PRIME ARRAY, PRIME CIRCLE, PRIME SPIRAL (SPIRALA ULAMA

Aleksandra Myszko
PRIME ARRAY, PRIME CIRCLE, PRIME SPIRAL (SPIRALA ULAMA)
1. PRIME CIRCLE
Koło liczb pierwszych- okrągła permutacja 2n kolejnych liczb naturalnych (od 1 do
2n), w której każde dwie sąsiednie liczby sumują się do liczby pierwszej.
Dla n=1, 2, ... ilości różnych prime circles to odpowiednio: 1, 1, 1, 2, 48, 512, ...
Tabela przedstawiająca permutacje dla pierwszych 4 liczb naturalnych:
2n
prime circles
generowane liczby pierwsze
2
{1, 2}
3
4
{1, ,2, 3, 4}
3, 5, 7, 5
6
{1, 4, 3, 2, 5, 6}
5, 7, 5, 7, 11, 7
8
{1, 2, 3, 8, 5, 6, 7, 4}
{1, 2, 5, 8, 3, 4, 7, 6}
3, 5, 11, 13, 11, 13, 11, 5
3, 7, 13, 11, 7, 11, 13, 7
2. PRIME ARRAY
Prime array jest tablicą m x n pojedynczych cyfr zawierającą maksymalną możliwą ilość
liczb pierwszych, w której dozwolone liczby pierwsze odczytać można w wierszach,
kolumnach lub wzdłuż przekątnych.
np.
Obie macierze generują po 11 liczb pierwszych:
{3, 7, 13, 17, 31, 37, 41, 43, 47, 71, 73} i {3, 7, 13, 17, 19, 31, 37, 71, 73, 79, 97}
zawiera 30 liczb pierwszych.
Najlepsze poznane kwadratowe tablice liczb pierwszych zawierają odpowiednio:
4x4 63 liczby pierwsze
5x5 116
6x6 187
7x7 281
8x8 394
9x9 527
Najlepsza poznana 9-wymiarowa tablica:
Przypuszcza się, że kwadratowe prime arrays dla n=1,2,3, ..., 7 nie zawierają więcej niż 1,
11, 30, 63, 116, 187, i 281 liczb pierwszych.
Istnieją też prime arrays prostokątne, np.
Te pierwsze zawierają po 18, a drugie po 43 liczby pierwsze.
3. SPIRALA ULAMA (PRIME SPIRAL)
Graficzna metoda pokazywania pewnych niewyjaśnionych różnic w rozkładzie liczb
pierwszych zaproponowana przez Stanisława Ulama w 1963 roku. Na kwadratowej tablicy
zaczynając od 1 wypisuje się kolejne liczby naturalne. Na przekątnych będą stosunkowo
często występowały liczby pierwsze. Do tej pory nie wyjaśniono, dlaczego tak jest, ale
zjawisko występuje niezależenie od tego, czy zaczynamy numerację od 1 czy od innej
liczby. Na pewno w jakimś stopniu wynika to z tego, że wszystkie liczby pierwsze oprócz 2
są nieparzyste, a na przekątnych występują na zmiane liczby parzyste i nieparzyste.