1 Odpowiedzi i schematy oceniania Arkusz 22
Transkrypt
1 Odpowiedzi i schematy oceniania Arkusz 22
Odpowiedzi i schematy oceniania Arkusz 22 Zadania zamknięte Numer Poprawna Wskazówki do rozwiązania zadania odpowiedź 1. D. ( 10 − x )(ax + b) = ax 10 + b 10 − ax 2 − xb = − ax 2 + (a 10 − b) x + b 10 − ax 2 + (a 10 − b) x + b 10 = − 10 x 2 + 10 10 WyraŜenia po obu stronach równości przyjmują te same wartości liczbowe, jeŜeli współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej są równe. − a = − 10 a = 10 a 10 − b = 0 10 ⋅ 10 − b = 0 b = 10 2. A. Wykresem funkcji f jest parabola o ramionach skierowanych ku górze i wierzchołku w punkcie W = (0, 3 ) . Wykresem funkcji g jest prosta y = sin 60 = 3 . Przecina ona oś OY w 2 3 , leŜącym poniŜej punktu P . Wartości funkcji f są punkcie P = 0, 2 większe od wartości funkcji g dla kaŜdej liczby rzeczywistej x . f ( x) > g ( x) 3. C. 1 – część pracy wykonanej przez Marka w ciągu jednego dnia a 3 1 3 2⋅ ⋅ = – część pracy wykonywana przez obie panie w ciągu dnia 4 a 2a 1 3 5 + = – część pracy wykonanej w ciągu jednego dnia przez a 2a 2 a wszystkie trzy osoby 1 1 – część pracy do wykonania jednego dnia p 1 5 = p 2a p= 4. C. 2a 5 1 1 1 1 k = 1 ⋅ log10 + log100 + log1000 + log10000 + log100000 2 3 4 5 k = 1⋅1 + 5. D. 1 1 1 1 ⋅ 2 + ⋅3 + ⋅ 4 + ⋅5 = 1+1+1+1+1 = 5 2 3 4 5 KaŜdy z wyrazów wielomianu W ( x) = x10 + 10 x 8 + 8 x 6 dla kaŜdej liczby rzeczywistej przyjmuje wartość dodatnią lub 0 (parzysta potęga liczby jest nieujemna). Suma liczb nieujemnych jest liczbą nieujemną, zatem wartość liczbowa wielomianu dla kaŜdej liczby rzeczywista jest nieujemna. 6. B. Po 1 cięciu otrzymaliśmy 2 kartki. Po 2 cięciu otrzymaliśmy 3 kartki. Po 3 cięciu otrzymaliśmy 4 kartki. ……………… ………………. Po n − tym cięciu otrzymujemy n + 1 kartek. n + 1 = 100 n = 99 7. D Jeśli prosta y = ax + b przecina tylko jedną oś układu współrzędnych, to a = 0 . Prosta y = b jest prostopadła do osi OY . Zatem prosta doń prostopadła będzie równoległa do osi OX . 8. A x – cena towaru przed wprowadzeniem podatku VAT (22 − 7)% x = 5,55 15 x = 5,55 100 15 x = 555 2 x = 37 (zł) 9. C. Długość podstawy trójkąta ABC ( | AB | ) jest równa długości podstawy trójkąta ABD . Wysokość poprowadzona do tej podstawy jest w kaŜdym z trójkątów równa 4 . Trójkąty, które mają równe podstawy i wysokości, mają równe pola. 10. D. x2 − π = 0 ( x − π )( x + π ) = 0 x= π lub x = − π Liczby 11. B. π i − π to liczby niewymierne. JeŜeli α jest kątem ostrym i sin α = cos α , to α = 45 . Trójkąt jest zatem równoramienny. a – długość ramienia trójkąta a 2 + a 2 = 42 2a 2 = 16 a2 = 8 a=2 2 Obwód trójkąta: 2 2 + 2 2 + 4 = 4 2 + 4 = 4(1 + 2 ) . 12. D. Wzór funkcji g : g ( x) = ( x − 1) 3 + 7 g (−1) = (−1 − 1) 3 + 7 = −8 + 7 = −1 a+2 = −1 2 a + 2 = −2 a = −4 13. B. w = sin α − 1 = 1 − sin α , bo 0 < sin α < 1 , gdy α jest kątem ostrym Stąd: − 1 < − sin α < 0 − 1 + 1 < 1 − sin α < 0 + 1 0 < 1 − sin α < 1, 0 < w < 1. 14. C. f ( x) = ( x − 1)( x + 1) = x 2 − 1 g ( x) = (1 − x)(1 + x) = 1 − x 2 = −( x 2 − 1) = − f ( x) 3 Wykresy są symetryczne względem osi OX . 15. A. Określamy zdarzenia: M – Maria zda egzamin z matematyki, Z – Maria zda egzamin z języka polskiego. P( M ) = 0,3 P( M ∪ Z ) = 0,72 P( M ∩ Z ) = 0,18 P( Z ) = P(M ∪ Z ) + P( M ∩ Z ) − P( M ) P( Z ) = 0,72 + 0,18 − 0,3 = 0,6 16. B. a = 3 + 3 2 + 33 + 3 4 + 35 Składniki sumy to wyrazy ciągu geometrycznego o ilorazie 3 i pierwszym wyrazie równym 3 . Obliczamy sumę pięciu wyrazów tego ciągu. S= 1− q5 ⋅a 1 1− q S= 1 − 35 − 242 ⋅3 = ⋅ 3 = 363 1− 3 −2 Liczba a jest liczbą nieparzystą, więc nie moŜe być podzielna przez liczbę parzystą. a = 363 = 11 ⋅ 33 – liczba podzielna przez 11. 17. D an = S n − S n −1 = n − 1 n − 1 − 1 n − 1 n − 2 (n − 1)(n − 1) − n(n − 2) − = − = = n n −1 n n −1 n(n − 1) n 2 − 2n + 1 − n 2 + 2n 1 = n(n − 1) n(n − 1) 18. C. Promień okręgu jest prostopadły do stycznej w punkcie styczności, zatem ∠ABS = ∠ACS = 90 . Suma kątów utworzonego czworokąta ABSC jest równa 360 . Stąd: 80 + 90 + 90 + ∠BSC = 360 , ∠BSC = 100 . 19. A. Oznaczmy: A, B, C , D – wierzchołki prostokąta, który jest przekrojem 4 osiowym walca, S – punkt przecięcia przekątnych, h = BC = AD . Trójkąt BSC jest trójkątem równoramiennym, w którym jeden z kątów ma miarę 60 . Jest to zatem trójkąt równoboczny o boku h . Zatem przekątna prostokąta jest równa 2h . Trójkąt ADC jest trójkątem prostokątnym, w którym przeciwprostokątna jest równa 2h , a jedna z przyprostokątnych jest równa h . DC = (2h) 2 − h 2 = 3h 2 2 DC = h 3 Promień jest połową boku DC . r= h 3 2 Pole podstawy: 2 h 3 3πh 2 = . πr = π ⋅ 4 2 2 20. B. h – wysokość ostrosłupa 270 = 1 ⋅ 81 ⋅ h 3 h = 10 a – krawędź podstawy a 2 = 81 a=9 c – połowa przekątnej podstawy c= 9 2 2 α – kąt między wysokością a krawędzią boczną 9 2 c 9 2 tgα = = 2 = h 10 20 Zadania otwarte 5 Numer Modelowe etapy rozwiązania zadania 21. Liczba punktów Obliczenie, o ile wyŜej metrów znalazła się kokardka po podniesieniu 1 szlabanu: h = sin 60 , 4 h = 4⋅ 3 =2 3. 2 Obliczenie, na jakiej wysokości nad ziemią znajduje się kokardka: 1 h + 1 = 2 3 + 1 ≈ 3,5 + 1 = 4,5 . Kokardka znajduje się na wysokości około 4,5 m nad ziemią. 22. Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i obliczenie y oraz 1 róŜnicy r ciągu: 3+ y , 2 − 2 y = 3 + y, −y= y = −1, r = 3 − [− (−1)] = 3 − 1 = 2 . Obliczenie x : 1 x = −1 − 2 = −3 . 23. Zapisanie nierówności w postaci iloczynowej i rozwiązanie jej: 1 ( x − 5)( x + 5) < 0 , −5 < x < 5. Wypisanie liczb całkowitych naleŜących do zbioru rozwiązań 1 nierówności: − 4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4 . 24. Obliczenie a10 : a) a 10 = 10 − 2 8 = 10 + 3 13 Obliczenie n : b) 1 1 n−2 4 = n+3 9 6 9n − 18 = 4n + 12 5n = 30 n=6 25. ZauwaŜenie, Ŝe mediana trzech liczb, to liczba środkowa: 1 a,4, b - liczby, których mediana jest równa 4 . Zapisanie i przekształcenie równania, wynikającego z treści zadania: 1 a+4+b = 5, 3 a + b + 4 = 15, a + b = 11. 26. Przekształcenie układu równań i otrzymanie równania kwadratowego: 1 x 2 + 1 = y , x + y = 7 x 2 + 1 = y , x + x 2 + 1 = 7 x 2 + 1 = y . 2 x + x − 6 = 0 Obliczenie wyróŜnika trójmianu kwadratowego i określenie jego znaku: 1 ∆ = 1 + 24 = 25 > 0 . Obliczenie pierwiastków równania: x1 = 1 −1− 5 −1+ 5 = −3, x 2 = = 2. 2 2 Znalezienie rozwiązań i podanie ich liczby: 1 x = −3, y = 10 lub x = 2, y = 5 . W zbiorze liczb całkowitych układ równań ma dwa rozwiązania. 27. Określenie promienia półsfery: R = 6 m, promienia walca: r = 6 m, 1 wysokości walca h = (10 − 6)m = 4 m. Obliczenie pola powierzchni bocznej walca: 1 2πrh = 2π ⋅ 6 ⋅ 4 = 48π . Obliczenie pola powierzchni półsfery: 1 4πR 2 = 2π ⋅ 6 2 = 72π . 2 7 Obliczenie pola powierzchni dachu: 1 48π + 72π = 120π ≈ 120 ⋅ 3,2 = 384 (m2). Uwaga – określamy przybliŜenie liczby π z nadmiarem (aby nie zabrakło blachy). Na pokrycie dachu potrzeba około 384 m2 blachy. 28. Określenie długości promieni okręgu opisanego i wpisanego w kwadrat 1 w zaleŜności od długości boku kwadratu: a – długość boku kwadratu, r= 1 a – promień okręgu wpisanego w kwadrat, 2 R= a 2 – promień okręgu opisanego na kwadracie. 2 Obliczenie pola koła wpisanego w kwadrat: a 2 2 π = 1 πa 2 4 Obliczenie pola koła opisanego na kwadracie. 1 2 a 2 a 2π = . π 2 2 Zapisanie równania, wynikającego z treści zadania: 1 a 2π πa 2 − = 4π . 2 4 Obliczenie długości boku kwadratu: 1 2πa 2 − πa 2 = 16π , πa 2 = 16π , a 2 = 16, a = 4 , bo a > 0 . Obliczenie pola kwadratu: 1 a 2 = 16 . 29. ZauwaŜenie, Ŝe jadąc ku końcowi karawany posłaniec przebywa drogę 1 długości 6t km, o 4t km krótszą niŜ długość karawany. Zapisanie i przekształcenie odpowiedniego równania: 1 s km – długość drogi, jaką przebywa posłaniec, 8 t h – czas, w ciągu którego posłaniec jedzie ku końcowi karawany, T h – czas, w ciągu którego posłaniec jedzie od końca karawany ku jej przodowi, 6t = 1 − 4t , 10t = 1 , t= 1 . 10 ZauwaŜenie, Ŝe w drodze powrotnej posłaniec przebywa drogę długości 1 6T km , o 4T km dłuŜszą niŜ długość karawany. Zapisanie i przekształcenie odpowiedniego równania: 1 6T = 1 + 4T , 2T = 1, 1 T= . 2 Obliczenie czasu, w ciągu którego posłaniec pokonuje drogę tam i z 1 powrotem: t +T = 1 1 6 + = (h), 10 2 10 6 godziny to 36 minut. 10 Obliczenie długości pokonywanej przez posłańca drogi: s= 1 6 ⋅ 6 = 3,6 (km). 10 Posłanie przebywa drogę długości 3,6 km w ciągu 36 minut. 9