Permutacje Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji

Permutacje
Izolda Gorgol
wyciąg z prezentacji
Permutacje
DEFINICJA Każdą bijekcję zbioru skończonego X na siebie nazywamy permutacją.
TWIERDZENIE Jest n! permutacji zbioru n-elementowego.
Będziemy rozważać permutacje zbioru Zn = {0, 1, 2, . . . , n − 1}.
Sn - zbiór permutacji zbioru Zn
Przykład
σ : Z7 → Z7
n
σ(n)
σ:
0 1 2 3 4 5 6
2 3 6 0 4 1 5
0
2
1
3
2
6
3
0
4
4
5
1
6
5
Oczywiste własności
TWIERDZENIE
Jeśli σ1 , σ2 ∈ Sn , to σ2 σ1 ∈ Sn .
Jeśli σ ∈ Sn , to istnieje σ −1 ∈ Sn .
Składanie permutacji - przykład
σ 1 , σ 2 ∈ S5
0 1 2 3 4
4 2 3 0 1
0 1 2 3 4
2 3 1 4 0
σ1 :
σ2 :
σ2 σ 1 :
0 1 2 3 4
0 1 4 2 3
Rozkład permutacji na cykle
DEFINICJA Mówimy, że w permutacja σ jest cyklem k-elementowym (cyklem długości k), jeśli istnieje podzbiór
I = {i1 , i2 , . . . , ik } ⊂ Zn taki, że σ(i1 ) = i2 , σ(i2 ) = i3 , . . . , σ(ik−1 ) = ik , σ(ik ) = i1 (σ(ij ) = ij+1 mod k ) oraz σ(i) = i
dla każdego i ∈ Zn − I.
TWIERDZENIE Dowolną permutację σ zbioru Zn można przedstawić w postaci złożenia rozłącznych cykli.
Rozkład ten jest jednoznaczny z dokładnością do kolejności czynników.
Algorytm rozkładu permutacji na cykle
1.
2.
3.
4.
wybierz dowolny element x ∈ Zn , który nie jest jeszcze w żadnym cyklu,
iteruj permutację σ otrzymując kolejno: σ(x), σ 2 (x), σ 3 (x), . . . aż do uzyskania αs (x) = x,
dodaj do rozkładu cykl (x, . . . , σ s−1 (x)),
jeśli w zbiorze X pozostały jeszcze elementy niepokryte przez żaden cykl, to wróć do pierwszego punktu.
1
0 1 2 3
σ:
2 3 6 0
σ = (026513)(4)
4
4
5
1
6
5
Liczby Stirlinga pierwszego rodzaju
n
DEFINICJA Liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju
nazywamy liczbę permutacji zbioru n-elementowego
k
złożonych z dokładnie
k cykli.
0
Przyjmujemy, że
= 1.
0
Permutacje Z4 złożonych z 2 cykli
(0, 1, 2)(3) (0, 2, 3)(1) (0, 1)(2, 3)
(0, 2, 1)(3) (0, 3, 2)(1) (0, 2)(1, 3)
(0, 1, 3)(2) (1, 2, 3)(0) (0, 3)(1, 2)
(0,
3,
1)(2) (1, 3, 2)(0)
4
= 11
2
2