1 Dwuwymiarowa zmienna losowa. Dwuwymiarowy - E-SGH

Dwuwymiarowa zmienna losowa. Dwuwymiarowy rozkład empiryczny. Test
niezależności
1. Dany jest rozkład zmiennej losowej (XY)
X \ Y
2
3
4
5
a)
b)
c)
d)
0
2/15
1/15
0
0
1
2/15
3/15
0
0
2
0
2/15
4/15
1/15
znaleźć rozkłady brzegowe
wyznaczyć rozkład warunkowy zmiennej X dla Y=2
obliczyć E(X), D(X), E(X/Y=2) i D2(X/Y=2)
wyznaczyć krzywe regresji.
2. Zmienna losowa X przyjmuje wartości 3 oraz 5, natomiast zmienna Y: 2 oraz 4. Dane są:
- rozkład brzegowy zmiennej Y: P(Y=2)=1/3; P(Y=4)=2/3
- rozkład warunkowy: P(X=3/Y=2)=1/2; P(X=5/Y=2)=1/2.
a) Wiedząc, że zmienne X oraz Y są niezależne stochastycznie określić rozkład brzegowy
zmiennej X oraz łączny rozkład zmiennej (X,Y).
b) Obliczyć wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe zmiennej Y
3. Dany jest dwuwymiarowy rozkład zmiennej losowej skokowej (X,Y):
X \ Y
2
4
1
0,1
0,2
2
0,1
0,2
3
0,3
0,1
Czy zmienne losowe X i Y są ujemnie skorelowane?
4. Obserwując proces zamrażania produktu dokonano 6 obserwacji wielkości dawki
substancji chłodzącej (X) oraz osiąganej przez produkt temperatury (Y).
xi
yi
1
1,5
2
0,5
3
0
4
0
5
-1
6
-1
Czy uzyskane dane pozwalają przy =0,05 stwierdzić, że zmiany wielkości substancji
chłodzących są ujemnie skorelowane z temperaturą produktu?
5. Na podstawie informacji z kwietnia br. przedstawionych w tabeli sprawdź:
a) czy w ciągu 8 dni korelacja między średnim kursem NBP dolara amerykańskiego i euro
jest tak samo silna, jak dolara amerykańskiego i funta brytyjskiego?
b) czy te zależności są statystycznie istotne (przyjąć =0,05)?
2013.04.23 2013.04.20 2013.04.19 2013.04.18 2013.04.17 2013.04.16
Euro
dolar
GBP
2013.04.13 2013.04.12
3,7797
3,7941
3,8151
3,808
3,8231
3,8248
3,841
3,8331
2,7866
2,7894
2,8071
2,8005
2,8241
2,8217
2,8405
2,8499
5,5703
5,5808
5,6237
5,629
5,643
5,6189
5,6398
5,627
1
x
i
y
i
 zi
30,5189
x y
22,5198
xz
44,9325
i
i
i i
 yi zi
 (x
i
85,9130
171,4146
 x )2
0,002897
(y
i
 y )2
 (z
i
 z)
0,003731
126,4871
2
0,004978
6. Dla 120 studentów uzyskano następujące informacje o obecności na zajęciach ze statystyki
oraz ocenie uzyskanej na zaliczenie z tego przedmiotu:
oceny
Obecni
Nieobecni
2
10
30
3
20
20
4
30
10
a) czy istnieje związek w populacji generalnej pomiędzy obecnością na zajęciach oraz
uzyskaną oceną na zaliczenie?
b) jeśli ten związek istnieje określ jego siłę,
7. W poniższej tabeli zawarto informacje o wysokościach otrzymywanego kredytu w tys. zł
(cecha x) i okresach, podanych w miesiącach, na jaki udzielano tego kredytu (cecha y) 400
klientom Banku „Nowa Przyszłość”:
\y0j - y1j
0-8
8-16
16-24
x0i – x1i\
0-10
105
40
5
10-20
45
90
35
20-30
10
30
40
a) Czy istnieje zależność stochastyczna w badanej próbie?
b) Oceń siłę i kierunek związku pomiędzy cechami x i y w grupie badanych klientów.
8. W anonimowej ankiecie zadano pytanie 200 losowo wybranym respondentom (zachowując
równy udział obu płci), czy akceptują ostatnio wprowadzoną ustawę. Twierdząco
odpowiedziało 40 respondentów i 30 respondentek. Odpowiedz:
a) czy występuje zależność pomiędzy płcią a opinią w badanej próbie?
b) jaka jest siła tego związku?
c) czy ten związek jest statystycznie istotny?
9. Badanie „Aktualne problemy i wydarzenia” przeprowadzone przez CBOS w marcu 2007 r.
wśród losowo wybranych dorosłych mieszkańców Polski (N=931) zawierało pytania
dotyczące oceny sytuacji w zakładzie pracy i przyszłości zawodowej respondenta. Wyniki
przedstawiono w poniższej tabeli.
Czy liczy się Pan(i) z możliwością utraty obecnej pracy?
tak
nie
trudno powiedzieć
Jak Pan(i) ocenia obecną sytuację w zakładzie pracy?
66
255
10
dobra
116
244
40
ani dobra, ani zła
74
116
10
zła
2
Zweryfikuj przypuszczenie, że istnieje zależność pomiędzy możliwością utraty pracy a oceną
sytuacji w zakładzie pracy (=0,01)
10. Poniższa tabela przedstawia średnią liczbę punktów uzyskanych przez uczniów z testu
gimnazjalnego w 2005r w dzielnicy Praga Południe oraz utworzony na ich podstawie ranking.
punkty
ranking
test
test
test
test
humanisty matematyczno humanisty matematyczno
gimnazjum czny
-przyrodniczy czny
-przyrodniczy
27STO
44,17
39,16
1
1
25
42,13
36,08
2
2
3STO
38
35,72
7
3
19
40,4
34,67
3
4
20
39,96
34,64
4
5
18
39,06
31,24
5
6
23
37,94
29,9
8
7
27
37,18
29,57
10
8
28
37,33
28,98
9
9
21
38,3
28,29
6
10
26
36,53
25,1
11
11
22
33,66
22,97
13
12
29
35,43
21,83
12
13
24
31,72
19,07
14
14
Czy w badanej grupie szkół wyniki testów humanistycznych i matematyczno-przyrodniczych
są ze sobą powiązane? Oceń siłę zależności pomiędzy badanymi cechami wykorzystując
informacje:
a) o pozycji gimnazjów w rankingu,
b) o średniej liczbie punktów uzyskanych przez uczniów.
3