Prezentacja Laury Robińskiej pt. „Zasada szufladkowa Dirichleta”

Dobry matematyk potrafi dostrzegać fakty,
matematyk wybitny – analogie między faktami,
zaś matematyk genialny – analogie między analogiami.
Stefan Banach
WITAMY SERDECZNIE NA
MIĘDZYSZKOLNYCH
WARSZTATACH
MATEMATYCZNYCH „12”
Honorowy Patronat:
Marszałek Województwa Wielkopolskiego
Marek Woźniak
Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu
Wydział Matematyki i Informatyki
Wielkopolski Kurator Oświaty w Poznaniu
Organizator:
Gimnazjum nr 12 im. J. Kuronia
Zasada szufladkowa
Dirichleta
Zasada szufladkowa Dirichleta
Wedle tej zasady jeżeli mamy m
przedmiotów, które chcemy umieścić w n
szufladkach i m>n to co najmniej dwa
przedmioty znajdą się w tej samej
szufladce.
Zadania
Zad. 1
Udowodnij, że w grupie 26 osób co najmniej 3
urodziły się w tym samym miesiącu.
Rozwiązanie:
Ponumerujmy 12 szufladek kolejnymi liczbami
porządkowymi każdego miesiąca. Do tych
szufladek możemy włożyć 2*12 osób. Spośród
grona 26 osób pozostają jeszcze dwie. Do
którejkolwiek szufladki je wsadzimy będą tam
przynajmniej 3 osoby.
Zad. 2
Wiedząc, że na głowie człowieka rośnie do 500.000
włosów udowodnij, że w Poznaniu liczącym około
545.000 mieszkańców są przynajmniej dwie osoby z
tą samą liczbą włosów na głowie.
Rozwiązanie:
Ponumerujmy szufladki od 0 do 500.000 i
wkładajmy do nich osoby z ilością włosów
odpowiadającą numerowi szufladki. Szufladek
jest 500.001, a osób 545.000 zatem z zasady
szufladkowej wynika, że przynajmniej dwie
osoby znajdą się w tej samej szufladce, czyli mają
taką samą liczbę włosów na głowie.
Zad. 3
W pewnej grupie 8 osób są osoby, które się znają
oraz takie, które się nie znają. Udowodnij, że co
najmniej dwie osoby w tej grupie mają taką samą
ilość znajomych.
Rozwiązanie:
Każda z osób w tej grupie może znać 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6 lub 7 osób. Przy czym jeżeli ktoś zna 7 osób
to nie ma osoby, która nie zna nikogo i na
odwrót. W każdym z tych przypadków będziemy
mieć 7 szufladek, do których przyporządkujemy
osoby z ilością znajomych zgodną z numerem
szufladki. Jeżeli mamy 7 szufladek i 8 osób to w
przynajmniej jednej szufladce znajdą się co
najmniej dwie osoby.
Zad. 4
Uzasadnij, że pośród dowolnych pięciu liczb
całkowitych niepodzielnych przez 5 są dwie liczby,
których różnica jest podzielna przez 5.
Rozwiązanie:
Każda z tych liczb przy dzieleniu przez 5 da
resztę 1, 2, 3 lub 4. Ponumerujmy w ten sposób
szufladki i wrzućmy do nich liczby dające resztę
zgodną z numerem szufladki. W co najmniej
jednej szufladce znajdą się co najmniej dwie
liczby. Różnica liczb dających przy dzieleniu
przez 5 tą samą resztę jest podzielna przez 5.
Zad. 5
Udowodnij, że jeżeli w kwadracie o boku 2
umieścimy 5 punktów to 2 z nich są odległe o nie
więcej niż √2.
Rozwiązanie:
Podzielmy ten kwadrat na cztery mniejsze kwadraty,
każdy o boku 1. Wśród naszych 5 punktów, jak
wynika z zasady szufladkowej, co najmniej 2 punkty
będą leżeć w obrębie tego samego kwadratu.
Najdłuższym odcinkiem w obrębie kwadratu jest jego
przekątna, która wynosi a*√2. Dla a=1 odległość ta
wyniesie √2.
Zad. 6
Każdy punkt okręgu pomalowano na zielono lub
niebiesko. Wykaż, że istnieje trójkąt
równoramienny wpisany w ten okrąg o
wszystkich wierzchołkach tego samego koloru.
Rozwiązanie:
W ten okrąg wpiszmy pięciokąt foremny. Każdy z
jego wierzchołków będzie albo niebieski, albo
zielony. Z zasady szufladkowej wynika, że co
najmniej trzy z tych wierzchołków będą tego
samego koloru. Po połączeniu ich otrzymamy
trójkąt, a jako że dowolne 3 wierzchołki
pięciokąta foremnego zawsze tworzą trójkąt
równoramienny dowiedliśmy tym samym
istnienia szukanego trójkąta.
Zad. 7
Udowodnij, że jeśli ze zbioru składającego się z 4
elementów wybierzemy dowolnych 9
podzbiorów to zawsze dwa z nich będą
rozłączne( nie będzie się w nich powtarzał żaden
element).
Rozwiązanie:
Zbiór mający 4 elementy ma 24 podzbiorów, czyli
16. Dla każdego podzbioru A1 istnieje podzbiór
A2 zawierający wszystkie elementy nie należące
do tego pierwszego. Takich par zbiorów jest
16/2=8. Skoro rozważamy dowolne 9
podzbiorów to co najmniej 2 z nich będą należały
do jednej z 8 wskazanych przez nas par
podzbiorów, czyli będą rozłączne.
Dziękuję za uwagę!