Analiza matematyczna dla fizyków (abstrakt 00) 1 Analiza

Analiza matematyczna dla zyków
(abstrakt 00)
Janusz Migda, Wydziaª Matematyki i Informatyki UAM
1
Analiza Matematyczna 1
1. Zbiory.
Zbiory, relacje, odwzorowania, równowa»no±¢, zbiory sko«czone, niesko«czone,
przeliczalne i nieprzeliczalne, porz¡dek, kresy, grupy, pier±cienie, ciaªa, liczby
rzeczywiste, zasada Dedekinda, zasada Archimedesa, zasada Cauchy'ego,
liczby zespolone, przestrzenie euklidesowe, zasada indukcji.
2. Przestrzenie metryczne.
Metryka, otoczenie, punkt skupienia, zbiory otwarte i domkni¦te, domkni¦cie, wn¦trze i brzeg zbioru, tw. Bolzano-Weierstrassa, tw. Heinego-Borela,
zbiory ograniczone, g¦ste, zwarte, spójne.
3. Ci¡gi i szeregi.
Zbie»no±¢ w przestrzeniach metrycznych, ci¡gi liczbowe, ci¡gi monotoniczne,
tw. o trzech ci¡gach, arytmetyka granic, symbole nieoznaczone, granice
cz¦±ciowe, granice górne i dolne, zupeªno±¢ przestrzeni euklidesowych. Szeregi, zbie»no±¢ szeregów, szeregi geometryczne, szereg harmoniczny, kryteria
zbie»no±ci szeregów, zbie»no±¢ bezwzgl¦dna, szeregi pot¦gowe, tw. Cauchy'ego
- Hadamarda, promie« zbie»no±ci, szeregi naprzemienne, kryterium Leibniza,
liczba e.
4. Ci¡gªo±¢.
Granica funkcji, ci¡gªo±¢, ci¡gªo±¢ funkcji elementarnych, jednostajna ci¡gªo±¢,
funkcje ci¡gªe na zbiorach zwartych, zasada Darboux.
5. Pochodne funkcji jednej zmiennej.
Geometryczna i zyczna interpretacja pochodnej, pochodne funkcji elementarnych, pochodna funkcji zªo»onej i odwrotnej, tw.o warto±ci ±redniej, wzór
Taylora, funkcje gªadkie i analityczne, ekstrema, punkty przegi¦cia, reguªa
de l'Hospitala.
6. Caªka Riemanna.
Caªka i jej interpretacja geometryczna, kryterium caªkowalno±ci, caªkowalno±¢ funkcji ci¡gªych i funkcji monotonicznych, wªasno±ci caªki, tw. o funkcji
pierwotnej, tw. Newtona-Leibniza, caªkowanie przez podstawienie i przez
cz¦±ci, caªkowe tw. o warto±ci ±redniej, caªki niewªa±ciwe.
1
2
Literatura podstawowa
1. A. Soªtysiak, Analiza matematyczna, I, II, III WN-UAM Pozna«
1996.
2. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN W-wa 1976.
3. F. Leja, Rachunek ró»niczkowy i caªkowy, PWN W-wa
4. M. Spivak, Analiza matematyczna na rozmaito±ciach, PWN W-wa
2006
5. W. Koªodziej, Analiza matematyczna, PWN W-wa 1986
6. K. Maurin, Analiza, I, II, III PWN W-wa 1991
7. G.M Fichtenholz, Rachunek ró»niczkowy i caªkowy, I, II, III PWN
W-wa
8. W.Krysicki L.Wªodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, PWN
9. J. Bana±, S. W¦drychowicz, Zbiór zada« z analizy matematycznej,
WNT 1993
3
Literatura uzupeªniaj¡ca
1. L. Górniewicz R. S. Ingarden,
I, II Toru« 1995
Analiza matematyczna dla zyków,
2. K.Kuratowski, Rachunek ró»niczkowy i caªkowy, PWN W-wa 1973
3. J.Mikusi«ski, Wst¦p do analizy matematycznej, PWN W-wa 1990.
4. Roman Leitner, Zarys matematyki wy»szej, WNT W-wa 1994.
5. K. Szyma«ski, N. Dróbka,
W-wa 1993.
Matematyka w szkole ±redniej,
WNT
6. J. Nowakowski, Z Euklidesem do matury i na studia, W-wa 1996.
7. W. Stankiewicz, Zadania z matematyki dla wy»szych uczelni technicznych, PWN W-wa 1986.
2
4
Oznaczenia
:=
równo±¢ z denicji
) implikacja (je±li . . . to . . . )
, równowa»no±¢ (wtedy i tylko wtedy, gdy . . . )
8 du»y kwantykator (dla ka»dego)
9 maªy kwantykator (istnieje)
1 niesko«czono±¢
; zbiór pusty
N
Z
R
C
zbiór liczb naturalnych
pier±cie« liczb caªkowitych
ciaªo liczb rzeczywistych
ciaªo liczb zespolonych
fx : P (x)g zbiór wszystkich x-ów, które speªniaj¡ warunek P (x)
fa; bg para nieuporz¡dkowana, zbiór zªo»ony z elementów a; b
fa1; a2; : : : ; ang zbiór zªo»ony z elementów a1; a2; : : : ; an
(a; b) para uporz¡dkowana
(a1 ; a2 ; : : : ; an ) ci¡g (uporz¡dkowany) elementów a1 ; a2 ; : : : ; an
(an ) ci¡g elementów a1 ; a2 ; : : : ; an ; : : :
fang zbiór warto±ci ci¡gu (an)
x2X
AX
A[B
A\B
AnB
AB
x nale»y do zbioru X (x jest elementem zbioru X )
A zawiera si¦ w zbiorze X (A jest podzbiorem zbioru X )
suma zbiorów A i B
przekrój (cz¦±¢ wspólna) zbiorów A i B
ró»nica zbiorów A i B
iloczyn kartezja«ski zbiorów A i B
AB
=
f(a; b) : a 2 A; b 2 B g
2X
rodzina wszystkich podzbiorów zbioru X
X n-ta pot¦ga kartezja«ska zbioru X
f : X ! Y , f jest odwzorowaniem zbioru X w zbiór Y
f (x) warto±¢ odwzorowania f na argumencie x
x 7! f (x) odwzorowanie f przyporz¡dkowuje elementowi x warto±¢
X n := X
f (x)
gf
zªo»enie (superpozycja) odwzorowa« f i g
(g
f )(x) := g(f (x))
f (A) obraz zbioru A wzgl¦dem odwzorowania f
f 1 (B ) przeciwobraz zbioru B wzgl¦dem odwzorowania f
f (A) := ff (a) : a 2 Ag;
f
1
(B ) :=
fx 2 X :
f (x) 2 B g
Y X rodzina wszystkich odwzorowa« zbioru X w zbiór Y
idX odwzorowanie identyczno±ciowe na zbiorze X
f 1 odwzorowanie odwrotne do odwracalnego odwzorowania f
3
rozszerzona prosta rzeczywista, R := R [ f 1; 1g = [ 1; 1]
Symbole 1 nie s¡ liczbami, zakªadamy, »e maj¡ one nast¦puj¡ce wªasno±ci:
R
1 + 1 = 1; 11 = 1; ( 1)( 1) = 1;
je±li a; c 2 R, c > 0 to
1 < a < 1, a 1 = 1,
a=(1) = 0;
1c = 1; 1( c) = 1;
symbole
0 =0 ;
1 1; 1= 1; 10 s¡ nieoznaczone
f x 2 R : a < x < bg
fx 2 R : a < x bg
[a; b) := fx 2 R : a x < bg
[a; b] := fx 2 R : a x bg
(a; b) :=
(a; b] :=
je±li a =
S At
t2T
T At
t2T
:=
:=
fAtgt2T
1
lub b = 1 to odcinek nazywamy póªprost¡ lub prost¡
f x : x 2 At
fx :
x
S1 An; T1 An
n=1
n=1
dla pewnego t 2 T g suma rodziny zbiorów
2 At
dla ka»dego t
fAtgt2T
sup A
inf
A
[ A \ X nA
t2T
2 Tg
t=
t2T
(
fAtgt2T
przekrój rodziny zbiorów
fAngn2N
suma i przekrój rodziny
Prawa de Morgana: je±li
to
Xn
odcinek otwarty
odcinek otwarto-domkni¦ty
odcinek domkni¦to-otwarty
odcinek domkni¦ty
jest rodzin¡ podzbiorów zbioru
Xn
t );
\ A [ X nA
t2T
t=
t2T
(
X
t)
kres górny (supremum) zbioru A
kres dolny (inmum) zbioru A
max(a1 ; : : : ; an )
min(a1 ; : : : ; an )
maksymalna z liczb a1 ; : : : ; an
minimalna z liczb a1 ; : : : ; an
Odwzorowania o warto±ciach liczbowych nazywamy funkcjami, je±li
f; g : X ! R to okre±lamy funkcje f + g; f g : X ! R, wzorami
(f + g )(x) :=
ponadto,
f (x) + g (x);
max(f; g ); min(f; g ) :
X
:
f (x)g (x)
! R,
max(f; g )(x) := max(f (x); g (x));
f =g
(f g )(x) =
min(f; g )(x) := min(f (x); g (x));
fx 2 X : g(x) 6= 0g ! R;
4
(f =g )(x) :=
f (x)=g (x):
i jednostka urojona (i2 = 1)
z = a + bi liczba zespolona
z := ap bi liczba sprz¦»ona do liczby z
jzj := a2 + b2 moduª (warto±¢ bezwzgl¦dna) liczby z
Re z cz¦±¢ rzeczywista liczby z
Im z cz¦±¢ urojona liczby z
arg z argument liczby z
Arg z argument gªówny liczby z
(X; )
przestrze« metryczna
K (x; r) kula (otwarta) o ±rodku w punkcie x i promieniu r
A domkni¦cie zbioru A
Int A wn¦trze zbioru A
@A brzeg zbioru A
Rn n-wymiarowa przestrze« euklidesowa
ci¡g
fang zbiór warto±ci ci¡gu (an)
lim an
granica (limes) ci¡gu (an )
an ! p ci¡g (an ) jest zbie»ny do p
lim sup an ; lim an
granica górna (limes superior) ci¡gu
lim inf an ;
lim an
granica dolna (limes inferior) ci¡gu
( an )
P1 zn
n=1
szereg (i jego suma je±li jest zbie»ny)
5
(a n )
( an )