egzamin maturalny z matematyki

Transkrypt

Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE
DO MOMENTU ROZPOCZĉCIA EGZAMINU!
Miejsce
na naklejkĊ
MMA-P1_1P-082
EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
POZIOM PODSTAWOWY
MAJ
ROK 2008
Czas pracy 120 minut
Instrukcja dla zdającego
1. SprawdĨ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 19 stron (zadania
1 – 12). Ewentualny brak zgáoĞ przewodniczącemu zespoáu
nadzorującego egzamin.
2. Rozwiązania zadaĔ i odpowiedzi zamieĞü w miejscu na to
przeznaczonym.
3. W rozwiązaniach zadaĔ przedstaw tok rozumowania
prowadzący do ostatecznego wyniku.
4. Pisz czytelnie. UĪywaj dáugopisu/pióra tylko z czarnym
tuszem/atramentem.
5. Nie uĪywaj korektora, a báĊdne zapisy przekreĞl.
6. PamiĊtaj, Īe zapisy w brudnopisie nie podlegają ocenie.
7. Obok kaĪdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów,
którą moĪesz uzyskaü za jego poprawne rozwiązanie.
8. MoĪesz korzystaü z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla
i linijki oraz kalkulatora.
9. Na karcie odpowiedzi wpisz swoją datĊ urodzenia i PESEL.
Nie wpisuj Īadnych znaków w czĊĞci przeznaczonej
dla egzaminatora.
Za rozwiązanie
wszystkich zadaĔ
moĪna otrzymaü
áącznie
50 punktów
ĩyczymy powodzenia!
Wypeánia zdający
przed rozpoczĊciem pracy
PESEL ZDAJĄCEGO
KOD
ZDAJĄCEGO
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom podstawowy
2
Zadanie 1. (4 pkt)
Na poniĪszym rysunku przedstawiono áamaną ABCD, która jest wykresem funkcji y
f x .
y
D
C
3
2
1
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
x
–1
–2
–3
B
A
–4
Korzystając z tego wykresu:
a) zapisz w postaci przedziaáu zbiór wartoĞci funkcji f ,
b) podaj wartoĞü funkcji f dla argumentu x 1 10 ,
c) wyznacz równanie prostej BC ,
d) oblicz dáugoĞü odcinka BC .
a) Zbiór wartoĞci funkcji f odczytujĊ z wykresu. Jest nim przedziaá 4, 3 .
b) ZauwaĪam, Īe 3 1 10 2 . Z wykresu odczytujĊ, Īe w przedziale
3, 2 funkcja f jest staáa i dla kaĪdego argumentu z tego przedziaáu
przyjmuje wartoĞü
4 ,
zatem wartoĞcią funkcji f dla argumentu
x 1 10 jest 4 , co moĪna zapisaü f 1 10
4 .
c) Wyznaczam równanie prostej przechodzącej przez punkty B
i C
2,3 :
y 3
stąd y
4 3
x 2
2 2
7
1
x .
4
2
Obliczam dáugoĞü odcinka BC: BC
2 2 3 4 2
2
65 .
2, 4 Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl
Poziom podstawowy
3
Zadanie 2. (4 pkt)
Liczba przekątnych wielokąta wypukáego, w którym jest n boków i n t 3 wyraĪa siĊ wzorem
n n 3
P n
.
2
Wykorzystując ten wzór:
a) oblicz liczbĊ przekątnych w dwudziestokącie wypukáym.
b) oblicz, ile boków ma wielokąt wypukáy, w którym liczba przekątnych jest piĊü razy
wiĊksza od liczby boków.
c) sprawdĨ, czy jest prawdziwe nastĊpujące stwierdzenie:
KaĪdy wielokąt wypukáy o parzystej liczbie boków ma parzystą liczbĊ przekątnych.
OdpowiedĨ uzasadnij.
a) Do podanego wzoru podstawiam n 20 i otrzymujĊ P 20 W dwudziestokącie wypukáym jest 170 przekątnych.
b) ZapisujĊ równanie uwzglĊdniające treĞü tego podpunktu:
20 17
170 .
2
n n 3
2
5n .
Jest ono równowaĪne równaniu kwadratowemu n 2 13n 0 , którego
rozwiązaniem są liczby n 0 lub n 13 .
Biorąc pod uwagĊ zaáoĪenie, Īe n t 3 formuáujĊ odpowiedĨ: Wielokątem
wypukáym, który ma 5 razy wiĊcej przekątnych niĪ boków jest trzynastokąt.
9 przekątnych, czyli P 6 9 .
c) PowyĪsze stwierdzenie nie jest prawdziwe, poniewaĪ szeĞciokąt wypukáy ma
Poziom podstawowy
4
RozwiąĪ równanie 423 x 329 x 164 44 .
Zadanie 3. (4 pkt)
4
Zapisz rozwiązanie tego równania w postaci 2k , gdzie k jest liczbą caákowitą.
Wszystkie liczby wystĊpujące w równaniu zapisujĊ w postaci potĊgi o podstawie 2:
246 x 245 x
216 232
Po lewej stronie równania wyáączam wspólny czynnik przed nawias, a po prawej
stronie wykonujĊ mnoĪenie:
245 x 2 1 248
245 x 248
dzielĊ obie strony równania przez 245 i otrzymujĊ:
x 248 : 245
23
Rozwiązaniem równania jest liczba 23 .
Poziom podstawowy
5
Zadanie 4. (3 pkt)
Koncern paliwowy podnosiá dwukrotnie w jednym tygodniu cenĊ benzyny, pierwszy raz
o 10%, a drugi raz o 5%. Po obu tych podwyĪkach jeden litr benzyny, wyprodukowanej przez
ten koncern, kosztuje 4,62 zá. Oblicz cenĊ jednego litra benzyny przed omawianymi
podwyĪkami.
Oznaczam literą x cenĊ jednego litra benzyny przed podwyĪkami;
1,1x –cena jednego litra benzyny po pierwszej podwyĪce;
1,05 1,1x – cena jednego litra benzyny po obu podwyĪkach.
ZapisujĊ równanie: 1,05 1,1x 4,62
1,155 x 4,62
Rozwiązaniem równania jest x 4 ;
Cena jednego litra benzyny przed podwyĪkami byáa równa 4 zá.
Poziom podstawowy
6
NieskoĔczony ciąg liczbowy an jest okreĞlony wzorem an
Zadanie 5. (5 pkt)
a) Oblicz, ile wyrazów ciągu an jest mniejszych od 1,975.
2
1
, n 1, 2, 3,... .
n
b) Dla pewnej liczby x trzywyrazowy ciąg a2 , a7 , x jest arytmetyczny. Oblicz x.
a) RozwiązujĊ nierównoĞü 2 1
1,975 .
n
Przeksztaácam ją do postaci równowaĪnej
zapisujĊ w postaci
1
! 0,025 . NierównoĞü tĊ
n
1 1
!
. Jest ona speániona gdy: n 40 .
n 40
PoniewaĪ n jest liczbą naturalną, wiĊc odpowiedĨ jest nastĊpująca:
39 wyrazów danego ciągu to liczby mniejsze od 1,975.
b) Korzystam ze związku miĊdzy sąsiednimi wyrazami w ciągu arytmetycznym
i zapisujĊ równanie:
a2 x
2
a7 , czyli x 2a7 a2 .
Obliczam potrzebne wyrazy: a2
3
, a7
2
13
.
7
Wstawiam obliczone wartoĞci do równania i otrzymujĊ x 2
13 3
7 2
OdpowiedĨ: Trzywyrazowy ciąg a2 , a7 , x jest arytmetyczny dla x
31
.
14
31
.
14
Poziom podstawowy
7
Prosta o równaniu 5 x 4 y 10 0 przecina oĞ Ox ukáadu wspóárzĊdnych w punkcie A oraz
oĞ Oy w punkcie B . Oblicz wspóárzĊdne wszystkich punktów C leĪących na osi Ox i takich,
Īe trójkąt ABC ma pole równe 35 .
Zadanie 6. (5 pkt)
Wyznaczam wspóárzĊdne punktów A i B: A
2,0 § 5·
oraz B ¨ 0, ¸ .
© 2¹
y
B
C
O
A
C
x
Punkt C moĪe leĪeü z lewej lub z prawej strony punktu A. Przyjmując, Īe w obu
przypadkach wysokoĞcią trójkąta ABC jest odcinek BO, którego dáugoĞü jest
równa
5
i korzystając z faktu, Īe pole trójkąta ABC równa siĊ 35 zapisujĊ
2
równanie:
1
AC BO
2
1
5
AC
2
2
AC
PoniewaĪ punkt A
35
35
28 .
2, 0 , wiĊc C 30,0 lub C 26,0 .
Zadanie ma zatem dwa rozwiązania.
Poziom podstawowy
8
Zadanie 7. (4 pkt)
Dany jest trapez, w którym podstawy mają dáugoĞü 4 cm i 10 cm oraz ramiona tworzą
z dáuĪszą podstawą kąty o miarach 30q i 45q . Oblicz wysokoĞü tego trapezu.
C
D
45q
AED
E
jest
( )DAE
)EDA
30q
.
.
A
Trójkąt
h
h
B
F
trójkątem
45q ), wiĊc AE
prostokątnym
ED
i
równoramiennym
h.
Korzystam z wáasnoĞci trójkąta prostokątnego BFC i zapisujĊ zaleĪnoĞü miĊdzy
przyprostokątnymi
EF
DC
tg30q , stąd FB
CF 3 , FB
h 3.
4 , wiĊc otrzymujĊ równanie:
AE 4 FB
otrzymujĊ:
CF
FB
10 , z którego po podstawieniu wyznaczonych wielkoĞci
h 4 h 3 10 .
Obliczam wysokoĞü trapezu:
hh 3
h 1 3
h
6
6
6
3
3 1
3 1 .
OdpowiedĨ: WysokoĞü trapezu jest równa 3
3 1 cm.
Poziom podstawowy
Dany jest wielomian W x Zadanie 8. (4 pkt)
x 3 5 x 2 9 x 45 .
a) SprawdĨ, czy punkt A 1, 30 naleĪy do wykresu tego wielomianu.
b) Zapisz wielomian W w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego.
a) Obliczam W 1 :
W 1 13 5 12 9 1 45 32
W 1 z 30
Otrzymany wynik oznacza, Īe punkt A nie naleĪy do wykresu wielomianu W.
b) Rozkáadam wielomian na czynniki:
W x
x3 5 x 2 9 x 45
x3 9 x 5 x 2 45
x x2 9 5 x2 9
x
2
9 x 5
x 3 x 3 x 5 .
OdpowiedĨ: W x x 3 x 3 x 5 .
9
Poziom podstawowy
10
Zadanie 9. (5 pkt)
Oblicz najmniejszą i najwiĊkszą wartoĞü funkcji kwadratowej
w przedziale 2, 2 .
f x
2 x 1 x 2 ZapisujĊ wzór funkcji w postaci ogólnej f x 2 x 2 3 x 2 .
Wyznaczam odciĊtą wierzchoáka paraboli: xw
b
2a
3
.
4
Pierwsza wspóárzĊdna wierzchoáka paraboli naleĪy do przedziaáu 2, 2 , wiĊc
najmniejszą wartoĞcią funkcji f w tym przedziale jest druga wspóárzĊdna
wierzchoáka: yw
'
4a
25
.
8
Obliczam wartoĞci funkcji na koĔcach przedziaáu: f 2 12 , f 2 0 .
NajwiĊkszą wartoĞcią funkcji f w podanym przedziale jest f 2 12 .
OdpowiedĨ: Najmniejszą wartoĞcią funkcji w podanym przedziale jest
yw
25
, a najwiĊkszą f 2 12 .
8
Poziom podstawowy
Zadanie 10. (3 pkt)
11
Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji h , okreĞlonej wzorem h x Wiadomo, Īe do wykresu funkcji h naleĪy punkt P 2,5 .
a) Oblicz wartoĞü wspóáczynnika a .
b) Ustal, czy liczba h S h S jest dodatnia czy ujemna.
a
dla x z 0 .
x
c) RozwiąĪ nierównoĞü h x ! 5 .
y
P
2,5 1
x
1
a) Korzystam z faktu, Īe punkt P
i wyznaczam wspóáczynnik a: 5
2,5
naleĪy do wykresu funkcji h
a
stąd a=10.
2
Funkcja h jest dana wzorem: h x 10
.
x
b) Z wykresu odczytujĊ, Īe h S 0 , natomiast h S ! 0 . Stąd wynika, Īe
h S h S jest liczbą dodatnią.
Z informacji podanej w zadaniu wiem, Īe wykres funkcji h przechodzi przez
punkt P
2,5 . OdczytujĊ rozwiązanie nierównoĞci h x ! 5
przedziaá 0,2 .
z wykresu: jest to
Poziom podstawowy
12
Zadanie 11. (5 pkt)
a 2 15
, gdzie
4
a oznacza dáugoĞü krawĊdzi podstawy tego ostrosáupa. Zaznacz na poniĪszym rysunku kąt
nachylenia Ğciany bocznej ostrosáupa do páaszczyzny jego podstawy. MiarĊ tego kąta oznacz
symbolem E . Oblicz cos E i korzystając z tablic funkcji trygonometrycznych odczytaj
przybliĪoną wartoĞü E z dokáadnoĞcią do 1q .
Pole powierzchni bocznej ostrosáupa prawidáowego trójkątnego równa siĊ
S
h
C
E
O
A
D
x
a
B
Na rysunku zaznaczam kąt nachylenia Ğciany bocznej ostrosáupa do páaszczyzny
podstawy – E (punkt D jest Ğrodkiem odcinka BC).
Poziom podstawowy
13
Wprowadzam oznaczenie: h – wysokoĞü Ğciany bocznej.
ZapisujĊ równanie opisujące pole powierzchni bocznej ostrosáupa:
1
3 a h
2
h
a 2 15
, z którego wyznaczam wysokoĞü Ğciany bocznej ostrosáupa
4
a 15
.
6
Z trójkąta prostokątnego SOD, w którym x
OD
a 3
– dáugoĞü promienia
6
okrĊgu wpisanego w podstawĊ ostrosáupa otrzymujĊ: cos E
cos E
x
h
a 3
6
a 15
6
x
.
h
5
| 0,4472 .
5
Z tablicy wartoĞci funkcji trygonometrycznych odczytujĊ miarĊ kąta: E
63D .
Poziom podstawowy
14
Zadanie 12. (4 pkt)
Rzucamy dwa razy symetryczną szeĞcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieĔstwo
kaĪdego z nastĊpujących zdarzeĔ:
a) A – w kaĪdym rzucie wypadnie nieparzysta liczba oczek.
b) B – suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą wiĊkszą od 9.
c) C – suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą nieparzystą i wiĊkszą od 9.
: dla tego doĞwiadczenia jest zbiorem wszystkich uporządkowanych par,
których wyrazy mogą siĊ powtarzaü i kaĪdy z tych wyrazów moĪe byü jedną
z liczb: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
MoĪna ten zbiór opisaü w tabelce:
1
:
62
2
3
4
5
6
1
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
36 .
^ 1,1 , 1,31,5 , 3,1 , 3,3 , 3,5 , 5,1 , 5,3 , 5,5` .
Zdarzeniu A sprzyja 9 zdarzeĔ elementarnych:
Obliczam prawdopodobieĔstwo zdarzenia A: P A 9
36
1
.
4
Zdarzeniu B sprzyja 6 zdarzeĔ elementarnych. àatwo je wypisaü:
^ 6,6 , 6,5 , 6,4 , 5,6 , 5,5 , 4,6 ` .
Obliczam prawdopodobieĔstwo zdarzenia B: P B 6
36
1
.
6
Obliczam prawdopodobieĔstwo zdarzenia C: P C 2
36
1
.
18
Zdarzeniu C sprzyjają dwa zdarzenia elementarne: ^ 6,5 , 5,6 `
Poziom podstawowy
BRUDNOPIS
15

egzamin maturalny z matematyki

Transkrypt

Podobne dokumenty

egzamin maturalny z wiedzy o społeczeństwie

Zakres wiadomości i umiejętności sprawdzanych na egzaminach

arkusz 3

egzamin maturalny z matematyki

egzamin maturalny z matematyki

próbny egzamin maturalny z matematyki

ZADANIA EGZAMINACYJNE

Pobierz