Print version

R O CZN IKI PO LSK IEG O TOWARZYSTWA M ATEM ATYCZNEGO
Seria III: MATEMATYKA STOSOWANA XXXI (1989)
H en r y k B r z e s k w in ie w ic z , W ie sła w W a g n e r
Poznań
Badanie założenia o rozkładzie normalnym błędów losowych
w dwuczynnikowym układzie split-plot*
(Praca wpłynęła do Redakcji 1988.03.21)
1. Wstęp. Jednym z najczęściej przyjmowanych założeń stochastycznych
przy opracowywaniu wyników doświadczalnych pochodzących z dwuczynnikowego układu split-plot jest rozkład normalny błędów doświadczalnych
odpowiadających dużym i małym poletkom. Założenie to powinno być
weryfikowane dla aktualnie analizowanych danych doświadczalnych. Weryfikacji takiej dokonujemy testami normalności dla próby prostej. Odpowiednią
próbę prostą uzyskujemy z połączenia przekształconych obserwowalnych
zmiennych losowych oraz wygenerowanych zmiennych losowych zgodnie z
zasadą randomizacji Durbina. Normalność sprawdzamy testem D’Agostino,
odpowiednim dla dużych prób i charakteryzującym się dobrymi własnościami mocy.
W pracy podajemy metodę wyznaczania próby prostej dla badania
normalności błędów doświadczalnych małych i dużych poletek w układzie
split-plot, którą również ilustrujemy przykładem liczbowym.
2. Model analizy wariancji. Niech A i B będą dwoma badanymi czynnikami doświadczalnymi występującymi odpowiednio na a i b poziomach. Poziomy czynnika A rozmieszczamy losowo w blokach zgodnie ze schematem
bloków zrandomizowanych kompletnych. Jednostki doświadczalne, na których umieszczono poziomy czynnika A, zwane dużymi poletkami, dzielimy na
równe części, zwane małymi poletkami. Małym poletkom przyporządkowujemy losowo poziomy czynnika B. Poziomy obu czynników traktujemy jako
ustalone, tzn. zajmujemy się jedynie modelem stałym analizy wariancji.
Zapiszmy model matematyczny obserwowanej zmiennej losowej yUj dotyczą-
PAN 501-73/254/86
H. Brzeskwiniewi cz, W. Wagner
48
czej /-tego bloku, i-tego poziomu czynnika A oraz ./-tego poziomu czynnika B
w postaci
(1)'
yuj
= H+ ?i + Qi + dii + 5 j + W
i j
+ e iij,
dla i = 1,
a; / = 1,
r; j = 1,
b, gdzie n jest parametrem ogólnym,
i,- — efektem i-tego poziomu czynnika A,
— efektem /-tego bloku, <51 —
efektem j-tego poziomu czynnika B, (ió)ij — efektem interakcji i-tego poziomu
czynnika A z 7-tym poziomem czynnika B. Symbole dit oraz eitj oznaczają
nieobserwowalne zmienne losowe związane z błędami doświadczalnymi odpowiednio dużych i małych poletek. O zmiennych losowych du oraz
zakładamy, że są niezależne o wartościach oczekiwanych równych zero oraz
wariancjach a\ i o\. Przyjęte założenia o zmiennych da oraz eaj implikują
następujące kowariancje:
Cov (dih dvl') =
(2)
Covieuj, evvy) =
0,
i = i', l = /',
poza tym,
0,
i = i', / = /', j = / ,
poza tym,
Cov{dih evvy) = 0
dla wszystkich i, l,j, i', /',/.
Z (1) i (2) wynikają dla yiU kowariancje
(3)
U l +*2,
Co\(ynj, yn -f ) = <aj,
(0,
i = i', ł = r ,j = / ,
i = i , / = /»j j ?
poza tym.
Na parametry stałe modelu (1) nakładamy bez straty ogólności nieestymowalne restrykcje
(4)
£ T«-= Z Qi = Z ^ = Z (T<%= Z (T<%= °/= 1
i= 1
i= 1
j= 1
/=1
Przy restrykcjach (4) najlepszymi nieobciążonymi estymatorami liniowymi
parametrów stałych modelu (1) z uogólnionej metody najmniejszych kwadratów (uogólnionej MNK) są (patrz np. Mikos i Niedokos, 1976):
A=
(5)
y...,
*i =
* = h ..., Q,
Qi = y .i-y ..
1 = 1, ..., r,
Sj = y .j- y ..
j = U ..., b,
+
gdzie
1
W u = Jij-y.-.
i = 1, • •• , a; j = 1, ..., b,
, y,.., ... oznaczają odpowiednie średnie, przy czym uśrednienie
Badanie założenia o rozkładzie normalnym błędów losowych
49
przebiega względem wskaźnika (lub wskaźników) zastąpionych kropką (lub
kropkami).
W analizie wariancji rozpatrywanego układu doświadczalnego dla wyznaczenia sum kwadratów dla błędów dużych i małych poletek wykorzystuje się
reszty z uogólnionej MNK dla:
(a) dużych poletek
du = y n - f i - h - Q i = yn.-yi.-y.i.+y...,
przy i = 1,
a; l = 1,
(b) małych poletek
r;
t u j = y u j - f i - i i - Q i - Sj - ( i 3)ij - d u =
= y u j - y n - y u + y i ..,
przy i = 1,
a; 1=1, ..., r; j = 1,
b.
Podane reszty wykorzystujemy dalej do badania normalności. Nasze
postępowanie opieramy na następującym lemacie Cramera, wyrażającym
własność charakteryzacji rozkładu normalnego (patrz np. Rao 1982, s. 525).
L e m a t . Jeżeli U x i U 2 są dwiema niezależnymi zmiennymi losowymi takimi,
że U = U X+ U2 ma rozkład normalny, to zarówno U x, jak i U2 mają rozkład
normalny.
Przyjmując, że błędy dn oraz eUj odpowiadają zmiennym Ux i U2 w
podanym lemacie, wyznaczamy nowe reszty jako sumę reszt dit oraz eiljt
które nazwiemy resztami połączonymi. Te ostatnie będą podstawą do badania
normalności zmiennych d^ + euj, co na mocy podanego lematu będzie świadczyć o normalności każdej ze zmiennych oddzielnie. Jest to przyjmowane
zwykle założenie stochastyczne o błędach losowych w układach split-plot.
3. Wektor reszt połączonych. Wykorzystując dit oraz eiU podane w punkcie 2, wyznaczamy reszty połączone, które oznaczymy przez
fuj = i , + eitj = yaj - y Lj - y.,. f y....
(6)
Reszty f aj są zmiennymi losowymi o wartościach oczekiwanych równych zero
dla wszystkich wskaźników i, l, j, spełniają z prawdopodobieństwem 1
a r b
warunek X Z Z fuj =
a ich wariancje i kowariancje wyznaczamy z
równości
i=
i /= 1 j = 1
(7) Cov (jw . Jrvf) = Cov {yiU, yiTf) - 2 Cov {ynj, yr j ) —2 Co\(yuj, y.r .) + 2 Cov
y...) + Cov(.Vij, yr ./ ) +
+ 2 Cov(>’;.,, y .,')- 2 Cov (yLjJ y j + Cov(>’.,., yr.r)~
- 2 Cov
4 — Matematyka Stosowana t. 31
y...) + Cov( v
>...).
H. Br zeskwiniewi cz, W. Wagner
50
Przy ustalaniu kowariancji (tabela 1) występujących po prawej stronie w (7)
korzystamy z oznaczeń (2) i (3), a ponadto wprowadzamy y =
Co = ba2+ 02, v = (To/n, Ł, = a%jab i n = arb.
Tabela 1
i = i’
Cov(v )
j= f
i = i'
1= 1'
i
i = i'
///'
j= f
i = i'
/#/'
i *f
i * i'
1= 1'
i =f
0
y/r
0
a\/r
z,
0
a\/r
0
0
0
0
V
V
y
y/r
yrrr
ku, k j
Kij, y.r.
Ku, y...
K.j, K’.j■
yi.j, y.v.
k .j , y...
y.i., K’.jy.i., y...
y..., y...
V
y/r
y/r
i * i' i * i'
1= 1' i * r
j * f j =f
0
0
0
V
V
a\/r
V
0
0
i * i'
1*1'
)*)'
0
0
0
V
0
0
0
0
V
0
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
£
0
£
0
V
V
V
V
V
V
V
V
Ć
0
V
V
V
V
Ć
0
V
V
V
V
Wielkości podane w tabeli 1 wyznaczono, korzystając z własności kowariancji, co ilustruje poniższy przykład:
Cov(j/ , , y j = Cov ( ^ £ £
1
f
t
,1
t
£ Cov(yiu> £ £ £
i' = 1I' = 1/ = 1
fl2rb2 i=lj=l
1
Z Z Cov(yiy,i'X
Z
a2rb2 i= 1j=-l
=l/=l
1
[Z z
a2rb2 /= 1j= 1
)-
JVy') =
f Z Covly^,^)] =
i=lj,/=l
j *y
1
\ab((rl + o\) + ab{b- \)o 2) = - (o’?-I-<r|-ł-feo-? —o"f) =
n
a2rb2
= {bo\ + ol)ln = al/n = v.
Otrzymany wynik w 9 wierszu będzie identyczny dla każdej kolumny
w tabeli 1, gdyż występuje tutaj tylko jeden wskaźnik /. Wyniki zawarte
w tabeli 1 pozwalają wyznaczyć kowariancje (7), przy różnych układach
wskaźników i, /, j, i’, /', / :
Badanie założenia o rozkładzie normalnym błędów losowych
51
' (1 -1 /r)(y -0 ,
—y/r + v,
(8)
Co v {fij, Iw y)
-1
v,
Reszty f Uj nie spełniają warunków próby prostej, tzn. ciągu nieskorelowanych
zmiennych losowych o identycznych rozkładach, gdyż istnieją różne od zera
kowariancje między tymi resztami. Uniemożliwia to zastosowanie znanych
testów normalności bezpośrednio do tych reszt. Reszty f Uj przekształcamy w
myśl metody randomizacji Durbina (Durbin, 1961) do nowych reszt (co
pokazujemy w punkcie czwartym), które nazywamy poprawionymi resztami
połączonymi. Te ostatnie będą spełniały warunki próby prostej.
4. Poprawione reszty połączone. Wyznaczanie poprawionych reszt połączonych przeprowadzamy w dwóch etapach. W pierwszym zapisujemy kowariancje podane wzorem (8) w postaci macierzowej, wykorzystując w tym celu
macierze ortonormalne. W drugim budujemy pewną macierz będącą ich
kombinacją liniową ze współczynnikami zależnymi jedynie od a, r, b,
i cr|.
Tak uzyskana macierz jest przemnożona przez wygenerowany wektor losowy
o składowych będących realizacjami zmiennych losowych o rozkładzie
N(0,1). Utworzony wektor jest składnikiem korygującym wektor reszt połączonych, co w efekcie prowadzi do poprawionego wektora reszt połączonych.
Zapiszmy reszty f nj leksykograficznie w postaci n-wymiarowego wektora
f = ( /m ,/ii2 , . . ., farb)'• Dla zapisania macierzy wariancji-kowariancji wektora f wprowadzamy macierze ortonormalne (Brzeskwiniewicz, 1980)
(9)
X,kcl c 2 c 3
gdzie (g) oznacza iloczyn kroneckerowski, Xjf = 1 T/s, X(!S) = 1 —1 V/s są macierzami s-tego stopnia (s = a, r, b), I oznacza macierz jednostkową, natomiast IT jest macierzą jedynek. Macierz wariancji-kowariancji wektora f
wyraża się wówczas w postaci
(10)
D(f) =
X000 + g2 X001 + 03 Xolo + 04 X0u +9s X100 +
+ 06 Xioi + 07 Xno + 08 Xu i ,
gdzie współczynniki gt, i = 1, . . . , 8, wyznaczamy z równości g = Zł.
W równości tej g = (0X, ..., 08)', ł = ((1 —1/r)(y- ol/ab), ..., ol/n) jest wektorem złożonym z elementów kowariancyjnych występujących w (8), natomiast
H. Brzeskwiniewi cz, W. Wagner
52
elementy ztt>, t, t' = 1,
8, macierzy Z wyznaczamy wzorem
(U )
ztt' = [(1 - a j ) ( a - lJ -flrT 1 C(1 —ci2) (r —1) —a2]C2 [(1 - a 3)(b - l ) - a 3]c3,
gdzie c!, c2, c3 = 0, 1 oraz t = 4at + 2a2+ a3 + 1, t' = 4c! + 2c2+ c3 + 1. Macierz Z można nazwać macierzą przejścia między macierzami partnerów
(Yamoto, Fujii, Hamada, 1956, Brzesk winiewicz 1980) a macierzami ortonormalnymi (9). Dla macierzy Z suma elementów pierwszego wiersza jest równa
n = arb, natomiast pozostałe wiersze sumują się do zera, co łatwo można
sprawdzić, zapisując elementy (11) w postaci jawnej:
r —1 ( r - l ) ( b - \ ) , a - \ ( a - l) ( f e - l ) ( o - l ) ( r - 1) (a—l)(r—l)(6 —
—(«—l) ( r - I)
( f l- D ( r - l)
1-a
1—r
a -1
-1 r —1
-(a-l)(b-l)
1-a
1- b
a - 1 (a-l)(b-l)
b - 1 -1
a —1
1—a
1-a
1
a -1
-1 -1
\-r
-(r-l)(b-l)
1-b
-1
b - 1 r —1 ( r - l ) ( b - \ )
r- 1
1
1—r
1—r
-1
-1 r —1
b
-1
1
1-b
1- b
-1
b - 1 -1
b -\
-1
-1
1
-1
1
1
-1
Postać macierzy wariancji-kowariancji (10) wektora f ^skazuje na sposób
wyznaczania wektora poprawiającego. Niech h = max (grj, d( = yfh —gi, i
= 1, . . . , 8, oraz
(12)
X —di X00o+ ^X 001 +d3 X010-M4 X011 4-^5 X100 +
+ d6X 101+d7X 110 + d8X l l l ,
gdzie macierze ortonormalne podano w (9). Oznaczmy jeszcze przez w nwymiarowy wektor o rozkładzie N (O, I) i niezależny od wektora f. Tworzymy wektor poprawionych reszt połączonych,
(13)
v = f+ X w.
Wektor losowy v ma wektor wartości oczekiwanych E(\) = £(f) + X£(w) = 0
oraz macierz wariancji-kowarancji
D(\) = D(f) + XD (w) X' = Z) (f) + X X' =
= 9\ X o o o + ••• + 0 8 X i n +(h —g i ) X 000+ . . . +(h —gs) X m =
= MX0oo+
+ X m ) = hl.
Pokazaliśmy więc, że składowe wektora v, przy znanych o\ i c\ spełniają
warunki próby prostej. Badanie normalności tej próby przeprowadzamy
testem normalności D’Agostino podanym w punkcie 5. W przypadku niezna-
Badanie założenia o rozkładzie normalnym błędów losowych
53
nych parametrów o\ i a\, zastępujemy je ich nieobciążonymi estymatorami z
uogólnionej MNK, odpowiednio:
8\ = Ż Z Z e y a ( r - l ) ( b - l ) ,
i= 11=1 7=1
S l= { 8 l- S j) /b ,
°l = b t t d f i / ( a - l)(r-l),
*= i i=i
gdzie reszty dit oraz eiy podano w punkcie 2.
5. Wnioskowanie statystyczne o rozkładzie normalnym błędów losowych.
Proponujemy dla sprawdzenia normalności próby losowej złożonej ze składowych wektora v test DA D’Agostino (1971). Test ten charakteryzuje się
właściwościami testu omnibus, tzn. jest wrażliwy na asymetrię i kurtozę
rozkładu (patrz np. Wagner, 1982). Oznacza to, że hipoteza zerowa o
normalności jest odrzucona, gdy rozkład z próby wykazuje asymetrię i
kurtozę. Test DA ma wysoką moc dla szerokiej klasy alternatywnych (różnych od rozkładu normalnego) rozkładów, jest niezmienniczy ze względu na
przekształcenia liniowe obserwacji próbkowych, a ponadto dostępne są dla
niego tablice wartości krytycznych (podają je m.in. Wagner i Błażczak, 1986).
Niech ciąg vt , ..., vn stanowi próbę n-elementową składowych wektora v,
n
v — średnią arytmetyczną z tej próby, a s2 = £ (u, —u)2 — sumę kwadratów
i=1
odchyleń od średniej v. Próbę v1, . . . , v H uporządkowaną według wielkości
niemalejących wyraża ciąg nierówności u(1) ^ i?(2) ^ ... < v(n), który traktujemy jako próbkową realizację statystyk pozycyjnych Kl) < V(2) < ... <
Statystyka testowa testu D’Agostino ma postać
(141
' ’
Y= V "(P^ - ° ’282095)
0,029986
gdzie
Test D’Agostino jest dwustronny. Jeżeli zachodzi nierówność Y*,2, ^
^
T i-a/2;n»to na poziomie istotności a nie mamy podstaw do odrzucenia
hipotezy o normalności rozkładu próby vt , ..., vn.
Wartości krytyczne Ya:n odczytuje się z odpowiednich tablic. Brak podstaw do odrzucenia wspomnianej wyżej hipotezy oznacza, że nie mamy także
podstaw do odrzucenia hipotezy o rozkładzie normalnym wektora f, co
wynika z (13). Tym samym w myśl podanego lematu brak podstaw do
odrzucenia hipotezy o rozkładzie normalnym dla dużych i małych poletek.
54
H. Brzeskwiniewi cz, W. Wagner
6. Przykład liczbowy. Dane doświadczalne pochodzące z COBORU Słupia Wielka z doświadczenia dwuczynnikowego split-plot przedstawiają plony
ziarna zebrane z poletek o powierzchni 25 m2. Duże poletka (czynnik A)
stanowiły 4 poziomy nawożenia mineralnego, natomiast małe poletka (czynnik B) stanowiło 6 odmihn jęczmienia ozimego. Doświadczenie było przeprowadzone w SDO Rarwino. Plony z 3 powtórzeń doświadczenia założonego w
układzie split-plot były następujące:
Powtórzenie 1
Bi
B2
B3
S4
B5
B6
A\
6,8
5,7
5,7
6,5
6,1
3,2
a2
3,8
4,5
5,5
5,4
3,9
3,2
A3
3,7
2,8
5,5
5,8
4,6
2,0
Powtórzenie 2
A4
4,4
2,8
3,4
1,9
3,4
1,6
A!
8,5
5,4
5,6
6,9
6,5
5,4
A2
11,5
8,5
10,6
9,4
11,0
8,0
«3
3,7
3,2
4,0
4,8
3,8
2,5
Powtórzenie 3
Aą
6,5
8,1
5,5
4,8
5,7
3,6
A1
8,5
7,5
8,1
6,4
6,0
5,9
a2
10,8
7,7
10,4
8,6
8,9
7,2
A3
8,1
5,7
5,3
5,8
6,9
3,5
Aą.
8,6
5,7
6,2
7,9
7,9
3,7
Powyżej przez A u . . ., A ą oznaczono kolej ne dawki nawożenia (poziomy
czynnika A), natomiast Bi ,
B6 oznaczają użyte w doświadczeniu odmiany jęczmienne (poziomy czynnika B). Zamierzamy przeanalizować wyniki
doświadczalne od strony ewentualnego naruszenia założenia o rozkładzie
normalnym błędów losowych dla dużych i małych poletek. Dla podanych
obserwacji doświadczalnych mamy: a — 4, r = 3, b = 6 i n = 72. Oceny
nieobciążone wariancji wynoszą: 8\ = 1,60324, 8\ = 0,98311 i 8% = 10,60255.
Wyznaczamy stałe gt, i = 1, ..., 8, jako składowe wektora g = Zł = (7.46035,
8.44347, -0.98311, 0.98311, -8.44347, 3.14219, -0.98311, 0.98311)', a następnie reszty połączone f Uj według (6):
0.55278
0.10694
-0.65972
-3.21389
2.34028
0.87361
0.21944
-1.92639
1.70694
-0.41389
-0.45972
0.87361
1.18611
-1.25972
0.07361
-0.71389
1.14028
-0.42639
0.25278
-1.49306
1.24028
-1.04722
2.10694
-1.05972
0.91944
-1.32639
0.40694
-1.64722
1.30694
0.34028
2.25278
-1.39306
-0.85972
0.05278
0.00694
-0.05972
1.58611
-0.15972
-1.42639
-0.71389
1.14028
-0.42639
2.08611
-1.05972
-1.02639
-1.28056
-0.52639
1.80694
1.58611
-0.15972
-1.42639
-2.34722
2.60694
-0.25972
1.18611
-1.75972
0.57361
-0.58056
-0.42639
1.00694
0.05278
0.10694
-0.15972
-1.24722
1.40694
-0.15972
1.01944
-0.62639
-0.39306
0.25278
0.30694
-0.55972
Pomijamy szczegółowe obliczenia związane z wektorem poprawiającym
Xw w (13), gdyż wymagałoby to podawania dużej ilości wyników pośrednich
obliczeń. Liczby losowe normalne wygenerowane zostały według metody
podanej m.in. przez Zielińskiego (1972, s. 83), przy wykorzystaniu liczb
losowych z rozkładu jednostajnego, wyznaczonych algorytmem cytowanym w
Badanie założenia o rozkładzie normalnym błędów losowych
55
monografii Hellwiga (1975, s. 405). Poprawione reszty połączone obliczone
w e d ł u g (13) s t a n o w i ą c i ą g :
- 4 .1 4 5 0 6
3 .6 3 8 0 8
- 4 .0 5 0 7 2
4 .6 4 4 3 9
- 4 .1 2 5 9 1
-3 .1 1 2 1 3
- 5 .0 1 0 3 1
- 5 .6 6 1 6 7
- 5 .8 2 7 4 5
- 2 .6 5 7 2 8
0 .7 9 3 0 1
1 .7 5 2 8 2
- 4 .8 7 7 7 1
1 .3 2 9 6 8
1 .7 5 6 8 1
- 1 .1 1 0 5 5
0 .1 6 4 5 4
- 3 .0 1 8 4 9
- 2 .7 6 4 0 8
- 0 .1 4 3 5 6
- 4 .0 2 3 4 3
3 .2 2 9 6 4
-2 .0 7 7 1 9
-3 .0 8 7 1 9
1 .0 7 4 9 2
0 .2 5 3 0 7
3 .1 3 9 1 4
-0 .6 2 3 7 5
1 .9 8 0 7 3
1 .9 6 4 7 5
1 .2 3 7 1 0
4 .8 3 4 5 1
0 .0 6 4 0 6
- 0 .4 9 2 1 6
- 1 .7 9 5 6 5
1 .6 1 3 9 8
0 .5 2 8 9 4
- 2 .4 6 9 6 2
4 .2 7 2 2 6
- 1 .9 4 3 8 9
- 3 .3 7 2 3 6
- 1 .5 2 7 0 1
-5 .5 5 8 7 3
- 3 .8 7 2 7 8
- 3 .2 3 8 0 1
- 0 .6 3 8 0 6
- 3 .5 7 5 7 5
1.74871
3 .6 4 6 0 8
1 .0 9 0 9 3
- 2 .7 9 9 9 8
2 .1 8 9 6 7
1 .3 7 0 5 7
- 1 .8 6 7 1 2
- 0 .3 1 4 1 3
0 .1 7 4 5 4
- 2 .4 6 4 2 7
1 .9 9 9 2 6
- 2 .5 9 7 1 2
5 .4 4 8 5 7
4 .4 9 2 2 5
5 .1 4 6 9 9
2 .6 5 6 2 6
1 .1 7 7 3 4
2 .3 9 6 4 3
- 0 .4 6 7 0 1
2 .4 8 5 8 4
1 .9 4 6 9 0
0 .3 9 8 4 8
1 .5 7 3 9 4
8 .4 0 3 1 5
0 .1 6 1 3 0
Wartość statystyki testowej (14) wynosi 7 = 0,58185. Przyjmując poziom
istotności a = 0,05, mamy dwie wartości krytyczne: 70j025:72 = —2,644 i
*0,975 72 = 1,186. Ponieważ spełniona jest nierówność —2,644 ^ 7 =
= 0,58185 < 1,186, więc na poziomie istotności a = 0,05 nie mamy podstaw
do odrzucenia hipotezy o rozkładzie normalnym błędów losowych dla dużych i małych poletek.
Literatura
H. B rzesk w in iew icz, Częściowo zrównoważone układy bloków niekompletnych dla doświadczeń
czynnikowych, Dziesiąte Colloquium Metodologiczne z Agro-Biometrii (1980), 81-97.
R. B. D’A g o stin o , An omnibus test of normality for moderate and large size samples, Biometrika
58 (1971), 341-348.
J. D urbin, Some methods of constructing exact test, Biometrika 48 (1961), 41-55.
Z. H ellw ig, Maszyny cyfrowe i ich zastosowanie, PWE, Warszawa 1975.
H. M ikos, E. N ied o k o s, Estymacja parametrów w układach eksperymentalnych rozszczepionych
jednostek, Szóste Colloquium Metodologiczne z Agro-Biometrii (1976), 64-92.
C. R. Rao, Modele liniowe stystystyki matematycznej, PWN, Warszawa 1982.
W. W agner, Testy zgodności z rozkładem normalnym dla próby prostej, Listy Biometryczne 77
(1982), 6-37.
W. W agner, P. B łażczak , Statystyka matematyczna z elementami doświadczalnictwa, Skrypty
AR w Poznaniu, 1986.
S. Y am am oto, Y. Fuj ii, N. Ha mad a, Composition of some series of association algebras, J.
Sci. Hiroshima Univ. Ser. A -I (1965), 181-215.
R. Z ieliń sk i, Generatory liczb losowych. Programowanie i testowanie na maszynach cyfrowych,
WNT, Warszawa 1972.