Funkcje analityczne Lista 4

Funkcje analityczne
B38. Oblicz całki
Z
γ
Lista 4
ez
dz;
z(z − 2i)
Z
γ
sin z
dz,
− 2i)3
z 2 (z
gdzie γ jest dodatnio zorientowanym okręgiem (a) o środku w 3i i promieniu 2; (b) o środku
w −2i i promieniu 3.
B39. Jeśli Ω ⊂ C jest otwarty, f ∈ C([a, b] × Ω) oraz f (t, ·) ∈ H(Ω) dla każdego t ∈ [a, b], to
Rb
funkcja g(z) = a f (t, z) dt jest holomorficzna na Ω. Wskazówka: Twierdzenie Morery.
B40. Uzasadnij, że podane funkcje są holomorficzne
Z 1
Z 1
etz
dt
dt na {z : Re z > 0};
f (z) =
dt na C;
g(z) =
2
−1 1 + t
0 1 + tz
Z ∞ tz
e
h(z) =
dt na {z : Re z < 0}.
1 + t2
0
B41. Niech Ω ⊂ C będzie zbiorem otwartym, Ω = Ω1 ∪ Ω2 , gdzie Ωk są otwarte i niepuste.
Niech fk ∈ H(Ωk ) oraz f1 (z) = f2 (z) dla z ∈ Ω1 ∩ Ω2 . Określamy funkcję h następująco:
h(z) = f1 (z) dla z ∈ Ω1 oraz h(z) = f2 (z) dla z ∈ Ω2 \ Ω1 . Sprawdź, że h ∈ H(Ω).
B42. Jeśli f ∈ H(D(a, r)) dla pewnego r, to a jest m–krotnym zerem funkcji f wtedy i tylko
wtedy, gdy f (m) (a) = 0 oraz f (k) (a) = 0 dla 0 ≤ k < m.
B43. Znajdź krotność zera z = 0 dla funkcji
2
f1 (z) = (ez −1)z 2 ;
f2 (z) = 2 cos z 2 +z 4 −2;
f3 (z) = esin z −1;
f4 (z) = sin2009 (z 100 ).
B44. Czy istnieje funkcja holomorficzna w otoczeniu 0 i taka, że (a) f ( n1 ) = f (− n1 ) =
n ∈ N; (b) f ( n1 ) = f (− n1 ) = n13 dla n ∈ N?
1
n2
dla
1
B45. Funkcja f (z) = sin z−1
ma ciąg zer zbieżny do 1, ale nie jest stała. Czy to nie sprzeczność
z twierdzeniem o zerach?
B46. Zbadaj, czy funkcja f ma funkcję pierwotną na Ω, jeśli
z
, Ω = D(0, 1);
z2 + 1
z
, Ω = C \ D(0, 1);
(b) f (z) = 2
z +1
1
(c) f (z) = 2
, Ω = C \ [−1, 1].
z −1
(a) f (z) =
B47. (Funkcje holomorficzne o niezerowej pochodnej zachowują kąty) Niech γ1 , γ2 : [α, β] → Ω
będą drogami klasy C 1 , niech γ1 (t0 ) = γ2 (t0 ) dla pewnego t0 ∈ (α, β). Uzasadnij, że
jeśli f ∈ H(Ω) ma niezerową pochodną na Ω, to f ◦ γk są drogami w Ω. Ponadto kąt
pomiędzy drogami γ1∗ i γ2∗ w punkcie γ1 (t0 ) jest taki sam, jak pomiędzy drogami (f ◦γ1 )∗
i (f ◦ γ2 )∗ w punkcie f ◦ γ1 (t0 ). Wskazówka. Znaleźć wektory styczne do tych dróg.
az + b
, gdzie ad − bc 6= 0. Przy
cz + d
rozpatrywaniu homografii wygodnie jest do C dołączyć „punkt w nieskończoności” ∞;
oznaczamy S 2 = C ∪ {∞}. Wówczas homografie są odwzorowaniami z S 2 w S 2 , jeśli
przyjmiemy, że f (∞) = a/c i f (−d/c) = ∞, gdy c 6= 0; f (∞) = ∞, gdy c = 0.
Przyjmujemy także, że punkt ∞ należy do każdej prostej i nie należy do żadnego okręgu.
Homografią nazywamy odwzorowanie postaci f (z) =
B48. Sprawdź, że odwzorowanie z 7→ 1/z, jako odwzorowanie S 2 w S 2 , przekształca rodzinę
okręgów i prostych w siebie. Wywnioskuj stąd, że tą samą własność mają wszystkie
homografie.
B49. Homografie tworzą grupę przekształceń S 2 . Wsk. Zadanie 11 z listy dra Ryczaja.
B50. Napisz ogólną postać homografii, które przekształcają
(a) punkty −1, 0, 1 odpowiednio na i, −i, ∞;
(b) punkt ∞ na ∞;
(c) trzy różne punkty a, b, c ∈ C na, odpowiednio, punkty 0, 1, ∞;
(d) trzy różne punkty a, b, ∞ ∈ S 2 na, odpowiednio, punkty 0, 1, ∞;
(e) ♥ okrąg ∂D(0, 1) na siebie oraz punkt 0 na punkt 0.
B51. Niech α ∈ D(0, 1). Sprawdź, że homografia
ϕα (z) =
z−α
1 − αz
przekształca D(0, 1) na siebie oraz punkt α na 0.
B52. ♥ Jaka jest ogólna postać homografii, które przekształcają dysk D(0, 1) na siebie? Wskazówka. Zadania 49, 50(e), 51.
B53. ♥ Znajdź homografię przekształcającą dysk D(0, 1) na półpłaszczyznę {z : Im z > 0}
oraz punkt 0 na punkt i.
B54. Określ rodzaj osobliwości funkcji f (z) =
1
z − πi
, g(z) = exp
.
z
1+e
z−1
B55. Uzasadnij, że jeśli f ∈ H(C) i f nie jest stała, to f (C) jest gęsty w C. Wskazówka.
Twierdzenie Liouville’a.
B56. Jeśli f ∈ H(C) i jej część rzeczywista lub urojona jest funkcją ograniczoną z dołu lub
z góry, to f jest stała. Wskazówka do jednego z przypadków. Twierdzenie Liouville’a
dla funkcji ef .
B57. Niech f, g ∈ H(C) spełniają nierówność |f (z)| ≤ |g(z)| dla wszystkich z ∈ C. Co można
wywnioskować stąd o funkcjach f i g?
B58. Niech Ω będzie obszarem w C i f ∈ H(Ω). Przypuśćmy, że funkcja f jest różna od
stałej, i że |f | ma minimum lokalne w punkcie z0 ∈ Ω. Co można powiedzieć o wartości
funkcji f w punkcie z0 ?