Matematyka

Matematyka – Lista 1
1
Matematyka
Lista 1
1. Sprowadzić funkcje kwadratowe do postaci kanonicznej i postaci iloczynowej (jeżeli istnieje) oraz naszkicować ich wykresy:
a) −x2 + x,
b) 2x2 + 1,
c) x2 + 2x − 3,
d) x2 + x + 41 ,
e) −2x2 − 2x + 23 ,
f) −x2 − 3x − 94 .
2. Dla jakich wartości parametru m funkcja
f (x) = (m − 3)x2 + (m − 3)x + m − 2
a)jest funkcją liniową. Dla tej wartości m narysować wykres f (x),
b) jest funkcją kwadratową mającą jeden pierwiastek. Dla znalezionej
wartości m narysować wykres f (x),
c) ma największą wartość dodatnią.
3. Dla jakich wartości parametru m funkcja f (x) = mx2 + 4x + m − 3:
a) ma miejsce zerowe,
b) ma dwa miejsca zerowe różnych znaków,
c) ma dwa miejsca zerowe dodatnie,
d) ma najmniejszą wartość będącą liczba dodatnią.
4. Określić liczbę g(m) punktów wspólnych prostej y = mx − 3 i krzywej
y = (m + 1)x2 + (2 − m)x − 2 w zależności od parametru m.
Narysować wykres funkcji g(m).
5. Wyznaczyć współczynniki i określić stopień funkcji wielomianowych:
a) (x4 − 3x3 + x − 1)(x2 − x + 4), b) y = (x3 + 5x2 − x + 3)(x − 2)2 ,
c) W (x) = (x + 2)3 − (x − 1)2 ,
d) y = (x + 1)2 − (2x + 3)3 − 2x.
6. Obliczyć iloraz i resztę z dzielenia wielomianu P przez wielomian Q:
a) P (x) = 2x4 − 3x3 + 4x2 − 5x + 6, Q (x) = x2 − 3x + 1,
b) P (x) = x16 − 16, Q (x) = x4 + 2,
c) P (x) = x5 − x3 + 1, Q (x) = (x − 1)3 .
7. Dla jakiej wartości parametru a reszta z dzielenia wielomianu W (x) =
2x3 + (a2 + 1)x2 − (a + 2)x − 6 przez dwumian Q(x) = x + 3 jest
możliwie najmniejsza.
8. Znaleźć wszystkie pierwiastki całkowite podanych wielomianów:
a) x3 + x2 − 4x − 4,
b) 3x3 − 7x2 + 4x − 4,
c) x5 − 2x4 − 4x3 + 4x2 − 5x + 6,
d) x4 + 3x3 − x2 + 17x + 99.
9. Znaleźć wszystkie pierwiastki wymierne podanych wielomianów:
a) 4x3 + x − 1,
b) 3x4 − 8x3 + 6x2 − 1,
c) x3 − 67 x2 − 23 x − 13 ,
d) x5 + 43 x3 − x2 + 13 x − 13 .
Matematyka – Lista 1
2
10. Podane wielomiany przedstawić w postaci iloczynu nierozkładalnych
czynników:
a) x6 + 8, b) x4 + x2 + 1, c) x4 − x2 + 1,
d) 4x5 − 4x4 − 13x3 + 13x2 + 9x − 9.
11. Rozwiązać równania:
a) x3 − 3x − 2 = 0,
b) 3x4 − 10x3 + 10x − 3 = 0,
√
c) x6 − 2 2x3 + 2 = 0, d) x4 − 2x2 + 3x − 2 = 0.
12. Rozwiązać nierówności:
a) x3 − x2 + 4x < 4,
b) x3 − 6x2 + 5x + 12 > 0,
c) (1 − x2 )(4x2 + 8x − 21) ≥ 0,
d) x4 + 3x3 + x2 ≤ 0.
13. Rozwiązać równania:
a)
12
30
13
1 − 3x 1 + 3x
7 + 18x
+
, b) 2
−
,
=
= 3
2
2
1 − 9x
1 + 3x 3x − 1
x −1 1+x+x
x −1
5
18
8
x
x
8
c) 2
+ 2
= 2
,
d)
+
= .
x − 4 x − 3x + 2
x −1
x+a x−a
3
14. Rozwiązać nierówności:
(x − 1)2
a)
≤ 0,
(x + 1)3
d)
g) |
x2 + 2
b)
< 2,
x+1
1
1
≥
,
3
(x + 1)
x+1
x2 − 5x + 3
| < 1,
x2 − 1
h)
e)
c) 2 +
x2 − 5
< x + 1,
x
x
< 3,
|x − 2|
i)
√
3
2
≥ ,
x+1
x
f) |
2x − 3
| ≥ 2,
x−1
√
√
3x + 7− x − 2 < 2x + 3.
15. Przeprowadzić dyskusję istnienia rozwiązań równania i ich liczby w
zależności od parametrów a i b:
a) a +
x−2
b
=
,
x
x
b) 1 +
b
x
=
.
x
x−a
16. Uzasadnić, że żadna liczba całkowita nie spełnia nierówności
1
1
2
+
<
.
x x+1
x+2
17. Narysować wykresy funkcji:
a) f (x) = |6 − 2x|,
√
c) f (x) = x2 − 6x + 9 + |x|,
b) f (x) = 6 − |x|,
d) f (x) = x2 − |x| + 1,
e) f (x) = 2 + 1/(x − 1),
f) f (x) = (2x − 3)/(x + 1),
g) f (x) = sgn(x − 1),
h) f (x) = sgn(x2 − 3x).
Uwaga: funkcja sgn(x) (znak x) przyjmuje wartość +1 dla x > 0, 0 dla
x = 0 i −1 dla x < 0.
Matematyka – Lista 2
3
Matematyka
Lista 2
1. Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę):
3
√
,
3
3
− 21
4
,
9
5
3
8 ,
2. Która z liczb jest większa:
− 32
100
√
√
2
− 14
,
3
4
czy
√ √
3
2 · 4,
,
√
√
1
√
,
3
5
q
√
3
9
3.
2
3 ?
3. Rozwiązać równania wykładnicze:
(a) 42x+1 = 85x−2 , (b) 7·3x+1 −5x+2 = 3x+4 −5x+3 , (c) 2x ·42x ·83x = 128,
x−1
1
x 2x
x x
x2 +4
x
−x
(d) (3 ) ·(81 ) = 9
, (e) 5 −25·5 = 24, (f)
= 92x .
3
4. Rozwiązać nierówności:
3
(b) |2x − 2−x | ≤ ,
2
(a) 34x−2 < 92−x ,
(d) 2x+2 −2x+1 ≤ 2x−2 −2x−1 ,
(c) x2 2x + x 2x−1 > 0,
(e) 4x +8 < 6·2x ,
(f) 32x−1 −3x−1 ≥ 2.
5. Dla jakich x wyrażenie 1/(2x + 2−x ) przyjmuje wartości z przedziału
(−1, 2/5)?
6. Obliczyć lub uprościć:
log 1 36,
6
log2
log6 2 + log6 18,
√
8,
log5 9log3 5 ,
log3 2 − log9 2,
log√5 125,
ln 2 + log2 e,
log 4
3
27
,
64
log 1 eln 2
2
3
,
log 1 3 + log4 3 + log8 3.
2
(Uwaga: e ≈ 2, 718... jest liczbą Eulera (Napiera); ln x = loge x )
7. Która z liczb jest większa: log2 a czy log3 a?
8. Częstość występowania określonej pierwszej cyfry w wielu rzeczywistych danych statystycznych wykazuje regularność nazywaną prawem
Benforda. Prawdopodobieństwo wystąpienia cyfry k, k = 1, . . . , 9, to
Pk = log10 ((k + 1)/k).
Rozkład Benforda jest stosowany do sprawdzania poprawności zeznań
podatkowych bądź defraudacji, gdyż ludzie wpisując liczby tak, żeby
wydawały się przypadkowe, nie są świadomi, że pewne cyfry występują
częściej na pierwszej pozycji.
(http://www.mimuw.edu.pl/delta/artykuly/delta2010-12/fenomen.pdf)
Wyznacz częstotliwości występowania cyfr na pierwszej pozycji sugerowane przez prawo Benforda.
9. Jaki dochód przyniesie po 4 latach lokata w wysokości 1000 zł oprocentowana w wysokości 6% rocznie, jeżeli odsetki dopisywane są raz w
roku? O ile zmieni się dochód, jeżeli kapitalizacja jest miesięczna?
Matematyka – Lista 2
4
10. Nominalne oprocentowanie lokaty wynosi 6% w stosunku rocznym. Jakie jest oprocentowanie efektywne, jeżeli odsetki dopisywane są co miesiąc?
11. Wpłacasz do banku 100 zł w formie lokaty długoterminowej ze stałym
oprocentowaniem 6% w stosunku rocznym. Po jakim czasie wartość
lokaty przekroczy 1000 zł, gdy odsetki dopisywane są:
(a) raz w roku, (b) co miesiąc.
12. Oprocentowanie lokaty wynosi r · 100% w stosunku rocznym. Wyznaczyć efektywne oprocentowanie lokaty rocznej przy kapitalizacji:
(a) miesięcznej, (b) dziennej, (c) n razy w roku w równych odstępach
czasu.
13. Rozwiązać równania:
(b) ln2 x+3 ln x = 4,
(a) log3 (x+1) = 2,
(c) log2 x+log8 x = 12,
(e) logx 2 − log4 x +
(d) log5 x + log5 (x + 5) = 2 + log5 2,
7
= 0.
6
14. Rozwiązać nierówności:
1
(a) log3 x < − ,
3
(b) log 1 x ≤ 2,
2
(d) log 1 x + 2 log 1 (x − 1) ≤ log 1 6,
3
9
(c) log2 x ≥ log2 x2 ,
x−1
> 0,
x+1
(g) |3 − log2 x| < 1.
(e) log2 log3
3
(f) log2 (x − 1) − 2 log(x − 1) > 0,
15. Dla jakich wartości m równanie x2 − 2x + log0.5 m = 0 ma dwa różne
pierwiastki.
16. Rozwiązać układy:
y
2 log3 x − log3 y = 2
xy = 36
x =9
(a)
, (b)
, (c)
.
1
10y−x = 100
xlog3 y = 16
y = log3 x + 1
17. Naszkicować wykresy funkcji:
(a) y = |3x − 3|,
(e) y = log3 (x−1),
(b) y = 2−x ,
(f) y = ln |x|,
(c) y = 2x+|x| ,
x2
(d) y = 2 |x| ,
(g) y = log2 (2x),
(h) y = logx 2.
18. Czym różnią sie wykresy funkcji y = log3 x2 i y = 2 log3 x ?
Wskazówki i odpowiedzi do√zadań
√
3. a) 8/11, b) −1, c) 1/2, d) − 2, 2, e) 2, f) 1/5. 4. d) ∅, e) (1, 2), f)
[1, ∞). 9. 1000 · (1.06)4 , 1000 · (1.005)48 . 10. [(1.005)12 − 1] · 100%. 11. a)
l: 100 · (1.06)l > 1000, b) m: 100 · (1.005)m > 1000,. 12. a) (1 + r/12)12 − 1,
365
b) (1 + r/365)
− 1, c) (1 + √
r/n)n − 1. 13. a) 8, b) e−4 , e, c) 29 , d) 5,
√
3
e) 8, 1/ 4. 14. a) x ∈ (0, 1/ 3 3), b) x ≥ 1/4, c) x ∈ (0, 1), d) x ≥ 3, e)
x ∈ (−2, −1). 16. a) x = 3, y = 1 lub x = 6, y = 4, b) x = 9, y = 4 lub
x = 4, y = 9, c) x = 3, y = 2 lub x = 1/9, y = −1.
Matematyka – Lista 3
5
Matematyka
Lista 3
1. Dla następujących macierzy:
A=
2 0 −1
0 1
1
B=
1 2 1
−1 0 1

,

0
1
2 
C= 2
1 −1
wykonać te działania A + B, A − C, 2A − 3B, A − B + C, AC, CA,
AT , C T , A − C T , C T B T , (AT + C)T , (C − B T )A, ABC, ACB, CAT B,
które są poprawne.
2. Obliczyć wyznaczniki:
−3
2
(a) 8 −5
,
1 1 1
(b) 1 2 3
1 3 6
3. Stosując rozwinięcie Laplace’a obliczyć
3 2 0
3 −2
0 5 0 3 2
−2
1
−2
2
, (b) 0 0 3
(a) 5 0 0 −2
0 0 0
5
0
3 4
2 0 0
,
2 1 0 (c) −1 0 0 .
−2 1 2 wyznaczniki:
2
0 0 7 −1 3 2 0
0 0 0
1 0 1 2 0 , (c) −2
0
7 0 2 .
3 2 4 5 3 −3 −2
1
0 3 0
0 0 1 4. Stosując operacje elementarne na wierszach i kolumnach obliczyć:
4
1
2
1
1
0
1
−1
1 −1 0 1 −1 0 2 2
1
−1
2
, (c) ,
3 5 , (b) (a) 2
3
0 1 3 −1
2
1
3 −4
0 6
2
3 −1
2 0 3 4
0 1
2
2 −1
0
3 7 −1 3 2 2
0
4
5
1 −6 2
1 3 1 3
0 −2 , (e) −2
4
7 2 2 .
(d) −1 −2
−2 −2
1 −1
1 4 5 3 −3 −2
2
1
4 −2
0
3 2
0 1 1 5. Znaleźć macierze odwrotne do podanych (sprawdź, czy



2 7 3
2
2 3



3 9 4 , (c)
−1
(a)
, (b)
1 2
1 5 3
−2
6. Rozwiązać równania macierzowe:
−1
1
−2 −1
(a) X·
=
,
3 −4
3
4
(c)
0
3
5 −2
−1
+ 4X
=
1 2
3 4
(b)
,
AA−1 = I):

1 0
0 0 .
1 2
3 1
1 3
3 3
·X·
=
,
2 1
1 2
2 2
(d) 3X+
1 3
−2 1
=
5 6
·X.
7 8
Matematyka – Lista 3
6
7. Dla jakich wartości parametru p są układami Cramera:

 px + 3y + pz = 0
(p + 1)x −
py = 1
+ 2z = 3 .
(a)
, (b) −px
2x + (p − 1)y = 3p

x + 2y + pz = p
8. Korzystając ze

 x +
2x +
(a)

3x +
wzorów Cramera rozwiązać układ

2y + 3z = 1
 x + 2y + 3z = 14
3y + z = 3 , (b)
4x + 3y − z = 7 .

y + 2z = 2
x − y + z = 2
9. Stosując wzór Cramera obliczyć niewiadomą y z układu:
(a) 3x + 7y + 2z + 4t = 2y + z = 5x + 3y + 2z = x + 4y + z − 1 = 0,
(b) x+2y −4 = 3y +4z −6 = 5z +6s = 7s+8t = x+y +z +s+t−2 = 0.
10. Rozwiązać układy metodą macierzy odwrotnej:
(a) 2x − y

 x
2x
(c)

3x
= 3, 3x + y = 2 , (b) x + 2y = 0, 2x − y = 5,

+ y + z = 5
4
 x + y + z =
+ 2y + z = 3 , (d)
2x − 3y + 5z = −5 .

+ 2y + z = 1
−x + 2y − z =
2
11. Układy równań z zadań 8 – 10 rozwiązać metodą eliminacji Gaussa.
12. Rozwiązać układy równań liniowych metodą eliminacji Gaussa.

 3x + 4y + z + 2t = 3
6x + 8y + 2z + 5t = 7 ,
(a)

9x + 12y + 3z + 10t = 13

 3x − 5y + 2z + 4t = 2
7x − 4y + z + 3t = 5 ,
(b)

5x + 7y − 4z − 6t = 3

 3x − 2y + 5z + 4t = 2
6x − 4y + 4z + 3t = 3 ,
(c)

9x − 6y + 3z + 2t = 4

3x + 2y + 2z + 2t = 2




 2x + 3y + 2z + 5t = 3
9x + y + 4z − 5t = 1 ,
(d)


2x + 2y + 3z + 4t = 5



7x + y + 6z − t = 7

2x − y + z + 2t + 3u = 2



6x − 3y + 2z + 4t + 5u = 3
(e)
.
6x − 3y + 4z + 8t + 13u = 9



4x − 2y + z + t + 2u = 1
Matematyka – lista 4
7
Matematyka
Lista 4
1. Podać wyraz a3 , an+1 , a2n gdy:
n2
(a) an =
,
n+1
(b) an = (−1)
n+1
n
2
,
3
(c) an =
1
1
1
+
+· · ·+ .
n n+1
2n
2. Zbadać monotoniczność ciągu:
(a) an = −2n + 7,
(b) bn = (−1)n n,
(c) cn = 1 − 2/n.
3. Wyznaczyć wyraz ogólny ciągu arytmetycznego oraz sumę S20 dwudziestu początkowych wyrazów gdy:
(a) a3 = 3, a12 = 21,
(b) a1 + a2 + a3 = 18, a21 + a22 + a23 = 116.
4. Obliczyć sumę wszystkich liczb trzycyfrowych podzielnych przez 3.
5. Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Długość najkrótszego boku jest równa p. Obliczyć pole tego trójkąta, pole
koła opisanego na tym trójkącie oraz pole koła wpisanego w ten trójkąt.
6. Wyznaczyć wyraz ogólny ciągu geometrycznego oraz sumę S20 dwudziestu początkowych wyrazów gdy:
(a) a3 = 54, a6 = 2,
(b) iloraz q = 1/2 oraz S7 = 127/16.
7. Zamienić na ułamek zwykły (a) 1.888 . . . , (b) 0.313131 . . ..
8. Rozwiązać równanie x2 − x3 + x4 − · · · = 1/2.
9. W okrąg o promieniu r wpisujemy kwadrat. W ten kwadrat wpisujemy
okrąg. Powtarzamy tę operację uzyskując nieskończony ciąg okręgów i
kwadratów. Obliczyć sumę pól tych kwadratów.
10. Obliczyć granice ciągów:
n6 − n2
n4 − n + 2
2n2 − n + 1
,
(b)
b
=
,
(c)
c
=
,
(a) an =
n
n
3n − n2 + 2
n7 + 3
2n3 + 3
√
√
√
3
3
(d) dn = n2 + 1 − n2 − 1,
(e) en = n( n2 + 2 − n),
n
n
3n + 2n
2
1
,
(g) gn = 1 +
(f) fn = n
,
(h) hn = 1 −
,
3 − 2n
n
n
1 + 2 + ··· + n
,
1 + 2 + · · · + 2n
√
(k) kn = n 3n + 2n ,
(i) in =
1
2
n
+ 2
+· · ·+ 2
,
+1 n +1
n +1
1
1
1
(l) ln = 2
+ 2
+···+ 2
.
n +1 n +2
n +n
(j) jn =
n2
11. Oprocentowanie lokaty wynosi r · 100% w stosunku rocznym. Wyznaczyć efektywne oprocentowanie lokaty rocznej przy kapitalizacji ciągłej
(graniczny przypadek kapitalizacji n razy w roku w równych odstępach
czasu, gdy n → ∞ ). Jakie jest efektywne oprocentowanie po czasie t
lat (t ≥ 0) przy kapitalizacji ciągłej?
Matematyka – lista 4
8
12. Obliczyć granice przy x → +∞ oraz przy x → −∞ dla funkcji f (x):
(a) x7 −x4 +x,
(e)
(b)
√
x2 + 2−x,
x3 − 2
,
(x2 + 1)(x + 3)
(f)
(c)
√
3
√
x + 3− 3 x − 1,
x2
− x + 2,
x+1
(g)
(d)
|x|
,
x+1
x3
x2
−
.
3x2 − 4 3x + 2
13. Obliczyć (gdy istnieją) granice:
x2 − 9
(a) lim
,
x→−3 x + 3
x3 − 1
(b) lim 2
,
x→1 x − 1
√
x−1
(c) lim
,
x→1 x − 1
√
x+1
(d) lim
.
x→0
x
14. Na stożku o promieniu podstawy r i wysokości x opisano kulę. Niech
R(x) oznacza jej promień. Obliczyć granicę limx→0+ R(x), limx→∞ R(x).
Czy można podać te granice nie wyznaczając funkcji R(x)?
15. Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji:
2x3 + 2
(a) y = 3
,
x + x2
|x2 − 1|
(b) y = 2
,
x −2
x3 + 8
(c) y = 2
,
x −4
r
(d) y =
1
1− .
x
16. Zbadać ciągłość funkcji:
(a) f (x) = |x − 2|,
(b) f (x) =
x2 − 2x − 3
.
x(x − 1)(x − 3)
17. Dobrać parametry a, b ∈ R tak, aby podana funkcja f (x) była ciągła:
bx + 3
: x < 1,
x
: |x| ≤ 1,
(a) f (x) =
(b) f (x) =
2
2
2x + x + a : x ≥ 1,
x + ax + b : |x| > 1.
18. Wykazać, że każde z poniższych równań ma pierwiastek:
√
(a) x3 + x = 3,
(b) x3 + x = 3 (dokładnie jeden),
√
(c) x + 3 = x2 + x − 2,
(d) x3 + 3x2 = 3 (dokładnie trzy).
19. Uzasadnić, że równanie x4 + x = 5 ma dokładnie jeden pierwiastek
dodatni. Obliczyć na kalkulatorze ten pierwiastek z dokładnością 0.05.
Wskazówki i odpowiedzi do zadań
2. a) &, b) nie monoton., c)%. 3. a) a1 = −1, r = 2, b) r = 2, a1 = 4 lub
r = −2, a1 = 8. 4. S300 = ((102 + 999)/2)300 = 165150. 5. 2p2 /3, 5p/6,
p/3. 6. a) a1 = 486, q = 1/3, b) a1 = 4. 7. a) 17/9, b) 31/99. 8. x = −1/2.
9. 4r2 10. a) −2, b) 0, c) +∞, d) 0, e) 1, f) 1, g) e2 , h) 1/e, i) 1/4, j) 1/2,
k) 3, l) 0. 11. er − 1; ert − 1. 12. a) +∞, −∞, b) 0, +∞, c) 0, 0, d) 1, −1,
e) 1, 1 f) 1, 1, g) 2/9, 2/9. 13. a) −6, b) 3/2, c) 1/2, d) nie√istnieje. √
14.
∞, ∞. 15. a) y = 2 w ±∞, x = 0, b) y = 1 w ±∞, x = − 2, x = 2,
c) y = x w ±∞, x = 2, d) y = 1 w ±∞, x = 0 lewostr. 17. a) b = a, b)
a = 1, b = −1.
Matematyka – lista 5
9
Matematyka
Lista 5
1. Znaleźć przyrost ∆y funkcji y = x2 /2 przy x = 2 zakładając przyrost
∆x zmiennej niezależnej x równy (a) 0.5, (b) −0.2. Wykonać odpowiedni rysunek.
2. Wyznaczyć przyrost ∆y i iloraz różnicowy ∆y/∆x odpowiadające przyrostowi ∆x argumentu x dla funkcji: (a) y = ax+b, (b) y = 1/(2x+1).
Wyznaczyć pochodną funkcji y = y(x) jako granicę ilorazu różnicowego.
3. Obliczyć pochodne funkcji:
(a) y = ax3 +
(d) y =
√
5
x2 ,
(h) y = x3 ex ,
2
b
+ c,
x
(e) y =
(i)
3
,
3x − 2
√
3
x
√ ,
(g) y =
1− 3x
√
(k) y = x2 − 4,
(b) y = 9x7 + 3x−5 − 3x−11 ,
√
3
x+1
,
x−1
x(ln x−ex ),
5
(l) v = (4z −5z +13) ,
(c) y =
(f) (x − 2) ln x,
(j)
x2 − ln x
,
ex + x
4
(m) s = 2 7t − + 6
t
2
6
,
(n) y = 5e2x ,
5
(o) y = 5x + 2x , (p) y = 3x x3 , (r) y = ln ln x, (s) y = ln
,
x−2
r
√
1+t
(t) s = ln
, (u) y = arctg(3x), (w) y = arctg(x− x2 + 1).
1−t
4. (a) W jakim punkcie styczna do linii y = (x − 8)/(x + 1) tworzy z osią
Ox kąt równy połowie kąta prostego?
(b) Znaleźć na linii y = ex punkt, w którym styczna jest równoległa do
prostej x − y + 7 = 0.
(c) Jaki związek powinien zachodzić pomiędzy współczynnikami równania paraboli y = x2 + px + q, aby ta parabola była styczna do osi
odciętych?
(d) W jakim punkcie krzywej logarytmicznej y = ln x styczna jest równoległa do prostej y = 2x ?
5. Korzystając z różniczki obliczyć przybliżoną wartość:
(a)
√
3
63,
(b) e−0.07 ,
1
(c) √
,
3.98
(d) ln 0.9993.
6. Wykazać prawdziwość nierówności:
(a) x > ln(1+x), x > 0,
(b) ex ≥ x+1,
(c) 2x arctg x ≥ ln(1+x2 ).
7. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji:
√
(a) y = x(3 − 2 x), (b) y = x/(1 + x2 ), (c) y = 2x3 − 12x + 5.
Matematyka – lista 5
10
8. Wyznaczyć przedziały wypukłości, wklęsłości oraz punkty przegięcia
funkcji:
(a) y = x3 −3x2 , (b) y = x/(1+x2 ), (c) y = arctg x, (d) y = x+1/x.
9. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji:
(a) y = x3 + 12x2 + 36x − 50,
√
(b) y = x 1 − x,
(c) y = x2 +
1
.
x2
10. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale:
(a) y = x4 −2x2 +5 w [−2, 2],
(b) y = 1−24x+15x2 −2x3 w [−1, 3].
11. Zbadać przebieg zmienności funkcji:
3
2
(a) y = x + 3x − 9x − 2,
x2 − 3
(b) y =
,
x−2
ln x
(c) y = √ .
x
12. Liczbę 20 rozłożyć na sumę takich dwóch składników dodatnich, których suma kwadratów jest najmniejsza.
13. W kulę o promieniu R wpisano walec. Obliczyć przy jakiej wartości
promienia r podstawy walca pole jego powierzchni bocznej S będzie
największe.
Wskazówki i odpowiedzi do zadań
√
5
2
x3 ),
3. a) 3ax2 − b/x2 , b) 63x6 − 15x−6 + 33x−12
,
c)
−9/(3x
−
2)
,
d)
2/(5
√
√
2
2
2
x
2
3
3
e) −2/(x − 1) √, f) (x −√2)/x + ln x, g) 1/(3( x) (1 − x) ), h) x (x + 3)e , i)
3
(ln x − ex )/(3 x2 ) +√3 x(1/x − ex ), j) ((2x − 1/x)(ex + x) − (x2 − ln x)(ex +
1))/(ex + x)2 , k) x/ x2 − 4, l) 5(4z 2 − 5z + 13)(8z − 5), m) 12(7t2 − 4/t +
6)5 (14t + 4/t2 ), n) 10e2t , o) 5x ln 5 + 2x ln 2, p) (3x ln 3) · x3 + 3x · 3x2 , r)
(1/ ln x) · (1/x) s) −1/(x − 2), t) 1/(1 − t2 ), u) 3/(1 + 9x2 ), w) 1/2(x2 + 1).
4. a) (−4, 4) lub (2, −2), b) (0, 1), c) y = 0, y 0 = 0: p2 + 4q = 2, d)
(2, ln 2). 5. a) 4 − 1/48, b) 1 − 0.07, c) 1/2 + 1/800, d) −0.0007. 6. a)
Niech f (x) = x − ln(1 + x) dla x ∈ [0, ∞); f 0 (x) = x/(1 + x) > 0 dla
x > 0, czyli f (x) rosnąca na [0, ∞); f (0) = 0 więc f (x) > 0 dla x > 0. b)
Niech f (x) = ex − (x + 1) dla x ∈ R; f 0 (x) = ex − 1, stąd f (x) malejąca
na (−∞, 0] i rosnąca na [0, ∞); fmin = f (0) = 0, więc f (x) ≥ 0 dla x ∈ R.
c) jak b). 7. a) %: x ∈ [0, 1], &: √x > 1, √
b) %: x ∈ [−1, 1],√&:√na
x < −1 i na x > 1, c) %: na (−∞, − 2 i na ( 2, ∞), &: x ∈ [− 2, 2].
8. a) ^: (1, ∞), _: (−∞, 1), pp: x = 1, b) ^: (−∞, 0), _: (0, ∞),
pp: x = 0, c) ^: (0, ∞), _: (−∞, 0), pp: x = 0. 9. a) ymax = y(−6),
ymin = y(−2), b) ymax = y(2/3), c) ymin = y(−1), ymin = y(1). 10. a)
max: y(−2) = y(2) = 13, min: y(−1) = y(1) = 4, b) max: y(3) = 10, min:
y(1) = −10. 12. 10 +
odpowiedniej
√
√10; wyznaczyć jako wartość największą
2
2
funkcji. 13. S = 4πr R − r osiąga max dla r = R/ 2.
Matematyka – lista 6
11
Matematyka
Lista 6
1. Obliczyć całki nieoznaczone:
Z
Z
√
3
x(x−1)(x−2)dx,
(a) (3x +2 x−1)dx, (b)
Z
(c)
x+3
dx,
x2
√
Z 2
Z 3
Z
23x−3
x +2
x +8
x2
(d)
dx, (e)
dx, (f)
dx,
dx, (g)
x
x2 + 1
x2
x3 + 8
Z
Z x
Z 2 √
x − x
e − 2x
2
2
√
(h) (9x − x + 1) dx, (i)
dx,
(j)
dx.
3
5x
x
Z
2. Obliczyć całki całkując przez części:
Z
Z
Z
−3x
(a)
xe dx, (b)
ln x dx, (c)
x2 ex dx,
Z
(e)
ln x
dx, (f)
x2
√
Z
x ln x dx, (g)
(d)
x2
xe dx,
Z
(e)
4. Obliczyć całki:
Z
dx
(a)
,
x2 + 2x + 8
Z
3x dx
(d)
,
(x − 2)(x + 1)
x
dx,
4
x +1
Z
(b)
Z
(e)
x ln x dx,
(d)
Z
Z
(ln x)2 dx.
arctg x dx, (h)
3. Obliczyć całki całkując przez podstawienie:
Z √
Z
2
(a)
x x + 1 dx, (b) (5 − 3x)10 dx,
Z
Z
Z
(f)
x(x + 2) dx
,
x2 + 2x + 2
4 dx
,
2
x + 2x − 3
Z √
(c)
a + bx dx,
ln2 x
dx,
x
Z
(g)
x2 dx
,
x2 + 2x + 5
Z
(c)
Z
(f)
5. Obliczyć całki oznaczone:
Z 2
Z 1
3x − 1
dx, (b)
(x3 − x + 1)dx,
(a)
3x
+
1
0
−1
ln x
dx.
x
(x2
Z
4 dx
.
+ 1)(x − 1)
2
|x|dx.
(c)
−1
6. Wyznaczyć wzór na prędkość v(t) i drogę s(t) w ruchu prostoliniowym
ze stałym przyspieszeniem a(t) = a, gdy v(0) = v0 i s(0) = s0 .
7. Obliczyć całki stosując podstawienie:
Z 4
Z 1
dx
ex
2
√ , x=t
(a)
(b)
dx,
2x + 1
x
0 1+
0 e
8. Obliczyć całkując przez części:
Z 2
Z 1
−x
(a)
xe dx, (b)
x2 arctg xdx,
0
0
Z
−2
(c)
−3
Z e
(c)
1
dx
.
x2 + 2x + 1
ln x
x
2
dx.
Matematyka – lista 6
12
9. Obliczyć pole obszaru ograniczonego
(a) parabolą y = 2x − x2 i prostą x + y = 0,
(b) parabolami y = x2 , y 2 = x,
(c) krzywą y = ln x, osią 0x i prostą x = e,
(d) krzywą y = (1 − x2 )5 i osiami układu,
(e) krzywymi y = 4/x, y = x, y = 4x.
10. W jakim stosunku parabola y 2 = 2x dzieli pole koła x2 + y 2 ≤ 8?
11. Punkt materialny o masie m porusza się po linii prostej z prędkością v =
(12t − t2 ) m/s. Jaką drogę przebędzie ten punkt od chwili początkowej
do chwili gdy prędkość będzie 0?
12. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót wokół osi Ox krzywych:
(a) y = ln x, 0 ≤ x ≤ e,
(b) y = √
1
, 3 ≤ x ≤ 4.
x2 − 3x + 2
13. Obliczyć długość krzywej:
(a) 9y 2 = 2x3 , 0 ≤ x ≤ 2,
1
(b) y = ln(1 − x2 ), 0 ≤ x ≤ .
2
14. Obliczyć pole powierzchni powstałej z obrotu łuku paraboli y 2 = 4x
dla 0 ≤ x ≤ 3 dokoła osi Ox oraz objętość bryły ograniczonej tą
powierzchnią i płaszczyzną x = 3.
15. Obliczyć pole powierzchni powstałej z obrotu łuku hiperboli y = 1/x
dla 1 ≤ x ≤ a dokoła osi Ox oraz objętość bryły ograniczonej tą powierzchnią. Gdy a → +∞, to tę nieograniczoną powierzchnię nazywa
się trąbka Torricellego. Pokaż, że powierzchnia trąbki jest nieskończona, a jej objętość skończona. Wypełniając tę trąbkę farbą pomalujemy nieskończoną wewnętrzną powierzchnię za pomocą skończonej
ilości farby. Wyjaśnij ten paradoks.
16. Posługując się całką oznaczoną wyprowadzić wzór na objętość kuli
i pole powierzchni sfery o promieniu r.
Wskazówki i odpowiedzi do zadań
√
1. a)√(3/4)x4 + (4/3)x x − x + c, b) x4 /4 − x3 + x2 + c, c) ln x − 3/x + c,
3
+ 8) + c, h) 81/5x5 −
d) 6 3 x − 3 ln x + c; e) x − arctg x + c,√g) (1/3) ln(x
√
3
6
4
3
2
8
7
18/4x + 19/3x − x + x + c, i) 3/8 x − 6/7 x . 2. a) −e−3x (3x +
1)/3 + c, b) x ln x − x + c, c) x2 (2 ln x − 1)/4 + c, d) −(1 + ln x)/x + c, e)
2
x arctg x−(1/2) ln(x2 +1)+c,
f) x(ln x)2 −2x ln x+2x+c. 3. a) ex /2+c, b)
√
2
11
−(5−3x)
/33+c, c) ( x2 + √
1)3 /3+c, d) (ln x)√
/2+c, e) (1/2)arctg(x2 )+c, f)
√
2( a + bx)3 /3b+c. 4. a) (1/ 7)arctg((x+1)/ 7)+c, b) x−2arctg(x+1)+c,
c) x − ln(x2 + 2x + 5) − (3/2)arctg((x + 1)/2) + c, d) 2 ln |x − 2| + ln |x + 1| + c,
e) ln |x − 1| − ln |x + 3| + c, f) 2 ln |x − 1| − ln(x2 + 1) − 2arctg(x) + c. 5. a)
2 − (2 ln 7)/3, b) 2, c) 5/2. 6. v(t) = at + v0 , s(t) = at2 /2 + v0 t + s0 . 7. a)
4 − 2 ln 3, b) artctg e − π/4, c) 1/2. 8. a) 1 − 3/e2R, b) π/12 − (1 − ln 2)/6,
12
c) 2 − 5/e. 9. a) 9/2, b) 1/3, c) 1, d) 1/3. 11. s = 0 (12t − t2 )dt = 288 m.
√
13. a) 8(2 2 − 1)/3, b) ln 3 − 1/2. 14. D = 56π/3, V = 18π.
Matematyka – lista 7
13
Matematyka
Lista 7
1. Zbadać przekroje wykresów funkcji z = z(x, y) i na tej podstawie naszkicować te wykresy:
(a) 3x + 2y + z − 6 = 0, (b) z 2 = x2 + y 2 , (c) z = x2 + y 2 , (d) z = xy.
2. Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego i drugiego funkcji:
(a) z = xy,
(b) z = xexy ,
(c) z = x2 y + ln(xy).
3. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji z = z(x, y):
(a) z = x2 + xy + y 2 − 2x − y,
(b) z = x3 y 2 (6 − x − y).
4. Znaleźć maksimum funkcji (funkcji produkcji Cobba-Douglasa) u(x, y) =
√
xy = x1/2 y 1/2 opisującej wartość produkcji, w przypadku gdy wielkości x i y spełniają warunek 7x + 3y = 84.
5. Znaleźć najmniejsze i największe wartości funkcji z = z(x, y) w podanym obszarze:
(a) z = x2 + 2xy − 4x + 8y w obszarze D : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2,
(b) z = x3 + y 2 − 3x − 2y − 1 w obszarze D : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1,
(c) z = x2 − xy + y 2 w obszarze D : |x| + |y| ≤ 1.
6. Wyznaczyć odległość punktu A = (0, 3, 0) od powierzchni y = zx.
7. Liczbę dodatnią a przedstawić w postaci sumy takich trzech liczb dodatnich, aby ich iloczyn był największy.
8. Prostopadłościenny magazyn ma mieć objętość V = 64 m3 . Do budowy
ścian magazynu używane są płyty w cenie 30 zł/m2 , do budowy podłogi
w cenie 40 zł/m2 , a sufitu – 20 zł/m2 . Znaleźć długość a, szerokość b i
wysokość c magazynu, którego koszt budowy będzie najmniejszy.
9. Całkowity roczny dochód ze sprzedaży dwóch towarów wyraża funkcja D(x, y) = 400x − 4x2 + 1960y − 8y 2 , gdzie x i y oznaczają ilość
sprzedanych w ciągu roku sztuk każdego z towarów. Koszt produkcji
x sztuk towaru pierwszego i y sztuk towaru drugiego jest następujący:
K(x, y) = 100 + 2x2 + 4y 2 + 2xy. Wyznaczyć ilość sztuk każdego z
towarów wyprodukowanych i sprzedanych, dla których osiągany jest
maksymalny zysk. Podać wartość tego zysku oraz wartość odpowiadającego mu kosztu i dochodu.
10. Znaleźć ekstrema funkcji uwikłanej y = f (x) określonej równaniem:
(a) x2 + y 2 − 8x − 4y + 19 = 0, (b) y 3 + 2xy + x2 = 0, (c) x3 + y 3 = 3xy,
(liść Kartezjusza), (d) (x2 +y 2 )2 = 2(x2 −y 2 ) (lemniskata Bernoulliego).
11. Znaleźć ekstrema funkcji uwikłanej z = f (x, y) określonej równaniem:
(a) x2 + y 2 + z 2 − 2x − 2y − 2z + 2 = 0, (b) z 2 + xyx − xy 2 − x3 = 0.
12. Metodą mnożników Lagrange’a wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji
f (x, y) przy danym warunku g(x, y) = 0:
(a) f (x, y) = x2 + y 2 , g(x, y) = xy − 1,
(b) f (x, y) = x3 + y 3 , g(x, y) = x + y − 2, x ≥ 0, y ≥ 0,
(c) f (x, y) = 1/x + 1/y, g(x, y) = 1/x2 + 1/y 2 − 1, x 6= 0, y 6= 0.
Matematyka – lista 7
14
13. Dysponując budżetem w wysokości 4 mln zł, wyznaczyć jakie kwoty
należy przeznaczyć na surowce x i y, aby uzyskać minimalne koszty
produkcji określone zależnością f (x, y) = x2 + y 2 − xy + 3.
14. Rozwiązać równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych:
(a)
2y
dy
= ,
dx
x
(b) 2x2
dy
= y,
dx
(c)
dy
dy
= 2xy 2 − x2 .
dx
dx
15. Znaleźć rozwiązanie r.r. spełniające warunek początkowy y(1) = 0:
(a) (1 + x2 )xy
dy
= 1 + y2,
dx
(b)
dy
= 2xb (y 2 + 1), b ∈ R.
dx
16. W pewnym ruchu stosunek prędkości do przebytej drogi jest wielkością
stałą i wynosi 2. W chwili t = 0 przebyta droga wynosiła x = 2 cm.
Obliczyć przebytą drogę do chwili t = 5 sek.
17. Wyznaczyć równanie linii przechodzącej przez punkt A(2, 3) takiej, że
każdy odcinek stycznej do tej linii zawarty między osiami układu jest
dzielony na połowy przez punkt styczności.
18. Rozwiązać równanie różniczkowe liniowe:
(a)
3y
dy
=
+ x,
dx
x
(b)
dy
+ 2y = e3x ,
dx
(c) x
dy
+ x2 + xy = y.
dx
19. Znaleźć całki szczególne spełniające dane warunki początkowe:
(a) y 0 − y = ex ,
y(0) = 1,
(b) (1 − x2 )y 0 + xy = 1,
y(0) = 1.
Wskazówki i odpowiedzi do zadań
1. a) płaszczyzna; b) stożek; c) paraboloida obrotowa; d) “siodło”. 2. a)
zx = y, zy = x, zxy = zyx = 1, zxx = zyy = 0; b) zx = (xy + 1)exy , zy =
x2 exy , zxy = zyx = (2x + x2 y)exy , zxx = (2y + xy 2 )exy , zyy = x3 exy ; c)
zx = 2xy+1/x, zy = x2 +1/y, zxy = zyx = 2x, zxx = 2y−1/x2 , zyy = −1/y 2 .
3. a) zmin =
√z(1, 0) = −1; b) zmax = z(3, 2) = 108. 5. a) −3, 17; b) −4, −1;
c) 0, 1. 6. 5. 7. a/3+a/3+a/3. 8. a = b = c = 4. 9. x = 20, y = 80. 10.
a) dla x = 4 min y = 1 i max y = 3; b) min y = 1 w x = −1. 11. a)
√ z 6= 1,
w (1, 1) √
min z = 0 i max
z
=
2
na
dwóch
gałęziach;
b)
w
(−6,
6
3) min
√
√
z = −12 3 i w (−6, −6 3) max z √
= 12 √3. 12. a) w (1,
(−1,√−1) min
√1) i w √
=√
2; b) w (1, 1) min = 2; c) w (− 2, − 2) min = − 2, w ( 2, 2) max
= 2. 13. x = y = 2. 14. a) y = Cx2 , b) y = C e−1/2x , c) C(1 + x2 ). 15. a)
1 + y 2 = Cx2 /(1 + x2 ), C = 2, b) y = tg(2xb+1 /(b + 1) + C) i C = −2/(b + 1),
gdy b 6= −1; y = tg ln(Cx2 ) i C = 1, gdy b = −1. 16. v(t) = dx(t)/dt,
v(t)/x(t) = 2; stąd x(t) = Ce2t z C = 2. 17. RR: xy 0 (x) = −y(x); y = C/x
2
z C = 6. 18. a) y = cx3 − x√
, b) y = ce−2x + e3x /5, c) y = cxe−x − x. 19.
a) y = ex (x + 1), b) y = x + 1 − x2 .