zastosowanie piezoelektryków do generowania sił wewnętrznych w

zastosowanie piezoelektryków do generowania sił wewnętrznych w

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
38, s. 167-174, Gliwice 2009
ISSN 1896-771X
ZASTOSOWANIE PIEZOELEKTRYKÓW DO GENEROWANIA SIŁ
WEWNĘTRZNYCH W UKŁADACH NIELINIOWYCH
JACEK PRZYBYLSKI, GRZEGORZ GĄSIORSKI
Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Politechnika Częstochowska
e-mail: [email protected]
Streszczenie. Praca dotyczy zastosowania elementów piezoceramicznych do
generowania sił wzdłużnych w belkach z zamocowaniem końców uniemożliwiających przemieszczenia wzdłużne. Badany układ składał się z obustronnie
utwierdzonej duraluminiowej belki o przekroju prostokątnym i dwóch piezoaktuatorów umocowanych symetrycznie po obu stronach tej belki. Zbadano wpływ siły generowanej przez piezaktuatory na siłę rezydualną występującą w belce. Wyniki badań eksperymentalnych przeprowadzonych na specjalnie skonstruowanym
stanowisku posłużyły do weryfikacji wyników badań numerycznych z rozwiązania zadania na podstawie opracowanego modelu matematycznego. Dalsze badania numeryczne dotyczyły wpływu długości piezoceramików i ilorazu sztywności
na ściskanie piezosegmentu do sztywności belki nośnej na generowaną siłę rezydualną. Wyznaczono także napięcie krytyczne, przy jakim belka może utracić stateczność bez udziału obciążenia zewnętrznego.
1. WSTĘP
Powszechne stosowanie elementów piezoelektrycznych w konstrukcjach inżynierskich jest
możliwe dzięki wszechstronnym badaniom podstawowym prowadzonym w ośrodkach uniwersyteckich i centrach rozwojowych. W wielu przypadkach zastosowań inżynierskich belki,
pręty i kolumny podporowe wchodzą w skład układów złożonych z wielu elementów połączonych ze sobą szeregowo lub równolegle. Przykładem zastosowań takich układów są serwomotory napędzające urządzenia wymagające dużej precyzji, systemy otwarcia drzwi
w statkach kosmicznych czy też układy podłogowe, w ramach których instalowane są belki
piezoelektryczne generujące elektryczność. Są one także stosowane do pozycjonowania anten
stacji kosmicznych, w konstrukcjach inteligentnych domów niwelujące lekkie trzęsienia ziemi
poprzez ułożenie ich na belkach piezoelektrycznych itp. Duża część badań dotyczy aktywnego tłumienia drgań i kontroli kształtu podstawowych elementów konstrukcyjnych, natomiast
relatywnie mniej prac zostało poświęconych zagadnieniom drgań nieliniowych układów
z piezoelementami oraz wzmocnienia nośności sprężystej kolumn przy obciążeniach zachowawczych i niezachowawczych. Jak wykazał Faria [1], jednym ze sposobów poprawy nośności wyboczeniowej kolumn jest integrowanie w układzie piezoaktywatorów generujących siłę
rozciągającą kompensującą obciążenie zewnętrzne. Zastosowanie tego typu elementów było
przedmiotem pracy Thompsona i Loughlana [2], którzy badali eksperymentalnie wyboczenie
kompozytowej kolumny wspornikowej z naklejonymi po obu stronach jej środkowej części
piezoaktywatorami ceramicznymi.
168
J. PRZYBYLSKI, G. GĄSIORSKI
W pracy [3] na podstawie zasady wariacyjnej, w odniesieniu do funkcjonału energii potencjalnej przy uwzględnieniu równań konstytutywnych materiału piezoelektrycznego, wyprowadzone zostały zależności podające związki między siłą generowaną przez piezoaktuatory a
powstającą w belce siłą wzdłużną. Otrzymane zależności pozwalają następnie na wykonanie
obliczeń numerycznych wpływu długości piezoaktuatorów i relacji sztywności piezosegmentu
do sztywności belki na siłę rezydualną. Zasadniczym celem niniejszej pracy było skonstruowanie stanowiska badawczego i przeprowadzenie badań eksperymentalnych relacji przykładane napięcie-siła rezydualna w belce z unieruchomionymi końcami oraz porównanie otrzymanych wyników z wynikami na podstawie opracowanego modelu teoretycznego układu.
2. BUDOWA STANOWISKA BADAWCZEGO
Na rys. 1 przedstawiono model belki duraluminiowej z utwierdzonymi końcami o przekroju prostokątnym z zamocowanymi symetrycznie względem poziomej osi symetrii układu
dwoma aktuatorami piezoelektrycznymi typu PZT. Po przyłożeniu dodatniego pola elektrycznego (dołączeniu dodatniego bieguna źródła stałego napięcia) na zewnętrzną stronę okładek
każdego piezosegmentu, płytki piezoceramiczne wydłużają się i generują w belce podłużną
siłę ściskającą. Gdy pole elektryczne zostanie przyłożone w przeciwnym kierunku (to znaczy
gdy na zewnętrzne strony płytek piezoelektrycznych przyłożony zostanie ujemny biegun źródła napięcia), to piezosegmenty zaczynają się skracać i generować podłużną siłę rozciągającą.
Do zespolenia piezoelementów z belką na całej ich długości użyto dwuskładnikowego kleju
epoksydowego o deklarowanej przez producenta wytrzymałości na rozciąganie 5 MPa, stąd
w trakcie prób nie stwierdzono delaminacji aktuatorów od belki.
l1
l2
l3
Rys. 1. Schemat belki z zamocowanymi dwoma płytkami piezoelektrycznymi.
Na rys. 2 pokazano stanowisko do badań eksperymentalnych, do którego budowy wykorzystano ceownik C100 o długości 30 cm, płaskownik stalowy o długości 30 cm, szerokości
10 cm i grubości 3 cm, za podpory posłużyły hartowane kostki stalowe o grubości ścianki
nośnej 1 cm, wysokości 2 cm i szerokości 5.5 cm.
Wykonanie stanowiska badawczego wymagało precyzyjnego wykonania jego części mechanicznej, gdyż każda niedokładność powodowała uzyskiwanie na zbudowanym próbnym
stanowisku badawczym wyników obarczonych dużym błędem powodowanym np. nieosiowością podpór, bądź ich skręceniem. Całe stanowisko badawcze zostało wykonane i zestawione
z dokładnością nie mniejszą niż 0.001 mm. W celu zapewnienia wystarczającej sztywności
całego układu badawczego ceownik został dodatkowo skręcony z płaskownikiem śrubami M8
o klasie twardości 22 HRC i minimalnej wytrzymałości na rozciąganie 800 [N/mm2], co, jak
wykazały pomiary, przy otrzymywanych tu wartościach sił wzdłużnych przestało wpływać na
dokładność pomiaru, a cały układ był wystarczająco usztywniony.
ZASTOSOWANIE PIEZOELEKTRYKÓW DO GENEROWANIA SIŁ WEWNĘTRZNYCH …
169
Rys. 2. Układ do pomiaru sił wewnętrznych w belkach.
Zastosowano piezoceramiki z elektrodami wywiniętymi na zewnętrzną stronę płytki (rys.
3), do których doprowadza się napięcie stałe o różnym potencjale umożliwiające dokładne
sterowanie siłą wewnętrzną belki.
3mm
Druga elektroda
20mm
2mm
90mm
Pierwsza elektroda
Rys. 3. Schemat wyprowadzenia obu elektrod na piezosegmencie górnym.
Wywinięcie elektrod na zewnątrz piezosegmentu pozwoliło uniknąć montowania dodatkowej elektrody wyprowadzającej, zagwarantowało idealne warunki klejenia piezoceramika
do belki i możliwości bezpiecznego doprowadzenia wysokiego napięcia źródła do piezoelementów.
Przemieszczenie wzdłużne osiowe belki z piezoaktuatorami jest rzędu od kilku do kilkunastu mikrometrów, dlatego do pomiaru tak małych przemieszczeń (wydłużeń lub skróceń) niezbędny był sprzęt pomiarowy odpowiedniej klasy. Do pomiaru przemieszczeń belki wykorzystano czujniki tensometryczne oporowe kratowe model TF-30/350 o wymiarach bazy 10 mm
x 15 mm, rezystancji właściwej 350 W i dokładności ±0,2% (Tenmex), które zostały podłączone do mikroprocesorowego systemu pomiarowego typ CL 363 pełniącego jednocześnie
rolę dokładnego mostka tensometrycznego z automatyczną kompensacją temperatury. Ze
względu na to, że do piezosegmentów przykładano wysokie napięcie stałe przekraczające
700 V, to w celu uniknięcia przebicia elektrycznego napięcia zasilającego piezoelektryki na
tensometry nałożono kilka warstw ochronnych lakieru elektroizolującego. Lakier ten izolował
170
J. PRZYBYLSKI, G. GĄSIORSKI
tensometry także od pola elektrycznego i magnetycznego zakłócającego wyniki pomiarów
samych tensometrów. Dużą uwagę zwrócono na dokładne dopasowanie temperaturowe tensometrów kompensacyjnych, umieszczając każdy z nich na powierzchni znajdującej się w
tych samych warunkach termicznych i przy tym samym ciśnieniu atmosferycznym co badana
belka. Należy dodać, że na wyniki pomiarów otrzymywanych ze sprzętu pomiarowego o wysokiej czułości mogą mieć wpływ zaburzenia elekrodynamiczne wywoływane przez włączone
w pobliżu komputery lub działający w tym samym pomieszczeniu telefon komórkowy. Jak
wykazały badania wstępne, jest to wynikiem sprzęgania się pola elektromagnetycznego wytwarzanego przez takie urządzenia, jeśli znajdują się one w pobliżu obiektu badanego z przewodami doprowadzającymi do mostka pomiarowego. Po zastosowaniu ekranowania elektrycznego całego okablowania problem ten nie wpływał na wynik pomiaru w stopniu mniejszym niż dopuszczalny.
Rys. 4. Stanowisko do badania sił wzdłużnych w belce pobudzanej piezoaktuatorami.
Na rys. 4 pokazane zostało kompletne stanowisko badawcze, na którego wyposażenie
składa się mikroprocesorowy mostek pomiarowy, multimetr cyfrowy oraz mikrometryczny
miernik przemieszczeń. Dodatkowo zastosowano czujniki przemieszczeń podpór belki, których wartości powinny być minimalnie małe w porównaniu z wartościami przemieszczeń
samej belki, wskazując tym samym na właściwą sztywność całego układu.
Na rys. 5 pokazano ideowy schemat elektryczny stanowiska badawczego bez przewodów
doprowadzających tensometry kompensacji temperatury.
ZASTOSOWANIE PIEZOELEKTRYKÓW DO GENEROWANIA SIŁ WEWNĘTRZNYCH …
Mostek
pomiarowy
Zasilacz napięcia
stałego
+
900V DC
171
¾
Piezoaktuatory
PZT PCM55
R1
R3
R4
R2
Czujniki
tensometryczne
Woltomierz
cyfrowy
Rys. 5. Ideowy schemat elektryczny stanowiska badawczego.
3. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU
Energię potencjalną belki trójsegmentowej o prostoliniowej postaci można zapisać w następujący sposób:
1 3
1
P = ås xi e i (xi )dAi - ò Dz 2 E z dA2
(1)
2 i =1
2 A2
gdzie naprężenia normalne w danym segmencie są określone zależnościami:
s xj = Y je j (x j )
( j = 1,3)
s 2 = Y2e 2 (x2 ) - e31Ez
(2)
(3)
Odkształcenie segmentów przy założeniu prostoliniowości belki jest pochodną przemieszczeń
osiowych:
dU i ( xi )
e i (xi ) =
(4)
dxi
Przemieszczenie elektryczne w drugim segmencie wywołane przyłożeniem pola elektrycznego do piezoaktuatorów wyraża się w następujący sposób:
Dz 2 = e31e k (xk ) + x33 Ez
(5)
2
gdzie: e31 - efektywna stała dielektryczna o jednostce [C/m ], ξ33 - efektywny współczynnik
przenikalności elektrycznej ośrodka [C/Vm], [F/m], Ez - pole elektryczne definiowane jako
iloraz przykładanego napięcia V przez grubość piezoceramika hp [V/m], [N/C].
W przypadku rozważanej belki trójsegmentowej o szerokości b z zamocowaniem końców
uniemożliwiającym ich przemieszczenia wzdłużne i jedną parą pasm piezoceramicznych o
wysokości hp, do których przyłożone zostało pole elektryczne o stałej wartości Ez, energia
potencjalna będzie równa:
172
J. PRZYBYLSKI, G. GĄSIORSKI
2
2
i
é dU ( x ) ù
1 3
1
dU 2 ( x2 )
P = å Yi Ai ò ê i i ú dxi + F ò
dx2 - bx33V 2l2
2 1
dx2
hp
dxi û
0ë
0
l
l
(6)
gdzie F jest piezoelektryczną siłą rozciągającą ( F = -2be31V ) generowaną przez parę piezoceramików, li jest długością i-tego segmentu, b jest wspólną szerokością belki i aktuatorów.
Po przyrównaniu pierwszej wariacji energii potencjalnej do zera i przeprowadzeniu niezbędnych operacji całkowania i obliczania wariacji, przy założeniu stałej wartości potencjału
elektrycznego otrzymuje się
l2
li
li
é dU ( x )
ù
d 2U i ( xi )
i
i
(7)
dP = å Yi Ai ê
dU i (xi ) - ò
dU i (xi )dxi ú + FdU 2 (x2 ) = 0
2
dxi
êë dxi
úû
i =1
0
0
0
Analizując powyższe równanie przy uwzględnieniu, że przemieszczenie wirtualne dU i ( xi )
jest w przedziale 0 á xi á li dowolne i niezależne, otrzymuje się trzy równania różniczkowe
drugiego rzędu na przemieszczenia wzdłużne. Po podstawieniu geometrycznych przemieszczeniowych warunków brzegowych w granicach poszczególnych segmentów do równania na
wariację energii potencjalnej, uzyskuje się uzupełniający zagadnienie brzegowe zbiór dwóch
warunków naturalnych. Rozwiązanie zadania oraz analiza stanu naprężenia w poszczególnych
segmentach prowadzi do wzoru na wzdłużną siłę rezydualną R, która zależy od siły piezoelektrycznej F (przyłożonego napięcia V), jak również relacji między długościami segmentu z
piezoceramikami i segmentów belki oraz relacji między sztywnościami na ściskanie tych
segmentów:
3
-1
2
æ
ö
(8)
R = ±2be31V l2 ç l2 + a å l2i -1 ÷ ,
i =1
è
ø
gdzie współczynnik sztywności na ściskanie będący ilorazem sztywności piezosegmentu do
sztywności belki jest równy
Y A Y A + Yp Ap
a= 2 2 =
,
(9)
Y1 A1
YA
a Yp, Y to moduły Younga materiału piezoceramików i belki, Ap, A to pola powierzchni przekroju piezoceramików i belki.
3. WYNIKI BADAŃ EKSPERYMENTALNYCH I OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH
Podstawowe obliczenia przeprowadzono przy następujących danych odpowiadających
własnościom mechanicznym i elektrycznym materiałów oraz wymiarach belki i piezoceramików wykorzystanych w eksperymencie:
· moduł Younga belki Y = 71.4286 [GPa],
· moduł Younga piezoceramików (PZT PCM55) Yp = 60.6061 [GPa],
· efektywny współczynnik przenikalności elektrycznej ośrodka ξ33 =8.86 • 10-12 [F/m],
· efektywna stała dielektryczna e31=-15.7576 [C/m2]
· długość całkowita belki l = 0.23 [m],
· długość piezosegmentu l2 = 0.09 [m],
· szerokość piezoceramików i belki b = 0.02 [m],
· grubość belki h = 0.002 [m],
· grubość piezoceramików hp = 0.002 [m].
Na rys. 6 pokazano wykres ilustrujący wpływ napięcia V przykładanego do piezoelektryków i zmienianego w zakresie ± 900 [V] na siłę rezydualną R generowaną w belce. Linia cią-
ZASTOSOWANIE PIEZOELEKTRYKÓW DO GENEROWANIA SIŁ WEWNĘTRZNYCH …
173
gła jest obrazem zależności otrzymanej z obliczeń, natomiast punkty będące wynikiem pomiaru połączono linią przerywaną. Uzyskano bardzo dobrą zbieżność wyników przy wyższych wartościach napięcia zasilania - najmniejsza różnica względna między średnią wartością zmierzoną a obliczoną wynosiła 0.065%. Przy niskim napięciu (rzędu 100 [V]) różnica
ta była największa i sięgała 29.4%, czego powodem może być występowanie luzów połączenia belka-zamocowanie oraz bezwładność mechaniczna układów generującego i mierzącego
siłę w belce.
250.0
R [N]
R [N]
100.0
200.0
a = 1.5
150.0
V [V]
-500.0
500.0
100.0
a = 2.69
50.0
-100.0
0.0
0.10
0.2
0.30
0.4
0.50
0.6
0.70
0.8
Rys. 6. Wpływ napięcia na siłę krytyczną w
d2
belce duraluminiowej (pozostałe da- Rys. 7. Wpływ długości segmentu d 2 na siłę
ne: l2 = 9 cm, a = 2.8).
rezydualną (przy napięciu 500V).
Zbieżność wyników zweryfikowała poprawność przyjętego modelu matematycznego
i prawidłowość wykonanych obliczeń numerycznych. Pozwoliło to na przeprowadzenie dodatkowych badań numerycznych uwzględniających także wpływ długości i położenia piezoceramików na względne napięcie krytyczne. Na rys. 7 zaprezentowano wyniki obliczeń pokazujące wpływ zmiany długości bezwymiarowej piezosegmentu d2 = l2/l na wartość siły
rezydualnej przy ustalonym napięciu stałym równym 500 [V] i dwóch wartościach
współczynnika sztywności na ściskanie: jednej odpowiadającej układowi podstawowemu
a = 2.69 i drugiej a = 1.5 . Zwiększenie długości piezoelektryków prowadzi do wzrostu
wartości siły generowanej w belce niezależnie od wartości współczynnika sztywności.
Krzywe z rys. 8 ilustrują zmianę siły rezydualnej w belce w funkcji współczynnika sztywności na ściskanie przy stałym napięciu i dwóch wartościach długości piezosegmentu. Siła
wzdłużna maleje wraz ze wzrostem wartości współczynnika sztywności. Należy jednak
stwierdzić, że istotnym parametrem określającym przydatność piezoelektryka jest wartość
maksymalnego pola elektrycznego, jakie może być przyłożone do aktuatora. Wielkość ta wyraża maksymalne napięcie w voltach na milimetr [V/mm] grubości elementu, przy którym nie
wystąpi depolaryzacja. Warto zauważyć, że w licznej grupie piezoelektryków napięcie depolaryzujące dipole domen elektrycznych jest dużo mniejsze przy ściskaniu niż rozciąganiu, co
trzeba brać pod uwagę przy wyborze odpowiednich piezoceramików. Natomiast im większa
jest grubość piezoelektryka, przy tych samych własnościach elektromechanicznych, tym
większe napięcie można zastosować do jego pobudzenia i tym samym wygenerować siłę
wzdłużną o większej wartości.
Naklejenie piezoceramików na belkę zwiększa lokalnie jej przekrój poprzeczny
i sztywność. Położenie piezosegmentu musi więc wpływać na wyboczeniową siłę krytyczną
układu, co zilustrowano na rys. 9, przy czym jako przyczynę utraty stateczności podano
względne napięcie krytyczne. Za napięcie krytyczne należy uważać takie napięcie stałe, przy
174
J. PRZYBYLSKI, G. GĄSIORSKI
którym wygenerowana przez piezoceramiki siła rezydualna wywołuje trwałe wyboczenie
układu.
vkr
R [N]
500.00
120.0
d 2 = 0.5
100.0
400.00
80.0
300.00
d 2 = 0.39
60.0
1.6
2.0
2.4
2.8
0.00
0.20
0.40
0.60
a
d1
Rys. 8. Wpływ współczynnika sztywności na Rys. 9. Wpływ położenia
piezosegmentu na
ściskanie na siłę rezydualną (przy
napięcie krytyczne (pozostałe dane: d2
napięciu 500V)
= 0.39)
5. WNIOSKI
Skonstruowany układ badawczy wraz z zestawioną aparaturą pomiarową umożliwiają pomiar siły wzdłużnej w belce z unieruchomionymi końcami, wywołanej oddziaływaniem
wzdłużnym piezoktuatorów i powstałym w wyniku przyłożenia do segmentu z elementami
piezoceramicznymi wysokiego napięcia stałego.
Zależności siły i napięcia otrzymane z pomiarów i obliczeń numerycznych należy uznać za
zbieżne, mimo tego, że w przyjętym modelu matematycznym nie uwzględniono zjawiska histerezy ferroelektrycznej piezoceramika.
Siła rezydualna generowana przez piezoceramiki zależy nie tylko od przykładanego pola
elektrycznego, ale także od długości piezoceramików i ilorazu sztywności na ściskanie piezosegmentu do sztywności belki.
Praca została wykonana w ramach projektu badawczego Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa
Wyższego N N501 117236, oraz badań własnych BW 1-101/204/07/P
LITERATURA:
1.
Faria A. R. On buckling enhancement of laminated beams with piezoelectric actuators via stress stiffening.
“Composite Structures” 2004, 65, 2, p. 187-192.
2. Thompson S., Loughan J. The active buckling control of some composite column strips using piezoceramic
actuators. “Composite Structures” 1995, 32, p. 59-67.
3. Przybylski J. Stability of an articulated column with two collocated piezoelectric actuators. “Engineering
Structures” 2008, 30, 12, p. 3739-3750.
APPLICATION OF PIEZOCERAMIC ELEMENTS FOR THE AXIAL FORCE GENERATION
IN A BEAM WITH AXIALLY RESTRAINED ENDS
Summary. In this work the influence of the voltage applied to two ceramic piezoactuators collocally bonded to a duralumin beam of the rectangular cross section with both
clamped ends, on the axial force generated along this beam have been studied. Performed
numerical investigation on the basis of prepared mathematical model have been verified
with those obtained from the experimental analysis done on a specially designed stand.