Wykład 8

Wykład 8
3.5.2 Opory ruchu -- Siły tarcia
3.5.3 Ruch ciał w płynach
3.5.4 Siła grawitacji
04-10-28
Reinhard Kulessa
1
3.5.2 Opory ruchu -- Siły tarcia
Wszystkie ciała poruszające się w naszym otoczeniu napotykają
w swoim ruchu na opory. Siły oporu są skierowane przeciwnie
do wektora prędkości ciał i starają się powstrzymać ruch.
Opory ruchu występują zawsze gdy ciała się poruszają, czyli
ślizgają się, toczą lub poruszają w płynach.
Rozważmy kilka przypadków.
1. Tarcie statyczne
N
Fs
F
Załóżmy, że działamy na blok
poziomą siłą F. Jak długo siła ta
jest mniejsza od pewnej siły Fmax
blok się nie poruszy. Oznacza to,
że wypadkowa siła pozioma jest
równa zero. Oznacza to, że poza
siłą F musi do bloku być
przyłożona druga siła Fs.
W
04-10-28
Reinhard Kulessa
2
Siła Ft musi być tej samej wielkości co siła F i skierowana przeciwnie.
Siła ta jest zwana siłą tarcia, i ponieważ blok się nie porusza mamy do
czynienia z tarciem statycznym.
Eksperyment pokazuje, że tarcie statyczne jest prawie niezależne od
powierzchni styku, i jest proporcjonalne do siły normalnej działającej
pomiędzy blokiem a powierzchnią.
Siła tarcia statycznego
starcia statycznego.
Fs ≤ µ s N
, gdzie µs jest współczynnikiem
1. Tarcie dynamiczne(poślizgowe)
Po przekroczeniu siły Fmax = µsN blok zacznie się poruszać. Siła którą
musimy działać aby utrzymać blok w ruchu jest mniejsza od siły
potrzebnej do ruszenia bloku. Mamy wtedy do czynienia z tarciem
dynamicznym Fd.
Fd = µ d N .
µd jest współczynnikiem tarcia dynamicznego.
04-10-28
Reinhard Kulessa
3
Zwrot siły tarcia jest przeciwny do kierunku ruchu.
Fd = − µ d N iˆv
.
(3.15)
Równanie ruchu ciała na które działa siła tarcia poślizgowego
ma postać:
m a = F − µ d N iˆv .
(3.16)
Zwykle N = mg.
2. Tarcie toczne
Rozważmy co się dzieje, kiedy mamy koło toczące się po
płaskiej powierzchni.
Na pewnej części swojego obwodu koło zagłębia się w
podłoże.
04-10-28
Reinhard Kulessa
4
Działając na oś koła siłą F, punkt
µt
przyłożenia siły nacisku przesuwa
r
się do punktu B. Nacisk w punkcie
F
B rośnie, a w punkcie A maleje.
Mamy do czynienia z dwoma
parami sił; siłą F i siłą nacisku W,
Ft
oraz odpowiednimi siłami reakcji
A
B
Ft i N. Punkt przyłożenia reakcji
sprężystej podłoża N równej co do
W=mg
wielkości sile normalnej W, lecz o
przeciwnym zwrocie przesuwa się
w kierunku działania siły F. Przesunięcie to ma pewną wartość graniczną
µt . Mamy wtedy do czynienia z dwoma parami sił o przeciwnych
momentach F i Ft o momencie F·r,oraz W i N o momencie W·µt .
Warunkiem równowagi jest równość momentów
N
F ⋅ r = W ⋅ µt ⇒
04-10-28
µt
F= W
r
Reinhard Kulessa
.
5
Toczenie koła zacznie się wtedy, gdy siła F przekroczy wartość dla której
zachodzi równowaga.
3.5.3 Ruch ciał w płynach
Jeśli mamy ciało pływające po powierzchni
cieczy, to siły oporu działające na to ciało
związane są z lepkością cieczy. Jeśli na
deseczkę zadziałamy siłą F, to ciecz to ciecz
oddziaływuje na deseczkę siłą przeciwną
FL. Deseczka wtedy porusza się ruchem
jednostajnym v=const. Dla tego przypadku
mamy;
v = const
FL
S
F
d
v
F = FL = η S .
(3.18)
d
η jest współczynnikiem lepkości i ma wymiar [N·sm-2].
Jeśli ciało porusza się w płynie, to na ciało to działa ze strony
04-10-28
Reinhard Kulessa
6
Płynu siła FC, którą można rozłożyć na dwie składowe, siłę
oporu czołowego F0 = −iˆv F0 , oraz siłą nośną.
Siła oporu czołowego ma postać
F0 = k ρ η l v
a
b c
d
.
W równaniu tym l jest wymiarem liniowym prostopadłym do
v, k=k(Re) jest funkcją liczby Reynoldsa Re.
Liczba Reynoldsa jest zdefiniowana następująco:
ρvl
Re =
η
.
(3.19)
Najczęściej siła oporu stawiana ciału poruszającemu się w
cieczy przedstawia się wzorem Newtona.
04-10-28
Reinhard Kulessa
7
ρv 2
F0 = c
⋅S .
2
(3.20)
Dla ruchu kulki w cieczy Stokes znalazł, że c = 24/Re, dla
Re << 1.
Powierzchnia kulki S = πr2, a jej średnica l=2r. Na siłę
oporu otrzymujemy:
2
24 ρ v 2
24
v
η
ρ
F0 =
π r2 =
πr 2 = 6πηrv
Re 2
2rvρ 2
F0 = 6πη rv
.
,
(3.21)
Równanie (3.21) przedstawia Prawo Stokes’a.
04-10-28
Reinhard Kulessa
8
Dla przykładu rozwiążmy równanie ruchu dla kulki
spadającej swobodnie w cieczy.
Na kulkę działa siła ciężkości, siła wyporu, oraz siła oporu.
Fg = mg
Fw = − mc g
F0 = − kv
Równanie ruchu możemy zapisać jako:
ma = Fg + Fw + F0 = F + F0
Zakładając, że ruch odbywa się wzdłuż jednej osi, mamy;
dv
m = F − kv
dt
dv
k  F
= − v − 
dt
m
k
v
t
dv
k
=
−
∫v v − F / k ∫0 mdt
0
04-10-28
ln(v − F / k ) − ln(v0 − F / k ) = −
k
t
m
F
k
v = + (v0 − F / k ) exp(− t )
k
m
F (m − mc ) g 2r 2 g ( ρ − ρ c )
vgr = =
=
6πηr
9η
k
Reinhard Kulessa
9
3.5.4 Siła grawitacji
Według Newtona prawo powszechnego ciążenia w układzie
inercjalnym można podać w postaci;
m1 ⋅ m2 r
F = G⋅
r2 r
,
(3.22)
gdzie G jest stałą grawitacji i G=6.67·10-11 Nm2/kg2.
m1 i m2 są masami dwóch ciał oddziałujących, ich masy
grawitacyjne. Są one źródłem pola grawitacyjnego.
W fizyce mówimy o polu wówczas, gdy każdemu punktowi
danej przestrzeni możemy przyporządkować pewną
wartość jakiejś wielkości fizycznej – skalar, wektor lub
tensor.
Przykłady pól skalarnych i wektorowych wielkości podane są na następnej
stronie
04-10-28
Reinhard Kulessa
10
Poziomice
Granica lasu
Zbocza gór
Temperatura
Kierunek wiatru
Prędkość zmian
04-10-28
Reinhard Kulessa
11
P1
m1
r
m
rp
O
P
Obserwator umieszczony w
punkcie O powie, że
znajdująca się w punkcie P
cząstka m, znajduje się w polu
grawitacyjnym wytworzonym
przez cząstkę m1 umieszczoną
w punkcie P1.
Natężenia pola grawitacyjnego g w punkcie P określonym
przez wektor rp wyraża się wzorem:
F
m1 r
g = =G 2
m
r r
04-10-28
Reinhard Kulessa
.
(3.23)
12
Jeśli na cząstkę w punkcie P oddziaływuje grawitacyjnie n
ciał otoczenia, to natężenie pola grawitacyjnego jako sumę
wektorową natężeń w punkcie o współrzędnych rp dla
każdego z tych ciał z osobna.
g = g1 + g2 +…+ gn
.
W porównaniu z ziemskim polem grawitacyjnym możemy zaniedbać
wpływ na oddziaływanie grawitacyjne innych ciał.
Dla cząstki P znajdującej się na wysokości h nad powierzchnią Ziemi,
h << RZ=6.35·106 m.
g =G
mgZ
(RZ + h)
2
=G
mgZ
R (1+ h / RZ )
2
Z
2
=
mgZ
h
m
= G 2 (1− 2 + ) ≈ 9.81 2
RZ
RZ
s
04-10-28
Reinhard Kulessa
13
mgz oznacza masę grawitacyjną Ziemi , mgz = 5.97·1024 kg.
Siła, która nadaje ciału przyśpieszenie ziemskie g, nazywamy
ciężarem.
F
mC =
g
Z drugiej strony
.
mC
F
=g
g=
mB
mB
.
Widzimy więc, że tylko wtedy, gdy mC = mB wszystkie ciała
w polu ziemskim mają to samo przyśpieszenie.
Czy możemy sprawdzić, że mC/mB = 1?.
Rozważmy ruch wahadła matematycznego.
04-10-28
Reinhard Kulessa
14
F = mC g
l
Ft = −mC g sinϕ = −mC gϕ
ϕ
s = rϕ (t )
Ft
s
ϕ
Patrz czerwony
trójkąt
Pod wpływem składowej Ft siły grawitacji F,
kulka wykonuje ruch wahadłowy.
Przyspieszenie styczne w tym ruchu wynosi:
F
d 2 s d 2 ( rϕ )
dϕ
at = 2 =
r
=
dt
dt 2
dt
W oparciu o II zasadę dynamiki Newtona możemy napisać dla
małych kątów ϕ
d 2ϕ
mB r
dt
2
= − mC g sin ϕ ≈ − mC g ϕ
.
Otrzymujemy więc równanie oscylatora harmonicznego.
04-10-28
Reinhard Kulessa
15
Wiemy już, że
mC g
ϕ+
ϕ =0
mB r
.
mC g
2π
=
T
mB r
.
ω=
W oparciu o liczne doświadczenia możemy powiedzieć, że
niezależność okresu drgań wahadła od rodzaju ciała
można rozumieć tylko wtedy, gdy masa ciężka mC jest
równa masie bezwładnej mB.
mC
= 1 ± 10 −11
mB
Zasada równoważności masy ciężkiej i bezwładnej została
przez Einsteina przyjęta jako jedna z podstaw ogólnej teorii
względności.
04-10-28
Reinhard Kulessa
16