Teoria mocy
Transkrypt
Teoria mocy
Teoria mocy 1. Sprawdź czy następujące zbiory A i B są równoliczne: (a) A = {4, 6}, B = {23, 35} (b) A = {x ∈ N, x < 7}, B = {x ∈ N, 1 < x2 < 70} (c) A = {x ∈ R, x2 − 2x + 1 = 0}, B = {∅} 2. Udowodnij , że dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi: (a) A ∼ A (b) Jeśli A ∼ B, to B ∼ A. (c) Jeśli A ∼ B i B ∼ C , to A ∼ C Co Ci to przypomina? 3. Pokaż , że : (a) N ∼ N \ {0} (b) N ∼ 2N , gdzie 2N oznacza zbiór liczb parzystych. (c) N ∼ Z (d) (0, 1) ∼ (a, b) (e) (a, b) ∼ (c, d) (f) (0, ∞) ∼ (−∞, 0) (g) (0, ∞) ∼ (a, ∞) (h) (0, 1) ∼ (1, ∞) (i) (− Π2 , Π2 ) ∼ R 4. Udowodnij następujące stwierdzenia: (a) Jeśli A ∼ B i C ∼ D, to A × C ∼ B × D. (b) Jeśli A ∼ B i C ∼ D oraz A ∩ C = ∅ i B ∩ D = ∅, to A ∪ C ∼ B ∪ D. Czy założenie rozłączności zbiorów jest istotne? (c) Jeśli A ∼ B , to 2A ∼ 2B . 1 5. Pokaż, że następujące zbiory są przeliczalne: (a) {n ∈ N, n dzieli się przez 10} (b) {x ∈ R, x = lny dla pewnego y ∈ N} 6. Pokaż, że (a) N × N ∼ 2N × (2N + 1) (b) (0, 1) × N ∼ R × Z 7. Dowieść, że przeliczalne są następujące zbiory: (a) zbiór Z wszystkich liczb całkowitych, (b) zbiór Q wszystkich liczb wymiernych, (c) zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej stopnia n o współczynnikach wymiernych, (d) zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach wymiernych, (e) zbiór wszystkich pierwiastków wielomianów o współczynnikach wymiernych, (f) dowolny zbiór rozłącznych odcinków otwartych, położonych na prostej rzeczywistej (dowolna rodzina zbiorów postaci (a, b) dla a, b ∈ R i a < b), 8. Dowieść, że każdy z następujących zbiorów jest mocy ℵ0 : (a) zbiór wszystkich odcinków, położonych na prostej rzeczywistej o końcach wymiernych, (b) zbiór wszystkich okręgów na płaszczyźnie, których współrzędne środka i promień są liczbami wymiernymi, (c) zbiór wszystkich trójkątów równobocznych o środku ciężkości w początku układu współrzędnych i jednym wierzchołku o współrzędnych wymiernych, (d) zbiór złożony z parami rozłącznych sześcianów przestrzeni trójwymiarowej, (e) zbiór złożony z rozłącznych kół położonych na płaszczyźnie, (f) zbiór macierzy o wyrazach wymiernych. 9. Niech A będzie zbiorem przeliczalnym. Dowieść, że zbiór wszystkich skończonych ciągów o wyrazach z A jest zbiorem przeliczalnym. Kiedy taki zbiór ma moc ℵ0 . 10. Znaleźć moc zbioru ciągów o wyrazach całkowitych zbieżnych do 0. 11. Znaleźć moc zbioru ciągów o wyrazach wymiernych, stałych od pewnego miejsca. 12. Dowieść, że zbiór R2 jest mocy continuum. 13. Sprawdzić, czy następujące zbiory mają moc continuum: 2 (a) {x ∈ R| − 1 < x < 1}, (b) {x ∈ R|∃n∈N xn ∈ Q}, (c) {x ∈ R|x ≤ 0}, (d) {(x, y) ∈ R2 |x2 = y}, (e) {(x, y) ∈ R2 |x = y}, (f) {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 = 1}, (g) {(x, y) ∈ R2 |y = f (x)}, gdzie f : RRaR jest dowolną funkcją, (h) {(x, y) ∈ R2 |x − y ∈ Q}, (i) {(x, y) ∈ R2 |x < 1}, (j) {(x, y) ∈ R2 |x2 = 4}, (k) {(x, y) ∈ R × Q|x2 = 4}, (l) {(x, y) ∈ R2 |x < 0 ∧ y < 0}, (m) {(x, y) ∈ R2 |0 ≤ x < 1 ∧ 0 ≤ y < 1}, (n) {(x, y) ∈ R2 |x · y < 1}, (o) {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 < 1}, (p) {(x, y, z) ∈ R3 |x = y = z}, (q) {(x, y, z) ∈ R3 |0 ≤ x < 1 ∧ 0 ≤ y < 1 ∧ 0 ≤ z < 1}. 14. Dowieść, że zbiór Rn jest mocy continuum dla dowolnego n ≥ 1. 15. Pokazać, że NN jest mocy continuum. Czy RR jest mocy continuum? 16. Pokazać, że: (a) jeśli A jest zbiorem przeliczalnym i B ⊆ A, to B także jest przeliczalny. (b) jeśli A i B są zbiorami przeliczalnymi, to: (c) A ∩ B jest przeliczalny, (d) A\B jest przeliczalny, (e) A ∪ B jest przeliczalny, S 17. Dowieść, że jeśli (An )n∈N jest rodziną zbiorów skończonych, to zbiór n∈N An jest przeliczalny. S 18. Dowieść, że jeśli (An )n∈N jest rodziną zbiorów przeliczalnych, to zbiór n∈N An także jest przeliczalny. 19. Dowieść, że jeśli A i B są zbiorami mocy continuum, to zbiory A ∪ B i A × B są również mocy continuum. 3 20. Dowieść, że jeśli A jest zbiorem przeliczalnym, zaś B zbiorem mocy continuum, to zbiory A ∪ B i B\A są mocy continuum. 21. Co można powiedzieć o mocy zbioru A × B, jeśli A jest mocy continuum, zaś B jest zbiorem przeliczalnym? 22. Dowieść, że jeśli (At )t∈R jest rodziną (taką, że zbiór indeksów S jest mocy continuum) zbiorów przeliczalnych, niepustych i rozłącznych, to zbiór t∈R At jest mocy continuum. S 23. Dowieść, że jeśli (At )t∈R jest rodziną zbiorów mocy continuum, to zbiór t∈R At również jest mocy continuum. 4