2 - Irek.edu.pl

Co można, a czego nie można zrobić z nierównością i dlaczego?
Każda operacja na nierówności to tak naprawdę jedno z dwojga:
1. „zadziałanie” na obydwie strony nierówności pewną funkcją, albo
2. opuszczenie po obydwu stronach nierówności znaku pewnej funkcji.
Powyższe zdanie dotyczy wszystkich operacji wykonywanych na nierównościach, także tych,
które uczeń poznaje już w szkole podstawowej i gimnazjum, jak pomnożenie obydwu stron
nierówności przez liczbę różną od zera, czy dodanie do obydwu stron nierówności dowolnego
wyrażenia.
Przykłady:
3
Mamy równanie: (LewaStrona ) < (Pr awaStrona )
Równanie ma postać f (LewaStrona ) < f (Pr awaStrona ) , gdzie f ( x) = x 3
Opuszczając znak tej funkcji otrzymujemy: LewaStrona < Pr awaStrona
Mamy równanie: LewaStrona < Pr awaStrona
Działając na obydwie strony równania funkcją f ( x) = 5x otrzymujemy:
f (LewaStrona ) = f (Pr awaStrona ) , tzn.
5 ⋅ LewaStrona < 5 ⋅ Pr awaStrona
Zadziałanie na obydwie strony równania podaną funkcją, to pomnożenie obydwu stron przez
liczbę 5.
3
Niektóre z takich operacji wykonywanych na nierównościach są poprawne, tzn. po ich wykonaniu nie zmieni się zbiór rozwiązań nierówności (mówimy wtedy, że otrzymaliśmy nierówność równoważną nierówności wyjściowej).
Niektóre jednak zmieniają zbiór rozwiązań – tych nie należy wykonywać.
Przykład użycia błędnej operacji
Nierówność wyjściowa: x < 2
Zbiorem rozwiązań tej nierówności jest przedział (− ∞ , 2) .
Bierzemy funkcję f ( x) = x 2 i wykonujemy operację f ( x) < f ( 2) , w efekcie czego otrzymamy: x 2 < 4 .
Zbiorem rozwiązań tej ostatniej nierówności jest przedział (− 2 , 2) , czyli zbiór rozwiązań
nierówności zmienił się.
Sztuka rozwiązywania nierówności polega więc na wykonywaniu na nich takich operacji, które nie zmieniają zbioru rozwiązań, a jedynie zmieniają postać nierówności – najlepiej w kierunku jej maksymalnego uproszczenia.
Powstaje pytanie: które operacje są dopuszczalne, a które nie?
Odpowiedź na to pytanie jest ukryta w definicji funkcji monotonicznych:
„Funkcję f(x) nazywamy rosnącą, jeżeli dla dowolnych argumentów x 1 , x 2 zachodzi:
x 1 < x 2 ⇔ f (x 1 ) < f (x 2 ) ”,
„Funkcję f(x) nazywamy malejącą, jeżeli dla dowolnych argumentów x 1 , x 2 zachodzi:
x 1 < x 2 ⇔ f (x 1 ) > f (x 2 ) ”.
Jak widać w definicjach tych wyraźnie zapisano, że jeżeli funkcja jest rosnąca, to nierówności f (x 1 ) < f (x 2 ) oraz x 1 < x 2 są równoważne (czytaj: mają taki sam zbiór rozwiązań).
Jeżeli natomiast funkcja jest malejąca, to nierówności f (x 1 ) > f (x 2 ) oraz x 1 < x 2 są równoważne (czytaj: mają taki sam zbiór rozwiązań).
Nie zmieniamy więc zbioru rozwiązań nierówności w dwóch przypadkach:
1. Gdy zadziałamy na obydwie strony nierówności funkcją rosnącą (albo opuścimy
po obu stronach znak takiej funkcji).
2. Gdy zadziałamy na obydwie strony nierówności funkcją malejącą (albo opuścimy
po obu stronach znak takiej funkcji), zmieniając jednocześnie znak nierówności
na przeciwny.
W poniższej tabeli przedstawiono wykaz najczęściej używanych, poprawnych operacji na
równaniach:
Operacja
Podniesienie obydwu stron nierówności do nieparzystej potęgi
(albo opuszczenie po obydwu
stronach takiej potęgi)
Przykład
Uzasadnienie poprawności
x3 > 23
x>2
Funkcje f ( x ) = x 3 , f ( x ) = x 5 ,
Podniesienie obydwu stron nierówności do parzystej potęgi
(albo opuszczenie po obydwu
stronach takiej potęgi), lecz jedynie w przypadku , gdy:
---obydwie strony nierówności
są nieujemne, albo
--- obydwie strony nierówności
są niedodatnie (tu będzie
zmiana znaku nierówności na
przeciwny)
x 2 + 3 ≤ 2x 2 + 1
f ( x ) = x 7 ,... są rosnące
obydwie strony nierówności są
nieujemne, więc:
(x
2
)
jest parzyste
2
+ 3 ≤ 2x 2 + 1
− 3 > − 2x 2 + 8
obydwie strony nierówności są
niedodatnie, więc:
(− 3)2 < (−
2x 2 + 8
)
2
x 5 ≥ −32
Pierwiastkowanie obydwu stron
nierówności pierwiastkiem stopnia nieparzystego
5
x 5 ≥ 5 − 32
x ≥ −2
x 4 > 16
jak
Logarytmowanie obydwu stron
nierówności (lub opuszczenie
logarytmów po obydwu stronach), gdy obydwie strony nierówności są dodatnie
Opuszczenie znaku funkcji wykładniczej lub użycie tej funkcji
Malejące są funkcje:
f ( x ) = x n , x ∈ − ∞ ,0 , gdy n
(
jest parzyste
Funkcje f ( x ) = n x ,
n ∈ { 3,5,7,9,...}
są rosnące
x 4 > 4 16
>
Pierwiastkowanie obydwu stron
x >2
nierówności pierwiastkiem stopnia parzystego, lecz tylko wtex > 2 lub x < −2
dy, gdy obydwie strony nieUwaga: 4 x 4 = x , podobnie
równości są nieujemne
4
Rosnące są funkcje:
f ( x ) = x n , x ∈ 0, ∞ ) , gdy n
Funkcje f ( x ) = n x , x ≥ 0 ,
n ∈ { 2,4,6,8,...}
są rosnące
x2 = x
log 3 (x − 2) < log 3 8
Dziedzina równania: x > 2
Opuszczamy logarytmy:
x−2<8
(0,5)4x− 2 > (0,5)3
4x − 2 < 3
Wszystkie funkcje logarytmiczne o podstawie większej od 1 są
rosnące. Wszystkie funkcje logarytmiczne o podstawie z przedziału (0 , 1) są malejące.
Wszystkie funkcje wykładnicze
o podstawie większej od 1 są
rosnące. Wszystkie funkcje wykładnicze o podstawie z przedziału (0 , 1) są malejące.
Parę przykładów błędnych operacji na nierównościach:
Operacja
Przykład
Uzasadnienie
x2 + 1 < x − 1 / 2
x 2 + 1 < ( x − 1) 2
x 2 + 1 < x 2 − 2x + 1
2x < 0
x<0
Podniesienie obydwu stron
Wynik jest błędny, gdyż dla
nierówności do potęgi parzyliczb x < 0 lewa strona niestej, bez badania znaku obyrówności jest nieujemna, a
dwu stron nierówności
prawa strona – ujemna. Liczba nieujemna nie może być
mniejsza od liczby ujemnej,
czyli żadna z liczb x < 0 nie
jest rozwiązaniem nierówności
π
sin x ≤ sin
2
π
x<
2
Opuszczenie znaku funkcji
π
trygonometrycznej
sin = 1 , a wiadomo, że
2
sin x ≤ 1 dla wszystkich liczb
rzeczywistych. Rozwiązanie
jest błędne.
Funkcja f ( x) = x 2 nie jest
rosnąca
Funkcje trygonometryczne
nie są monotoniczne.
Rozwiążemy teraz przykładowe zadanie z wykorzystaniem omówionych zasad rządzących
rozwiązywaniem nierówności.
4−x > x−2
Wyznaczamy dziedzinę nierówności:
4−x ≥ 0 ⇔ x ≤ 4
Dla x ∈ (− ∞ ,4 lewa strona nierówności jest nieujemna.
Co natomiast dzieje się z prawą stroną?
x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 , czyli prawa strona nierówności jest nieujemna dla x ∈ 2,4 , natomiast
dla x < 2 jest ujemna.
Wobec tego w dziedzinie nierówności obydwie strony nierówności nie są tego samego
znaku (obie nieujemne lub obie niedodatnie), więc nie można nierówności podnieść obustronnie do kwadratu.
Wydaje się, że sytuacja jest bez wyjścia. Tak jest tylko pozornie – wystarczy bowiem przeprowadzić następujące rozumowanie:
1. Dla x < 2
Lewa strona nierówności jest nieujemna, a prawa ujemna, czyli nierówność jest spełniona
(liczba nieujemna jest większa od liczby ujemnej). Dlatego te wartości x są rozwiązaniami
nierówności. Mamy już więc część zbioru rozwiązań: x ∈ (− ∞ , 2)
2. Dla x ∈ 2,4
Obie strony nierówności są nieujemne – można nierówność podnieść obustronnie do kwadratu:
(
)
4 − x > (x − 2)
Pamiętamy jednak, że te obliczenia dotyczą tylko liczb z przedziału 2,4
2
2
4 − x > x 2 − 4x + 4
x 2 − 3x < 0
x( x − 3) < 0
Rozwiązaniem tej nierówności kwadratowej jest: x ∈ (0 , 3) .
Ponieważ rozpatrujemy przedział 2,4 , więc rozwiązaniem przypadku 2 jest: x ∈ 2 , 3)
Ostatecznie rozwiązaniem nierówności jest zbiór: (− ∞ , 2) ∪ 2 , 3) = (− ∞ , 3)
Dla lepszej ilustracji tego zadania przedstawmy w jednym układzie współrzędnych wykresy
funkcji y = 4 − x oraz y = x − 2 :
Rozwiązując nierówność 4 − x > x − 2 , szukamy odpowiedzi na pytanie: dla jakich x wykres funkcji y = 4 − x leży nad wykresem funkcji y = x − 2 .
Z wykresu odczytujemy, że dla x < 3 - takie właśnie rozwiązanie nierówności otrzymaliśmy.