Liczby Zespolone - Polsko-Japońska Akademia Technik

Algebra
Liczby Zespolone
Aleksander Denisiuk
[email protected]
Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych
Wydział Informatyki w Gdańsku
ul. Brzegi 55
80-045 Gdańsk
Algebra – p. 1
Liczby Zespolone
Najnowsza wersja tego dokumentu dostepna
˛
jest pod adresem
http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/
Algebra – p. 2
Motywacja
• x2 + 1 = 0
• Ciało P =
(
a b
−b a
!)
• P ⊃ { λI|λ ∈ R } ∼
=R
• J =
0 1
−1 0
!
∈ P,
J2 + 1 = 0
Algebra – p. 3
Płaszczyzna liczb zespolonych
• C = { (a, b) } = R2
• (a, b) + (c, d) = (a + b, c + d)
• (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc)
• (a, b) ↔
a b
−b a
!
• z = (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = x + iy
• x = re z , y = im z
Algebra – p. 4
Sprzeżenie
˛
• z 7→ z̄ = x − iy
◦ (z̄) = z
◦ im z = 0 ⇐⇒ z̄ = z
◦ z1 + z2 = z̄1 + z̄2
◦ z1 z2 = z̄1 · z̄2
◦ im(z + z̄) = 0
◦ im(z · z̄) = 0
Algebra – p. 5
Sens geometryczny dodawania i mnożenia
• We współrz˛ednych biegunowych z = (r, ϕ)
p
√
◦ r = |z| = z z̄ = x2 + y 2
◦ ϕ = arg z
◦ postać trygonometryczna: z = r(cos ϕ + i sin ϕ)
• |z1 + z2 | 6 |z1 | + |z2 |
• |z1 z2 | = |z1 ||z2 |
• arg(z1 z2 ) = arg z1 + arg z2
• |z1 /z2 | = |z1 |/|z2 |
• arg(z1 /z2 ) = arg z1 − arg z2
Algebra – p. 6
Wzór Moivre’a
• (r(cos ϕ + i sin ϕ))n = rn (cos nϕ + i sin nϕ)
Twierdzenie 1.
p
√
ϕ + 2πk
ϕ + 2πk
n
z = n |z| cos
+ i sin
,
n
n
gdzie k
= 0, . . . , n − 1
Wniosek 2.
√
2πk
2πk
n
+ i sin
,
1 = εk = cos
n
n
gdzie k = 0, . . . , n − 1
Algebra – p. 7
Postać wykładnicza liczb zespolonych
• Wzór Eulera eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ
◦ cos ϕ =
◦ sin ϕ =
eiϕ +e−iϕ
2
eiϕ −e−iϕ
2i
• z = |z|eiφ
• z1 z2 = |z1 ||z2 |ei(φ1 +φ2 )
• z n = |z|n einφ
p
√
i ϕ+2πk
n
n
•
z = |z|e n , gdzie k = 0, . . . , n − 1
√
2πk
• n 1 = εk = ei n , gdzie k = 0, . . . , n − 1
Algebra – p. 8
Zasadnicze twierdzenie algebry
Twierdzenie 3. Każdy wielomian zespolony stopnia n > 0 ma dokładnie n
pierwiastków zespolonych (każdy pierwiastek liczymy tyle razy, ile wynosi jego
krotność).
Algebra – p. 9
Przykład. Równanie trzeciego stopnia
• z 3 + a2 z 2 + a1 x + a0 = 0
• z = x − 1 a2 ⇒ x3 + px + q = 0
3
2
• Wyróżnik: ∆ = (x1 − x2 )(x1 − x3 )(x2 − x3 )
• Pierwiastki z jedynki: ε = − 1 +
2
• (x1 + εx2 + ε2 x3 )3 = − 27 q +
2
• (x1 + ε2 x2 + εx3 )3 = − 27 q −
2
• x1 + x2 + x3 = 0
• Wzory Cardano: x1 =
q
3
√
3
2 i,
= −4p3 − 27q 3
ε2 = − 21 −
√ √
3 3
2 i ∆
√ √
3 3
2 i ∆
√
3
2 i
q
√
√
q
q
3
−2 − i ∆ + −2 + i ∆
Algebra – p. 10
Zastosowanie w elektrotechnice
• W elektrotechince stosowane jest inne
√
oznaczenie: j = −1
• Przez i oznaczana jest wartość chwilowa nateżenia
˛
pradu
˛
zmiennego
• Funkcja symboliczna przebiegu pradu
˛
i napiecia:
˛
A(t) = Am ejωt (ω = 2πf — pulsacja)
• Mnożenie przez jednostk˛e urojona˛ j odpowiada obrotowi
o 90◦
• Dzielenie przez j odpowiada obrotowi o −90◦
Algebra – p. 11