Wstęp do teorii miary

Wstęp do teorii miary
SPPI, rok II
Wykład 7
1. Zbiory otwarte i domknięte
Definicja 1 Zbiór A nazywamy ograniczonym, gdy istnieje kula Kr (x0 ) taka, że A ⊂
Kr (x0 ).
Definicja 2 Zbiór A jest otwarty (w przestrzeni metrycznej (X, d)), gdy dla każdego x ∈ A
istnieje > 0 taki, że K(x, ) ⊂ A.
Zbiór A jest domknięty, gdy jego dopełnienie jest zbiorem otwartym.
Twierdzenie 1 Niech (xn ) będzie ciągiem elementów zbioru domkniętego A. Jeśli (xn ) jest
zbieżny do x, to x ∈ A.
Dowód Jeśli x 6∈ A, to z otwartości X \ A istnieje kula K(x, ) zawarta w X \ A, czyli
rozłączna z A. Zatem x nie jest granicą (xn ). Oczywiście, mamy:
Stwierdzenie 1 Cała przestrzeń oraz zbiór pusty są jednocześnie otwarte i domknięte.
Stwierdzenie 2 (Charakteryzacja zbiorów domkniętych) Zbiór A ⊂ X jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (xn ) elementów zbioru A zachodzi implikacja:
jeśli xn → x, to x ∈ A.
Stwierdzenie 3 Kula otwarta jest zbiorem otwartym.
Kula domknięta jest zbiorem domkniętym
Stwierdzenie 4
(1) Suma dowolnej liczby zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
(1a) Przekrój dowolnej liczby zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.
(2) Przekrój skończonej liczby zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
(2a) Suma skończonej liczby zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.
Dowód Niech U będzie rodziną zbiorów otwartych. Pokażemy, że U ∈U U jest zbiorem
S
otwartym. Ustalmy x ∈ U ∈U U . Wtedy x ∈ U dla pewnego U ∈ U . Z otwartości U
istnieje kula K(x, ) zawarta w U zatem tym bardziej w U ∈ U .
Aby udowodnić (2) ustalmy skończoną rodzinę zbiorów otwartych U1 , ..., Un . Niech x ∈
Tn
> 0,
i=1 Ui . Wtedy x należy do wszystkich Ui , więc z definicji zbioru otwartego istnieją
Tni
i = 1, ..., n, takie, że K(xi , i ) ⊂ Ui . Wybierzmy = mini=1,...,n i . Wtedy K(x, ) ⊂ i=1 Ui .
(1a) wynika z (1), a (2a) z (2) przez zastosowanie prawa de Morgana. S
Definicja 3 Rodzinę wszystkich zbiorów otwarych w X nazywamy topologią w X.
Definicja 4 σ-ciałem borelowskim w przestrzeni metrycznej X nazywamy σ-ciało generowane przez wszystkie zbiory otwarte.
2. Gęstość zbioru
Definicja 5 Ziór A ⊂ X jest gęsty, gdy dla każdego x ∈ X istnieje ciąg (an ) elementów A
zbieżny do x.
Gęste są Q w R, czy ogólniej Qn w Rn , zbiór wszystkich ciągów o wyrazach wymiernych
zawartych w [0, 1] w przestrzeni [0, 1]N , zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach
wymiernych w C(0, 1).
Twierdzenie 2 Następujące warunki są równoważne:
1. A jest gęsty,
2. dla każdego niepustego zbioru otwartego U ⊂ X przekrój A ∩ U jest niepusty,
3. dla każdej kuli K(x, ) przekrój A ∩ K(x, ) jest niepusty.
Dowód (1⇒2) Weźmy dowolny zbiór otwarty U i dowolny x ∈ U . Istnieje > 0, dla
którego K(x, ) ⊂ U . Pewien ciąg (an ) zawarty w A jest zbieżny do x, więc od pewnego
miejsca należy do A. Stąd A ∩ U 6= φ.
(2⇒3) Oczywiste, bo kule K(x, ) są zbiorami otwartymi.
(4⇒1) Ustalmy x ∈ X. Kula K(x, 1) zawiera pewien punkt a1 ∈ A. Kula K(x, 21 ) zawiera
pewien punkt a2 ∈ A. I tak dalej, K(x, n1 ) zawiera pewien punkt an ∈ A. Wybrany ciąg an
n→∞
zawiera się w A i jest zbieżny do x, bo 0 ¬ d(an , x) < n1 −→ 0.