Zaganienia do egzaminu z topologii

TOPOLOGIA - zagadnienia do egzaminu
(fakty z dowodem wyłożone dotychczas)
UWAGA - studenci I roku studiów uzupełniających wybierają do
egzaminu określoną liczbę faktów z listy poniżej tak, aby łącznie
miały wartość 6 punktów. Twierdzenia (fakty) bez "gwiazdek" są za 1
punkt, z "gwiazdką" liczone są podwójnie, zaś z dwoma
"gwiazdkami" potrójnie, tzn. za 2 lub za 3 punkty. Można zatem
wybrać przykładowo fakty z punktów : 1-2-3-8 lub 3-4-5 lub 6-12.
Studenci II roku studiów dziennych licencjackich w ramach części
ustnej egzaminu zobowiązani są znać z dowodami wszystkie fakty z
"gwiazdkami".
1. Własności operacji wnętrza (domknięcia).
2. (?)Niech (X, T ) będzie przestrzenią topologiczną oraz niech B ⊆ będzie jej bazą. Wtedy istnieje zbiór gesty mocy conajwyżej równej mocy
B.
3.(?) Każda ośrodkowa przestrzeń metryzowalna spełnia drugi aksjomat przeliczalności.
4. (?)Niech (X, T ) będzie przestrzenią ośrodkową. Wtedy (X, T ) ma
własność Suslina.
5. (?) Niech (X, T ) będzie przestrzenią metryzowalną. Wtedy następujące warunki są parami równoważne:
(i) przestrzeń (X, T ) spełnia drugi aksjomat przeliczalności
(ii) przestrzeń (X, T ) jest ośrodkowa
(iii) przestrzeń (X, T ) ma własność Suslina.
6.(??) Twierdzenie Stone’a.
7. Niech (X, TX ) oraz (Y, TY ) będą przestrzeniami topologicznymi oraz
niech A bedzie gęstym podzbiorem zbioru X. Jeżeli odwzorowanie
f : X → Y jest ciągłe to obraz zbioru A jest gestym podzbiorem
zbioru f (X).
8. Niech (X, TX ) oraz (Y, TY ) będą przestrzeniami topologicznymi oraz
niech B będzie bazą przestrzeni (X, TX ). Wtedy, jeżeli odwzorowanie
f : X → Y jest ciągłą i otwartą surienkcją, to rodzina {f (U ) : U ∈ B}
jest bazą przestrzeni (Y, TY ).
9. (?)Każda przestrzeń regularna spełniająca drugi aksjomat przeliczalności jest normalna.
1
10. (?) Każda przestrzeń regularna (X, T ) taka, że | X |≤ ℵ0 jest normalna.
11. (?)Każda przestrzeń metryzowalna jest normalna.
12. (?? ) Lemat Urysohna.
13. (?)Niech (X, T ) będzie przestrzenią normalną oraz M podzbiorem
domkniętym zbioru X. Niech ponadto c ∈ R+ . Wtedy dla każdego
ciągłego odwzorowania f : M → [−c, c] istnieje ciągłe odwzorowanie
g : X → [− 31 c, 31 c] takie, że dla każdego x ∈ M zachodzi nierówność:
2
| f (x) − g(x) |≤ c.
3
14. (??) Twierdzenie Tietzego - Urysohna.
15. Niech (X, T ) będzie przestrzenią topologiczną Hausdorffa. Wtedy
następujące zdania są równoważne:
(i) (X, T ) jest zwarta;
(ii) w każde pokrycie otwarte zbioru X można wpisać otwarte pokrycie skończone;
(iii) w każde pokrycie złożone ze zbiorów ustalonej dowolnej bazy
topologii T można wpisac podpokrycie skończone.
16. Niech (X, T ) będzie przestrzenią topologiczną Hausdorffa. Wtedy
(X, T ) jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy przekrój każdej scentrowanej rodziny zbiorów domkniętych jest niepusty.
17. (?? )Lemat Alexandera.
18. (?)Niech (X, T ) będzie przestrzenią topologiczną Hausdorffa oraz
A, B niech będzie para zwartych i rozłącznych podzbiorów zbioru X.
Wtedy istnieją zbiory otwarte U, V ⊆ X takie, że A ⊆ U , B ⊆ V oraz
U ∩ V = ∅.
19. Niech (X, TX ) będzie przestrzenią zwartą oraz (Y, TY ) przestrzenią
Hausdorffa. Wtedy
(i) jeśli f : X → Y jest ciągłą suriekcją, to Y jest przestrzenią
zwartą;
(ii) każde ciągłe odwzorowanie f : X → Y jest odwzorowaniem
domkniętym.
20. Każdy zwarty podzbiór A przestrzeni R z topologią naturalną jest
jej podzbiorem domkniętym i ograniczonym, tzn. istnieje M > 0 takie,
że dla każdego x ∈ A zachodzi nierówność: | x |≤ M .
21. (??)Twierdzenie Tichonowa o produkcie.
22. Niech m > 0 będzie liczbą naturalną. Wtedy A ⊆ Rm jest zwartym
podzbiorem przestrzeni Rm z topologią produktową wtedy i tylko wtedy, gdy A jest domknięty i ograniczony w zbiorze Rm , tzn. gdy istnieje
przedział [a, b] ⊆ R taki, że A ⊆ [a, b]m .
2
23. (?)Każda przestrzeń metryzowalna zwarta spełnia drugi aksjomat
przeliczalności.
24. (?)Jeżeli w przestrzeni metryzowalnej każdy ciąg punktów zawiera podciąg zbieżny, to z każdego przeliczalnego pokrycia otwartego tej
przestrzeni można wybrać podpokrycie skończone.
25. Mówimy, że przestrzeń (X, ρ) jest całkowicie ograniczona, gdy dla
każdego > 0 istnieje skończona -sieć w zbiorze X.
26. (?)Przestrzeń metryzowalną zwarta jest całkowicie ograniczona (jako przestrzeń metryczna)
27. Przestrzeń metryzowalna i całkowicie ograniczona jest ośrodkowa.
28. (??)Twierdzenie Borela - Lebesque’a.
3