Grafy – twierdzenia

Grafy – twierdzenia
15 Kwietnia 2014
Twierdzenia
[Twierdzenie 1] W każdym grafie, składającym się z co najmniej dwóch wierzchołków, istnieją dwa wierzchołki tego samego stopnia.
[Twierdzenie 2] Eulera o wielościanach Spójny graf planarny o W wierzchołkach, K krawędziach i S
ścianach (czyli częściach, na które została podzielona płaszczyzna) spełnia równość W + S = K + 2.
Zadania
[Zadanie 1] W Bajtocji miasta są połączone liniami lotniczymi w ten sposób, że z Bajtołów Górnych prowadzi 21 linii, z Bajtołów Dolnych jedna, a z pozostałych miast po 20 linii. Wykaż, że z Bajtołów Górnych
można dolecieć (ew. z przesiadkami) do Bajtołów Dolnych.
[Zadanie 2] W pewnym towarzystwie każde dwie znajome osoby mają dokładnie pięć wspólnych znajomych.
Wykaż, że liczba par znajomych dzieli się przez 3.
[Zadanie 3] W kwadracie zaznaczono 200 punktów i połączono je odcinkami ze sobą i z wierzchołkami
kwadratu, tak aby żadne dwa odcinki się nie przecinały, oraz tak, żeby kwadrat został podzielony na
trójkąty. Ile jest tych trójkątów?
[Zadanie 4] W pewnym kraju jest n miast. Między każdymi dwoma z nich istnieje bezpośrednie połączenie
samolotami jednej z dwóch spółek lotniczych. Wykaż, że korzystając z usług tylko jednej spółki można
dolecieć z każdego miasta do każdego innego.
[Zadanie 5] Wykaż, że niezależnie od tego, jak skieruje się każdą krawędź w grafie pełnym, to będzie w nim
istniała ścieżka Hamiltona.
[Zadanie 6] W pewnej grupie ludzi niektórzy się znają, a inni nie. Co wieczór jeden człowiek zaprasza na
kolację wszystkich swoich znajomych i zaznajamia ich ze sobą. Po tym, jak każdy z ludzi chociaż raz
zapraszał na kolację okazało się, że jest dwóch ludzi, którzy się jeszcze nie znają. Wykaż, że po następnej
kolacji dalej nie będą się znali.
[PA 2012] Pająk Siedmionogie pająki żyjące w Bajtocji budują pajęczyny o bardzo regularnej strukturze. Pajęczyna taka składa się z węzła centralnego, w którym zazwyczaj odpoczywa pająk, i d kręgów, ponumerowanych liczbami od 1 do d. Każdy krąg to cykl złożony z węzłów połączonych nićmi.
Każdy węzeł, oprócz tych na kręgu d, połączony jest nićmi z siedmioma innymi węzłami. Węzeł centralny jest połączony ze wszystkimi
siedmioma węzłami z kręgu 1. Każdy węzeł z kręgu i jest połączony
z k ∈ {1, 2} węzłami z kręgu i − 1, dwoma sąsiednimi węzłami z kręgu i
oraz l = 5 − k kolejnymi węzłami z kręgu i + 1. Pierwszy i ostatni z tych
l węzłów jest połączony z dwoma sąsiednimi węzłami z kręgu i, a pozostałe tylko z jednym. Sieć można zawsze narysować na płaszczyźnie tak,
by nici nie przecinały się. Sytuację pokazuje rysunek.
Sieci takie są bardzo skuteczne. Ostatnio Bajtazar zaobserwował spacer
pająka po sieci o d = 109 kręgach. Pająk zaczął w węźle centralnym,
a następnie, poruszając się po niciach, wrócił do punktu wyjścia, nie
przechodząc przez żaden węzeł więcej niż raz. W każdym węźle we wnętrzu wielokąta, po którego brzegu poruszał się pająk, została złowiona
mucha. Bajtazar zanotował sobie kolejne ruchy pająka podczas spaceru
i chciałby obliczyć, ile much zostało złapanych. Pająk na swojej trasie
odwiedził n ≤ 7 777 777 wierzchołków. Na wejściu podane są skręty, jakie wykonywał pająk w kolejnych
wierzchołkach (jako liczby z ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}, oznaczające, że pająk wyszedł z wierzchołka po z-tej nici
zgodnie ze wskazówkami zegara, gdzie zerowa nić oznacza nić, którą pająk wszedł do wierzchołka). Należy
obliczyć, ile jest wierzchołków wewnątrz obszaru, który obszedł pająk.