdziła, iŜ taki ośrodek jest dobrą analogią plazmy. Rys. 5 Schematyczna ilustracja zjawiska powierzchniowego rezonansu plazmowego (na podstawie: [44], [45]). Plazmony powierzchniowe traktować moŜna jako powiązane oscylacje przy powierzchni metalu, których częstotliwość wyznaczona jest przez ε 1 (ω s ) + ε 2 (ω s ) = 0 , (2.1) gdzie ε 1 i ε 2 to funkcje dielektryczne na obu płaszczyznach oddziaływania metalu z promieniowaniem. JeŜeli pierwszym ośrodkiem jest próŜnia, a drugim metal i jeŜeli zaniedbamy rozpraszanie, to ωs = ωp 2 , (2.2) gdzie częstość plazmowa ω p potrzebna do wywołania tego rezonansu zwyczajowo leŜy w ultrafiolecie i ma postać ne 2 ω p2 = , (2.3) ε 0 me gdzie me − efektywna masą elektronu, zaś n to gęstość elektronów w pojedynczym drucie. 17 Częstość plazmowa nie zaleŜy od długości fali padającego promieniowania, więc cechą charakterystyczną oscylacji plazmowych jest nieskończona prędkość fazowa i zerowa prędkość grupowa. Plazmony mają znaczny wpływ na właściwości metalu i jego sposób oddziaływania z promieniowaniem elektromagnetycznym, gdyŜ przenikalność dielektryczna ε następująco zaleŜy od częstotliwości plazmowej ωp2 , ε (ω ) = 1 − ω (ω + iγ ) (2.4) gdzie γ to współczynnik rozpraszania energii plazmonu w układzie14. Przenikalność elektryczna takiej struktury jest silnie ujemna dla częstotliwości mniejszych niŜ plazmowa. II.2 Tablica długich drutów metalicznych W 1996 roku J.B.Pendry i in. [5], [6] zaproponowali sposób na przesunięcie częstotliwości rezonansowej aktywującej powierzchniowy rezonans plazmowy w metalach nawet o sześć rzędów wielkości (tj. w zakres GHz). Opisywany przez nich materiał składał się z bardzo cienkich drutów metalicznych o średnicy rzędu 1 µm zestawionych w periodyczną sieć kubiczną o stałej sieci a (Rys. 6). Struktura taka posiada właściwości nie zaobserwowane dotąd w paśmie GHz. PoniewaŜ druty metaliczne uŜyte do budowy tego materiału zajmowały znikomą część kaŜdej komórki elementarnej, sieć taka charakteryzowała się mniejszą koncentracją elektronów, co pozwoliło uzyskać przyrost efektywnej masy elektronu me . Rys. 6 Periodyczna struktura złoŜona z cienkich drutów metalicznych, połączonych na krawędziach i ułoŜonych w kubiczną sieć, (na podstawie: [5]) Równolegle zagadnienie periodycznych struktur sieci metalicznych badała inna grupa naukowców [46], jednak nie kładli oni szczególnego nacisku na rozmiary uŜywanych drutów metalicznych, co według Pendry’ego [5], [6] ma kluczowe znaczenie, bowiem tylko przy takim załoŜeniu, promieniowanie padające na badaną strukturę moŜe 14 Dla prostych metali jest on pomijalnie mały w porównaniu do częstości plazmowej ωp . 18 wnikać w nią wystarczająco głęboko i jednocześnie nie powodować zjawiska wzajemnej indukcji między poszczególnymi drutami. Periodyczne struktury elektromagnetyczne budowane na bazie dielektryków były kilkukrotnie juŜ opisywane [47]–[50]. Metale natomiast, ze względu na obecne w ich strukturze elektrony walencyjne umoŜliwiające sprawne przekazywanie energii, charakteryzują się specyficzną odpowiedzią na promieniowanie elektromagnetyczne, wiąŜącą się z występowaniem na ich powierzchni plazmowego rezonansu gazu elektronowego. Idealny metal opisać moŜna przy uŜyciu funkcji dielektrycznej ε ideal . = 1 − ω p2 ω2 , (2.5) wektor falowy i wynikająca z niego idealna zaleŜność dyspersyjna przedstawiona została na Rys. 7. PowyŜej częstotliwości plazmowej powstają dwa poprzeczne asymptotyczne mody, dla częstości równej częstości plazmowej występuje jeden mod podłuŜny, zaś poniŜej częstości plazmowej obecne są tylko zanikające mody związane z urojoną wartością wektora falowego i promieniowanie wnika w metal bardzo płytko. częstość (w jednostkach częstości plazmowej) Rys. 7 ZaleŜność dyspersyjna dla światła padającego na idealny metal. [6] Dla metalu rzeczywistego w zaleŜności (2.5) uwzględnić naleŜy uwzględnić tłumienie wynikające z rezystancji ε rzecz. ω p2 = 1− . ω (ω + iγ ) (2.6) W większości znanych metali (poza nadprzewodnikami) tłumienie przyjmuje znaczące wielkości dopiero w podczerwieni. Celem było wytworzenie kompozytowego materiału, który powieliłby charakterystyczne dla metali oddziaływanie z falą elektromagnetyczną, ale dla zakresu GHz. Pendry rozpatrzył propagację promieniowania wzdłuŜ oś OZ i za aktywne uznał tylko druty do niej równoległe. 19 r a Rys. 8 Tablica cienkich drutów metalicznych równoległych do osi z i uporządkowanych w kwadratową sieć w płaszczyźnie x-y (na podstawie [6]) W takim układzie tylko część przestrzeni wypełniona jest metalem, więc efektywna gęstość elektronów jest mniejsza niŜ w metalu jednorodnym i wynosi nef = n π r2 a2 , (2.7) gdzie n – gęstość elektronów w pojedynczym drucie, r – promień drutu, a – stała siatki. Dominujące znaczenie ma fakt, Ŝe samoindukcja drutów zaleŜy takŜe od ich wzajemnego ułoŜenia przestrzennego i maleje logarytmicznie wraz z odległością od osi drutu. NatęŜenie pola magnetycznego wokół kaŜdego drutu w zaleŜności od odległości R od jego osi opisać moŜna zaleŜnością H( R) = I 2πR = π r 2 nve , 2πR (2.8) gdzie I to natęŜenie prądu płynącego przez drut, zaś v to średnia prędkość ruchu elektronów. Wektorowo pole magnetyczne wokół drutu moŜna opisać jako H ( R ) = µ 0−1 ∇ × A( R ) , (2.9) gdzie A to magnetyczny potencjał wektorowy (Dodatek B) równy µ 0π r 2 ve a A( R ) = ln . 2π R (2.10) 20 Biorąc pod uwagę dodatkowy wkład elektronów w polu magnetycznym do ich momentu wektorowego, moment na jednostkę długości drutu wynosi ( ) 2 µ0 e 2 π r 2 n v a eπ r nA(r ) = ln = mef π r 2v , 2π r 2 (2.11) gdzie mef jest masą efektywną elektronów daną zaleŜnością µ 0 e 2π r 2 n a mef = ln . 2π r (2.12) Masa efektywna elektronów w badanej przez Pendry’ego strukturze była równa mef = 2,4808 × 10 −26 kg = 2,7233 × 10 4 ⋅ me = 14,83 ⋅ m p gdzie me jest masą elektronu a m p masą protonu. Tak duŜa masa efektywna miała wpływ na zmianę wartości częstości plazmowej ω p2 = nef e 2 ε 0 mef = 2π c 02 a ln (a r ) 2 = 5,15 × 1010 rad ⋅ s −1 = 8,20 GHz (2.13) Realizacja geometryczna badanej struktury przedstawiona została na Rys. 9. Ze względu na łatwość wytworzenia i cenę, model Pendry’ego składał się ze skrzyŜowanych pod kątem 90º arkuszy polistyrenowych, rozsuniętych na odległość 3 mm, wypełnionych cienkimi, powleczonymi złotem, wolframowymi drutami o średnicy 20 µm. Rys. 9 Realizacja geometryczna struktury o ujemnej przenikalności elektrycznej [6]. Na podstawie równania (2.13) wyjaśnić moŜna dlaczego kluczowe znaczenie w rozumowaniu Pendry’ego odgrywały małe rozmiary poprzeczne drutów. Gdyby druty nie były cienkie, czynnik ln(a r ) byłby bliski 1. Wtedy długość fali w próŜni przy częstotliwości plazmowej wynosiłaby λ0 p 2π c02 = 2π = 2π c 0 2 a ln (a r ) ωp c0 −1 2 ≈ a 2π , 21 2 ln(a r ) . Zatem 3π gdyby druty tworzące badany materiał nie miały małego promienia, długość fali λ0 p byłaby rzędu stałej siatki i pojawiłyby się efekty dyfrakcyjne, zaś promieniowanie bardzo płytko wnikałoby do struktury. zaś głębokość penetracji promieniowania w strukturę byłaby równa a Eksperyment potwierdził przewidywane właściwości trójwymiarowych struktur zbudowanych z cienkich drutów metalicznych. Warunkiem koniecznym okazały się odpowiednie wymiary drutów, które muszą być wystarczająco długie i cienkie. Taka geometria struktury zaproponowanej przez Pendry’ego [6] pozwoliła na obniŜenie częstości plazmowej. 22 II.3 Rozproszone rezonatory kołowe Przedstawiając hipotezę dotyczącą ujemnego załamania fali EM Veselago [2] zdawał sobie sprawę z tego, Ŝe uzyskanie ujemnej przenikalności magnetycznej będzie stwarzało więcej trudności niŜ uzyskanie ujemnej przenikalności elektrycznej, czego główną przyczyną jest brak dowodów na istnienie elementarnej cząstki magnetycznej – monopolu magnetycznego. Jednak w 1999 roku Pendry i inni [7] opisali sztuczne ośrodki o niezwykłych właściwościach magnetycznych. Zaprezentowany przez Pendry’ego posiadał pojemność, która wraz z naturalnie występującą indukcją wynikającą ze struktury przestrzennej uŜytych pierścieni, dała efekt w postaci odpowiedzi rezonansowej opisanej przez efektywną przenikalność magnetyczną πr 2 µ eff = 1 − a2 2ljρ 3l − 2 1− ωrµ 0 π µ 0ω 2 Cr 3 , (2.14) gdzie r – promień pierścienia uŜytego w SRR, a – odległość między osiami sąsiadujących SRR leŜących w jednej płaszczyźnie, l – odległość między płaszczyznami, ρ – oporność metalu, C – pojemność pomiędzy dwoma płaszczyznami metalu. Z równania (2.14) wynika, Ŝe materiał złoŜony z tablic SRR charakteryzowałby się ujemną przenikalnością magnetyczną dla częstości bliskich rezonansowym i ograniczony byłby tylko rezystywnością uŜytego metalu. Częstość rezonansowa wyraŜa się wzorem ω0 = 3l π µ 0 Cr 3 (2.15) 2 . JeŜeli załoŜymy, Ŝe ρ → 0 , to ze wzoru (2.14) wynika, Ŝe ujemne wartości µ eff przyjmie wówczas, gdy drugi czynnik w mianowniku będzie większy od 1, co odpowiada częstości plazmowej wyraŜonej jako 3l ω mp = πr 2 (2.16) π 2 µ 0 Cr 3 1 − 2 a , gdzie π r2 a2 przez SRR. = F to współczynnik wypełnienia informujący o stopniu wypełnienia komórki Umieszczone w powietrzu tablice SRR mają pasmo zabronione w pobliŜu zakresu częstości pomiędzy ω 0 a ω mp co sugerować moŜe, Ŝe w tym zakresie przenikalność magnetyczna przyjmuje wartości ujemne. Jest to zjawisko wąskopasmowe, jednak moŜna częstość plazmową umieścić w obszarze GHz, powodując tym samym rozszerzenie wspomnianego wyŜej zakresu. 23 Typowe rozproszone rezonatory kołowe (SRR) formowane są z pary przewodzących pierścieni nadrukowanych na dielektryku (Rys. 10). Mechanizm powstawania ujemnej przenikalności magnetycznej jest następujący: zmienne w czasie pole magnetyczne przyłoŜone wzdłuŜ osi pierścienia indukuje przepływ prądu, który w zaleŜności od oporności pierścienia wytwarza przeciwne pole magnetyczne wzmacniające lub przeciwdziałające polu indukującemu [51]. Pierścienie tworzące SRR posiadają przerwy, dzięki czemu rezonans moŜe zostać osiągnięty przy uŜyciu długości fali wielokrotnie przekraczających średnicę pierścieni (typowe wymiary pierścieni to około jedna dziesiąta długości fali padającego promieniowania). Celem takiej geometrii układu jest generacja moŜliwie największej pojemności magnetycznej w małej przestrzeni pomiędzy pierścieniami, co pozwala znacząco obniŜyć częstotliwość rezonansu i skoncentrować pole elektryczne w obszarze SRR [32]. Rys. 10 Pojedynczy rozszczepiony rezonator kołowy zbudowany z dwóch niepełnych pierścieni. Przerwy w pierścieniach zorientowane są przeciwnie. Odpowiedź SRR bezpośrednio zaleŜy od oddziałującego na pierścienie pola magnetycznego [52]. Pole elektryczne takŜe moŜe mieć swój wkład do rezonansu, ale zaleŜy on od jego orientacji względem przerw w pierścieniach tworzących SRR. Wynika z tego, iŜ SRR jest w ogólności strukturą anizotropową, a w celu wytworzenia jednorodnego izotropowego metamateriału, struktury SRR często formowane są w kubiczne sieci, jak pokazane to zostało na Rys. 11. Rys. 11 Sześcienna sieć złoŜona z SRR. 24 Olivier J.F. Martin opisał pokrewne struktury SRR o lepszych właściwościach magnetycznych [52]. Strukturą magnetyczną wykazującą jeszcze większą izotropię są skrzyŜowane rozszczepione rezonatory kołowe (CSRR)15 zbudowane z dwóch prostopadle ustawionych SRR. KaŜdy rozszczepiony rezonator kołowy zbudowany jest z dwóch aluminiowych pierścieni o średnicy 15 mm i 20 mm, osadzonych na słabo przewodzącej piance. Zmierzona odpowiedź elektromagnetyczna CSRR okazała się być idealnie izotropowa w płaszczyźnie poziomej niezaleŜnie od obrotu wokół osi badanej struktury [52]. Olivier J.F. Martin zasymulował numerycznie trzy róŜne typy geometrii CSRR dla dwóch skrzyŜowanych elementów SRR Rys. 12 oraz dwa typy geometrii CSRR dla trzech skrzyŜowanych elementów SRR Rys. 13. Rys. 12 Trzy typy geometrii podwójnego CSRR: (a) przerwy dwóch skrzyŜowanych SRR umieszczone są na tym samym biegunie CSRR; (b) na biegunach przeciwnych; (c) obrócone o 45o kaŜda w przeciwne strony Izotropią w płaszczyźnie XY wykazały się struktury CSRR (a) i (b) przedstawione na Rys. 12, zaś struktura (c) jest izotropowa tylko dla pewnych kierunków propagacji i nie kaŜdy kierunek propagacji jest w stanie w ogóle wywołać jej rezonans. Przyczyną są róŜnice w rozmieszczeniu przerw w pierścieniach tworzących struktury SRR – dla (a) i (b) ulokowane są one tak, Ŝe przepływ ładunku nie jest zaburzony, w przypadku (c) następuje zwarcie. Rys. 13 Dwa typy geometrii potrójnego CRSS: (a) z trzech identycznych elementów SRR wzajemnie prostopadłych; (b) z trzech elementów SRR o róŜnych rozmiarach. Potrójne CSRR charakteryzuje idealna izotropia w trzech wymiarach (niezaleŜnie od kierunku padania fali elektromagnetycznej) dla geometrii przedstawionej na Rys. 13 (b), ale w przypadku (a) kaŜda ze struktur SRR jest zwarta przez pozostałe dwie. 15 CSRR – Crossed Split Ring Resonators 25 II.4 Pierwszy ośrodek o ujemnym współczynniku załamania Pierwszy metamateriał ujemnie załamujący fale EM zaproponowany został przez D.R.Smith’a [32]−[35]. Materiał miał postać trójwymiarowej tablicy zbudowanej z komórek zawierających rozproszone rezonatory kołowe [6] i cienkie druty metaliczne [7] (Rys. 14). Opisane struktury wykorzystują rozproszone rezonatory kołowe do wytworzenia ujemnej przenikalności magnetycznej i drutów metalicznych do wytworzenia ujemnej przenikalności elektrycznej w pewnych – częściowo pokrywających się – pasmach częstotliwości. W ten sposób otrzymano okno częstotliwości, gdzie przenikalności magnetyczna µ i elektryczna ε są jednocześnie ujemne. UŜyte przez Smitha rozproszone rezonatory miały postać dwóch kwadratowych miedzianych pierścieni grubości c = 0,25 mm z przerwą równą g = 0,46 mm, odległych od siebie o d = 0,3 mm. Zewnętrzny wymiar pojedynczego SRR wynosił w = 2,62 mm, a uŜyte druty metaliczne miały długość 1 cm. Komórka elementarna zbudowana była ze skrzyŜowanych, osadzonych na podłoŜu krzemowym sześciu rozproszonych rezonatorów kołowych (SRR) i dwóch cienkich drutów metalicznych (ALMW). Rys. 14 (a) pojedynczy rezonator kołowy (SRR); (b) komórka elementarna metamateriału o stałej siatki 0,5 cm [35]. Dla takiego materiału Smith uŜył następujących wzorów opisujących przenikalności µ eff (ω ) = 1 − F ⋅ ω 02 , ω 2 − ω 02 − jωγ ε eff (ω ) = 1 − ω ep2 ω2 . (2.17) (2.18) W oparciu o powyŜsze równania zostało udowodnione [53], Ŝe taki ośrodek osadzony w próŜni posiada analogię w postaci modelu opartego na linii transmisyjnej z elementami indukcyjnymi L, pojemnościowymi C i rezystancyjnymi (Rys. 15). 26 Rys. 15 Model linii transmisyjnych dla ośrodka zbudowanego z komórek elementarnych zawierających cienkie druty metaliczne i rozszczepione rezonatory kołowe [65]. Odkrycie tego ośrodka było przełomem w historii metamateriałów. Po weryfikacji eksperymentalnej [54], która potwierdziła oczekiwania (taki materiał posiada ujemny współczynnik załamania dla promieniowania mikrofalowego z pewnego zakresu częstotliwości), coraz śmielej zaczęto wierzyć (choć nie wszyscy [55]), iŜ zaskakująca teoria Veselago znajdzie swe zastosowanie praktyczne. II.5 Model linii transmisyjnych Zachowanie się fali EM przy przejściu przez dowolny ośrodek opisują dobrze znane juŜ równania Maxwella r r ∇ × E = − jω B , r r r ∇ × H = J + jωD , (2.19) (2.20) które w jednorodnymm izotropowym ośrodku uzupełnione są przez równania materiałowe, ściśle zaleŜne od częstości padającego promieniowania r r B = µ (ω )H , r r D = ε (ω )E . (2.21) (2.22) Nowe podejście do tych dobrze znanych podwalin współczesnej fizyki zaprezentowali prawie równocześnie w 1944 roku Gabriel Kron [62], przedstawiając jednocześnie numeryczna procedurę rozwiązywania równań Maxwella w tej nowej postaci [63] oraz J.R.Whinnery i S.Ramo [64]. Udowodnili oni, Ŝe dzięki dyskretyzacji przestrzennej równań Maxwella moŜna zastosować je dla obwodów RLC, gdzie ich pełną analogią są równania prądowo-napięciowe Kirchhoffa, co było pierwszym krokiem w kierunku stworzenia modelu naturalnych ośrodków dielektrycznych opartych na obwodach RLC. 27 Kluczem do wytworzenia sztucznego dielektryka było zbudowanie takiego modelu, który umoŜliwiałby odnalezienie bezpośrednich analogii do ośrodków spotykanych w naturze. Podstawowym załoŜeniem, które naleŜy w tym celu poczyniono, było podejście do kaŜdego materiału – zarówno sztucznego jak i naturalnego – jak do sieci pewnych podstawowych elementów o bardzo małych wymiarach (w naturalnych materiałach są to atomy i cząstki). Analogie te powinny dać się takŜe zauwaŜyć w zachowaniu fali elektromagnetycznej padającej na wytworzony materiał – fale o długości porównywalnej z wymiarami pojedynczego elementu sieci (atomu, cząstki, komórki elementarnej) powinny doznawać efektów dyfrakcyjnych takich, jak ma to miejsce w ciałach stałych, zaś fale o długości odpowiednio większej od wymiarów jednostkowych komórek powinny załamywać się, a takŜe dawać moŜliwość zdefiniowania odpowiedniego dla tego przypadku współczynnika załamania fali elektromagnetycznej. Symulacja rzeczywistego dielektryka Model linii transmisyjnych (Dodatek C) mogący reprezentować naturalny ośrodek przy uŜyciu sieci rozproszonych reaktancji moŜe być złoŜony z komórek przedstawionych na Rys. 16. ½ Zx { Vy +dVy , Ix + dIx } ½ Zz ½ Zz { Vy , Iz } X ś { Vy , Ix } O Y Oś Y ½ Zx { Vy +dVy , Iz + dIz } Oś Z Rys. 16 Elementarna komórka modelu linii transmisyjnej dla płaskiego, jednorodnego ośrodka dielektrycznego.(na podstawie: [65]) Aby podkreślić periodyczność sieci, równania Maxwella (2.19) – (2.22) dla takiego przypadku rozwiązuje się oddzielnie dla kaŜdej z komórek, dzięki czemu występujące tam pola elektryczne i magnetyczne moŜna traktować jako statyczne. Zakładamy, Ŝe istnieje jednostkowa komórka w przestrzeni o wymiarach ∆x, ∆y, ∆z (Rys. 17), której wymiary są pomijalnie małe w porównaniu do długości fali padającego promieniowania, co pozwala traktować pole E i H jako statyczne. 28 X O ś x Rys. 17 Rozkład quasi-statycznych pól w komórce elementarnej (na podstawie: [65]) W przypadku sieci dwuwymiarowej, moŜna przyjąć, Ŝe pole elektromagnetyczne ∂ → 0 . W takim przypadku wszelkie zjawiska jest stałe w kierunku y czyli ∂y elektromagnetyczne zachodzące w komórce opisać moŜna za pomocą kombinacji modów TEy i TMy. JeŜeli rozwaŜymy mod TMy , dominującymi składowymi pól elektrycznego i magnetycznego będą Ey, Hx i Hz ∂E y ∂x ∂E y ∂z = − jωµ (ω ) H z , (2.23) = + jωµ (ω ) H x , (2.24) ∂H x ∂H z − = + jωε (ω ) E y . ∂z ∂x (2.25) Dyskretyzacja przestrzenna równań Maxwella prowadzi do następujących wyraŜeń: E y ( x 0 + ∆x, z 0 ) − E y ( x0 , z 0 ) = − jωµ (ω ) H z ∆x , (2.26) E y ( x 0 , z 0 + ∆z ) − E y ( x0 , z 0 ) = + jωµ (ω ) H x ∆z , (2.27) [H x ( x0 , z 0 + ∆z ) − H x ( x0 , z 0 )] ⋅ ∆x − [H z ( x0 + ∆x, z 0 ) − H z ( x0 , z 0 )] ⋅ ∆z = = + j ⋅ ω ⋅ ε (ω ) ⋅ E y ( x0 , y 0 ) ⋅ ∆x ⋅ ∆z (2.28) RóŜnicę potencjałów w elementarnej komórce definiuje się jako a' r Va ' − Va = − ∫ E ⋅ dl , (2.29) a 29 zaś natęŜenie prądu r I = ∫ H ⋅ dl , (2.30) C gdzie a-a’ to dowolna ścieŜka łącząca dolną i górną ścianę sześciennej komórki elementarnej, zaś C to odpowiednio wybrany zamknięty przekrój przez powierzchnie dolną i górną. Jako Ŝe pole elektromagnetyczne jest lokalnie niezmienne, otrzymujemy V y = E y ∆y , (2.31) I z = − H x ∆x , (2.32) I x = H z ∆z , (2.33) natomiast impedancje i admitancje moŜna zdefiniować jako ∆x ⋅ ∆y , ∆z ∆y ⋅ ∆z Z z = jωµ (ω ) , ∆x ∆x ⋅ ∆z Y = jωε (ω ) . ∆y Z x = jωµ (ω ) (2.34) (2.35) (2.36) W związku z tym poprzednie równania (2.26)–(2.28) przechodzą do postaci V y ( x0 + ∆x, z 0 ) − V y ( x0 , z 0 ) = − Z x I x , (2.37) V y ( x0 , z 0 + ∆z ) − V y ( x 0 , z 0 ) = − Z z I z , 2.38) [I z ( x0 , z 0 + ∆z ) − I z ( x0 , z 0 )] + [I z ( x0 + ∆x, z 0 ) − I z ( x0 , z 0 )] = −YVx ( x0 , z 0 ) . (2.39) Równania (2.37) i (2.38) opisujące róŜnicę potencjałów między odpowiednio przednią i tylną lub lewą i prawą ścianą sześcianu są wynikiem natęŜenia prądu wywołanego przez efektywną impedancję Zx lub Zz. Równanie (2.39) opisujące róŜnicę potencjałów między górną i dolną ścianą wynika z natęŜenia prądu pochodzącym od admitancji Y. Wartości impedancji i admitancji dla zadanej częstości promieniowania ω = ω 0 wyraŜają się zaleŜnościami ∆x ⋅ ∆y Z x = jωµ (ω 0 ) , (2.40) ∆z ∆y ⋅ ∆z , Z z = jωµ (ω 0 ) (2.41) ∆x ∆x ⋅ ∆z Y = jωε (ω 0 ) . (2.42) ∆y PoniewaŜ na obszarze ∆x∆z komórki elementarnej na przestrzeni jej grubości ∆y występuje jednorodne pole elektryczne, moŜemy zastosować analogię do kondensatora 30 okładkowego wypełnionego ośrodkiem o ε (ω 0 ) i µ (ω 0 ) , którego pojemność dana jest zaleŜnością C = ε (ω 0 ) ∆x∆z . ∆y (2.43) Obecność lokalnie jednorodnego pola magnetycznego związana jest z przeciwnie skierowanymi prądami w równoległych płaszczyznach (Rys. 17), których wkład do przepływu sumuje się w płaszczyźnie ∆y∆z dla prądów płynących wzdłuŜ ∆x oraz w płaszczyźnie ∆x∆y dla prądów płynących wzdłuŜ ∆z. Z tego względu mamy do czynienia z indukcjami ∆x ⋅ ∆y , ∆z ∆y ⋅ ∆z L z = µ (ω 0 ) . ∆x L x = µ (ω 0 ) (dla kierunku x) (2.44) (dla kierunku z) (2.45) ½ O L ś X Oś Y ½ L Na uwagę zasługuje fakt, Ŝe rozproszone pojemność i indukcja są silnie uzaleŜnione od ε (ω 0 ) i µ (ω 0 ) oraz od wymiarów komórki elementarnej. JeŜeli rozpatrzymy sieć z komórek elementarnych o pomijalnie małych wymiarach w porównaniu do długości fali promieniowania zawierających rozproszone L’ i C’, moŜe ona być traktowana jak ośrodek izotropowy. W związku z tym kaŜdy jednorodny i bezstratny dielektryk moŜe być (przy zadanej częstotliwości promieniowania) traktowany jako dyskretna sieć z komórek zawierających tylko cewki i kondensatory natomiast ośrodek rzeczywisty, obarczony pewnymi stratami transmisyjnymi, modeluje się uwzględniając w obwodzie szeregową rezystancję. Rys. 18 Dwuwymiarowy model linii transmisyjnych opisujący ośrodek o parametrach µ (ω ) = µ 0 i ε (ω ) = ε 0ε r przy uŜyciu rozproszonej szeregowej induktancji i rozproszonej równoległej pojemności (na podstawie: [65]). JeŜeli rozwaŜamy idealnie sześcienne komórki elementarne (Rys. 18), czyli jeŜeli spełnione są warunki Z = Zx = Zz , d = ∆x = ∆y = ∆z , (2.46) 31 wspomniane wyŜej impedancje i admitancja będą wyraŜone zaleŜnościami Z = jωµ (ω )d , Y = jωε (ω )d , (2.47) (2.48) zaś efektywne stałe materiałowe dla omawianego modelu linii transmisyjnych będą miały postacie Z (ω ) , jω d Y (ω ) ε (ω ) = . jω d µ (ω ) = (2.49) (2.50) Dla tradycyjnego ośrodka – izotropowego, niemagnetycznego i charakteryzującego się względną przenikalnością elektryczną ε r otrzymamy Z = jωµ 0 d , (2.51) Y = jωε r ε 0 d , (2.52) czyli szeregowa impedancja i równoległa pojemność mają wartości L = µ0d , [H] (2.53) C = ε 0ε 0 d . [F] (2.54) Rozproszone wartości L’ i C’ przypadające na jednostkę długości są dodatnie, rzeczywiste i równe L , d C C' = ε rε 0 = . d L' = µ 0 = (2.55) (2.56) Z równania falowego dla obwodów ∂ 2V y ∂x 2 + ∂ 2V y ∂z 2 + β 2V y = 0 (2.57) otrzymać moŜna stałą propagacji β równą β = ± − ZY = ω L' C ' = ω µ 0ε r ε 0 = ω vφ . (2.58) PowyŜsza relacja dyspersyjna reprezentuje związek stałej propagacji fali z częstością promieniowania (Rys. 19). 32 Rys. 19 ZaleŜności dyspersyjne dla ośrodka o parametrach µ (ω ) = µ 0 i ε (ω ) = ε 0ε r (na podstawie: [65]) Wykres ω-β ilustruje zmiany stałej propagacji wzdłuŜ wyróŜnionej osi na płaszczyźnie x-z w funkcji częstotliwości. Dostarcza informacji o wartości fazy i prędkości grupowej w ośrodku. Wykres βx-βz ilustruje zmiany stałej propagacji w zaleŜności od kierunku propagacji dla zadanej częstotliwości i przedstawia diagram EFS (equifrequency surface), czyli powierzchnię równej częstotliwości. Dostarcza informacji o kierunku fazy i prędkości grupowej w ośrodku. Dla kubicznej, elektrycznie obojętnej komórki elementarnej taka rozproszona sieć modeluje ośrodek izotropowy i diagram EFS jest kołowy. Wartość prędkości fazowej w ośrodku odczytać moŜna z wykresu ω-β jako odcinek łączący punkty (0,0) i (β0, ω0) natomiast kierunek z wykresu βx-βz jako linię łączącą punkty (0,0) i (β0z, β0x). Prędkość fazowa definiowana jest jako vφ = ω . β (2.59) Analogicznie odczytujemy z wykresów wartość i zwrot prędkości grupowej zdefiniowanej jako −1 ∂β vg = . ∂ω (2.60) Z analizy wykresu ω-β wynika, Ŝe stała propagacji typowego ośrodka prawoskrętnego zamodelowanego przy uŜyciu rozproszonej sieci szeregowych induktancji i równoległych pojemności jest zaleŜna od częstotliwości padającej fali EM analogicznie jak ma to miejsce w naturalnych dielektrykach przy niskich częstotliwościach. Na wykres βx-βz widać, Ŝe prędkości fazowa i grupowa (dla ośrodka bezdyspersyjnego) są równe oraz równoległe i wyraŜają się następująco ω vφ = = β 1 L' C ' = ∂β = µ 0 ε r ε 0 ∂ω 1 −1 = vg . (2.61) 33 Obie prędkości w tym przypadku są dodatnie, co jest wynikiem wyboru dodatniego pierwiastka w równaniu (2.61) odpowiadającego jednej z gałęzi wykresu ω-β, więc współczynnik załamania, który definiowany jest jako stosunek prędkości światła w próŜni do prędkości fazowej w ośrodku jest dodatni n= c = vφ L' C ' µ 0ε 0 = µ 0ε r ε 0 µ 0ε 0 = εr . (2.62) Co więcej – tak jak było to oczekiwane – impedancja falowa ośrodka η jest dokładnie równa uŜytej impedancji w rozproszonym modelu linii transmisyjnych η= µ0 L' = = Z0 . ε rε 0 C' (2.63) Symulacja ujemnego współczynnika załamania O ś X Oś Y Dalszym etapem stała się próba modelowania za pomocą komórek elementarnych LC sztucznych ośrodków dielektrycznych – metamateriałów. Fakt, iŜ przy uŜyciu modelu linii transmisyjnych o określonej wartości rozproszonych induktancji L’ i pojemności C’ mamy wpływ na parametry wytwarzanego ośrodka, pozwala uzyskać materiały nie występujące w naturze. PoniewaŜ L’ i C’ są związane z wartościami przenikalności elektrycznej i magnetycznej, więc wprowadzenie do komórki elementarnej przedstawionej na Rys. 18 ujemnych wartości L’ i C’ pozwala uzyskać ujemny współczynnik załamania n. Z natury tych elementów wynika jednak, Ŝe gdy szeregowa impedancja − jωL' d i równoległa admitancja − jωC ' d mają wartości ujemne, zmienia się ich rola w układzie. W takim wypadku szeregowa impedancja odgrywa rolę szeregowej admitancji, zaś równoległa admitancja – równoległej impedancji. Tak zbudowana elementarna komórka przedstawiona jest na Rys. 20. Rys. 20 Dwuwymiarowy model linii transmisyjnych opisujący ośrodek o jednocześnie ujemnych, dyspersyjnych parametrach µ = − µ (ω ) i ε = − ε (ω ) przy uŜyciu rozproszonej szeregowej induktancji i rozproszonej równoległej pojemności (na podstawie: [65]). 34 TakŜe w tym przypadku wymiary komórki elementarnej mają kluczowy wpływ na zaleŜności dyspersyjne parametrów uzyskanego w ten sposób ośrodka [66], [67]. Korzystając z równań (2.49) i (2.50) efektywną przenikalność elektryczną i magnetyczną takiego modelu wyznaczyć moŜna jako µ (ω ) = ε (ω ) = 1 1 1 jωCd =− 2 , jω ω Cd (2.64) jωLd 1 =− 2 . jω ω Ld (2.65) W odróŜnieniu od modelu linii transmisyjnych dla materiałów dodatnich, tutaj parametry ośrodka są wyraźnie ujemne, a dodatkowo mają charakter dyspersyjny. Uśredniona po czasie energia elektryczna i magnetyczna zgromadzona w takim materiale jest jednak dodatnia, więc zasada zachowania energii pozostaje spełniona. Rozproszone wartości indukcji i pojemności wynoszą dla tego przypadku odpowiednio C' = C ⋅ d , L' = L ⋅ d . [F⋅ m] [H ⋅ m] (2.66) (2.67) Cechą charakterystyczną stałej propagacji w powyŜszym modelu jest odwrotny związek z częstością β = − − ZY = − 1 ω L' C ' (2.68) zaś odpowiadające temu wykresy ω-β oraz βx-βz przedstawione są na Rys. 21. Rys. 21 ZaleŜności dyspersyjne dla ośrodka o parametrach µ = − µ (ω ) i ε = − ε (ω ) (na podstawie: [65]) 35 W tym przypadku prędkości fazowa i grupowa są antyrównoległe −1 ω ∂β vφ = = −ω 2 L' C ' = − = −v g . β ∂ω (2.69) Ze względu na to, Ŝe prędkości grupowe w modelu linii transmisyjnych ośrodka dodatniego i ujemnego są antyrównoległe, moŜna spodziewać się ujemnego załamania fali EM przy przejściu przez granicę tych ośrodków. Współczynnik załamania takiego ośrodka n= c − µ (ω )ε (ω ) 1 . = =− 2 vφ µ 0ε 0 ω L'⋅C '⋅µ 0 ε 0 Efektywna impedancja fali ηr = L' µ (ω ) = = Z0 . ε (ω ) C' (2.70) (2.71) Opisany tu model został zweryfikowany doświadczalnie poprzez zastosowanie go do badania zdolności skupiających zbudowanej na jego podstawie płaskiej soczewki o ujemnym współczynniku załamania [67]. Model znalazł teŜ kilka innych zastosowań w układach i urządzeniach optycznych [68]−[70]. Warto zauwaŜyć, Ŝe takŜe ten model jest bezstratny, co oznacza, iŜ model linii transmisyjnych pozwala na osiągnięcie ujemnego współczynnika załamania bez konieczności wprowadzania do układu elementów rezystywnych. W modelu ośrodka ALMW/SRR (rozdział II.4) efektywna funkcja przenikalności przyjmowała ujemne wartości w zakresie częstotliwości między ω 0 a ω mp , który w modelu linii transmisyjnych (Rys. 15) odpowiada dokładnie zakresowi częstotliwości, w którym czynna jest szeregowa gałąź. Analogicznie dla przenikalności elektrycznej zakres częstotliwości dający ujemną jej wartość odpowiadał zakresowi pracy gałęzi równoległej w modelu linii transmisyjnych (Rys. 15). W ujęciu linii transmisyjnych materiał ALMW/SRR wprowadza dodatkowe składowe rezonansowe, co moŜe zostać wyeliminowane poprzez bezpośrednie zastosowanie indukcji i pojemności. Dzięki temu moŜliwe jest osiągnięcie bardzo szerokich pasm częstotliwości, w których współczynnik załamania utrzymuje swoją ujemną wartość. 36 II.6 Nanostruktury z drutów metalicznych Metamateriał będący kompozytem złoŜonym z par nanodrutów po raz pierwszy opisał i zasymulował numerycznie Viktor A. Podolskiy [71], [72]. Udowodnił, Ŝe zewnętrzne pole EM oddziałujące na pojedyncze nanodruty moŜe wzmacniać powstający na powierzchni materiału plazmon powierzchniowy, w wyniku czego lokalne pola EM mogą zostać wzrosnąć nawet o trzy rzędy wielkości. Ponadto w kompozycie złoŜonym z par równoległych nanodrutów występować moŜe rezonans elektryczny i magnetyczny, co przy spełnionych odpowiednich warunkach, moŜe skutkować ujemnym współczynnikiem załamania takiego metamateriału. W odróŜnieniu od metamateriału złoŜonego z cienkich drutów metalicznych i rozproszonych rezonatorów kołowych, które musiały być projektowane dla konkretnej częstości padającego promieniowania, zasadniczą zaletą metamateriału z nanodrutów jest o wiele większa jego uniwersalność. Wzajemne oddziaływania nanodrutów tworzących kompozyt powoduje powstanie wielu zlokalizowanych plazmonów powierzchniowych o róŜnych częstościach rezonansowych. Plazmon powierzchniowy pochodzący od pojedynczego nanodrutu jest stosunkowo wąski (50 nm), jeŜeli jednak nanodruty tworzą kompozyt, zakres częstości rezonansowych jest bardzo duŜy, co umoŜliwia wykorzystanie takiego materiału w bardzo szerokim przedziale częstości ściśle zaleŜnym od wymiarów nanodrutów. Komórka elementarna metamateriału zaproponowanego przez Podolskiy’ego składała się z pary równoległych nanodrutów metalicznych o długości 2b1, średnicy b2, rozsuniętych na odległość d (Rys. 22). Rys. 22 (a) para równoległych nanodrutów; (b) dwuwymiarowy kompozyt zawierający pary równoległych nanodrutów (na podstawie [71]). 37 Grupa Podolskiy’ego rozwaŜała przypadek, gdy b2 << d << b1 . Promień drutu b2 musi być duŜo mniejszy od długości fali padającego promieniowania i moŜe być porównywalny z głębokością penetracji promieniowania w strukturę. Długość drutu 2b1 moŜe być rzędu długości fali świetlnej. Ze względu na takie wymiary nanodrutów bardzo trudno było jednoznacznie wyznaczyć rozwiązania równań Maxwella w tym układzie. Podolskiy zastosował dyskretne przybliŜenie dipolowe [73] zastępując nanodruty duŜą liczbą zachodzących na siebie, spolaryzowanych sfer ułoŜonych w kubiczną sieć (Rys. 23). Rys. 23 Model pojedynczego nanodrutu w dyskretnym przybliŜeniu dipolowym. JeŜeli stała takiej sieci a i promień R pojedynczej sfery są duŜo mniejsze od długości fali padającego światła, pola EM pochodzące od kaŜdego z dipoli mogą być traktowane jako kwazistatyczne i są sumą pól zewnętrznych w danym miejscu sieci oraz pól pochodzących od wszystkich pozostałych dipoli. Podolski udowodnił, Ŝe wyniki symulacji przy uŜyciu tego przybliŜenia silnie zaleŜą od przyjętego współczynnika pokrywania się sąsiadujących sfer (a/R). Padająca fala EM rozchodziła się tak, Ŝe pole elektryczne było równoległe do osi nanodrutów, podczas gdy pole magnetyczne było do nich prostopadłe. Składowa magnetyczna padającego promieniowania EM indukuje w drutach przepływ prądu, będącego sumą prądów płynących w kaŜdym z nanodrutów oraz prądu przesunięcia pomiędzy drutami. Wartość odpowiedzi rezonansowej silnie zaleŜy od wymiarów drutów i maleje wraz ze wzrostem promienia drutu lub odległości d między drutami, gdyŜ wtedy straty stają się znaczące. Efekt jest najmocniejszy dla drutów o promieniach b2 porównywalnych z głębokością penetracji promieniowania EM (~20nm). Aby uwzględnić efekt naskórkowy wprowadzono funkcję r ( 1 − i ) j1[(1 + i )∆ ] f (∆ ) = ⋅r ∆ j0 [(1 + i )∆ ] , r gdzie j – wektor gęstości prądu, ∆ = (2.72) b2 2πσ mω >> 1 parametr opisujący stosunek c średnicy nanodrutów do głębokości penetracji promieniowania, σ m przewodność metalu. 38 Przenikalność magnetyczną µ kompozytu wyznaczono posługując się momentem magnetycznym m H dla pojedynczej pary drutów przybliŜonej dwoma równoległymi, nieskończonymi drutami, dzięki czemu moŜliwe było zastosowanie równania telegrafistów (Dodatek C). Moment magnetyczny został wyznaczony jako m H = 2 Hb13C 2 (kd ) 2 gdzie C 2 = εd 4 ln d b2 tan (gb1 ) − gb1 (gb1 )3 , pojemność na jednostkę długości, g = k ε d + i (2.73) εd 2∆ f (∆ ) ln d b2 . 2 Padające pole elektryczne jest równoległe do osi drutów, więc wzbudza w nich równe prądy, które mogą być traktowane jako niezaleŜne. Całkowity moment dipolowy dla pary nanodrutów dany jest jako dE = 2 b1b22 f (∆ )Eε m 3 gdzie Ω 2 = (b1k ) 2 1 2 b b 1 + f (∆ )ε m 2 ln1 + ε d 1 cos Ω b2 b1 , (2.74) ln b1 + i ε d kb1 b2 to bezwymiarowa częstość promieniowania. b 1 ln1 + ε d b2 Podolskiy wyznaczył efektywną stałą dielektryczną i przenikalność magnetyczną struktury przedstawionej na Rys. 22 jako ε = 1+ 4 p dE , b1b2 d E µ = 1+ 4 p mH , b1b2 d H (2.75) gdzie p – gęstość powierzchniowa metalu. Obszar, w którym taki ośrodek wykazuje ujemną wartość współczynnika załamania uwarunkowany jest wymiarami nanodrutów, czyli wartościami parametrów b1 , b2 oraz d. Ustalając odpowiednio wartości tych parametrów moŜna przesunąć aktywne pasmo częstotliwości do zakresu optycznego. Alternatywnym sposobem na wytworzenie metamateriału o ujemnym współczynniku załamania jest zastosowanie stosu warstw z nadrukowanymi pojedynczymi nanodrutami lub uŜycie jednej takiej warstwy umieszczonej nad powierzchnią metalu. W tym drugim wypadku promieniowanie EM powoduje powstanie obrazu nanodrutów na powierzchni metalu, co prowadzi do powstania wirtualnej pary równoległych nanodrutów. Powierzchnię pomiędzy metalem i filmem z nanodrutami wypełnia się dielektrykiem. Zmieniając grubość i parametry dielektryka moŜna regulować odległość d pomiędzy nanodrutami. 39 II.7 Metamateriały dla zakresu widzialnego PoniewaŜ materiały charakteryzujące się ujemnym współczynnikiem załamania nie istnieją w naturze, w ostatnich latach nieustająco trwają prace badawcze nad wytworzeniem sztucznych materiałów dających ujemną odpowiedź elektryczną i magnetyczną w pewnym przedziale częstotliwości. Dwa główne podejścia do tematu realizacji zjawiska ujemnego załamania obejmują zastosowanie metamateriałów oraz kryształów fotonicznych. W zakresie promieniowania mikrofalowego ujemny współczynnik załamania został uzyskany w obu typach struktur, podczas gdy dla zakresu widzialnego ostatnio zastosowanie znalazły kryształy fotoniczne [74], [75]. W zakresie 10 – 100 THz zaprezentowane niedawno zostały rezonujące struktury magnetyczne charakteryzujące się ujemną przenikalnością magnetyczną [76]−[78]. JednakŜe, pomijając prace teoretyczne i symulacje numeryczne [79], ujemne załamanie fal EM dla zakresu widzialnego potwierdzone doświadczalnie zostało dopiero pod koniec 2005 roku [80]. MoŜliwość zastosowania nanometrowych struktur do uzyskania ujemnego współczynnika załamania dla zakresu widzialnego opisano teoretycznie [81]−[83] w 2002 roku. Pokazano, Ŝe pary równoległych nanodrutów lub płytek mogłyby z powodzeniem zastąpić wykorzystywane dotąd rozszczepione rezonatory kołowe (SRR). Oczekiwano, Ŝe zbudowana z nich struktura będzie charakteryzowała się ujemnym współczynnikiem załamania nawet, jeŜeli komórka elementarna nie będzie zawierała dodatkowego metalowego drutu. Analogia pomiędzy typowym SRR i parą nanodrutów przedstawiona została na Rys. 24 i łatwo ją zrozumieć, jeŜeli potraktujemy SRR przedstawiony na Rys. 24 (a) jako obwód LC o induktancji L i pojemności przerwy pierścienia C. Rys. 24 Analogia pomiędzy rozszczepionym pierścieniem (SRR) a parą nanodrutów: kolejne fazy przejścia pomiędzy strukturami (a)-(d) [84]. Zmienne pole magnetyczne prostopadłe do powierzchni SRR indukuje w nim przepływ prądu, który w pobliŜu częstości rezonansowej ω LC = 1 wywołuje LC moment magnetyczny prostopadły do płaszczyzny SRR i przeciwstawiający się zewnętrznemu polu magnetycznemu, co powoduje pojawienie się ujemnej przenikalności magnetycznej µ. JeŜeli przerwa w pierścieniu zostanie powiększona (Rys. 24 (b)), pojemność C zmniejszy się, co spowoduje wzrost częstości ωLC potrzebnej do wzbudzenia rezonansu w obwodzie. Gdy drut tworzący pierścień SRR zostanie przerwany równieŜ z drugiej strony (Rys. 24 (c)), w obwodzie pojawi się druga szeregowa pojemność C, co dodatkowo zmniejszy wypadkową pojemność obwodu LC. Kolejnym krokiem jest całkowite otwarcie pierścienia SRR z obu stron (Rys. 24 (d)), prowadzące do otrzymania pary równoległych drutów. Spadek pojemności C prowadzi do wyŜszej częstości 40 rezonansowej zgodnie ze wzorem ω LC = 1 , co oznacza, Ŝe długość fali λ LC padającego promieniowania EM potrzebnego do wywołania rezonansu w takim obwodzie jest coraz mniejsza i moŜe osiągnąć nawet wartości z zakresu promieniowania widzialnego. Zaletą par równoległych nanodrutów w stosunku do wcześniej stosowanych komponentów są mniejsze wymagania konstrukcyjne pod względem stosunku wymiarów komórki elementarnej i długości fali λ padającego promieniowania. Dla SRR stosunek ten musiał być co najmniej rzędu λ = 10 , aby strukturę moŜna było traktować jak a jednorodną, zaś dla par nanodrutów jest on prawie 5 razy mniejszy ( λ ≈ 2 ). a (a) (b) (c) (d) Rys. 25 (a) Wymiary pary równoległych nanodrutów tworzących komórkę elementarną; (b) Schemat wzajemnego rozmieszczenia par nanodrutów w próbce; Wykonane pod mikroskopem elektronowym zdjęcie (c) dwuwymiarowej tablicy i (d) pojedynczej pary nanodrutów. (na podstawie: [85]). W roku 2005 grupa badawcza z Purdue University [80] zaprezentowała metamateriał zbudowany z par równoległych nanodrutów w kształcie trapezu o róŜnicy szerokości podstaw 20 nm. Opisana przez nich periodyczna dwuwymiarowa tablica z nadrukowanymi parami złotych drutów była stosunkowo prosta do wytworzenia w nanoskali i wskazała kierunek dalszych prac nad zaprojektowaniem metamateriału dla zakresu widzialnego. Nanodruty wytworzone zostały przy uŜyciu litografii 41 elektronowej na szklanym podłoŜu pokrytym cienką warstwą Cr, która zapobiegała naładowaniu się podłoŜa i została usunięta po zakończeniu procesu. Nanoszenie warstw powtórzono kilkukrotnie kolejno dla warstw Ti, Au i SiO2, aŜ do uzyskania struktury przedstawionej na Rys. 25. Dwa równoległe druty tworzyły obwód, który zachowywał się jak linia transmisyjna (Rys. 26). Prądy przesunięcia na końcach drutów powodowały „zamknięcie” obwodu. JeŜeli na próbkę padało światło spolaryzowane poprzecznie magnetycznie względem osi nanodrutów, wzbudzany był jednocześnie rezonans elektryczny i magnetyczny, co powodowało powstanie ujemnej odpowiedzi elektrycznej ε i magnetycznej µ w tak zaprojektowanym metamateriale. Zakres częstotliwości fali elektromagnetycznej, dla której zjawisko to było moŜliwe uzaleŜniony był od wymiarów nanodrutów oraz ich wzajemnego rozmieszczenia w tablicy. Współczynnik załamania w takim materiale powyŜej częstości rezonansowej moŜe przyjąć wartości ujemne [71], [72]. Rezonans plazmowy moŜe być traktowany jak rezonans w obwodzie LC o induktancji L, zapewnionej przez metalowe druty, i pojemności C zapewnionej przez przestrzeń pomiędzy nimi. Rys. 26 (a) UłoŜenie nanodrutów w metamateriale; (b) Komórka elementarna zawierająca parę równoległych nanodrutów (na podstawie: [85]). Doniesienie literaturowe na temat dalszej miniaturyzacji metamateriałów i przesunięcia operacyjnej częstości w spektrum widzialne pochodzą z sierpnia 2006 roku [88]. Grupa naukowców G.Dolling, M.Wegener, C.M.Soukoulis oraz S.Linden wytworzyła metamateriał zbudowany z par równoległych srebrnych nanodrutów nadrukowanych na szklanym podłoŜu, charakteryzujący się ujemnym współczynnikiem załamania dla światła o długości fali 780 nm (zob. Rys. 27). Dla zakresu widzialnego srebro charakteryzuje się znacząco mniejszymi stratami w porównaniu do złota [89], co pozwoliło po raz pierwszy zademonstrować ujemne załamanie światła dla światła czerwonego. 42 (c) Rys. 27 (a) Schemat budowy metamateriału dla zakresu widzialnego; (b) Komórka elementarna o wymiarach ax = ay = 300 nm, wx = 102 nm, wy = 68 nm, t = 40 nm, s = 17 nm, ex = ey = e = 8 nm; (c) Zdjęcie pojedynczej pary nanodrutów i dwuwymiarowej tablicy wykonane pod mikroskopem elektronowym (na podstawie: [88]). Stosunek grubości kompozytu 2t+s = 97 nm do szerokości drutu wy = 68 nm przekracza 1, co stwarzało pewne trudności technologiczne. Grubość drutów zorientowanych wzdłuŜ składowej elektrycznej padającego promieniowania musiała zostać zwiększona do wx = 102 nm. Pozwoliło to na podniesienie efektywnej częstości plazmowej powyŜej częstości operacyjnej, co było konieczne dla osiągnięcia ujemnej przenikalności elektrycznej ε. Do wytworzenia metamateriału wykorzystano fluorek magnezu MgF2, którego współczynnik załamania wynosi n MgF2 = 1,38 oraz szkło o współczynniku n szkłz = 1,5 . 43 III Eksperymenty Naturalną koleją rzeczy była chęć eksperymentalnej weryfikacji zjawiska ujemnego załamania fali elektromagnetycznej we wzbudzających tyle zainteresowania ośrodkach. Jako pierwsi dokonali tego R.A.Shelby, D.R.Smith i S.Schultz [54] w 2001 roku. Pomimo wątpliwości niektórych [55], eksperyment grupy Shelby’ego stał się początkiem nowego rozdziału w historii metamateriałów. Po okresie teoretycznych dyskusji na temat odkrycia Veselago [1], metamateriały potwierdziły swą wyjątkowość otwierając tym samym drogę do licznych nowych zastosowań (rozdział III.1). Kolejny waŜny eksperyment wykonany został w 2003 roku przez grupę I.V. Shadrivov’a [90]. Udowodniono, Ŝe wprowadzenie defektów do warstwowej struktury złoŜonej z naprzemiennie ułoŜonych warstw ośrodka o ujemnym współczynniku załamania i powietrza pozwala na modyfikowanie zakresu częstości, dla którego obserwuje się ujemne załamanie fali elektromagnetycznej (rozdział III.2) Istnienie fal wstecznych w ujemnych metamateriałach zbadał G.V.Eleftheriades [102]. Przeprowadzony przez niego eksperyment udowodnił, Ŝe model metamateriału wykorzystujący linie transmisyjne (rozdział II.5) pozwala na łatwe wykorzystanie zjawiska ujemnego załamania do budowy wydajniejszych urządzeń mikrofalowych (rozdział III.3). Długo oczekiwane ujemne załamanie dla fal z zakresu widzialnego zrealizowane w praktyce zostało dopiero w 2006 roku [88]. III.1 Pierwsze dowody eksperymentalne Przeprowadzony w 2001 roku eksperyment [54] dotyczył rozpraszania fali EM o częstotliwości z zakresu mikrofalowego na próbce metamateriału charakteryzującego się pasmem częstotliwości, w którym jego efektywny współczynnik załamania n ma wartość mniejszą od zera. Mierząc kąt odbicia promienia przechodzącego przez pryzmat wykonany z takiego metamateriału, określano efektywny współczynnik załamania n zgodny z prawem Snelliusa [10]. Eksperyment potwierdził przewidywania równań Maxwella, iŜ współczynnik załamania n jest równy ujemnemu pierwiastkowi kwadratowemu z iloczynu przenikalności ε i µ dla zakresu częstotliwości, gdzie obie przenikalności są mniejsze od zera (zob. równanie (1.5)). W doświadczeniu wykorzystano metamateriał zaproponowany przez D.R.Smitha [32]−[35]. Próbka zbudowana była przy wykorzystaniu dwuwymiarowej okresowej tablicy zawierającej miedziane rozproszone rezonatory kołowe (SRR) i druty metaliczne (ALMW), wyprodukowanej metodą maski i kwasorytu na podłoŜu krzemowym o grubości 0,25mm. Metamateriał uŜyty w tym doświadczeniu zbudowany był z komórek elementarnych o wymiarach 5mm, co oznacza, Ŝe dla badanego zakresu częstotliwości (8-12 GHz) średnia długośc fali promieniowania λ=3cm była 6 razy większa od wymiarów takiej komórki i materiał mógł być traktowany jako jednorodny. Kąt pomiędzy prostymi normalnymi do powierzchni padania (nr 1 na Rys. 28) i załamania (nr 2 na Rys. 28) był równy 18,43o. Aby określić współczynnik załamania, mierzono odchylenie wiązki promieniowania mikrofalowego przechodzącej przez pryzmat wykonany z takiego metamateriału. Próbka i absorbent promieniowania mikrofalowego umieszczone były pomiędzy dwoma kołowymi płytami aluminiowymi o promieniu 15cm. Na obwodzie wierzchniej płyty zamontowany był ruchomy detektor promieniowania mikrofalowego pozwalający na pomiar transmitowanej mocy pod dowolnym kątem. Na ścianę pryzmatu, 44 stanowiąca powierzchnię padania (nr 1), padała wiązka promieniowania mikrofalowego o poprzecznej polaryzacji magnetycznej. Po przejściu przez pryzmat fala doznawała ugięcia zgodnego z prawem Snelliusa na płaszczyźnie załamania (nr 2). Aby zmniejszyć spowodowane dyfrakcją rozmycie kątowe padającego promieniowania, poprowadzone ono było współosiowym kablem do adaptera falowego, a następnie przechodziło pomiędzy dwoma aluminiowymi płaszczyznami rozsuniętymi na taką samą odległość jak aluminiowe koła (1,2 cm), gdzie dodatkowo po bokach ograniczały je rozsunięte na odległość 9,3 cm płaszczyzny absorbentu promieniowania mikrofalowego. Strzałki na Rys. 28 przedstawiają bieg fali przy przejściu przez teflonową próbkę kontrolną – kąt θ ma tu wartość dodatnią. Detektor obracany był po obwodzie z krokiem 1,5o, a przechodzące widmo mocy mierzone w funkcji kąta obrotu θ detektora od normalnej do powierzchni padania próbki. Rys. 28 Schemat układu pomiarowego [54]. Moc transmitowana Pomiary wykonano dla ośmiu róŜnych połoŜeń próbki w układzie. Uśrednione wyniki przedstawiono na wykresach w funkcji kąta (Rys. 29) (po wcześniejszym znormalizowaniu mocy transmitowanego przez próbkę promieniowania) oraz w funkcji częstotliwości (Rys. 30). Maksimum mocy transmitowanej występowało przy bardzo zbliŜonych kątach dla kaŜdego z połoŜeń próbki. Rys. 29 Moc transmitowana jako funkcja kąta [54]. 45 Przy częstotliwości 10,5 GHz, mikrofale były uginane pod dodatnimi kątami w przypadku teflonu i w przeciwną stronę dla próbki z z metamateriału. Maksimum zarejestrowanej mocy promieniowania dla próbki teflonowej miało miejsce przy kącie θpowietrze = 27º, co odpowiada wartości współczynnika załamania nteflon = 1,4 ± 0,1 i mieści się w granicach błędu. Natomiast dla próbki z metamateriału zmierzony kąt wyjściowy θpowietrze = −61o , przy którym moc osiągała maksimum oznacza, Ŝe współczynnik załamania tego ośrodka to nLHM = −(2,7 ± 0,1) . Na Rys. 30 przedstawiony został zmierzony współczynnik w funkcji częstotliwości dla ujemnej próbki (ciągła czarna linia) i porównany z krzywą teoretyczną (ciągła czerwona linia) oraz wykresem dla teflonu (ciągła niebieska linia) 3 LHM Teflon LHM (teoria) 2 1 0 -1 -2 -3 8 9 10 11 12 Częstotliwość [GHz] Rys. 30 Współczynnik załamania jako funkcja częstotliwości [54]. Oczekiwano, Ŝe współczynnik załamania będzie szybko dąŜył do wartości mocno ujemnych przy niskoczęstotliwościowej granicy w badanego obszaru „lewoskrętnego” (10,2 ÷ 10,8 GHz), by następnie osiągnąć wartość zerową dla granicy wysokoczęstotliwościowej. Wyniki częściowo potwierdziły rozwaŜania teoretyczne, jednakŜe w pewnych obszarach (przerywana czarna linia) współczynnik załamania n był albo niemoŜliwy do wykrycia albo zdominowany przez składową urojoną (przerywana czerwona linia) i nie mógł być wiarygodnie zbadany doświadczalnie. W badanym paśmie częstotliwości zmierzony współczynnik załamania dla teflonu (linia niebieska na Rys. 30) jest w przybliŜeniu wartością stałą, zaś współczynnik załamania dla badanego metamateriału jest ujemny i ma charakter silnie dyspersyjny, co zgadza się z teorią. Do wyznaczenia teoretycznej zaleŜności współczynnika załamania n od częstotliwości uŜyto poniŜszych ogólnych równań na zaleŜność przenikalności ε i µ od częstotliwości 2 2 − ω mo ω mp µ (ω ) = 1− 2 , 2 µ0 ω − ω mo + iγω (3.1) ω ep2 − ω eo2 ε (ω ) = 1− 2 , ε0 ω − ω eo2 + iγω (3.2) 46 przy wykorzystaniu parametrów fmp = 10,95 GHz, fmo = 10,05 GHz, fep = 12,8 GHz, feo = 10,3 GHz, γ = 10 MHz gdzie ωmo , ωmp – magnetyczna częstość rezonansowa i plazmowa, ωeo , ωep – elektryczna częstość rezonansowa i plazmowa, i = − 1 , f=ω / 2π . Istnieją dwa zasadnicze ograniczenia w tym doświadczeniu, które uniemoŜliwiają zmierzenie efektywnego współczynnika załamania odpowiadającego krawędziom „lewoskrętnego” pasma częstotliwości. Po pierwsze, kiedy efektywny współczynnik załamania osiąga zero, długość fali w ośrodku ujemnym staje się bardzo duŜa, przypuszczalnie większa niŜ wymiary próbki. Nie udało się jednoznacznie określić współczynnika załamania w zakresie od 10,8GHz do 12GHz, czyli powyŜej „lewoskrętnego” pasma częstotliwości; uzyskane wyniki odpowiadają raczej urojonej składowej współczynnika, a nie jego dodatniej wartości. To ograniczenie moŜe zostać częściowo wyeliminowane poprzez zastosowanie grubszych i szerszych próbek. Po drugie, poniewaŜ obszar ugięcia jest zawęŜony do około 18,4o od normalnej, gdy n ≥ 3 , promieniowanie ulega raczej całkowitemu wewnętrznemu odbiciu niŜ załamaniu, co według autorów eksperymentu mogłoby tłumaczyć, dlaczego nie udało się zmierzyć współczynników załamania o wartościach poniŜej -3 i powyŜej 3. Ujemne załamanie – fikcja czy rzeczywistość? Wyniki eksperymentu [54] zakwestionowane zostały przez N.Garcia i M.NietoVesperinas’a [55], P.M.Valanju [56] i innych [57], co zaowocowało oŜywioną dyskusją w środowisku naukowym na temat zjawiska ujemnego załamania i istnienia ośrodków, w których byłoby ono moŜliwe. PodwaŜona została moŜliwość ujemnego załamania rzeczywistego promieniowania zawierającego pewne spektrum długości fali [56]. Ujemny współczynnik załamania występować moŜe jedynie w materiałach dyfrakcyjnych, co oznacza, Ŝe jest uzaleŜniony od częstości padającego promieniowania, czyli takŜe od jego długości fali. W związku z tym przy przejściu przez metamateriał wiązka rzeczywistego promieniowania zostałaby raczej rozszczepiona niŜ ujemnie załamana. Skrytykowano takŜe sposób przeprowadzenia eksperymentu. Wykorzystany przez R.A.Shelby’ego, D.R.Smith’a i S.Schultz’a ośrodek [54] charakteryzował się znacznymi stratami, zaś detektor ustawiony był w niewielkiej odległości od powierzchni pryzmatu, co było uwaŜane za przyczynę złudzenia, Ŝe fala EM została ugięta pod ujemnym kątem. Twierdzono [56], Ŝe gdyby detektor znajdował się w większej odległości od próbki, Ŝadne promieniowanie nie zostałoby zmierzone. Krytyka wyników eksperymentu grupy Shelby’ego zmobilizowała zwolenników idei ujemnego załamania do szukania kontrargumentów. Niecały rok później opublikowane zostały uzyskane niezaleŜnie przez dwie grupy badawcze [58]-[60] wyniki, wyraźnie potwierdzające, przy zastosowaniu prawa Snelliusa, istnienie ujemnego załamania promieniowania z zakresu mikrofalowego. A.Houck i in. z MIT16 [58] wykonali dwa doświadczenia, w których odwzorowali mikrofalowe pole EM przechodzące przez kilka pryzmatów wykonanych z materiałów dodatnich i ujemnych oraz płaską płytkę z materiału ujemnego. Materiałem odniesienia podobnie jak w [54] był teflon, zaś metamateriał ujemny był kompozytem analogicznym do opisanego w [35]17. Aby ustalić zakres częstotliwości promieniowania, w którym metamateriał charakteryzuje się ujemnym współczynnikiem załamania, wykonane zostały 16 Massachusetts Institute of Technology Metamateriał uŜywany w doświadczeniach zbudowany był z miedzianych drutów o grubości 50 µm, umieszczonych na podłoŜu o grubości 0,5 mm zestawionych w sieć 6 mm komórek elementarnych. 17 47 niezaleŜne pomiary właściwości elektromagnetycznych dla struktur zawierających tylko prostoliniowe przewodniki oraz tylko przerwane pierścienie. Operacyjna częstotliwość ustalona została na 10,5 GHz. Ponadto udowodniono, Ŝe górna płaszczyzna prowadnicy falowej nie moŜe dotykać powierzchni próbki, gdyŜ nie obserwowano wtedy zachowania ujemnego. Przyczyny tego zjawiska upatrywano w zmianę pojemności metalowych przewodników, gdy odległość płaszczyzny od próbki była mniejsza niŜ 1,5 mm. W ramach pierwszego eksperymentu A.Houck i in. zaproponowali nowy układ pomiarowy, wykorzystujący zamkniętą i dokładnie izolowaną prowadnicę falową, zbudowaną z dwóch równoległych metalowych płaszczyzn (górna płaszczyzna była dwukrotnie większa od dolnej), w całości pokrytych absorbentem promieniowania mikrofalowego i mogących przesuwać się względem siebie. UmoŜliwiło to pomiar rozkładu pola EM w całej przestrzeni wewnątrz prowadnicy. Pomiary wykonane zostały dla kilku pryzmatów dodatnich (teflon) i ujemnych, o dwóch róŜnych kątach, dla dwóch połoŜeń górnej płaszczyzny nad próbką. Zmierzona w ten sposób wartość współczynnika załamania dla teflonu pokrywała się z wartością rzeczywistą18, co pozwoliło zweryfikować poprawność układu pomiarowego. Kąty załamania fali EM obserwowane dla próbki ujemnej, były wyraźnie umieszczone po przeciwnej stronie normalnej do płaszczyzny załamania pryzmatu w porównaniu do pomiarów dla próbki teflonowej19. Na uwagę zasługuje fakt, Ŝe w przypadku próbki ujemnej, tłumienie fali miało wartość 25dB (w porównaniu do 5dB dla pryzmatu z teflonu), co wskazuje na duŜe znaczenie efektów rozpraszania i absorpcji w metamateriałach. Drugi eksperyment wykonany przez grupę z MIT dotyczył opisanego wcześniej teoretycznie przez Pendry’ego [93] i równieŜ skrytykowanego [94] zjawiska supersoczewkowania. Z wytworzonego metamateriału wykonano płasko-równoległa płytkę o grubości 6 cm i umieszczono ją w prowadnicy falowej w odległości 2 cm od mikrofalowej anteny nadawczej. Antena odbiorcza po przeciwnej stronie płytki miała za zadane rejestrować przechodzące promieniowanie EM. Dla konfiguracji układu z górną płaszczyzną uniesioną na 2 mm, pochodząca z punktowego źródła promieniowania (anteny mikrofalowej) fala EM padająca na płytkę została skupiona po jej przeciwnej stronie. Gdy górna płaszczyzna była obniŜona, skupienie nie występowało, co potwierdziło, Ŝe jest ono moŜliwe tylko dla płytki z ujemnym współczynnikiem załamania. PoniewaŜ we wszystkich badanych pryzmatach fala EM propagowała się zgodnie z prawem załamania Snelliusa, eksperyment ten stanowił wyraźne potwierdzenie istnienia zjawiska ujemnego załamania. Ponadto wyniki przedstawione dla płasko-równoległej płytki o ujemnym współczynniku załamania były wstępnym potwierdzeniem słuszności tezy Veselago [2] i Pendry’ego [93]. Kolejne wnioski z wykonanych przez grupę z MIT doświadczeń dotyczą wytwarzania metamateriałów. Metamateriał moŜe posiadać właściwości, których nie mają Ŝadne z tworzących go elementów. Ponadto bardzo waŜna jest precyzja wykonania modelu. ZauwaŜono [58], Ŝe jeŜeli po cięciu ich laserem płytki z naniesionymi elementami przewodzącymi nie zostały dokładnie wyczyszczone, obecna na nich cienka warstwa węgla uniemoŜliwiał obserwację zjawiska ujemnego załamania. 18 19 Wartość zmierzona to n= 1,52 ± 0,07, wartość rzeczywista nteflonu= 1,5. Dla pryzmatu o kącie ϕ = 18o kąt załamania wynosił θ = – (6,4 ± 2,4º), co odpowiadało wartości n = – (0,36 ± 0,13), zaś dla pryzmatu o kącie ϕ = 26º kąt załamania θ = – (9 ± 2 º) , czyli współczynnik załamania n = – (0,35 ± 0,08). 48 Inne podejście eksperymentalne przedstawione zostało w publikacjach [59], [60]. Podobnie jak w doświadczeniu [58] pryzmaty wykonane były z metamateriałów zbudowanych z równoległych przewodników i pierścieni, jednak komórka elementarna zawierała dodatkowy metalowy drut, co pozwoliło na rozszerzenie operacyjnego pasma częstotliwości. Doświadczenia i symulacje numeryczne przeprowadzone zostały dla pryzmatów o kątach 12° i 32° w zakresie 10–15 GHz, a ich wyniki były zgodne z teorią. Ponadto uwzględniono rolę strat związanych z rozpraszaniem promieniowania, które mają bardzo duŜe znaczenie, gdy rozwaŜa się moŜliwości praktycznego zastosowania metamateriałów. Zidentyfikowano przyczyny strat, zaproponowano sposób wytworzenia metamateriału, który charakteryzuje się znacznie mniejszym rozpraszaniem i doświadczalnie sprawdzono jego właściwości [61]. Przyczyną strat była skończona konduktywność drutów oraz straty pochodzące od dielektrycznego podłoŜa i uŜytego spoiwa, które odgrywają największą rolę przy duŜej koncentracji pola EM. Symulacje komputerowe wykazały, Ŝe największa koncentracja pola EM występuje w przerwie miedzianych pierścieni. Usunięcie dielektryka i spoiwa z tego obszaru spowodowało poprawę właściwości transmisyjnych metamateriału z 80% do 90% dla próbki o grubości 1cm. Wykazano równieŜ, Ŝe uŜycie metalowych elementów nie grubszych niŜ 3–5 głębokości wnikania promieniowania pozwala zminimalizować straty spowodowane rozpraszaniem na metalu. Rys. 31 Komórka elementarna 901 HWD o wymiarach C = 0,025 cm, D = 0,03 cm, G = 0,046 cm, H = 0,0254 cm, L = 0,33 cm, S = 0,0263 cm, T = 17,0×10-4 cm, W = 0,025 cm, V = 0,255 cm [61]. Tym samym ujemne załamanie zostało dobitnie potwierdzone praktycznymi pomiarami. Rozpoczęła się faza nasilonych prac nad miniaturyzacją wytworzonych struktur i przesunięcia przedziału częstotliwości, w którym współczynnik załamania jest ujemny do zakresu optycznego. 49 III.2 Modulacja transmisji fali EM Struktury wielowarstwowe zawierające materiały o ujemnym współczynniku załamania mogą być traktowane jak sekwencja płasko-równoległych soczewek [90], których wzajemne efekty pochodzące od płytek materiału ujemnego i przestrzeni materiału dodatniego (powietrza) znoszą się. Takie struktury periodyczne o uśrednionym współczynniku załamania równym zero, mają tę właściwość, Ŝe transportowana przez nie fala jest modyfikowana, co ma wpływ na wzmocnienie lub osłabienie transmisji przez taki układ. Wprowadzając defekt w postaci warstwy o innej grubości zaburzającej periodyczność układu udowodniono, Ŝe moŜna zmieniać sposób rozchodzenia się w nim promieniowania [90]. Metamateriał utworzony był przez trójwymiarową sieć komórek elementarnych zbudowanych z drutów i rozproszonych rezonatorów kołowych analogicznych do tych opisanych w pracach [32],[36], [37] (Rys. 32). Rys. 32 Schemat wielowarstwowej struktury złoŜonej z naprzemiennie ułoŜonych warstw metamateriału i powietrza o grubości a, zawierający warstwę o grubości b wprowadzającą defekt do układu; elementarna komórka metamateriału [90]. Główny wkład do efektywnej przenikalności elektrycznej mają druty, zaś do efektywnej przenikalności magnetycznej rozproszone rezonatory kołowe [5], [92]. Efektywna przenikalność elektryczna ε (ω ) = 1 − ω 2p , ω (ω − iγ ε ) (3.3) gdzie ωp ≈ γε = c 2π ⋅ to efektywna częstość plazmowa, d ln d r w c2 2 ⋅ σ ⋅ S ln d rw to tłumienie przenikalności elektrycznej, (3.4) (3.5) 50 σ to przewodność drutu, zaś S to efektywny przekrój drutu określony jako S = π ⋅ rw2 S ≈ π ⋅ δ ⋅ (2 ⋅ rw − δ ) dla dla δ ≥ rw , δ < rw (3.6) gdzie δ= c 2πσω to penetracja promieniowania EM w strukturę materiału. (3.7) Aby obliczyć efektywną przenikalność magnetyczną sieci złoŜonej z rozproszonych rezonatorów kołowych (SRR) ich magnetyzację naleŜy określić jako M = nm πRr2 I r , 2c (3.8) gdzie 3 to liczba SRR przypadająca na jedną komórkę elementarną, (3.9) d3 Rr to promień pojedynczego rezonatora kołowego, zaś I r to prąd płynący przez rezonator kołowy. nm = Rezonator kołowy moŜna traktować jak efektywny obwód oscylujący o indukcji L i rezystancji drutu R oraz pojemności C przestrzeni wewnątrz SRR. W takim obwodzie siła elektromotoryczna ( Π) pochodzi od zmiennego w czasie pola magnetycznego rozchodzącej się fali elektromagnetycznej. Przy takich załoŜeniach zmiany prądu I r w pojedynczym SRR opisać moŜna następująco L ∂2Ir ∂I 1 ∂Π + R r + Ir = ∂t C ∂t , ∂t 2 (3.10) gdzie H’ to lokalna (mikroskopowa) wartość pola magnetycznego, róŜna od wartości średniej (makroskopowej) pola magnetycznego H, zaś Π= πRr2 ∂H ' c ⋅ ∂t . (3.13) JeŜeli liczba SRR przypadających na objętość d 3 (czyli pojedynczą komórkę elementarną) jest wystarczająco duŜa, tablicę SRR traktujemy jako układ dipoli magnetycznych i zaleŜność między polami magnetycznymi mikroskopowym i makroskopowym opisujemy jako H '= H + 4π 8π M = B− M. 3 3 (3.11) 51 W efekcie z równań (3.8)−(3.11) otrzymujemy wyraŜenie na efektywną przenikalność magnetyczną zaleŜną od częstości promieniowania elektromagnetycznego µ (ω ) = 1 + Fω 3 ω 02 + ω 2 1 + F ( )+ iωγ 3 , (3.12) µ gdzie 2 2π nm πRr2 to współczynnik wypełnienia komórki elementarnej, F= L c 1 ω 02 = to częstość rezonansowa obwodu LC, LC R γ µ = to tłumienie przenikalności magnetycznej. L (3.13) (3.14) (3.15) Indukcja L, rezystancja R i pojemność C wynoszą odpowiednio L= 4π Rr 8Rr 7 − , ln c2 r 4 2πRr R= , σ Sr (3.16) (3.17) π r2 C= , 4π d g (3.18) gdzie r to średnica drutu tworzącego rezonator kołowy, d g to szerokość przerwy w pierścieniu SRR, S r to efektywny przekrój drutu tworzącego SRR, definiowany analogicznie jak (3.6) S r = π r 2 S r ≈ π δ (2r − δ ) dla δ ≥r dla δ <r . (3.19) Pojemność C jest niezmienna, poniewaŜ d g << r . Dla materiału o parametrach d = 1 cm, rw = 0,05 cm, Rr = 0,2 cm, r = 0,02 cm, d g = 10 3 cm, σ = 2 ⋅ 1019 [1 s ] otrzymano zaleŜność rzeczywistych części przenikalności ε (ω ) oraz µ (ω ) od częstotliwości, których wykresy przedstawia Rys. 33. Częstość rezonansowa w tym wypadku wynosiła 5,82 GHz, zaś pasmo dla którego występują jednocześnie ujemne przenikalności elektryczna i magnetyczna zawiera się pomiędzy 5,82 GHz a 5,96 GHz. 52 Rys. 33 ZaleŜność rzeczywistej składowej przenikalności elektrycznej i magnetycznej od częstotliwości [90]. Układ tworzyło siedem warstw metamateriału umieszczonych w powietrzu. Liczba warstw tworzących układ (Rys. 32) została tak wybrana, aby zminimalizować straty. Periodyczność struktury zaburzał wprowadzony defekt strukturalny w postaci warstwy ujemnego materiału o innej grubości. WaŜną cechą badanej struktury periodycznej, mającą decydujący wpływ na jej właściwości elektromagnetyczne, był jej uśredniony współczynnik załamania równy zero <n> = 0. Efekt taki uzyskano dzięki zastosowaniu metamateriału o n = −1, a takŜe optymalnemu wyborowi liczby warstw, ich grubości i szerokości przerw pomiędzy warstwami. Udowodniono, Ŝe przy takiej konfiguracji w strukturze pojawiają się dodatkowe przerwy wzbronione, które nie występują w strukturach warstwowych utworzonych wyłącznie z dodatnich materiałów. ZauwaŜono, Ŝe maksimum transmisyjne znajduje się wewnątrz pasma <n> = 0, jeŜeli grubość warstw jest całkowitą wielokrotnością połowy długości fali padającego promieniowania. Szerokość pasm transmisyjnych zmniejszała się wraz ze wzrostem liczby lub grubości warstw. Współczynnik transmisji wewnątrz odkrytych przerw wzbronionych mógł zanikać nawet dla bardzo cienkich warstw materiału, w czym upatrywano moŜliwości wytworzenia efektywnych zwierciadeł pracujących w zakresie mikrofalowym. III.3 Istnienie fal wstecznych A.Grbic i G.V.Eleftheriades pod koniec roku 2002 zaprezentowali wyniki przeprowadzonego eksperymentu mającego na celu potwierdzić zjawisko wstecznego rozchodzenia się fali EM w ośrodkach ujemnych i moŜliwość zastosowania takich metamateriałów do budowy anten mikrofalowych [102]. Naładowane cząstki poruszające się w ośrodku z prędkością większą niŜ prędkość fazowa światła emitują spójne promieniowanie zwane promieniowaniem Czerenkowa. Kąt wypromieniowywanego stoŜkowego frontu falowego zaleŜy od wzajemnego stosunku prędkości cząstki V i prędkości fazowej fali EM w otaczającym ośrodku (v(f)) zgodnie ze wzorem cos θ = v ( f ) c / n0 = V V 53 gdzie n0 – współczynnik załamania otaczającego ośrodka, c – prędkość światła, θ – kąt pomiędzy wektorem prędkości cząstki a wektorem falowym odbitej fali EM. Z właściwości funkcji cosinus wynika, Ŝe kąt θ w ośrodku ujemnym będzie rozwarty (θ > 90°), co oznacza wsteczną propagację frontu falowego emitowanej fali EM. JeŜeli rozwaŜamy periodyczną strukturę przewodzącą prędkość cząsteczki V zostanie zastąpiona przez prędkość fazową fali EM w tej strukturze. Wówczas kąt wypromieniowywania energii wyznaczyć moŜna jako cos θ = c / n0 n1 = c / n1 n0 gdzie n1 – współczynnik załamania próbki. Gdy n1<0, emitowane promieniowanie jest skierowane wstecznie do otaczającego strukturę ośrodka dodatniego, co oznacza istnienie wstecznej fali, której istnienie przewidział w 1968 roku Veselago [2]. Zaproponowany model ośrodka ujemnego (opisany za pomocą teorii linii transmisyjnych) został zastosowany w roli anteny odbiorczej i umieszczony został w polu anteny nadawczej. Obracając próbkę z krokiem 1°, zbadano rozkład transmitowanej przez strukturę mocy w zaleŜności od kąta padania z anteny nadawczej. Uzyskany rozkład promieniowania elektromagnetycznego wokół próbki wyraźnie potwierdził istnienie ujemnego promieniowania Czerenkowa. Potwierdzono tym samym kolejną moŜliwość wykorzystania zjawiska ujemnego załamania fali EM. Obecność fal wstecznych w ujemnych metamateriałach czyni je dobrymi kandydatami do budowy płaskich, kompaktowych urządzeń mikrofalowych takich jak mieszacze fal lub soczewki mikrofalowe. Miniaturyzacja tych urządzeń moŜliwa dzięki zastosowaniu sztucznych materiałów umoŜliwiłaby ich zastosowanie w komunikacji bezprzewodowej, radarach, monitoringu i bezprzewodowej transmisji mocy. III.4 Ujemne załamanie światła Doświadczalnego potwierdzenia właściwości metamateriałów w zakresie optycznym dostarczyła grupa badawcza z Purdue University [85] Uzyskane przez nich wyniki dla metamateriału zbudowanego z par złotych nanodrutów, poparte trójwymiarowymi symulacjami numerycznymi FDTD20. Dzięki uŜyciu róŜnych próbek pokazano, Ŝe rodzaj podłoŜa i współczynnik wypełnienia metalem maja kluczowy wpływ na właściwości kompozytu: wartość współczynnika załamania i jego znak. Zaprezentowana w [85] metoda umoŜliwia bezpośredni pomiar wartości i znaku przesunięcia fazowego dla fali świetlnej o polaryzacji liniowej „s” i „p” przy przejściu przez badaną próbkę. Czyni to ją bardziej uniwersalną w porównaniu do metody zaprezentowanej w [86], gdzie mierzono zmiany fazy bez wykorzystania interferometrów, co wymagało dobrej znajomości próbki przed pomiarami. 20 FDTD – Finite Difference Time Domain 54 Dla transparentnych materiałów optycznych przesunięcie fazy fali przechodzącej 2π ⋅ nd przez próbkę o grubości d wyraŜa się φtrans = , więc ujemne przesunięcie fazy λ φtrans < 0 oznacza, Ŝe ośrodek posiada ujemny współczynnik załamania n < 0 . W doświadczeniach interferometrycznych przesunięcie fazy w materiale moŜe być dokładnie zmierzone dzięki wykorzystaniu kontrolnej warstwy powietrza o tej samej 2π d grubości jako φ = φtrans −φ pow , gdzie przesunięcie fazy fali w powietrzu to φ pow = λ zatem n jest ujemne w badanym materiale jeŜeli φ < −φ pow . Płytkę zbudowaną z komórek zawierających metal i dielektryk charakteryzuje absorpcja i odbicia na powierzchniach granicznych, więc związek przesunięcia fazy φ trans i współczynnika załamania n jest bardziej skomplikowany. Z tego względu pomiar przesunięcia fazy fali przechodzącej przez układ został uzupełniony pomiarami amplitudy fali transmitowanej i odbitej. Zespolony współczynnik załamania warstwy zawierającej pary nanodrutów został wyznaczony na podstawie równania cos nkd = 1 − r 2 + n pt 2 (n p + 1) t + rt (n p − 1) , gdzie np to współczynnik załamania podłoŜa21 zaś r,t to amplitudowe współczynniki reflektanci i transmitancji zmierzone doświadczalnie. W symulacji FDTD do opisania przenikalności elektrycznej złota wykorzystano model Debye’a oparty na modelu Drudego 2 2π c 1,3673 ⋅ 1016 ε Au = 9,0 − 2 , gdzie ω = . λ ω + i 1,0027 ⋅ 1014 ω ( ( ) ) 2 2 Amplitudowe współczynniki transmisji T = t i reflektacji R = r mierzone były na spektrofotometrze przy uŜyciu światła spolaryzowanego liniowo. Spektrum transmisyjne zmierzono dla normalnego padania światła, spektrum refleksyjne dla światła padającego pod niewielkim kątem do normalnej – 8°. Ujemny współczynnik załamania zmierzony został poprzez bezpośrednie pomiary fazy i amplitudy dla promieniowania EM o częstości z pobliŜa zakresu telekomunikacyjnego (długość fali 1,5 µm) przy zastosowaniu technik interferencyjnych (Rys. 34). W interferometrze polaryzacyjnym dwa kanały optyczne mają tę samą drogę geometryczną i róŜnią się polaryzacją światła. RóŜnicę faz pomiędzy ortogonalnie spolaryzowanymi falami wyznacza się jako ∆φ = φ|| − φ ⊥ . Drugi interferometr22 posiada dwa kanały optyczne o róŜnych ścieŜkach geometrycznych o tej samej polaryzacji. Wynik odczytywany jest jako δφ = φ próbki − φ pow i opisuje stosunek zmiany fazy wywoływanej przez próbkę φ próbki w odniesieniu do zmiany fazy wywołanej przez kontrolną warstwę powietrza φ pow o jednakowej grubości. 21 22 W doświadczeniu [85] wykorzystano szkło o np = 1,48 Określany w literaturze jako „walk-off interferometer” [85] 55 Rys. 34 Schemat pomiaru transmisji i odbicia fali EM przy uŜyciu interferometru (a) polaryzacyjnego (b) róŜnicowego (na podstawie [85]). Efekt rozszczepienia („walk-off”) przez kalcyt jest uŜywany do rozdzielenia dwóch promieni a następnie do ich złączenia ich, Ŝeby wywołać interferencję jak zostało to pokazana na Rys. 34 (b). Przesunięcia fazy dla obu polaryzacji światła zmierzone drugim interferometrem δφ|| i δφ ⊥ zostały porównane z otrzymaną z pierwszego typu interferometru ∆φ = δφ|| − δφ ⊥ . Błąd metody dla interferometru polaryzacyjnego określony został na ±1,7°. ZauwaŜono, Ŝe grubość podłoŜa nie ma wpływu na pomiar róŜnicy faz ∆φ = δφ|| − δφ ⊥ , co jest typowe dla interferometrów ze wspólną ścieŜką promienia. Dla drugiego interferometru zmiana grubości podłoŜa jest źródłem dodatkowego błędu metody i moŜe zwiększyć go do ±4°. Metamateriał z równoległych par złotych nanodrutów wykazał ujemny współczynnik załamania n ≅ −0,3 dla promieniowania o długości fali 1,3 µm spolaryzowanego poprzecznie magnetycznie (polaryzacja „p”). W tym przypadku światło wzbudzało jednocześnie rezonans elektryczny i magnetyczny. Dla innych konfiguracji współczynnik załamania był bliski zeru, ale cały czas dodatni (najniŜszy wynosił n = 0,08 dla 1,1 µm dla wielowarstwowej struktury analogicznej do tej opisanej w pracy [87]). Dla światła o polaryzacji „s” wzbudzony został rezonans elektryczny (ujemna przenikalność elektryczna) dla promieniowania o długości fali 800 nm, jednak nie udało się dla tak krótkich fal otrzymać ujemnej przenikalności magnetycznej. 56 Ujemne załamanie światła potwierdzone zostało dopiero niedawno, w sierpniu 2006 roku [88]. Wcześniej dla podobnego zakresu częstotliwości udało się wytworzyć i zbadać metamateriał o ujemnej przenikalności magnetycznej [89] zbudowany ze słupków złota o wysokości 85 ± 5 nm i średnicy 100 nm, dla których rezonans magnetyczny wywoływany był przez falę EM o długości 670 nm. W doświadczeniu G.Dolling’a i in. [88] do wytworzenia badanego metamateriału (zob. rozdział II.7) uŜyto srebrnych nanodrutów, co pozwoliło na znaczne zmniejszenie strat i przesunięcie uŜytkowego zakresu częstotliwości w zakres widzialny. W symulacjach FDTD wykorzystano model Drudego, poniewaŜ dla częstotliwości z zakresu optycznego pozwala on wystarczająco dokładnie określić właściwości dielektryczne srebra. Aby bez wątpienia określić parametry metamateriału pomiary interferometryczne róŜnicy faz uzupełniono badaniem czułości fazy. Rys. 35 ZaleŜność transmitancji i reflektanci badanego metamateriału uzyskana (a) doświadczalnie i (b) symulacyjnie [88]. Współczynnik załamania dla rozwaŜanej polaryzacji fali EM o długości 780 nm w badanej próbce przedstawionej na Rys. 27 wyniósł n = −0,6. 57 IV Zastosowania Ujemne załamanie fali EM, poza swoim czysto teoretycznym charakterem, wzbudza ogromne zainteresowanie i emocje właściwie od roku 1967. JuŜ Veselago [2] zwrócił uwagę na pomijane dotąd rozwiązania równań Maxwella i opisał zachowanie się fali elektromagnetycznej padającej na płytkę o ujemnym współczynniku załamania. Ponad 30 lat później dokładnego i obszernego opisu realizacji takiego materiału dokonała w swej pracy grupa badawcza z Uniwersytetu Kalifornijskiego w San Diego [32], zaś Pendry rozwinął koncepcję Veselago opisując sposób działania idealnej soczewki zbudowanej z płasko-równoległej płytki materiału o ujemnym współczynniku załamania [93]. Artykuł ten podzielił świat naukowców na dwie grupy: tych, którzy optymistycznie podchodzili do potencjalnych moŜliwości, jakie daje zastosowanie metamateriałów we współczesnej optyce oraz sceptyków tej idei [57], [94]−[96]. IV.1 Perfekcyjna soczewka Jednym z najczęściej stosowanych i najdłuŜej znanych elementów optycznych jest soczewka. MoŜe być uŜywana do skupiania bądź kierowania promieniowania, co pozwala na wykorzystanie jej w ogromnej ilości układów i dla wielu długości fali – od fal radiowych po optyczne. JeŜeli uświadomimy sobie jak szeroki jest zakres jej zastosowań, zrozumiemy dlaczego wokół moŜliwości wykorzystania zjawiska ujemnego załamania fali elektromagnetycznej w celu wytworzenia soczewki idealnej rozpętała się tak Ŝarliwa dyskusja pośród naukowców. Zjawisko załamania stanowi podstawę istnienia soczewek i odwzorowywania obrazów. KaŜdy materiał o współczynniku załamania innym niŜ współczynnik załamania otoczenia zmienia kierunek biegu fali elektromagnetycznej przy jej przejściu przez granicę tych dwóch ośrodków. Kiedy fala pada na powierzchnię styku dwóch materiałów pod przypadkowym kątem, kierunek rozchodzenia się fali po wejściu do drugiego ośrodka zmienia się o wartość zaleŜną od współczynników załamania obu ośrodków. Ilościowej zaleŜności pomiędzy kątem padania θ1 i załamania θ2 mierzonymi od normalnej do powierzchni padania, oraz współczynnikami załamania obu materiałów n1 i n2 dostarcza prawo Snelliusa (otrzymane przy Ŝądaniu równości fazy fali padającej i przechodzącej) n1 sin θ1 = n2 sin θ 2 Idealna soczewka płaska Veselago przewidział [2], przenikalnościach równych Ŝe materiał ε r = −1 µr = −1 , o jednocześnie ujemnych względnych (3.20) będzie wykazywał ujemny współczynnik załamania n = −1 , a materiał taki będzie zachowywał się jak soczewka skupiająca. W roku 2001 istnienie zjawiska ujemnego 58 załamania fali potwierdzono eksperymentalnie [54] a w kolejnych latach zaprojektowane zostały materiały, które umoŜliwiają otrzymanie ujemnych przenikalności elektrycznej [5]−[7], [32] i magnetycznej [6], [7], [32], [97], [98], takŜe przy wykorzystaniu struktur fotonicznych [99]. Zaproponowaną przez Veselago teorię rozwinął Pendry [93], który wykazał, Ŝe jeŜeli warunek (3.20) zostanie spełniony bardzo dokładnie, rozwaŜana soczewka będzie skupiała padające promieniowanie idealnie punkt w punkt23. Sposób na realizację takiej soczewki Pendry dostrzegł w metamateriałach wykonanych po raz pierwszy przez grupę Smith’a [32]. Powszechnie wiadomo, iŜ zdolności skupiające soczewki, a więc rozdzielczość obrazu, ograniczona jest przez długość promieniowania padającego na układ. śadna powszechnie stosowana soczewka nie jest w stanie skupić promienia fali EM na obszarze mniejszym niŜ kwadrat długości fali. WiąŜe się to z faktem, iŜ cała informacja o przedmiocie przenoszona przez falę EM podzielona jest na dwa obszary – bliski i daleki. Tradycyjne soczewki są w stanie zrekonstruować tylko dalekie składowe pola EM, zaś informacja zawarta w bliskim polu w postaci zanikających fal przypowierzchniowych nie moŜe zostać odtworzona i jest bezpowrotnie tracona, co ma decydujący wpływ na jakość uzyskanego obrazu. a) b) Rys. 36 (a) Bieg promieni w płytce z materiału o ujemnym współczynniku załamania; (b) Płytka z materiału o współczynniku załamania n=-1 załamuje światło pod ujemnym kątem względem normalnej. Światło skupiane jest dwukrotnie: wewnątrz płytki i poza nią. Według Pendry’ego alternatywą dla tradycyjnej soczewki jest płasko–równoległa płytka z materiału o ujemnym współczynniku załamania (Rys. 36). Światło przechodzące przez płytkę o grubości d2 umieszczoną w odległości d1 od źródła promieniowania jest skupiane w odległości z = d2 – d1 po drugiej stronie płytki. Przenikalność elektryczna i magnetyczna materiału równe są –1 i współczynnik załamania jest ujemny zgodnie z równaniem (1.15). Impedancja ośrodka pozostaje w tym przypadku dodatnia 23 W literaturze zjawisko to określane jest mianem „superskupienia” lub „supersoczewkowania”. 59 Z= µµ 0 , εε 0 (4.7) i jeŜeli taka soczewka umieszczona jest w próŜni, nie występuje odbicie i promieniowanie jest w całości transmitowane przez układ. Pendry rozpatrzył punktowe źródło promieniowania elektromagnetycznego o częstości ω, którego pole E (r , t ) = ∑ E (k x , k y ) × exp(ik z z + ik x x + ik y y − iω t ) , (4.1) propaguje się wzdłuŜ osi z soczewki. Zgodnie z równaniami Maxwella mamy kz = + ω2 c2 ω2 c2 − k x2 − k y2 , (4.2) >k +k . 2 x 2 y Zadaniem soczewki jest korekta fazy kaŜdej ze składowych Fouriera pola elektromagnetycznego tak, aby w pewnej odległości od soczewki nastąpiło skupienie i powstał obraz źródła promieniowania. JeŜeli ω2 k z = +i k x2 + k y2 − ω2 c2 c2 , (4.3) <k +k , 2 x 2 y fale przypowierzchniowe zanikają ekspotencjalnie wzdłuŜ osi z i ich amplituda nie jest odtwarzana. Powstały obraz źródła promieniowania tworzony jest tylko z fal rozchodzących się wzdłuŜ osi z. PoniewaŜ fale te ograniczone są do k x2 + k y2 < ω2 c2 , (4.4) więc największa moŜliwa do uzyskania rozdzielczość to ∆≈ 2π c 2π = =λ ω k max (4.5) W przypadku tych fal ich zanikanie ma związek z amplitudą, nie zaś z fazą, zatem aby temu zapobiec konieczne jest ich wzmocnienie, nie zaś korekta fazy. Pendry udowadnia [93], Ŝe fale przypowierzchniowe doznają potrzebnego wzmocnienia w procesie transmisji przez płytkę o ujemnym współczynniku załamania, zatem metamateriały mają zdolność zapobiegania zanikaniu fal przypowierzchniowych. 60 Idealna soczewka sferyczna Płytka z materiału o ujemnym współczynniku załamania skupia promieniowanie elektromagnetyczne, jeŜeli zaś współczynnik ten równy jest –1 zachowuje się jak idealna soczewka skupiająca produkując idealny obraz odwzorowywanego przedmiotu. Jednak powstały w ten sposób obraz jest w skali 1:1 i powiększenie go nie jest moŜliwe. Uzyskanie idealnego i powiększonego obrazu przedmiotu wymaga zastosowania soczewki skupiającej o zakrzywionej powierzchni, co pociąga za sobą konieczność zmiany definicji przenikalności elektrycznej ε i magnetycznej µ materiału tak, aby były one funkcjami połoŜenia. W roku 2003 Pendry przedstawił sposób na uzyskanie powiększenia w perfekcyjnych soczewkach [100]. Aby uzyskać idealną soczewkę powiększającą, powierzchnia materiału musiała być zagięta, przy jednoczesnym zachowaniu wszystkich jego właściwości fizycznych. Pendry zaproponował dwie moŜliwości budowy takiej soczewki (Rys. 37). Rys. 37 Soczewka o cylindrach współosiowych (a) i stycznych wewnętrznie (b); r2 = r1 b2 a2 (na podstawie [100]) Deformacja kształtu powierzchni pociągała za sobą zmianę charakteru parametrów takiego materiału. Zastosowana przez Pendry’ego transformacja między tymi geometrią planarną i cylindryczną szczegółowo opisana została w [100]. Efektem takiej transformacji była cylindryczna soczewka, która odtwarzała i powiększała bez zniekształceń zawartość mniejszego cylindra (o promieniu a) na zewnątrz większego cylindra (o promieniu b) lub wytwarzała pomniejszony idealny obraz obiektu umieszczonego na zwenątrz większego cylindra wewnątrz cylindra mniejszego. Współczynnik powiększenia soczewki 2 to b 2 . Ponadto jest to soczewka jest krótkoogniskowa i tylko obiekty oddalone od jej a 2 osi o mniej niŜ r = b mogą być odwzorowane wewnątrz przestrzeni pomiędzy a cylindrami, zaś obiekty umieszczone w tej przestrzeni jak równieŜ te umieszczone bliŜej 2 środka niŜ r = a nie wytworzą obrazu na zewnątrz duŜego cylindra. Przenikalności b elektryczna ε i magnetyczna µ opisanej soczewki muszą być proporcjonalne do odwrotności kwadratu promienia 1 2 [100]. r 61 IV.2 Urządzenia mikrofalowe Metamateriały o ujemnym współczynniku załamania znalazły zastosowanie takŜe w budowie róŜnego typu urządzeń mikrofalowych. W tym zakresie jednym z najbardziej aktywnych metamateriałoznawców jest George V. Eleftheriades. Opisany przez niego model linii transmisyjnych dla metamateriału o ujemnym współczynniku załamania [53], [65] okazał się być bardzo uŜyteczny, ze względu na swoją prostotę i łatwość, z jaką moŜna przy jego uŜyciu budować dwuwymiarowe obwody mikrofalowe. Kompaktowy, jednowymiarowy modulator fazy zbudowany z naprzemiennie ułoŜonych warstw materiału ujemnego i dodatniego [101] posiada kilka niewątpliwych zalet w porównaniu do swojego konwencjonalnego odpowiednika. Zastosowanie warstw o ujemnym współczynniku załamania pozwoliło zminiaturyzować modulator a jednocześnie uniezaleŜnić jego działanie od wymiarów. Ponadto udowodniono, Ŝe odpowiedni dobór wartości poszczególnych elementów pojemnościowych i indukcyjnych w modelu linii transmisyjnych uŜytego metamateriału pozwala na osiągnięcie dodatniego, ujemnego lub zerowego przesunięcia fazy fali EM, przy jednoczesnym zachowaniu niewielkich wymiarów urządzenia. Ze względu na swoje niewielkie wymiary, planarną geometrię i liniową odpowiedź, modulatory wykorzystujące ujemne załamanie są łatwe do zintegrowania ich z innymi urządzeniami mikrofalowymi. MoŜliwość wykorzystania metamateriałów o ujemnym współczynniku załamania jako anteny mikrofalowej [102], [103] opisana została pod koniec 2002 roku przez A.Grbic’a i G.V. Eleftheriades’a. Zarówno symulacje jak i eksperyment potwierdziły dyspersyjny charakter odbiorczej anteny mikrofalowej (zob. rozdział III.3) wykorzystującej ujemne materiały: kąt, pod jakim rozchodziła się emitowana fala wsteczna jest silnie zaleŜny od częstości uŜytego padającego promieniowania ω zgodnie −1 z równaniem B ≈ , gdzie v ( g ) ≅ ω 2 LC d . ω LC d 62 IV.3 Najnowsze odkrycia Najnowszy sposób wykorzystania metamateriałów przedstawiony został przez Pendry’ego, Schuringa i Smitha [104] w maju 2006 roku. Zaprezentowali oni sposób na dowolne kształtowanie linii pola EM przy uŜyciu wydrąŜonej kuli z metamateriału o ujemnym współczynniku załamania, do której wnętrza promieniowanie EM o określonej częstości nie wnika (Rys. 38). Rys. 38 Bieg promieni wewnątrz układu, widok w dwóch (A) i w trzech wymiarach (B) [104]. Odpowiednio zaprojektowany metamateriał umoŜliwia praktycznie dowolne zniekształcenie trajektorii padającego promieniowania: moŜna spowodować, by promieniowanie ominęło pewną część przestrzeni, a następnie wróciło na swój pierwotny tor (Rys. 39). Rys. 39 Linie pola EM pochodzące od punktowego źródła promieniowania zakrzywiają się wokół obszaru wewnątrz kuli, a następnie wracają na swój pierwotny tor [104]. Dystorsję pola EM opisano stosując transformacje przestrzenną współrzędnych do określenia wartości przenikalności elektrycznej ε i magnetycznej µ przy jednoczesnym spełnieniu równań Maxwella. Aby skompresować pole, które pierwotnie wypełniało 63 przestrzeń r < R2 , do przestrzeni R1 < r < R2 pomiędzy współśrodkowymi kulami, zastosowano współrzędne przestrzenne r ' = R1 + r ( R2 − R1 ) / R2 ' , θ = θ ' ϕ = ϕ (4.6) które następnie wykorzystano do zdefiniowania przenikalności elektrycznej ε’ i magnetycznej µ’ w tym układzie R2 (r '− R1 ) 2 , ( R2 − R1 )r ' R2 ε 'θ ' = µ 'θ ' = , R2 − R1 R2 ε 'ϕ ' = µ 'ϕ ' = . R2 − R1 ε 'r ' = µ 'r ' = (4.7) Dla kuli wewnętrznej r < R1 wartości ε’ i µ’ mogą być dowolne i nie mają wpływu zewnętrzną ( r > R2 ) na rozpraszanie promieniowania EM, poza kulą ε ' r ' = µ ' r ' = ε 'θ ' = µ 'θ ' = ε 'ϕ ' = µ 'ϕ ' = 1 , zaś na granicy r = R2 występuje idealne dopasowanie opisane warunkami ε 'θ ' = ε 'ϕ ' = 1 1 oraz µ 'θ ' = µ 'ϕ ' = ε 'r ' µ 'r ' (4.8) Dzięki temu osłona wykonana z takiego metamateriału będzie omijana przez promieniowanie z zakresu częstotliwości, dla którego został on zaprojektowany. Co więcej, kaŜdy otoczony nią obiekt, będzie niezauwaŜalny z zewnątrz. PowyŜszy opis wyklucza jednak istnienie pola EM wewnątrz obszaru r < R1 , co oznacza, Ŝe obserwator znajdujący się wewnątrz niego obserwator równieŜ nie będzie widział tego, co znajduje się po drugiej stronie osłony metamateriałowej. Takie osłony mogłyby być uŜywane do całkowitej ochrony urządzeń wraŜliwych na działanie promieniowania o konkretnej częstości, a zastosowane dla zakresu widzialnego, stanowiłyby urządzenie kamuflujące. 64 V Transmitancja warstwowych układów optycznych Metamateriały o ujemnym współczynniku załamania znajdą zapewne zastosowanie w konstrukcji wielu urządzeń optycznych bazujących na supersieciach. Ze względu na to, w tym rozdziale prezentujemy wzory Fresnela dla prostych układów wielowarstwowych zawierających ośrodki ujemne i dodatnie. Supersieć jest nową klasą materiałów niemoŜliwą do wytworzenia za pomocą powszechnie stosowanych metod wzrostu kryształów. Składa się z ułoŜonych naprzemiennie co najmniej dwóch rodzajów warstw materiałów dielektrycznych o grubości kilku atomów. W porównaniu do konwencjonalnych kryształów, supersieci zapewniają większą elastyczność projektowania nowych materiałów, charakteryzują się lepszą luminescencją kwantową oraz oferują moŜliwość projektowania struktury pasmowej materiału. Wszystkie te cechy zawdzięczają ściśle określonemu rozkładowi współczynnika załamania n, przenikalności elektrycznej ε i magnetycznej µ uzyskiwanym poprzez ustalony porządek ułoŜenia poszczególnych warstw w strukturze supersieci opisany za pomocą wzorów rekurencyjnych. Do analizy i obliczeń najprostsze są sieci dwuskładnikowe. Transmitancja wielowarstwowych układów optycznych omówiona została obszernie w [15], [106]. Tutaj natomiast przedstawiona zostanie supersieć binarna, w której jeden z uŜytych materiałów jest metamateriałem o ujemnym współczynnikiem załamania n. RozwaŜane są dwa układy optyczne złoŜone z trzech warstw materiałów przedstawione na Rys. 40 i Rys. 41. Dla uproszczenia zakładamy, Ŝe współczynnik załamania ośrodka wejściowego i wyjściowego są jednakowe, czyli płytka środkowa otoczona jest dwoma płytkami wykonanymi z tego samego metamateriału o ujemnym bądź dodatnim współczynniku załamania. Drugim poczynionym uproszczeniem jest załoŜenie, iŜ uŜywamy bezdyspersyjnych materiałów dodatnich. Rozpatrzone zostaną dwie konfiguracje. Pierwsza, przedstawiona jest na (Rys. 40), gdzie pomiędzy półpłaszczyznami ośrodka ujemnego znajduje się ośrodek dodatni i druga (Rys. 41), gdzie ośrodek dodatni otacza ośrodek ujemny. Rys. 40 Ośrodek dodatni otoczony półpłaszczyznami z jednakowego, ujemnego metamateriału. 65 Rys. 41 Płytka płasko-równoległa wykonana z metamateriału o ujemnym współczynniku załamania otoczona półpłaszczyznami jednakowego, bezdyspersyjnego ośrodka dodatniego. Aby wyeliminować z rozwaŜań przypadki całkowitego wewnętrznego odbicia, gdy θ 2 = π , wybieramy tylko takie kąty padania, które wynikają z zastosowania prawa 2 załamania π n1 ⋅ sin θ1 < n 2 ⋅ sin 2 n1 ⋅ sin θ1 <1 n2 co oznacza, Ŝe kąt padania na pierwszą powierzchnię graniczną musi spełniać warunek n sin θ1 < 2 . n1 PoniewaŜ na wejściu i wyjściu fali elektromagnetycznej uŜyty został ten sam ośrodek i współczynnik załamania wejściowy i wyjściowy są jednakowe, więc kąt wyjścia θ 3 fali elektromagnetycznej będzie równy co do wartości kątowi wejścia θ1 , co jest zgodne z prawem Snelliusa. Dla rozpatrywanych układów prawo Snelliusa moŜna zapisać następująco Dla układu I: − n1 ⋅ sin θ1 = n2 ⋅ sin(−θ 2 ) n 2 ⋅ sin θ 2 = n1 ⋅ sin(−θ 3 ) dla pierwszej granicy ośrodków dla drugiej granicy ośrodków Dla układu II: n2 ⋅ sin θ1 = − n1 ⋅ sin(−θ 2 ) dla pierwszej granicy ośrodków − n1 ⋅ sin θ 2 = n2 ⋅ sin(−θ 3 ) dla drugiej granicy ośrodków Po wykonaniu prostych przekształceń matematycznych wyraźnie widać, iŜ w kaŜdym z przypadków kąty są sobie równe co do wartości, czyli θ1 = θ 3 . 66 V.1 Ujemne załamanie fali EM Zachowanie się fali elektromagnetycznej przy przejściu przez granicę ośrodków o róŜnych co do wartości i przeciwnych co do znaku współczynnikach załamania ilustruje rysunek Rys. 42 Fala elektromagnetyczna na granicy ośrodków o przeciwnych znakach współczynnika załamania. Zakładamy teŜ, Ŝe spełnione są warunki ciągłości linii pola elektromagnetycznego na granicy dwóch ośrodków (1.3) oraz Ŝe częstość drgań fali elektromagnetycznej jest stała. Wektory falowe leŜą wtedy w jednej płaszczyźnie zwanej płaszczyzną padania i mają postać k j = [k x, j , 0, k z , j ] = [ n j ω c cos θ j , 0, n j ω c sin θ j ] (5.1) gdzie: j = 1,2. 67 Wykorzystywana tu jest wielkość zwana liczbą falową i definiowana jako k = ω c dla propagacji fali elektromagnetycznej w próŜni. WyraŜa ona całkowitą liczbę długości fali zawartą w odległości 1 m Zgodnie z prawem odbicia, kąt padania fali EM na granicę ' dwóch ośrodków jest równy kątowi odbicia θ1 = θ 1 oraz spełnione jest prawo Snelliusa. V.2 Polaryzacja typu „s” i „p” W zaleŜności od typu polaryzacji fali elektromagnetycznej rozkład wektorów pól oraz wektorów falowych fali EM przy przejściu przez granicę ośrodków o przeciwnych co do znaku współczynnikach załamania przedstawiony jest na Rys. 43 oraz Rys. 44 [15]. Rys. 43 Polaryzacja typu „s” – wektor pola E = [0 , Ey , 0]. Rys. 44 Polaryzacja typu „p” – wektor pola H = [0 , Hy , 0]. gdzie: E1( + ) to amplituda fali padającej, E1( − ) to amplituda fali odbitej, E 2( − ) to amplituda fali załamanej, E 2( + ) to amplituda fali odbitej od drugiej powierzchni granicznej. 68 V.3 Dyspersja współczynnika załamania Ujemny współczynnik załamania metamateriałów ma charakter silnie dyspersyjny, co oznacza, Ŝe jego wartość jest bardzo czuła na zmiany częstości promieniowania elektromagnetycznego padającego na układ. Zjawisko to opisane jest przez następujące związki dyspersyjne[22] ε r (ω ) = 1 + gdzie: ω p2ε γ ε ,γ µ µr (ω ) = 1 + , ωε2 − ω 2 + i ⋅ ω ⋅ γ ε ω 2pµ ωµ2 − ω 2 + i ⋅ ω ⋅ γ µ (5.2) – tłumienie dla przenikalności elektrycznej i magnetycznej, i = − 1 . Dla ułatwienia analizy zakładamy, Ŝe rozpatrujemy tylko częstości bliskie częstości rezonansowej ωε i ω µ co oznacza brak tłumienia, czyli γ ε = γ µ = 0 V.4 Amplitudowe współczynniki transmisji Na podstawie warunków granicznych (1.3) dla fali elektromagnetycznej, stwierdzić moŜna, iŜ ciągłość składowych stycznych pola elektrycznego i magnetycznego zachowana jest jedynie w punkcie x = 0. Pozwala to zapisać relacje między natęŜeniami fali padającej i odbitej oraz padającej i załamanej uŜywając wzorów Fresnela. W ten sposób moŜna określić amplitudowy współczynnik odbicia rj,j+1 oraz amplitudowy współczynnik załamania tj,j+1 dla obu typów polaryzacji, gdzie indeksy j,j+1 oznaczają numery sąsiadujących warstw układu optycznego. W rozwaŜanym tutaj przypadku układ składa się z trzech warstw, co pozwala zapisać wyraŜenia na współczynniki transmisji t i odbicia r dla obu typów polaryzacji w postaci analitycznej. JeŜeli rozwaŜamy przejście fali EM z ośrodka ujemnego n1<0 do dodatniego n2>0 (pierwsza powierzchnia graniczna na Rys. 40 oraz druga powierzchnia graniczna na Rys. 41), amplitudowe współczynnik odbicia r12 i amplitudowy współczynnik transmisji t12 dla polaryzacji „s” (poprzeczna polaryzacja elektryczna, Rys. 43) mają postać Amplitudowy współczynnik odbicia: k x ,1 E1( − ) rs = ( + ) E1 − k x,2 n1 ω c cos θ1 = µ1 n1 cos θ1 µ1 ω c cos θ 2 µ µ2 µ1 µ2 = 1 = = ω ω s k x ,1 + k x , 2 n1 cos θ1 n 2 cos θ 2 c c µ1 µ2 + µ1 n1 cos θ1 − n2 − + n 2 cos θ 2 µ2 n2 cos θ 2 µ2 = µ2 (5. 3) (− ε r (ω )) ⋅ (− µ r (ω )) ⋅ cos θ1 n2 cos θ 2 − µ2 (− µ r (ω )) (− ε r (ω )) ⋅ (− µ r (ω )) ⋅ cos θ1 n2 cos θ 2 + (− µ r (ω )) µ2 69 Amplitudowy współczynnik transmisji: n1 k x ,1 ω c cos θ1 2⋅ 2⋅ µ1 µ1 = = = ω ω s k x ,1 + k x , 2 n1 cos θ1 n 2 cos θ 2 c c µ1 µ2 + E (−) t s = 2( + ) E1 µ1 2⋅ = µ1 2⋅ µ1 + (5. 4) (− ε r (ω )) ⋅ (− µ r (ω )) ⋅ cos θ1 (− µ r (ω )) (− ε r (ω )) ⋅ (− µ r (ω )) ⋅ cos θ1 n2 cos θ 2 + (− µ r (ω )) µ2 n1 cos θ1 n1 cos θ1 µ2 n2 cos θ 2 = µ2 Korzystamy w tym miejscu (jak równieŜ w dalszych wyprowadzeniach) z zaleŜności dyspersyjnych dla przenikalności elektrycznej i magnetycznej określonych są wzorami (5.2) oraz wzoru (1.16) na ujemny współczynnik załamania. Transmisję fali elektromagnetycznej spolaryzowanej poprzecznie magnetycznie (polaryzacja „p”, Rys. 44) opisują natomiast Amplitudowy współczynnik odbicia: H rp = H (−) 1 (+) 1 n ⋅ 2 1 (−) 1 (+) 1 E = p E n2 = n ⋅ 2 1 = n2 ω c cos θ 2 µ1 ω c cos θ 2 µ1 µ1 ⋅ k 2 µ 2 ⋅ k1 −n ⋅ 2 2 +n ⋅ 2 2 n1 n1 n12 ⋅ k x,2 n ⋅ k x,2 = 2 1 ω c µ1 cos θ1 µ2 ω c µ1 cos θ1 − n 22 ⋅ k x ,1 +n ⋅ k x ,1 2 2 = − + µ1 n1 cos θ 2 µ1 = µ2 n1 cos θ 2 µ2 (− ε r (ω )) ⋅ (− µ r (ω )) ⋅ cos θ 2 (− µ r (ω )) (− ε r (ω )) ⋅ (− µ r (ω )) ⋅ cos θ 2 (− µ r (ω )) µ2 − + n 2 cos θ1 µ2 n 2 cos θ1 = (5.5) µ2 n 2 cos θ1 µ2 n 2 cos θ1 µ2 70 Amplitudowy współczynnik transmisji: H t p = H (−) 2 (+) 1 (−) 2 (+) 1 E = p E 2 ⋅ n1 ⋅ n 2 ⋅ = n12 ⋅ n2 ω 2⋅ = c cos θ 2 µ1 2 ⋅ n1 ⋅ n 2 ⋅ µ1 ⋅ k 2 µ 2 ⋅ k1 n1 ω c = n ⋅ 2 1 k x,2 + n 22 ⋅ n1 ω c µ2 +n ⋅ 2 2 µ1 cos θ1 µ2 k x ,1 2⋅ = cos θ1 k x ,1 µ2 n1 cos θ1 n1 cos θ 2 µ1 µ2 = µ2 + n 2 cos θ1 = (5.6) µ2 (− ε r (ω )) ⋅ (− µ r (ω )) ⋅ cos θ1 µ2 (− ε r (ω )) ⋅ (− µ r (ω )) ⋅ cos θ 2 (− µ r (ω )) + n 2 cos θ1 µ2 Dla przejścia fali EM z ośrodka dodatniego n1>0 do ujemnego n2<0 (druga powierzchnia graniczna na Rys. 40 oraz pierwsza powierzchnia graniczna na Rys. 41), poprzez analogię amplitudowe współczynnik odbicia r12 i amplitudowy współczynnik transmisji t12 dla polaryzacji „s” określić moŜna jako Amplitudowy współczynnik odbicia: k x ,1 E ( −) rs = 1( + ) E1 k x,2 n1 ω c cos θ1 = µ1 n1 cos θ1 µ1 ω c cos θ 2 − − µ1 µ 2 µ1 µ2 = = = ω ω s k x ,1 + k x , 2 n1 cos θ1 n 2 cos θ 2 c c µ1 µ2 + µ1 n1 cos θ1 n2 − + n 2 cos θ 2 µ2 n 2 cos θ 2 µ2 n1 cos θ1 = µ1 n1 cos θ1 µ1 − + µ2 (5.7) (− ε r (ω )) ⋅ (− µ r (ω )) ⋅ cos θ 2 (− µ r (ω )) (− ε r (ω )) ⋅ (− µ r (ω )) ⋅ cos θ 2 (− µ r (ω )) 71 Amplitudowy współczynnik transmisji: E ( −) t s = 2( + ) E1 2⋅ k x ,1 2⋅ n1 ω c cos θ1 µ1 µ1 = = = ω ω k k x , 1 x , 2 s n1 cos θ1 n 2 cos θ 2 + c c µ1 µ2 + µ1 2⋅ = n1 cos θ1 2⋅ µ1 n1 cos θ1 + µ1 µ2 n2 cos θ 2 = µ2 (5.8) n1 cos θ1 µ1 (− ε r (ω )) ⋅ (− µ r (ω )) ⋅ cos θ1 n1 cos θ1 + (− µ r (ω )) µ1 Dla fali EM o polaryzacji „p” współczynniki wynoszą Amplitudowy współczynnik odbicia: H rp = H ( −) 1 (+) 1 n ⋅ 2 1 E = p E n2 = n ⋅ 2 1 (−) 1 (+) 1 n2 ω c µ1 ω c n1 cos θ 2 = µ1 n1 cos θ 2 µ1 cos θ 2 cos θ 2 µ1 − + n12 ⋅ k x,2 − n 22 ⋅ k x ,1 µ1 ⋅ k 2 µ1 µ2 = = k x, 2 k x ,1 2 2 µ 2 ⋅ k1 n1 ⋅ + n2 ⋅ µ1 −n ⋅ 2 2 +n ⋅ 2 2 n1 n1 ω c cos θ1 µ2 ω c cos θ1 µ2 n1 cos θ 2 = µ1 n1 cos θ 2 µ2 µ1 − + n 2 cos θ1 µ2 n 2 cos θ1 µ2 = (5.9) (− ε r (ω )) ⋅ (− µ r (ω )) ⋅ cos θ1 (− µ r (ω )) (− ε r (ω )) ⋅ (− µ r (ω )) ⋅ cos θ1 (− µ r (ω )) 72 Amplitudowy współczynnik transmisji: H (−) t p = 2( + ) H1 2 ⋅ n1 ⋅ n 2 ⋅ = n ⋅ 2 1 n2 ω c cos θ 2 µ1 n1 n1 cos θ 2 µ1 + ω c +n ⋅ 2 2 = n ⋅ 2 1 k x,2 µ1 cos θ1 µ2 2⋅ = µ1 ⋅ k 2 µ 2 ⋅ k1 E (−) = 2( + ) p E1 2 ⋅ n1 ⋅ n 2 ⋅ n1 ω c cos θ1 µ2 +n ⋅ 2 2 2⋅ = k x ,1 µ2 = µ2 n1 cos θ1 n1 cos θ 2 µ1 k x ,1 µ2 + n 2 cos θ1 µ2 = (5.10) n1 cos θ1 (− µ r (ω )) (− ε r (ω )) ⋅ (− µ r (ω )) ⋅ cos θ1 (− µ r (ω )) Równania (5. 3)–(5.10) moŜna wykorzystać do opisu propagacji fale elektromagnetycznej w układzie stosując formalizm macierzowy (Dodatek D). 73 V Podsumowanie Zjawisko ujemnego załamania fali elektromagnetycznej jest zagadnieniem nowym i nie do końca jeszcze poznanym. Sprzeczne z intuicją właściwości, jakie wykazują ośrodki charakteryzujące się ujemnym współczynnikiem załamania, wciąŜ wzbudzają wiele oŜywionych dyskusji w środowisku naukowym. W ostatnich latach przedstawiono kilka sprzecznych ze sobą opinii [109]. Wydaje się jednak, Ŝe okres najŜarliwszych dyskusji metamateriały mają juŜ za sobą. Ich wyjątkowość potwierdzona została kilkoma wiarygodnymi eksperymentami, których wyniki trudno zakwestionować. Do najbardziej przełomowych naleŜą doświadczenia wykonane w sierpniu 2006 roku, których wyniki zostaną wkrótce opublikowane [88], [107]. Po raz pierwszy efekty eksperymentu przy uŜyciu układów zawierających metamateriały moŜna było obserwować w laboratorium gołym okiem. Nowy rozdział w historii metamateriałów stanowi moŜliwość ich praktycznego wykorzystania. Teraz pytanie nie brzmi juŜ „Jak wytworzyć ośrodek o ujemnym współczynniku załamania?”, ale raczej „Jak go wykorzystać?”. Opisywane w literaturze zastosowania obejmują zarówno obszary dość dobrze juŜ poznane jak technika mikrofalowa, poprzez urządzenia wykorzystywane w Ŝyciu codziennym na przykład w medycynie (MRI24 – obrazowanie przy uŜyciu magnetycznego rezonansu jądrowego) aŜ po pomysły z pogranicza science fiction jak powodowanie niewidzialności obiektów [104] lub ich lewitowania [108]. O ile praktyczne zastosowanie tych ostatnich wciąŜ jeszcze mieści się poza granicami wyobraźni przeciętnego człowieka, to ulepszenie metody MRI przyniosłoby bardzo wymierne efekty. Przekroczenie granicy dyfrakcji (zob. Rozdział IV.1) oznacza moŜliwość obrazowania wnętrza ciała ludzkiego z dokładnością większą niŜ długość fali uŜywanego promieniowania, co pozwoliłby na wykrywanie juŜ pojedynczych komórek nowotworowych. Praca stanowi syntezę dokonań w omawianej dziedzinie. Dość szczegółowo przedstawiono podstawowe idee leŜące u podstaw koncepcji Veselago (Rozdział I). Scharakteryzowano stosowaną w literaturze źródłowej terminologię oraz dokonano klasyfikacji ośrodków na dodatnie i ujemne. Zaprezentowano zwięzły rys historyczny dotyczący technologii wytwarzania metamateriałów, a następnie omówiono rozwiązania technologiczne z przełomu XX i XXI wieku (Rozdział II). DuŜo uwagi poświęcono modelowaniu badanych struktur za pomocą linii transmisyjnych. Dokładnie omówiono teorię linii transmisyjnych (Dodatek C) i zasadność stosowania jej w tym przypadku. Praca uwzględnia najnowsze osiągnięcia technologiczne umoŜliwiające wytwarzanie metamateriałów dla widzialnego zakresu widma elektromagnetycznego. Stosunkowo duŜo uwagi poświęcono zebraniu wyników eksperymentów, które jednoznacznie potwierdziły hipotezę Veselago o istnieniu ośrodków o ujemnym współczynniku załamania i udowodniły posiadanie przez nie przewidywanych wyjątkowych właściwości fizycznych (Rozdział III). Zaprezentowano najnowsze i oczekujące na publikację eksperymenty dla zakresu widzialnego. 24 MRI − Magnetic Resonance Imaging 74 Opisany został szereg wybranych zastosowań metamateriałów i układów je zawierających w dzisiejszej technice (Rozdział IV). DuŜo uwagi poświęcono dokładnemu wyjaśnieniu teorii Pendry’ego dotyczącej idealnej soczewki płaskiej i sferycznej. Szczególny nacisk połoŜony został na zastosowania metamateriałów w widzialnym zakresie widma elektromagnetycznego – zarówno te juŜ wynalezione jak i zupełnie nowe, wzbudzające wielkie nadzieje naukowców. Scharakteryzowana została polaryzacja fali elektromagnetycznej na granicy ośrodków o przeciwnych współczynnikach załamania, co poparte zostało starannymi rysunkami (Rozdział V). Wyprowadzono wzory Fresnela dla ośrodków dodatnich i ujemnych, a takŜe omówiono proste wielowarstwowe układy optyczne zawierające metamateriały. Zdefiniowano pojęcie supersieci optycznych i zwięźle przedstawiono ich główne zalety. Omówiono takŜe sposób opisu propagacji fali elektromagnetycznej przez układy warstwowe przy zastosowaniu formalizmu macierzowego (Dodatek D). Wyprowadzone w rozdziale V wzory Fresnela mogą być przydatne przy numerycznym modelowaniu propagacji fali elektormagnetycznej przez supersieci optyczne zawierające ośrodki ujemne. W pracy zebrano obszerny spis literatury dotyczącej ujemnego załamania fal elektromagnetycznych. Zawiera on najwaŜniejsze, wydane ostatnio, pozycje ksiąŜkowe, liczne publikacje naukowe powstałe zarówno w początkowym okresie rozwoju tej dziedziny jak i oczekujące na wydanie, najnowsze odkrycia oraz adresy najbardziej wartościowych pod względem merytorycznym stron internetowych dotyczących metamateriałów. Z tych powodów praca moŜe być wykorzystana jako obszerny materiał źródłowy do celów naukowych i dydaktycznych. Według najlepszej wiedzy Autorki, praca stanowi obecnie jedyne tak obszerne opracowanie w języku polskim zagadnień z zakresu podstaw fizycznych i technologii otrzymywania metamateriałów wykazujących zjawisko ujemnego załamania fal elektromagnetycznych. 75 Dodatek A – Iloczyn wektorowy r r r Iloczynem wektorowym wektorów a = [a x , a y , a z ] i b = [bx , b y , bz ] jest wektor c określony jako r c = [c x , c y , c z ] = [ a y b z − a z b y , a z b x − a x b z , a x b y − a y b x ] r Wektor wynikowy c ma następujące właściwości: • • jego wartość jest równa iloczynowi wartości obu wektorów wyjściowych razy sinus r r r r r kąta zawartego między nimi c = a ⋅ b ⋅ sin(a, b) r r jest on prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory wyjściowe a i b • jego zwrot ustalany jest przy pomocy reguły śruby prawoskrętnej Wartość iloczynu wektorowego jest równa iloczynowi długości pierwszego wektora przez długość rzutu drugiego wektora na kierunek prostopadły do pierwszego wektora. Wektor zerowy otrzymamy, gdy jeden z wektorów wyjściowych jest zerowy lub gdy wyjściowe wektory są równoległe. Dodatek B – Magnetyczny potencjał wektorowy Przypuśćmy, Ŝe mamy wzdłuŜne wzbudzenie plazmowe w strukturze przedstawionej na Rys. 8. Wektor falowy jest skierowany wzdłuŜ osi z a długość fali padającego promieniowania jest znacznie większa niŜ stała siatki a. Wektor indukcji elektrycznej D = [ 0, 0, D0 ] ⋅ e [i (kz − ωt )] (B.1) Zgodnie z prawem Ampere’a-Maxwella przepływający prąd oraz zmienne pole elektryczne wytwarzają wirowe pole magnetyczne ∇×H = ∂D +j ∂t (B.2) JeŜeli zarówno D jak i j mają ten sam rozkład w płaszczyźnie x-y to prawa strona równania równa jest zero czyli nie ma tam pola magnetycznego. MoŜna się o tym przekonać obliczając towarzyszący temu gęstość ładunku i gęstość prądu wprowadzone przez wzdłuŜne pole. σ = ∇ ⋅ D = ikD0 ⋅ e [l(kz −ωt )] j = iω [ 0, 0, D ] ⋅ e [i (kz −ωt )] (B.3) (B.4) JeŜeli wstawimy równania (B.3) i (B.4) do wzoru (B.2), jego prawa strona będzie równa zero. Tak dzieje się wewnątrz kondensatora rozładowującego się poprzez 0 76 jednorodny dielektryczny rdzeń – pole magnetyczne nie jest generowane. W naszym przypadku D i j mają inne rozkłady w płaszczyźnie x-y. Prąd jest ograniczony do bardzo cienkich metalowych drutów, podczas gdy przy zastosowaniu duŜej długości fali padającego promieniowania D jest stałe w płaszczyźnie x-y. Dlatego teŜ w naszym przypadku pole magnetyczne nie jest zerowe. Jego wartość w pobliŜu drutu obliczyć moŜna stosując następujące przybliŜenie: płaszczyznę x-y dzielimy na kwadratowe komórki tak, aby w kaŜdej komórce w punkcie przecięcia jej przekątnych znalazł się cienki metalowy drut. Aby obliczyć pole magnetyczne w otoczeniu drutu przybliŜamy kaŜdy kwadrat prostopadłu do drutu kołem o takim samym polu a powierzchni, czyli o promieniu równym Rk = . W kaŜdym punkcie płaszczyzny x-y π badane pole magnetyczne pochodzi tylko od jednego z drutów – tego, który znajduje się najbliŜej. Pole magnetyczne wewnątrz kaŜdego z kół obliczyć moŜna j j R2 dla 0 < R < Rk − ⋅ 2 H k = 2π R 2π R Rk (B.5) dla r > Rk 0 zaś odpowiadający temu potencjał wektorowy (skierowany wzdłuŜ osi z) µ j R R2 − R2 k − dla 0 < R < R k 0 ln 2 Ak ( R) = 2π Rk 2 Rk dla r > R k 0 (B.6) Gdzie wykorzystano moŜliwość wyboru stałej integracji tak Ŝe A jest zerem poza kołem. Powód takiego wyboru był taki, Ŝe wektor A jednego koła nie zachodzi w ten sposób na inne, więc wykluczona jest induktancja wzajemna pomiędzy drutami, przynajmniej w tym przybliŜeniu. MoŜemy więc obliczyć wartość A µ j r Ak (r ) = 0 ln 2π Rk Przyjęliśmy Ak (r ) ≈ r 2 − Rk2 µ 0 j r π − ln = 2 Rk2 2π a 2 π r 1 − + 2a 2 2 (B.7) 10 −6 µ0 j r r = −8,51 . Resztkowe ln , poniewaŜ ln = ln 5 × 10 −3 2π a a pole magnetyczne wynikające z zastosowania przybliŜenia komórek sześciennych kołami, jest znikome poniewaŜ kwadrat ma poczwórną symetrię, więc korekta pola magnetycznego byłaby na poziomie R-4. 77 Dodatek C – Teoria linii transmisyjnych W obwodzie elektrycznym długość przewodów łączących ze sobą poszczególne elementy obwodu nie ma znaczenia tylko w uproszczonych przypadkach, gdy do czynienia mamy ze stałym napięciem na całej długości przewodu. JeŜeli jednak napięcie w obwodzie zmienia się z okresem porównywalnym z czasem, jaki potrzebuje sygnał by pokonać długość przewodu – wpływu jego długości nie da się pominąć i wtedy przewód taki traktować naleŜy jako linię transmisyjną. Przewód naleŜy traktować jako linię transmisyjną Mówiąc ogólnie – przewód naleŜy traktować jak linię transmisyjną, jeŜeli obwód zawiera elementy częstotliwościowe operujące na długości fali porównywalnej z długością drutu. Linia transmisyjna jest to ośrodek lub struktura słuŜąca do transmisji energii w róŜnej postaci (np. fali elektromagnetycznej, fali akustycznej, mocy elektrycznej) z jednego miejsca do drugiego. MoŜe stanowić całość lub część obwodu. Linie transmisyjne budowane są z drutów, kabli współosiowych, płytek dielektryka, włókien optycznych lub prowadnic falowych. Opisuje je para równań róŜnicowych zwanych równaniami telegrafistów opisanych przez Oliviera Heaviside’a – twórcę modelu linii transmisyjnej. Zasadniczą ideę linii transmisyjnych moŜna ująć w ten sposób, Ŝe przewodnik złoŜony jest z nieskończonej liczby małych segmentów, analogicznych jak ten na rysunku Rys. 45. Równania telegrafistów moŜna traktować jako uproszczony przypadek równań Maxwella. Rys. 45 Schemat elementarnej komórki linii transmisyjnej. Rozproszona rezystancja R przewodnika reprezentowana jest przez równoległy rezystor R’, którego wartość wyraŜa się w ohmach na jednostkę długości; Rozproszona induktancja L (wynikająca z obecności pola magnetycznego wokół przewodnika z prądem oraz z samoindukcji) reprezentowana jest przez szeregową cewkę L’ (henry na jednostkę długości); Pojemność C pomiędzy dwoma przewodnikami reprezentowana jest przez równoległy kondensator C’ (farad na jednostkę długości); Konduktancja G dielektryka pomiędzy przewodnikami reprezentowana jest przez równoległą konduktancję G’ pomiędzy drutem przesyłowym i odbiorczym (siemens na jednostkę długości). 78 W przypadku, gdy R i G są bardzo małe ich efekt oddziaływania na układ moŜe być zaniedbany i wtedy linię transmisyjną uznajemy za idealną i bezstratną. W tym przypadku model opiera się tylko na elementach L i C i otrzymujemy parę równań róŜnicowych – pierwsze opisujące napięcie V, a drugie prąd I wzdłuŜ linii w zaleŜości od połoŜenia x i czasu t ∂ ∂ V ( x, t ) = − L I ( x , t ) ∂x ∂t ∂ ∂ I ( x , t ) = −C V ( x , t ) ∂x ∂t PowyŜsze równania mogą być przekształcone do postaci dwóch równowaŜnych równań falowych ∂2 1 ∂2 V= V LC ∂t 2 ∂t 2 ∂2 1 ∂2 I = I LC ∂t 2 ∂t 2 W przypadku statycznym równania redukują się do ∂ 2V ( x ) + ω 2 LC ⋅ V ( x ) = 0 ∂x 2 ∂ 2 I (x ) + ω 2 LC ⋅ I ( x ) = 0 2 ∂x gdzie ω jest zadaną częstością JeŜeli linia jest nieskończenie długa lub gdy jest zakończona swoją impedancją charakterystyczną, równania te opisują falę elektromagnetyczną poruszającą się 1 c= LC . JeŜeli rozwaŜymy współosiową linię transmisyjną wykonaną z prędkością z idealnego przewodnika i próŜni jako dielektryka, wspomniana prędkość jest prędkością światła. Kiedy R i G nie moŜna zaniedbać równania telegrafistów opisujące pojedynczą komórkę mają postać ∂ ∂ V ( x, t ) = − L I (x, t ) − RI ( x, t ) ∂x ∂t ∂ ∂ I ( x, t ) = −C V ( x, t ) − GV ( x, t ) ∂x ∂t RóŜniczkując pierwsze równanie po drodze, a drugie po czasie i dokonując kilku przekształceń algebraicznych otrzymujemy równania róŜniczkowe z jedną niewiadomą ∂ ∂2 ∂2 V = LC 2 V + (RC + GL ) V + GRV 2 ∂t ∂x ∂t 2 2 ∂ ∂ ∂ I = LC 2 I + (RC + GL ) I + GRI 2 ∂t ∂x ∂t 79 Równania moŜna traktować jak jednorodne równania falowe z tym zastrzeŜeniem, Ŝe tłumienie w nich objawia się obecnością dodatkowych czynników przy V i I. PowyŜsze równania falowe sugerują dla przemieszczającej się wzdłuŜ linii transmisyjnej fali k = ω LC = gdzie ω dwa moŜliwe rozwiązania V ( x, t ) = f1 (ωt − kx ) + f 2 (ωt + kx ) v to liczba falowa (wyraŜona w radianach na metr) ω jest częstością kołową (wyraŜoną w radianach na sekundę) f1 , f 2 to dowolna funkcja v= 1 LC prędkość propagacji Parametr f1 reprezentuje falę poruszającą się w prawo (w kierunku dodatnich x), zaś f2 reprezentuje falę poruszającą się w lewo (w kierunku ujemnych x). Napięcie sumaryczne w dowolnym punkcie linii jest sumą napięć pochodzących od tych dwóch fal. PoniewaŜ prąd I jest związany z napięciem V poprzez równania telegraficzne, moŜna zapisać I ( x, t ) = f1 (ωt − kx ) f 2 (ωt + kx ) − Z0 Z0 gdzie Z0 jest impedancją charakterystyczną danej linii transmisyjnej, która dla linii bezstratnej dana jest jako L Z0 = C Linia transmisyjna zwarta impedancją charakterystyczną nie będzie posiadała fal stojących ani odbiciowych, zaś stosunek napięcia do prądu przy zadanej częstotliwości będzie wartością stałą na całej długości linii. Impedancja charakterystyczna dla liniowego, jednorodnego, izotropowego ośrodka dielektrycznego dana jest relacją Z0 = µ 1 = = cµ ε cε gdzie Z0 – to impedancja charakterystyczna ε – przenikalność elektryczna ośrodka (wyraŜona w faradach na metr) µ – przenikalność magnetyczne ośrodka (wyraŜona w henrach na metr) 1 c= µε to prędkość fali w ośrodku 80 JeŜeli rozwaŜanym ośrodkiem jest próŜnia c jest prędkością światła w próŜni rozumianą jako c= 1 µ 0ε 0 i wtedy impedancja charakterystyczna to Z0 = cµ0 = µ0 ε 0 , gdzie µ0 – stała magnetyczna (przenikalność magnetyczna próŜni), ε0 – stała elektryczna (przenikalność elektryczna próŜni). UŜywając zapisu zgodnego z modelem linii transmisyjnych, ogólne wyraŜenie R + jωL Z0 = G + jωC i dla linii bezstratnych na impedancję charakterystyczną ma postać L Z0 = C (bo R i G są pomijalnie małe) to wspomniane juŜ Dla rzeczywistych linii transmisyjnych mamy dwa przypadki: Dla niskich częstotliwości czyli dla ωL << R oraz ωC << G mamy Z0 = Dla wysokich częstotliwości czyli dla ωL >> R oraz ωC >> G mamy R G Z0 = L C Są dwa rodzaje moŜliwych charakterystyk dla linii transmisyjnych. Zazwyczaj G jest bardzo znikome, więc impedancja charakterystyczna przy niskiej częstotliwości ma duŜą wartość, zaś dla wysokiej częstotliwości jest niewielka. Punktami przełomowymi dla G R R L ω1 = ω2 = >> C oraz L . JeŜeli G C zaleŜności impedancja – częstość jest to oczywistym jest, Ŝe ω 2 >> ω1 . Pomiędzy tymi dwoma częstotliwościami impedancja charakterystyczna w kablu zmienia się jednostajnie. 81 Dodatek D – Formalizm macierzowy Propagację fali elektromagnetycznej w wielowarstwowym ośrodku dielektrycznym o J naprzemiennie ułoŜonych warstwach dwóch typów o róŜnych co do wartości i co do znaku współczynnikach załamania opisać najłatwiej moŜna posługując się formalizmem macierzowym [106] Γ11 Γ= Γ21 J Γ12 = Din ,1 ∏ Pj D j , j +1 , Γ22 j =1 gdzie j = 0,1,2,..., J , J + 1 to numery kolejnych ośrodków Dzięki macierzy charakterystycznej moŜna obliczyć energetyczne współczynniki transmisji (transmitancja ℑ ) i odbicia (reflektancja ℜ) dla ośrodka wielowarstwowego.Poszczególne składowe macierzy charakterystycznej to macierz propagacji w ośrodku j-tym Pj oraz macierz transmisji Dj,j+1 z ośrodka j do j+1. Definiuje się je następująco Macierz propagacji Pj e iφ j Pj = 0 gdzie φ j = d jn j 2π λ 0 , iφ e j cos θ j = d j n j ω c cos θ j = d j ⋅ k x , j , jest grubością fazową j-tej warstwy układu. Dla warstw dodatnich zakładamy bezdyspersyjność współczynnika załamania nj i jest on z góry ustalony, natomiast dla warstw ujemnych określamy go w sposób opisany Macierz transmisji z ośrodka j do j+1 1 D j , j +1 = t j , j +1 1 r j , j +1 r j , j +1 . 1 Elementami macierzy transmisji są amplitudowe współczynniki odbicia i transmisji równe odpowiednio Transmitancję ℑ i reflektancję ℜ dla wielowarstwowego ośrodka moŜna obliczyć ze wzorów 2 n cos θ 3 1 ℑΓ = 3 , n1 cos θ 1 Γ11 2 Γ ℜ Γ = 21 . Γ11 82 JeŜeli, tak jak w rozpatrywanym tu przypadku, ośrodek wejściowy i wyjściowy są identyczne (n1 = n3), układ taki ma unimodularną macierz charakterystyczną Γ czyli det Γ = 1 . Wtedy wzór transmitancja wyraŜa się jako 2 1 ℑΓ = . Γ11 Formalizm śladów i antyśladów macierzy charakterystycznej W takim przypadku transmitancję moŜna wyrazić takŜe uŜywając formalizmu śladów i antyśladów jako ℑΓ = gdzie 4 τΓ + σΓ 2 2 , τ Γ = Γ11 + Γ22 to ślad macierzy, natomiast σ Γ = Γ11 − Γ22 jest antyśladem diagonalnym, który dla niediagonalnych wyrazów macierzy charakterystycznej Γ ma postać ς Γ = Γ21 − Γ12 antysymetryczny antyślad niediagonalny ηΓ = Γ21 + Γ12 symetryczny antyślad niediagonalny Ślady macierzy i symetryczne antyślady niediagonalne mają tylko część rzeczywistą, zaś antyślady diagonslnr i antysymetryczne antyślady diagonalne tylko część urojoną. D la aperiodycznego układu wielowarstwowego złoŜonego z dwu typów warstw A i B macierz charakterystyczna Γ przyjmuje postać Γ = Din, A Q D A,out , gdzie Q jest unimodularną macierzą charakterystyczną opisującą propagację fali elektromagnetycznej w wielowarstwowym ośrodku aperiodycznym umieszczonym między dwoma jednorodnymi ośrodkami typu A. Macierz Q jest iloczynem macierzy QA i QB opisujących propagację fali EM w kaŜdej z warstw eiφ A QA = PA = 0 QB = DAB PB DBA 1 1 = t AB rAB 0 e − iφ A rAB eiφ A 1 0 0 1 e − iφ A tBA 1 r BA rBA 1 83 Bibliografia [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] www.wave-scattering.com/negative.html ; V.G.Veselago, Usp. Fiz. Nauk. 92, 517–526 (1967); http://zhurnal.ape.relarn.ru/~vgv/ ; V.G.Veselago, “The electrodynamics of substances with simultaneously negative values of ε and µ”, Sov. Phys. Usp. 10 509–514 (1968); J.B.Pendry, A.J.Holden, D.J.Robbins, I.Youngs, “Extremely low Frequency Plasmons in Metallic Mesostructures”, Phys. Rev. Lett. 76 4773–4776 (1996) J.B.Pendry, A.J.Holden, D.J.Robbins, W.J.Stewart, “Low frequency plasmons in thin-wire structures”, J.Phys.: Condens. Matter 10 4785–4809 (1998); J.B.Pendry, A.J.Holden, D.J.Robbins, W.J.Stewart, “Magnetism from conductors and enhanced nonlinear phenomena”, IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 47 2075– 2084 (1999); D.Halliday, R.Resnick, J.Walker, “Podstawy Fizyki T 2–4”, wydanie pierwsze, PWN Warszawa (2003); R.P.Feynman, R.B.Leighton, M.Sands, “Feynmana wykłady z fizyki T.2, cz.1”, wydanie piąte PWN Warszawa (2004); M.Born, E.Wolf, “Principles of optics”, wydanie siódme rozszerzone, Pergamon Press, London 1999; A.Lakhtakia, M.W. McCall, W.S.Weiglhofer, J.Gerardin, J.Wang, “On mediums with negative phase velocity: a brief overview”, arXiv:physics/0205027 v1 (2002); A.Lakhtakia, wybrane artykuły na temat naturalnej aktywności optycznej (Milestone Volume 15) SPIE Optical Engineering Press, Bellingham, WA, USA (1990); I.V.Lindell, S.A.Tretyakov, K.I.Nikoskinen, S.Ilvonen, „BW media – media with negative parameters, capable of supporting backward waves”, Microw. Opt. Technol. Lett. 31 129-133 (2001); R.W.Ziolkowski, E.Heyman, “Wave propagation in media having negative permittivity and permeability”, Phys. Rev. E 64 056625 (2001); P.Yeh, “Optical Waves in Layered Media”, Rockwell International Science Center, Thousand Oaks, California (1988); http://home.agh.edu.pl/~kakol/efizyka_pl.htm ; A.Figotin, I.Vitebskiy, “Slow light in photonic crystals” arXiv:physics/0504112 v3 (2002); http://krypton.mnsu.edu/~7364eb/Math113/groupvelocity.html ; http://ocw.mit.edu/index.html ; http://www.isvr.soton.ac.uk/SPCG/Tutorial/Tutorial/Tutorial_files/Web-furtherdispersive.htm ; J.B.Pendry, D.R.Smith, “Metamorfoza soczewki”, Świat Nauki, nr8 (180), s.46-53, (2006); J.Q.Shen, “Introduction to the theory of left-handed media”, arXiv:condmat/0402213 v1 (2004); 84 [23] H.Lamb, “On group velocity”, Proc. London Math. Soc. vol.1, 473-479, (1904); [24] A.Schuster, “An introduction to the theory of optics”, Edward Arnold, London, 313318, (1905); [25] H.C.Pocklington, “Growth of a wave-group when the group velocity is negative”, Nature 71, 607-608, (1905); [26] L.I.Mandel’shtam, “Lectures on certain problems in the theory of oscillations”, (1944) tłumaczenie dostępne na stronie http://ece-www.colorado.edu/~kuester/ ; [27] L.I.Mandel’shtam, “Group velocity in a crystal lattice”, (1945) tłumaczenie j.w.; [28] D.V.Sivukhin, “The energy of electromagnetic waves in dispersive media”, Opt. Spektrosk. 3, 308−312, (1957); [29] W.E.Kock “Metallic delay lenses”, Bell Syst. Tech. J., vol.27, 58−82, (1948); [30] W.E.Kock, “Radio lenses”, Bell Lab Rec., vol.24, 177−216, (1946); [31] W.E.Kock, “Metal lens antennas”, Proceedings, IRE and Waves and Electrons, 828−836, (1946); [32] D.R.Smith, W.J.Padilla, D.C.Vier, S.C.Nemat-Nasser, S.Schultz, “Composite medium with simultaneously negative permeability and permittivity”, Phys.Rev. Lett. 84 4184−4187 (2000); [33] D.R.Smith, N.Kroll, “Negative refractive index in left-handed materials”, Phys. Rev. Lett., vol. 84, nr 14 2933−2936, (2000); [34] D.R.Smith, D.C.Vier, N.Kroll, S.Schultz, “Direct calculation of permeability and permittivity for a left-handed metamaterial”, Appl. Phys. Lett., vol.77, nr 14, 2246−2248, (2002); [35] R.A.Shelby, D.R.Smith, S.C.Nemat-Nasser, S.Schultz, “Microwave transmission through a two-dimensional, isotropic, left-handed metamaterial”, Appl. Phys. Lett., vol.78, nr 4, 489−491, (2004); [36] M.Bayindir, K.Aydin, E.Ozbay, P.Markoš, C.M.Soukoulis, “Transmission properties of composite metamaterials in free space”, Appl. Phys. Lett. 81 120–122 (2002); [37] K.Li, S.J.McLean, R.B.Greegor, C.G.Parazzoli, M.H.Tanielian, “Free-space focusedbeam characterization of left-handed materials”, Appl. Phys. Lett. 82 2535–2537 (2003); [38] http://www.plasmas.org/ ; [39] S. B. Cohn, “Analysis of the metal-strip delay structure for microwave lenses” J. Appl. Phys., vol. 20, 257–262, (1949); [40] S. B. Cohn, “Experimental verfication of the metal-strip delay-lens theory” J. Appl. Phys., vol. 24, no. 7,839–841, (1953); [41] J. Brown, “Artificial dielectrics” in Progress in dielectrics, vol. 2, 195–225, (1960); [42] P.Ikonen, “Artificial dielectrics and magnetics in microwave engineering: A brief historical revision”, http://www.tkk.fi/Yksikot/Sahkomagnetiikka/kurssit/S96.4620/reports/artificial_history_pekka.pdf ; [43] W.Rotman, “Plasma simulation by artificial dielectrics and parallel-plate media”, IRE Trans. Antennas Propag., vol.AP-10, nr 10, 82-85, (1962); [44] http://www.ifm.liu.se/applphys/sensor/spr.html ; [45] http://www.uni-oldenburg.de/biochemie/11906.html ; 85 [46] D.F.Sievenpiper, M.E.Sickmiller, E.Yablonovitch, “3D wire mesh photonic crystals”, Phys. Rev. Lett. 76 2480–2483 (1996); [47] E.Yablonovitch, T.J.Gmitter, K.M.Leung, “Photonic band structure: The facecentered-cubic case employing nonspherical atoms” Phys. Rev. Lett. 67 2295–2298 (1991); [48] E.Yablonovitch, “Photonic band-gap crystals” J.Phys.: Condens. Matter 5 2443– 2460 (1993); [49] E.Yablonovitch, “Photonic band-gap structures” JOSA B 10 283 (1993); [50] J.B.Pendry, “Calculating photonic band structure”, J.Phys.: Condens. Matter 8 1085−1108 (1996); [51] http://physics.ucsd.edu/~dav/animae.html ; [52] http://www.ifh.ee.ethz.ch/~martin/ ; [53] G.V.Eleftheriades, O.Siddiqui, A.K.Iyer, “Transmission line models for negative refractive index media and associated implementations without excess resonators”, IEEE Microwave Wireless Components Lett., vol.13, nr 2, 51−53, (2003); [54] R.A.Shelby , D.R.Smith , S.Schultz, “Experimental Verification of Negative Index of Refraction”, Science 292 77–79 (2001); [55] N.Garcia, M.Nieto-Vesperinas, „Is there an experimental verification of negative index of refraction yet?”, Opt. Lett. Vol.27, nr 11, 885−887 (2002); [56] P.M.Valanju, R.M.Walser, A.P.Valanju, “Wave Refraction in Negative-Index Media: Always Positive and Very Inhomogeneous”, Phys.Rev.Lett. vol.88, 187401, (2001); [57] J.M.Williams, „Some problems with negative refraction”, Phys. Rev. Lett. vol.87, 249703, (2001); [58] A.A.Houck, J.B.Brock, I.L.Chuang, “Experimental observations of a left-handed material that obeys Snell’s law”, Phys.Rev.Lett. vol.90, nr 13, 137401, (2003); [59] C.G.Parazzoli, R.B.Greegor, K.Li, B.E.C.Koltenbah, M.Tanielian,“Experimental verification and simulation of negative index of refraction using Snell's law”, Phys. Rev. Lett. vol.90, 107401, (2003); [60] C.G.Parazzoli, R.B.Greegor, K.Li, B.E.C.Koltenbah, M.Tanielian,“Experimental determination and numerical simulation of the properties of negative index of refraction materials”, Opt.Ex. vol.11, nr 7, s.688−695, (2003); [61] R.B.Greegor, C.G.Parazzoli, K.Li, M.Tanielian, “Origin of dissipative losses in negative index of refraction materials”, Appl.Phys.Lett. vol.82, nr 14, 2356−8, (2002); [62] G. Kron, „Equivalent circuit of the field equations of Maxwell”, Proc. IRE, vol. 32, nr 5, s. 289−299 (1944); [63] G.Kron, “Numerical solution of ordinary and partial differential equations by means of equivalent circuits”, General Electric Company, Schenectady, New York (1944); [64] J.R.Whinnery, S.Ramo, “A new approach to the solution of high-frequency field problems”, Proc. IRE, vol. 32, nr 5, s.284−288 (1944); [65] G.V.Eleftheriades, K.G.Balmain, “Nagative-refraction metamaterials – Fundamental Principles and Applications”, IEEE Press (2005); [66] A.K.Iyer, G.V.Eleftheriades, “Negative refractive index materials supporting 2-D waves”, IEEE MTT-S Internationam Microwave Symposium Digest, vol. 2, 1067–70 (2002); 86 [67] G.V.Eleftheriades, A.K.Iyer, P.C.Kremer, “Planar negative refractive index media using periodically L-C loaded transmission lines”, IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol.50, no.12, pp.2702-2712, (2002); [68] C.Caloz, H.Okabe, H.Iwai, T.Itoh, “Transmission line approach of left-handed materials”, USNC/URSI National Radio Science Meeting Digest (2002); [69] C.Caloz, T.Itoh, “Novel microwave devices and structures based on the transmission line approach of metamaterials”, IEEE MTT-S Internationam Microwave Symposium Digest, vol. 1, pp.195 – 198 (2003); [70] A.A.Oliner, “A planar negative-refractive-index medium without resonant elements”, IEEE MTT-S Internationam Microwave Symposium Digest, vol. 1, pp.191 – 194 (2003); [71] V.A.Podolskiy, A.K.Sarychev, V.M.Shalaev, “Plasmon modes in metal nanowires and lefthanded materials”, J. Nonlinear Opt. Phys. Materials 11, 65 (2002); [72] V.A.Podolskiy, A.K.Sarychev, V.M.Shalaev, “Plasmon modes and negative refraction in metal nanowire composites”, Opt.Ex. vol. 11, nr 7, 735, (2003); [73] E.M.Purcell, C.R.Pennypacker, “Scattering and absorption of light by nonspherical dielectric grains”, Astrophys. J. 186, 705, (1973); [74] A.Berrier, M.Mulot, M.Swillo, M.Qiu, L.Thylen, A.Talneau, S.Anand, „Negative refraction at infrared wavelengths in a two-dimensional photonic crystal”, Phys. Rev. Lett. 93, 073902 (2004); [75] E.Schonbrun, M.Tinker, W.Park, J.B.Lee, “Negative Refraction in a Si-Polymer Photonic Crystal Membrane”, IEEE Phot.Tech.Lett., vol. 17, nr 6, (2005); [76] T.J.Yen, W.J.Padilla, N.Fang, D.C.Vier, D.R.Smith, J.B.Pendry, D.N.Basov, X.Zhang, “Terahertz Magnetic Response from Artificial Materials”, Science 303, 1494-1496, (2004); [77] S.Linden, C.Enkrich, M.Wegener, J.Zhou, T.Koschny, C.M.Soukoulis, “Magnetic Response of Metamaterials at 100 Terahertz”, Science 306, 1351-1353, (2004); [78] S.Zhang, W.Fan, B.K.Minhas, A.Frauenglass, K.J.Malloy, S.R.J.Brueck, “Midinfrared resonant magnetic nanostructures exhibiting a negative permeability”, Phys. Rev. Lett. vol.94, 037402 (2005); [79] N.-C.Panoiu, R.M.Osgood Jr., “Influence of the dispersive properties of metals on the transmission characteristics of left-handed materials”, Phys. Rev. E 68, 016611 (2003); [80] V.M.Shalaev, W.Cai, U.Chettiar, H.-K.Yuan, A.K.Sarychev, V.P.Drachev, A.V.Kildishev, „Negative index of refraction In optical metamaterials”, Opt.Lett. vol.30, nr 24, s.3356-8, (2005); [81] A.N.Lagarkov, A. K.Sarychev, “Electromagnetic properties of composites containing elongated conducting inclusion”, Phys. Rev. B 53, 6318–6336 (1996); [82] L.V.Panina, A.N.Grigorenko, D. P. Makhnovskiy, “Optomagnetic composite medium with conducting nanoelements”, Phys. Rev. B 66, 155411 (2002); [83] V.A.Podolskiy, A.K.Sarychev, E.E.Narimanov, V.M.Shalaev, “Resonant light interactions with plasmonic nanowire systems”, J.Opt.A:Pure Appl.Opt. vol. 7,nr 2, S32-S37, (2005); [84] G.Dolling, C.Enkrich, M.Wegener, J.Zhou, C.M.Soukoulis, S.Linden, “Cut-wire pairs and plate pairs as magnetic atoms for optical metamaterials”, Opt.Lett., vol. 30, nr 23, s.3198-3200, (2005); 87 [85] V.P.Drachev, W.Cai, U.Chettiar, H.-K.Yuan, A.K.Sarychev, A.V.Kildishev, G.Klimeck, V.M.Shalaev, „Experimental verification of an optical negative-index material”, Laser Phys.Lett. vol.3, nr 1, s.49-55, (2006); [86] S.Zhang, W.Fan, N.C.Panoiu, K.J.Malloy, R.M.Osgood, S.R.J.Brueck, „Demontsration of near-infrared negative-index-materials”, Phys.Rev.Lett., vol. 95, nr 13, 137404, (2005); [87] D.R.Smith, S.Shultz, P.Markos, C.M.Soukoulis, „Determination of negative permittivity and permeability of metamaterials from reflection and transmission coefficients”, Phys.Rev.B vol.65, 195104, (2002); [88] G.Dolling, M.Wegener, C.M.Soukoulis, S.Linden, “Negative-index metamaterial at 780 nm wavelength”, http://arXiv:physics/0607135 , (2006); [89] A.N.Grigorenko, A.K.Geim, H.F.Gleeson, Y.Zhang, A.A.Firsov, I.Y.Khrushchev, J.Petrovic, „Nanofabricated media with negative permeability at visible frequencies”, Nature 438, nr 7066, s.335 (2005); [90] I.V.Shadrivov, N.A. Zharova, A.A.Zharov, Y.S.Kivshar, „Defect modes and transmission properties of left-handed bandgap structures”, Phys. Rev. E vol. 70, (2004); [91] http://www.waves.utoronto.ca/prof/gelefth/publications.html [92] A. A. Zharov, I. V. Shadrivov, and Yu. S. Kivshar, “Nonlinear Properties of LeftHanded Metamaterials”, Phys. Rev. Lett. 91, 037401 (2003) [93] J.B.Pendry, “Negative refraction makes a perfect lens”, Phys.Rev.Lett. vol. 85, nr 18, 3966-9 (2000); [94] G.W.’t Hooft, “Comment on <Negative refraction makes a perfect lens>”, Phys.Rev.Lett. vol. 87, nr 24, 249701, (2001); [95] N.Garcia, M.Nieto-Vesperinas, „Left-handed materials do not make a perfect lens”, Phys.Rev.Lett. vol. 88 nr 20, 207403, (2002); [96] Long Gen Zheng, Wen Xun Zhang, „Discussion on Negative Refraction and Perfect Lens”, Progress In Electromagnetics Research Symposium 2005, Hangzhou, (23-26.08.2005); [97] R.F.Broas, D.F.Sieverpiper, E.Yablonovitch, “A high-impedance ground plane applied to a cell phone handset geometry”, IEEE Trans. Micr. Theory and Tech. vol.49, 1262-1265, (2001); [98] M.C.K.Wiltshire, J.B.Pendry, I.R.Young, D.J.Larkman, D.J.Gilderdale, J.V.Hajnal, “Microstructured magnetic materials for RF flux guides in magnetic resonance imaging”, Science 291, 848-851, (2001); [99] Chiyan Luo, Steven G. Johnson, J.D.Joannopoulos, J.B.Pendry, “All-angle negative refraction without negative effective index”, Phys. Rev. Rapid Communications B65, 201104®, (2002); [100] J.B.Pendry, “Perfect cylindrical lenses”, Opt.Ex., vol. 11, nr 7, 755, (2003); [101] M.A.Antoniades, G.V.Eleftheriades, “Compact linear lead/lag metamaterial phase shifters for broadband applications”, IEEE Antennas and wireless propagation letters, vol.2, (2003); [102] A.Grbic, G.V.Eleftheriades, “Experimental verification of backward-wave radiation from a negative refractive index metamaterial”, J.Appl.Phys. vol.92, nr10, 5930-5, (2002); 88 [103] G.V.Eleftheriades, “Enabling RF/Microwave devices using negative-refractive index transmission-line metamaterials”, Radio Science Bulletin nr 312, (2005); [104] J.B.Pendry, D.Schuring, D.R.Smith, “Controlling electromagnetic fields”, Science vol. 312, 1780 (2006); [105] R.A.Shelby, D.R.Smith, S.C.Nemat-Nasser, S.Schultz, “Microwave transmission through a two-dimensional, isotropic, left-handed metamaterial”, Appl. Phys. Lett. 78, 489–491 (2001); [106] A.Klauzer-Kruszyna, „Propagacja światła spolaryzowanego w wybranych supersieciach aperiodycznych”, praca doktorska przygotowana pod kierunkiem dr hab. Włodzimierza Salejdy, prof. nadzw. PWr ; [107] J.Zhou, T.Koschny, L.Zhang, G.Tuttle, C.M.Soukoulis, „Experimental verification of negative index of refraction”, http://arXiv.org/physics/0608301 ; [108] U.Leonhardt, T.G.Philbin, “Quantum optics of special transformation media”, http://arXiv.org/quant-ph/0608115 . [109] Bliokh K.Yu., Bliokh Yu.P. What are the left-handed media and what is interesting about them? Uspekhi Fizicheskikh Nauk, No 4, 439. (Methodological Notes). 89