Deformacja ciemnego solitonu w kondensacie Bosego – Einsteina

Deformacja ciemnego solitonu w kondensacie Bosego – Einsteina

Uniwersytet Jagielloński
W Krakowie
Wydział Fizyki, Astronomii
i Informatyki Stosowanej
Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego
Deformacja ciemnego solitonu
w kondensacie Bosego – Einsteina
Małgorzata Mochol
Praca magisterska
Opiekun pracy: Prof. dr hab. Krzysztof Sacha
Kraków, 2011
Podziękowania
Chciałabym bardzo podziękować prof. dr. hab. Krzysztofowi Sacha
za poświęcony czas, cierpliwość i pomysły, dzieki którym powstała ta praca,
a także za pomoc, na którą mogłam liczyć podczas naszej współpracy.
Spis treści
Wstęp
4
1 Wprowadzenie
7
1.1
Równanie Grossa – Pitajewskiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2
Ciemne solitony w 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3
Ciemny soliton w pudle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4
Linearyzacja równania Grossa – Pitajewskiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.4.1
Własności operatora L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.4.2
Diagonalizacja operatora L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Liniowa odpowiedź solitonu na potencjał zewnętrzny
13
2 Rozwinięcie w modach Bogoliubova
13
2.1
2.2
Małe fluktuacje wokół ciemnego solitonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.1.1
Mody zerowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.1.2
Mody sprzężone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.1.3
Fonony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.1.4
Rozkład deformacji ciemnego solitonu w bazie zupełnej przestrzeni funkcji
(δφ, δφ∗ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Jądro odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3 Rozwinięcie w modach potencjału Pöschl – Tellera
21
3.1
Wprowadzenie do metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.2
Jądro odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.3
Poprawka do potencjału chemicznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Ciemny soliton w przykładowym potencjale zewnętrznym
3
24
SPIS TREŚCI
SPIS TREŚCI
4 Ciemny soliton w periodycznym potencjale
4.1
4.2
4.3
25
Współczynniki rozwinięcia perturbacji solitonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
4.1.1
Współczynniki rozwinięcia perturbacji solitonu w podejściu Bogoliubova . .
25
4.1.2
Współczynniki rozwinięcia perturbacji solitonu w modach potencjału Pöschl
– Tellera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Poprawka do potencjału chemicznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.2.1
Poprawka do potencjału chemicznego w podejściu Bogoliubova . . . . . . .
30
4.2.2
Poprawka do potencjału chemicznego w metodzie rozwinięcia w mody potencjału Pöschl – Tellera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Deformacja ciemnego solitonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Podsumowanie
34
4
Wstęp
Praca poświęcona jest analizie stacjonarnego ciemnego solitonu w kondensacie Bosego – Einsteina umieszczonego w słabym zewnętrznym potencjale V (x) w jednym wymiarze (1D). Ponieważ
dowolny periodyczny potencjał można rozłożyć na składowe Fouriera, skupimy się następnie na
szczególnym przypadku potencjału zewnętrznego, dla którego: V (x) = −V0 cos(k0 x). Wyniki pracy
mają więc charakter ogólny.
Stan kondensatowy opisany jest równaniem Grossa – Pitajewskiego, którego wyprowadzenie
stanowi wstępną część pracy (punkt (1.1)). Następnie skupimy się na jego szczególnych rozwiązaniach w 1D - solitonach, które są ścisłymi rozwiązaniami nieliniowych równań różniczkowych
cząstkowych. W pracy rozpatrujemy tzw. ciemne solitony opisujące minimum gęstości chmury
atomowej (punkt (1.2)). Ponieważ w rzeczywistości układy, jakimi operujemy mają skończoną
wielkość, to rozpatrzymy w punkcie (1.3) ciemny soliton umieszczony w pudle o boku długości L.
W znalezieniu deformacji, jakiej ulega rozwiązanie solitonowe wykorzystuje się linearyzację równania Grossa – Pitajewskiego, której poświęcona jest kolejna sekcja (1.4).
W pracy zaprezentowane są dwie metody wyznaczenia perturbacji ciemnego solitonu. Pierwsza
bazuje na teorii Bogoliubova ze złamanymi symetriami: U(1) i symetrią translacyjną. W drugiej
natomiast wykorzystuje się dobrze znane stany własne hamiltonianu dla studni potencjału Pöschl
– Tellera o formie ∼ sech(x)2 . Rozdziały 2 i 3 stanowią wprowadzenia do obu metod dla dowolnego
słabego potencjału V (x).
Zestawienie wyników uzyskanych w obu metodach dla potencjału V (x) = −V0 cos(k0 x) oraz
obliczeń numerycznych dla zadanych parametrów np. wielkości potencjału zewnętrznego V0 i wartości parametru k0 pokazuje, że obie metody analityczne dają dokładnie te same wyniki pozostające w świetnej zgodności z obliczeniami numerycznymi, co opisane jest w Rozdziale 4. Rozdział
5 stanowi podsumowanie otrzymanych w pracy wyników.
5
Rozdział 1
Wprowadzenie
1.1
Równanie Grossa – Pitajewskiego
Kondensat Bosego – Einsteina jest gazem N bozonów, które znajdują się w takim samym stanie
kwantowym, zatem całkowitą funkcję falową układu można przedstawić w postaci iloczynu funkcji
jednocząstkowych [1, 2]:
ψ(r~1 , ..., r~N ) = φ0 (r~1 )...φ0 (r~N ).
(1.1.1)
W rzeczywistości jednak istnieją oddziaływania między atomami i powyższa forma funkcji falowej
może być jedynie przybliżeniem rzeczywistego stanu podstawowego układu. Aby znaleźć stan jednocząstkowy, dla którego ψ będzie najlepszym przybliżeniem stanu podstawowego, minimalizujemy
energię układu korzystając z zasady wariacyjnej:
2
D
E Z
g0
~
(1.1.2)
|∇φ0 (~r)|2 + V (~r)|φ0 (~r)|2 + |φ0 (~r)|4 ,
E = ψ|Ĥ|ψ = d3 r
2m
2
R
z warunkiem d3 r|ψ(~r)|2 = N . Ponadto: g0 = 4π~2 a/m, a – długość rozpraszania, V (~r) –
potencjał zewnętrzny, m – masa atomu. Stosując metodę mnożników Lagrange’a i dokonując
wariacji względem φ∗0 otrzymujemy równanie Grossa – Pitajewskiego [1–6]:
−
~2 2
∇ φ0 (~r) + V (~r)φ0 (~r) + g0 |φ0 (~r)|2 φ0 (~r) = µφ(~r),
2m
(1.1.3)
gdzie µ jest mnożnikiem Lagrange’a posiadającym interpretację fizyczną jako potencjał chemiczny.
Można pokazać, że:
µ=
∂E
.
∂N
(1.1.4)
Równanie Grossa – Pitajewskiego poprzez swoją formę jest szczególnym przypadkiem nieliniowego równania Schrödingera, w którym człon nieliniowy pochodzi od oddziaływania atomu
7
1.2. Ciemne solitony w 1D
z potencjałem chmury atomowej proporcjonalnym do jej gęstości g0 |φ0 |2 . W zależności od znaku
długości rozpraszania (efektywnie g0 ) potencjał chmury atomowej może być przyciągający (g0 < 0)
lub odpychający (g0 > 0).
Podobnie do równania Schrödingera, równanie Grossa –Pitajewskiego posiada swoją wersję
zależną od czasu:
i~
1.2
∂φ(~r, t)
~2 2
=−
∇ φ(~r, t) + V (~r)φ(~r, t) + g0 |φ(~r, t)|2 φ(~r, t).
∂t
2m
(1.1.5)
Ciemne solitony w 1D
Ze względu na człon nieliniowy występujący w równaniu Grossa – Pitajewskiego możliwe są
rozwiązania solitonowe, a więc takie, które opisują propagację zaburzeń nie zmieniających kształtu
w czasie. Okazuje się, że nieliniowy człon występujący w równaniu Grossa – Pitajewskiego kompensuje dyspersję, dzięki czemu swobodny pakiet falowy nie ulega rozmyciu i zachwowuje swój
pierwotny kształt [7].
Rozważmy równanie Grossa – Pitajewskiego w 1D z odpychającymi oddziaływaniami między
atomami (g0 > 0):
i~
∂φ0
~2 ∂ 2 φ 0
=−
+ g0 |φ0 |2 φ0 .
∂t
2m ∂x2
Posiada ono rozwiązanie analityczne postaci [2, 5]:
"
r
q̇ 2
q̇
√
−iµ0 t/~
ρ0 i + 1 − 2 tanh
φ0 (x, t) = e
s
s
x−q
ξ
(1.2.1)
r
q̇ 2
1− 2
s
!#
,
(1.2.2)
p
gdzie ρ0 – gęstość kondensatu z dala od solitonu, µ0 = ρ0 g0 – potencjał chemiczny, s = ρ0 g0 /m –
√
prędkość zaburzeń długofalowych w kondensacie (prędkość dźwięku), ξ = ~/ mρ0 g0 – długość
zabliźnienia. Rozwiązanie to opisuje tzw. ciemny soliton będący minimum gęstości zlokalizowany
wokół q i poruszający się z prędkością q̇ ≤ s.
W pracy rozważać będziemy stacjonarny soliton, a więc taki, dla którego q̇ = 0. Wtedy:
x−q
−iθ √
φ0 (x, t) = e
ρ0 tanh
,
(1.2.3)
ξ
gdzie θ – globalna faza funkcji falowej.
√
Wprowadźmy jednostkę energii µ0 = gρ0 oraz długości ξ = ~/ mg0 ρ0 . Wtedy:
φ′0 =
p
ξφ0
x
x′ =
ξ
µ
′
µ = ,
µ0
8
(1.2.4)
(1.2.5)
(1.2.6)
1.3. Ciemny soliton w pudle
a więc stacjonarne równanie Grossa – Pitajewskiego można przepisać uwzględniając powyższe
jednostki w formie:
1
1 ′ 2 ′
− ∂x2′ +
|φ0 | φ0 = µ′ φ′0 .
2
ρ0 ξ
(1.2.7)
W dalszej części pracy będziemy pomijać znak ′ pamiętając o wprowadzonych jednostkach.
1.3
Ciemny soliton w pudle
Umieszczamy ciemny soliton w pudle o boku długości L poprzez nałożenie na rozwiązanie
solitonowe warunków brzegowych, aby znikało na ścianach pudła, co oznacza, że φ0 (x = 0) = 0
oraz φ0 (x = L) = 0. Wtedy funkcja falowa przybiera postać [8]:

√


−e−iθ ρ0 ξ tanh x



√
φ0 (x) =
e−iθ ρ0 ξ tanh (x − q)




 e−iθ √ρ ξ tanh (L − x)
0
x < xL ,
(1.3.1)
xL < x < xR ,
xR < x.
1
0.5
0
-0.5
-1
0
xL
q
xR
L
√
Rysunek 1.1: Funkcja f0 (x) = φ0 (x)/e−iθ ρ0 ξ przedstawia rozwiązanie solitonowe w pudle z warunkami znikania funkcji falowej na brzegach pudła.
Zakładamy również, że szerokość solitonu jest dużo mniejsza od rozmiarów pudła. Szerokość
solitonu jest scharakteryzowana przez długość zabliźnienia, co odpowiada warunkowi 1 ≪ L (w
naszych jednostkach długość zabliźnienia wynosi 1). Ponadto położenie solitonu q jest oddalone
od ścian pudła tak, że spełniona jest relacja 0 ≪ q ≪ L. Warto również zauważyć, że zarówno
położenie solitonu q, jak i globalna faza θ są wielkościami dowolnymi, a więc stacjonarne rozwiązanie
9
1.4. Linearyzacja równania Grossa – Pitajewskiego
solitonowe jest zdegenerowane ze względu na te wielkości. Wykres funkcji falowej φ0 (x) przedstawia
Rysunek 1.1.
1.4
Linearyzacja równania Grossa – Pitajewskiego
Linearyzacja równania Grossa – Pitajewskiego jest ważnym narzędziem w studiach nad kondensatem Bosego – Einsteina. Istnieje kilka argumentów przemawiających za jej stosowaniem [9]:
• pozwala odpowiedzieć na pytanie dotyczące stabilności rozwiązań stacjonarnych, a bardziej
precyzyjnie czy małe zaburzenie δφ rozwiązania stacjonarnego nie staje się rozbieżne eksponencjalnie z czasem,
• jako wynik analizy stabilności otrzymujemy teorię liniowej odpowiedzi funkcji falowej kondensatu na małe zaburzenie,
• inną konsekwencją jest otrzymanie teorii Bogoliubova, która pozwala na opis stanu cząstek
nieskondensowanych.
Nas jednak interesuje poprawka do rozwiązania stacjonarnego, a nie jej ewolucja w czasie. Dlatego
skupimy się raczej na nieco innej stronie linearyzacji.
Przyjmijmy φ0 jako stacjonarne rozwiązanie równania Grossa – Pitajewskiego. Szukamy małej
poprawki wokół tego rozwiązania, a więc podstawiamy:
(1.4.1)
φ = φ0 + δφ
do równania Grossa – Pitajewskiego i uwzględniamy jedynie człony liniowe w δφ, co prowadzi
do równań na zaburzenie δφ oraz δφ∗ . Problem sprowadza się do rozwiązania zagadnienia własnego
operatora L:
L|ψk i = ǫk |ψk i,
(1.4.2)
gdzie L jest liniowym operatorem. Dla przypadku 1D i w przyjętych przez nas jednostkach można
go zapisać w postaci:

L=
+HGP +
1
2
ρ0 ξ |φ0 |
− ρ10 ξ φ∗2
0
+ ρ10 ξ φ20
−HGP −
1
2
ρ0 ξ |φ0 |
1
1
|φ0 |2 − µ.
HGP = − ∂x2 +
2
ρ0 ξ

,
(1.4.3)
(1.4.4)
Zanim przejdziemy do dalszej części analizy operatora L, rozważmy pewną dowolną macierz M.
Jeżeli macierz M o wymiarze n × n jest diagonalizowalna, to można ją przedstawić w postaci
10
1.4. Linearyzacja równania Grossa – Pitajewskiego
diagonalnej:
M=
X
i
λi |ψiR ihψiL |,
(1.4.5)
gdzie |ψiR i jest prawostronnym wektorem własnym do wartości własnej λi :
M |ψiR i = λi |ψiR i,
(1.4.6)
a hψiL | jest lewostronnym wektorem własnym do tej samej wartości własnej:
hψiL |M = hψiL |λi
(1.4.7)
M † |ψiL i = λ∗i |ψiL i.
(1.4.8)
lub równoważnie:
Wektory prawostronne i lewostronne spełniają warunek normalizacji:
hψkL |ψkR′ i = δkk′ .
(1.4.9)
Wektor |ψiL i jest nazywany wektorem sprzężonym do |ψiR i. Znając wektory własne macierzy
diagonalizowalnej, można rozłożyć operator jednostkowy w bazie własnej:
1̂ =
X
i
|ψiR ihψiL |.
(1.4.10)
Jeżeli zastosujemy powyższe rozważania do naszego operatora L, to od razu widać, że jego
prawostronny wektor możemy sparametryzować następująco:


|u
i
k

do wartości własnej ǫk .
|ψkR i = 
|vk i
1.4.1
(1.4.11)
Własności operatora L
Okazuje się, że operator L posiada kilka ciekawych własności spektralnych [9]:
1. ǫ∗k jest również wartością własną L;


vk∗
 jest prawostronnym modem własnym operatora L do wartości własnej −ǫ∗k ,
2. 
∗
uk


uk
 jest prawostronnym modem własnym L† do wartości własnej ǫk .
3. 
−vk
Pierwsza własność prowadzi do warunku stabilności rozwiązania φ0 postaci: Im(ǫk ) = 0 dla wszystkich k. Ostatnie dwie własności można otrzymać jako konsekwencje dwóch symetrii operatora L:
σx Lσx = − L∗
(1.4.12)
σz Lσz = L† ,
(1.4.13)
11
1.4. Linearyzacja równania Grossa – Pitajewskiego
gdzie σx i σz są macierzami Pauliego postaci:


0 1

σx = 
1 0
1.4.2

σz = 
1
0
0
−1

.
(1.4.14)
Diagonalizacja operatora L
Okazuje się, że znajomość modów własnych nie wystarcza, aby otrzymać bazę zupełną przestrzeni Hilberta funkcji (δφ, δφ∗ ).
Powiedzieliśmy już, że prawostronnym stanem własnym operatora L do wartości własnej ǫk
jest (1.4.11). Z trzeciej własności spektralnej od razu otrzymujemy lewostronny wektor własny
z dokładnością do czynnika normalizacyjnego:


|u
i
k

|ψkL i = Nk 
do wartości własnej ǫ∗k = ǫk ,
−|vk i
(1.4.15)
gdzie założyliśmy, że rozwiązania są stabilne. Z warunku normalizacji (1.4.9) mamy:
hψkL |ψkR i = 1 = Nk∗ [huk |uk i − hvk |vk i] .
(1.4.16)
Naturalnym jest takie znormalizowanie wektorów własnych, aby wyrażenie huk |uk i − hvk |vk i = ±1,
co implikuje Nk = ±1. Wynika stąd, że mamy trzy rodziny wektorów własnych operatora L:
• rodzina dodatnia (+), dla której huk |uk i − hvk |vk i = 1,
• rodzina ujemna (−), dla której huk |uk i − hvk |vk i = −1,
• rodzina zerowa (0), dla której huk |uk i − hvk |vk i = 0.
Z drugiej własności spektralnej widać, że istnieje dualność między wektorami z rodziny dodatniej i ujemnej. Wektory z rodziny (+) będziemy oznaczać jako (uk , vk ) (do wartości własnej ǫk ),
a rodzinę (−) jako (vk∗ , u∗k ) (do wartości własnej −ǫk ).
12
Rozdział 2
Rozwinięcie w modach Bogoliubova
W Rozdziale 2 omówimy liniową odpowiedź solitonu na potencjał zewnętrzny w podejściu
Bogoliubova. Metodę pozwalającą znaleźć bazę zupełną przestrzeni funkcji (δφ, δφ∗ ) w teorii Bogoliubova ze złamaną symetrią U (1) opracowali w 1997 roku Y. Castin i R. Dum [10], natomiast
dokładne obliczenia dla ciemnego solitonu wykonał J. Dziarmaga [8] w 2004 roku.
2.1
Małe fluktuacje wokół ciemnego solitonu
Naszym celem jest zbadanie deformacji stacjonarnego ciemnego solitonu pod wpływem słabego
potencjału zewnętrznego V (x). Aby wyznaczyć odkszałcenie, jakiego dozna stan stacjonarny φ0 ,
wprowadzamy małą fluktuację δφ wokół rozwiązania stacjonarnego.
Do niezależnego od czasu równania Grossa – Pitajewskiego w 1D:
1
1
|φ(x)|2 φ(x) + V (x)φ(x) = µφ(x)
− ∂x2 φ(x) +
2
ρ0 ξ
(2.1.1)
wstawiamy więc rozwiązanie z małą fluktuacją funkcji falowej i potencjał chemiczny z małą poprawką:
φ(x) = φ0 (x) + δφ(x),
µ = 1 + δµ,
(2.1.2)
(2.1.3)
gdzie φ0 – stan podstawowy układu, a potencjał chemiczny układu bez zaburzenia wynosi 1. Następnie dokonujemy linearyzacji równania (2.1.1) opisanej w punkcie (1.4). Podobnie postępujemy
z φ∗ , w wyniku czego otrzymujemy stacjonarne niejednorodne równania Bogoliubova – de Gennes:






φ0
−φ0
δφ
,
=V 
 + δµ 
(2.1.4)
L
δφ∗
−φ∗0
φ∗0
13
2.1. Małe fluktuacje wokół ciemnego solitonu
z liniowym operatorem L jak w (1.4.3).
Można zatem rozłożyć δφ w bazie modów własnych operatora L. Aby je znaleźć, potrzebne
jest rozwiązanie zagadnienia własnego dla operatora L, a więc rozwiązanie układu równań:

L
uk
vk


 = ǫk 

uk

vk
(2.1.5)
Mody prawostronne, które otrzymujemy rozwiązując powyższy układ równań są rozwiązaniami
układu Bogoliubova – de Gennes. Ponadto każdy z nich posiada odpowiadający mu mod lewostronny w postaci (u∗k , −vk∗ ). Mody, dla których wartość własna ǫk jest różna od zera nazywamy
fononami, natomiast takie, dla których ǫk = 0 to tzw. mody zerowe.
2.1.1
Mody zerowe
Operator L posiada dwa mody do wartości własnej ǫk = 0. Jeden związany jest z globalną
symetrią symetrią cechowania U(1) (tzn. φ e−iθ → φ e−i(θ+δθ) ), złamaną przez rozwiązanie solitonowe (1.3.1) [8, 10, 11]:




φ0
∂
=i


,
∂θ φ∗
vθ
0
uθ
(2.1.6)
drugi natomiast pochodzi z symetrii translacyjnej (q → q +δq), również złamanej przez rozwiązanie
(1.3.1) [8]:


uq


φ0

=i ∂ 
.
∂q φ∗
vq
0
(2.1.7)
Mody zerowe są do siebie ortogonalne: huθ | uq i − hvθ | vq i = 0 i posiadają zerową normę: hu | ui −
hv | vi = 0. Z tego powodu razem z fononami nie rozpinają całej przestrzeni Hilberta funkcji
(δφ, δφ∗ ), tzn. chcąc znaleźć współrzędne (δφ, δφ∗ ) w kierunku modów zerowych, należy zrzutować
(δφ, δφ∗ ) na mody sprzężone do (u, v):

ad

[huad
q,θ |, −hvq,θ |)]
|δφi
|δφ∗ i

,
(2.1.8)
ad
których iloczyn skalarny z modami zerowymi jest jednością: huad
q,θ | uq,θ i − hvq,θ | vq,θ i = 1, ale
są ortogonalne do wszystkich pozostałych. Ponadto mody sprzężone są ortogonalne do siebie
nawzajem.
14
2.1. Małe fluktuacje wokół ciemnego solitonu
2.1.2
Mody sprzężone
Brakujące mody sprzężone można znaleźć szukając modów własnych operatora L2 do zerowej
wartości własnej [8, 10]:

L2 
uad
v ad

(2.1.9)
 = 0.
Otrzymane mody są ortogonalne do fononów, ponieważ dla ǫk 6= 0 mamy:


ad
|u i
 = ǫ2k (huk | uad i − hvk | v ad i) = 0
[ huk |, −hvk | ] L2 
ad
|v i
(2.1.10)
Równanie (2.1.9) spełnione jest, gdy (uad , v ad ) jest rozwiązaniem niejednorodnego równania:




uad
u
1
,

=
(2.1.11)
L
ad
M
v
v
gdzie (u, v) – mod zerowy. Stała M dobierana jest z warunku normalizacji: huad | ui − hv ad | vi = 1.
Modem sprzężonym do modu zerowego pochodzącego od symetrii cechowania jest [8]:




uad
φ
∂
0
 θ =

,
(2.1.12)
∂N0
v ad
φ∗
0
θ
dla którego Mθ = ρ0 (∂N0 /∂ρ0 ), natomiast dla modu translacyjnego [8]:




−iθ
e
uad
 I(x),

 q  = − √i
4 ρ0 ξ −eiθ
vqad
(2.1.13)
gdzie
i Mq = −4ρ0 ξ.



tanh x


I(x) =
1



 tanh (L − x)
x < xL ;
xL < x < xR ;
(2.1.14)
xR < x;
ad
Okazuje się jednak, że mody sprzężone nie są do siebie ortogonalne, ponieważ: huad
q | uθ i −
hvqad | vθad i = iR, gdzie R = (2q − L)ρ0 ξ/Mq Mθ . Problem ten można rozwiązać poprzez dodanie
modu zerowego, ponieważ rozwiązanie niejednorodnego równania (2.1.11) nie jest jednoznaczne.
ad
W związku z tą swobodą dobieramy mod sprzężony (uad
θ , vθ ) jako [8]:






uad
uq
φ0
∂
θ
=


 − iR 
,
∂N0
vθad
vq
φ∗0
(2.1.15)
ad
ad ad
dzięki czemu mody sprzężone spełniają warunek ortogonalności huad
q | uθ i − hvq | vθ i = 0.
15
2.1. Małe fluktuacje wokół ciemnego solitonu
2.1.3
Fonony
Dla nieskończonej przestrzeni widmo wartości własnych operatora L jest ciągłe i przyjmuje
postać widma Bogoliubowa:
ǫk =
1p
4(kξ)2 + (kξ)4 ,
2
(2.1.16)
gdzie kξ jest wielkością bezwymiarową. Wprowadzamy zatem k ′ = kξ, a w dalszej części pracy
pominiemy znak ′ . Wtedy:
ǫk =
1p 2
4k + k 4 .
2
(2.1.17)
Fonony mają postać [8]:
eikx e−iθ
uk (x, q) = √ 3/2
4 πǫk
k 2 + 2ǫk
eikx eiθ
vk (x, q) = √ 3/2
4 πǫk
k 2 − 2ǫk
k
k
+ itanh(x − q) +
,
2
cosh2 (x − q)
(2.1.18)
k
k
+ itanh(x − q) +
.
2
cosh2 (x − q)
(2.1.19)
Z dala od centrum solitonu, fonony zachowują się jak fale płaskie oraz spełniają spełniają warunek
ortogonalności: huk |uk′ i − hvk |vk′ i = δ(k − k ′ ).
Jeżeli umieścimy soliton w pudle o boku bługości L, to wektor falowy k będzie skwantowany:
kn = nπ/L, gdzie n = 1, 2, .... Widmo Bogoliubova przechodzi w widmo dyskretne: ǫk = ǫkn ,
a fonony są postaci [8]:



(−x, 0) − u−kn (−x, 0)
u

 +kn
un (x) =
u+kn (x, q) − u−kn (x, q)



 u
(−x, −L)
(−x, −L) − u
+kn
vn (x) =
−kn



(−x, 0) − v−kn (−x, 0)
v

 +kn
v+kn (x, q) − v−kn (x, q)



 v
+kn (−x, −L) − v−kn (−x, −L)
x < xL ;
xL < x < xR ;
(2.1.20)
xR < x;
x < xL ;
xL < x < xR ;
(2.1.21)
xR < x;
Fonony un i vn są znormalizowane i spełniają warunek ortogonalności: hun | um i − hvn | vm i = δn,m .
16
2.1. Małe fluktuacje wokół ciemnego solitonu
2.1.4
Rozkład deformacji ciemnego solitonu w bazie zupełnej przestrzeni
funkcji (δφ, δφ∗ )
Mając wyliczone wszystkie mody własne operatora L oraz mody sprzężone do modów zerowych,
możemy dokonać rozkładu deformacji solitonu:







uad
uθ
δφ
θ
+γ
+β

 = α
vθad
δφ∗
vθ



X
v∗
un
∗
 + bn  n
+
bn 
u∗n
vn
n∈„+”
uq
vq



+δ
uad
q
vqad

+
,
(2.1.22)
gdzie bn to współczynniki rozwinięcia dla rodziny dodatniej, a b∗n dla rodziny ujemnej. Wstawiając
(2.1.22) do (2.1.4) otrzymujemy równanie:








−φ0
φ0
uθ
uq
β
δ
 + δµ 
=
+
+


V
Mθ
Mq
φ∗0
−φ∗0
vθ
vq




X
vn∗
un
∗
.
 − ǫ n bn 
ǫ n bn 
+
∗
u
v
n
n∈„+”
n
(2.1.23)
Po wyrzutowaniu na odpowiednie wektory dochodzimy do równań na współczynniki rozwinięcia
postaci:
δ
ad
∗
ad
ad ∗
= − huad
q |V φ0 i − hvq |V φ0 i + δµ huq |φ0 i + hvq |φ0 i =
Mq
i
i
= − h− √
e−iθ I(x)|V (x)φ0 i − h √
eiθ I(x)|V (x)φ∗0 i =
4 ρ0 ξ
4 ρ0 ξ
(2.1.24)
= 0,
1
[−hun |V φ0 i − hvn |V φ∗0 i + δµ (hun |φ0 i + hvn |φ∗0 i) ] =
ǫn
1
= [−hun |V φ0 i − hvn |V φ∗0 i ] ,
ǫn
bn =
(2.1.25)
ad ∗
gdzie człon huad
q |φ0 i + hvq |φ0 i stojący przy poprawce do potencjału chemicznego δµ we wzo-
rze (2.1.24) znika, ponieważ jest to iloczyn skalarny modów ortogonalnych – modu sprzężonego
do (uq , vq ) i modu zerowego (uθ , vθ ). Podobnie we wzorze (2.1.25) hun |φ0 i + hvn |φ∗0 i = 0, ponieważ
jest to iloczyn fononów i modu zerowego.
Współczynników α i γ nie da się wyliczyć bezpośrednio podstawiając rozwinięcie (2.1.22)
do równań Bogoliubova – de Gennes, ponieważ dotyczą modów zerowych. Współczynnik α skojarzony jest ze zmianą fazy funkcji falowej, którą bez straty ogólności można przyjąć równą 0, γ
natomiast określa przesunięcie solitonu pod wpływem potencjału zewnętrznego. Współczynnik β
17
2.2. Jądro odpowiedzi
związany jest ze zmianą liczby cząstek w układzie. Zakładamy więc, że liczba ta się nie zmienia,
tzn. β = dN = 0. Ewentualna zmiana liczby cząstek powodowana zaburzeniem skorygowana
zostanie w poprawce do potencjału chemicznego. Mamy wtedy:
β
ad
∗
ad
ad ∗
= 0 = − huad
θ |V φ0 i − hvθ |V φ0 i + δµ huθ |φ0 i + hvθ |φ0 i =
Mθ
ad ∗
= − 2h∂N0 φ0 |V φ0 i − iR (huq |V φ0 i + hvq |V φ∗0 i) + δµ huad
θ |φ0 i + hvθ |φ0 i .
(2.1.26)
W rozważaniach dobieramy tak położenie solitonu, aby siła działająca na soliton znikała w tym
punkcie, co jest równoważne nałożeniu warunku:
huq |V φ0 i + hvq |V
φ∗0 i
∼ h∂x φ0 |V φ0 i =
ZL
0
dx|φ0 (x − q)|2 ∂x V (x) = 0.
(2.1.27)
Naturalnym jest więc wybór współczynnika γ równego zero, ponieważ wtedy soliton nie ulega
przesunięciu.
We wzorze (2.1.26) wyrażenie hvθad |φ∗0 i + huad
θ |φ0 i = 1, ponieważ jest to iloczyn modów sprzę-
ad
żonych (uad
θ , vθ ) i (uθ , vθ ). W związku z tym, uwzględniając warunek (2.1.27), poprawkę do po-
tencjału chemicznego można ostatecznie wyrazić w postaci:
δµ = 2h∂N0 φ0 |V φ0 i,
(2.1.28)
co po rozpisaniu daje:
δµ =
1
L
Z
dy tanhy + ysech2 y tanhyV (y + q).
(2.1.29)
We wzorze (2.1.29) nie zostały uwzględnione warunki brzegowe (a więc postać φ0 ze wzoru (1.3.1)),
ponieważ w pracy rozważamy tylko duże układy, dla których L → ∞, a więc warunki brzegowe
przestają być istotne.
Uwzględniając powyższe wartości współczynników rozwinięcia w bazie zupełnej naszej przestrzeni Hilberta, perturbacja solitonu redukuje się do prostej formy:






∗
X
δφ
v
un
n
=

 + b∗n 
.
bn 
∗
δφ∗
u
v
n
n∈„+”
n
2.2
(2.1.30)
Jądro odpowiedzi
Zapiszmy deformację za pomocą jądra odpowiedzi J(x, y):




Z
W (y)
δφ(x)
,
 = dyJ(x, y) 

−W (y)
δφ∗ (x)
18
(2.2.1)
2.2. Jądro odpowiedzi
gdzie W (y) = −V (y)φ0 (y). Operator L w podprzestrzeni rozpiętej na fononach ma postać:




X
|vk∗ i
|uk i
 [ −hvk∗ |, hu∗k | ] ,
 [ huk |, −hvk | ] − ǫk 
(2.2.2)
Pˆf LPˆf =
ǫk 
∗
|uk i
|vk i
k
gdzie Pˆf – operatory rzutowania na podprzestrzeń rozpiętą na fononach. Warto zauważyć, że gdy
k → 0 mamy ǫk → 0, przez co nie można odwrócić operatora Pˆf LPˆf . Problemu tego można
uniknąć rozważając skończony układ. Wtedy:


X 1
|ukn i
 [ hukn |, −hvkn | ] −

J(x, y) =
ǫkn
|vkn i
kn 6=0

X 1
|u ihu | + |vk∗n ihvk∗n |
 kn kn
=
ǫkn
|vk ihuk | + |u∗ ihv ∗ |
kn 6=0
n
n
kn
kn

1 
ǫkn
|vk∗n i
|u∗kn i

 −hvk∗ |, hu∗k | =
n
n
−|ukn ihvkn | − |vk∗n ihu∗kn |
−|vkn ihvkn | − |u∗kn ihu∗kn |
gdzie kn = nπ/L z n = 1, 2, ... jest skwantowanym wektorem falowym.
19

,
(2.2.3)
Rozdział 3
Rozwinięcie w modach potencjału
Pöschl – Tellera
Rozdział 3 stanowi przedstawienie metody, którą w 2010 roku zastosował Cord Müller do jasnego solitonu [12]. Okazuje się, że bazując na znanych modach potencjału Pöschla – Tellera [13]
można również dokonać obliczeń dla ciemnego solitonu, dzięki zależności (3.1.3), ponieważ oba przypadki różnią się jedynie o stałą (gęstość funkcji falowej dla jasnego solitonu |φ0 |2 ∼ sech2 (z − q)).
3.1
Wprowadzenie do metody
Rozważania rozpoczniemy od niezależnego od czasu równania Grossa - Pitajewskiego (2.1.1)
przy założeniu, że funkcja φ jest rzeczywista:
1 2
1
φ − µ + V φ = 0,
− ∂z2 +
2
ρ0 ξ
(3.1.1)
gdzie V – potencjał zewnętrzny. Podobnie jak postępowaliśmy przedstawiając podejście Bogoliubova w punkcie (2.1), wprowadzamy małe zaburzenie δφ wokół stanu podstawowego układu (2.1.2)
oraz poprawkę do potencjału chemicznego δµ (2.1.3), co prowadzi do równania:
1 2
1 2
− ∂z + 3
φ − 1 δφ = −V φ0 + δµφ0 .
2
ρ0 ξ 0
W przypadku ciemnego solitonu φ0 (z − q) =
(3.1.2)
√
ρ0 ξ tanh(z − q). Będziemy rozpatrywać układ
nieskończony, zatem nie uwzględniamy warunków brzegowych. Możemy więc zapisać:
φ20 (z − q) = ρ0 ξ tanh2 (z − q) = ρ0 ξ 1 −
21
1
2
cosh (z − q)
.
(3.1.3)
3.1. Wprowadzenie do metody
Podstawiając do równania (3.1.2) otrzymujemy:
1 2
1
− 1 δφ = −V φ0 + δµφ0 .
− ∂z + 3 − 3
2
cosh2 (z − q)
(3.1.4)
Dokonując zamiany zmiennych:
z − q = x,
(3.1.5)
doprowadzamy równanie (3.1.2) do postaci:
1
1 2
− ∂x − 3
+ 2 δφ = −V (q + x) φ0 + δµφ0 ,
2
cosh2 (x)
(3.1.6)
gdzie zastosowaliśmy jednostki jak w punkcie 1.2.
Warto zauważyć, że powyższe równanie zawiera hamiltonian dla cząstki umieszczonej w studni
potencjału postaci ∼
1
cosh2 (x)
– dobrze znanym potencjale Pöschl – Tellera [13], co można zapisać
jako:
(H0 + 2) δφ = −V (q + x) φ0 + δµφ0 ,
(3.1.7)
gdzie H0 = p2 /2−3sech2 (x). Obliczenie δφ wymaga jedynie odwrócenia operatora H0 +2. Okazuje
się, że wszystkie stany własne i energie własne hamiltonianu H0 są znane [14]. Mamy zatem dwa
stany związane:
√
3
ψ0 (x) =
sech(x)2
2
r
3
sech(x) tanh(x)
ψ1 (x) =
2
(3.1.8)
(3.1.9)
do energii własnych E0 = −2 i E1 = − 21 odpowiednio oraz stany rozproszeniowe postaci:
ψk (x) =
do energii Ek =
k2
2 ,k
eikx k 2 − 2 + 3sech(x)2 + 3ik tanh(x)
(2π)1/2
[(1 + k 2 )(4 + k 2 )]1/2
(3.1.10)
∈ R.
Możemy zatem rozwinąć odkształcenie δφ w zbiorze ortonormalnych funkcji własnych:
Z
δφ = α0 ψ0 + α1 ψ1 + dkαk ψk (x)
(3.1.11)
i wyliczyć współczynniki rzutując (3.1.7) na odpowiednie funkcje własne, co prowadzi do równań:
Z
(Ej + 2)αj = dyψj∗ (y)W(y),
(3.1.12)
gdzie W(y) = −V (q + y)φ0 + δµφ0 .
Dla j = 0 nie można wyznaczyć współczynnika α0 , ponieważ E0 = −2, a więc ψ0 jest modem
zerowym, tzn. (H0 + 2)ψ0 = 0. Przyjmujemy więc, że α0 = 0. Wtedy rozkład deformacji solitonu
δφ redukuje się do postaci:
δφ(x) = α1 ψ1 (x) +
22
Z
dkαk ψk (x).
(3.1.13)
3.2. Jądro odpowiedzi
3.2
Jądro odpowiedzi
Podobnie do postępowania z punktu (2.2) deformację solitonu można zapisać w nieco innej
R
formie. Korzystając z tego, że αi = Ei1+2 dyψi∗ (y)W (y) i podstawiając do (3.1.11), deformację
możemy zapisać w postaci:
δφ(x) =
Z
dyK(x, y)W (y),
gdzie symetryczne jądro K(x, y) jest wyrażone przez funkcje własne hamiltonianu H0 :
Z
2
ψk (x)ψk∗ (y)
K(x, y) = ψ1 (x)ψ1∗ (y) + 2
.
3
4 + k2
(3.2.1)
(3.2.2)
Podstawiając odpowiednio (3.1.9) oraz (3.1.10) można doprowadzić K(x, y) do postaci:
K(x, y) =
1
sech2 (x)sech2 (y) sh2 2x + sh2 2y + 4ch2x + 4ch2y − 3−
16
(3.2.3)
− (ch2x + ch2y + 3) |sh2x − sh2y| − 4sh|x − y|shx shy − 6|x − y|] .
Obliczenie jądra K(x, y) sprowadza się zatem do odwrócenia operatora H0 +2 w przestrzeni rozpiętej na jego funkcjach własnych z pominięciem modu zerowego ψ0 . Wtedy Ei +2 6= 0 dla każdego
i = 1, k, więc zawsze istnieje operator odwrotny, ponieważ nie występuje żadna osobliwość. Przeciwną sytuację rozważaliśmy w podejściu Bogoliubova opisanego w poprzednim rozdziale, gdzie
ǫk → 0 dla k → 0, co uniemożliwiało wyznaczenie jądra odpowiedzi dla układu nieskończonego.
Okazuje się, że rozwiązanie (3.2.3) pozwala wyznaczyć ściśliwość χ [12], ponieważ zmiana gęstości stanu podstawowego pod wpływem potencjału zewnętrznego można zapisać jako:
Z
δn(z) = − dz ′ χ(z, z ′ )V (z ′ ) + O(V 2 ).
(3.2.4)
2
Skoro n(z) = [φ0 (z − q) + δφ(z)] = n0 (z−q)+δn(z)+O(V 2 ), to δn = 2φ0 (z−q)δφ(z). Wstawiając
to do wzoru (3.2.4) i porównując z (3.2.1) otrzymujemy:
χ(z, z ′ ) = 2φ0 (z − q)K(z − q, z ′ − q)φ0 (z ′ − q).
3.3
(3.2.5)
Poprawka do potencjału chemicznego
W obliczeniach do tej pory zakładaliśmy stałą wartość potencjału chemicznego. Aby zachować
liczbę cząstek w układzie trzeba wprowadzić poprawkę do potencjału chemicznego.
Operator H0 +2 jest hermitowski (a więc również diagonalizowalny), więc rzut niejednorodności
na wektor własny ψ0 (y) do zerowej wartości własnej musi znikać. W przeciwnym razie równanie
(3.1.7) byłoby sprzeczne. Mamy zatem:
Z
dyψ0∗ (y) [−V (q + y)φ0 + δµφ0 ] = 0.
23
(3.3.1)
3.3. Poprawka do potencjału chemicznego
Stąd otrzymujemy równanie:
δµhψ0 |φ0 i = hψ0 |V φ0 i.
(3.3.2)
Ponieważ: hψ0 |φ0 i ∼= 0 (całka z funkcji nieparzystej znika), to:
hψ0 |V φ0 i ∼ h∂x φ0 |V φ0 i ∼
ZL
0
dy|φ0 (y − q)|2 ∂y V (y) = 0,
(3.3.3)
a więc otrzymujemy dokładnie taki sam warunek na położenie solitonu jak (2.1.27), jednak warunek (3.3.1) nie pozwala wyznaczyć poprawki do potencjału chemicznego δµ.
Poprawkę δµ wyliczymy więc w oparciu o symetryczne jądro K(x, y) (3.2.3). Zmianę liczby
cząstek można zapisać jako:
δN =
Z
dzδn(z) = −
ZZ
dzdz ′ χ(z, z ′ )V (z ′ ).
(3.3.4)
Aby powiązać δN z poprawką do potencjału chemicznego, rozważmy funkcję falową solitonu z ustaloną liczbą cząstek po uwzględnieniu poprawek:
φ|N0 = φ0 |µ0 + δφ +
∂φ0 |µ0
δµ,
∂µ0
(3.3.5)
gdzie φ0 |µ0 ≡ φ0 jest funkcją falową solitonu przy ustalonym potencjale chemicznym µ0 , a δφ jest
znalezioną wcześniej deformacją kształtu. Stąd:
|φ|N0 |2 = |φ0 |2 + 2φ0 δφ + 2φ0
∂φ0
δµ
∂µ0
(3.3.6)
z dokładnością do członów liniowych. Całkując gęstość po położeniu x otrzymujemy wyrażenie:
Z
∂φ0
N0 = N0 + δN + 2δµ dxφ0
.
(3.3.7)
∂µ0
Wynika stąd, że:
δN = −2δµhφ0 |∂µ0 φ0 i = −2δµN0 hφ0 |∂N0 φ0 i = −δµN0 ,
(3.3.8)
ponieważ wyrażenie hφ0 |∂N0 φ0 i = 1/2 (połowa iloczynu modów wzajemnie sprzężonych (uθ , vθ )
ad
(2.1.6) oraz (uad
θ , vθ )) (2.1.15). Ostatecznie:
δµ = −
δN
.
N0
(3.3.9)
Podstawiając δN (3.3.4), χ z równania (3.2.5) i dowolny potencjał zewnętrzny V (x) otrzymujemy
wyrażenie na poprawkę do potencjału chemicznego:
Z
1
δµ =
dy tanhy + ysech2 y tanhyV (q + y),
L
które jest identyczne do (2.1.29) z poprzedniego rozdziału.
24
(3.3.10)
Rozdział 4
Ciemny soliton w periodycznym
potencjale
Do tej pory rozważania na temat deformacji ciemnego solitonu w zewnętrznym potencjale
nie zależały od jego formy. Aby zilustrować dotychczasowe wyniki, przejdziemy teraz do analizy
ciemnego solitonu w potancjale zewnętrznym postaci:
V (x) = −V0 cos(k0 x),
(4.0.1)
gdzie k0 jest parametrem charakteryzującym potencjał, V0 ≥ 0 jego amplitudą oraz przyjmujemy,
że położenie solitonu q = 0. Pomimo konkretnej formy potencjału rozważania pozostają w dalszym
ciągu w dużej mierze uniwersalne, ponieważ dowolny potencjał można wyrazić przez jego składowe
Fouriera.
Potencjały tego typu jako sieci optyczne otrzymuje się doświadczalnie poprzez interferujące
przeciwbieżne wiązki laserowe, wytwarzając w ten sposób periodyczny przestrzenny wzór [15].
Obliczenia wykonamy dla układu nieskończonego, co pozwoli otrzymać analityczne rozwiązania dla deformacji solitonu δφ. Wyniki analityczne porównamy z numerycznymi dla skończonej
długości L.
4.1
4.1.1
Współczynniki rozwinięcia perturbacji solitonu
Współczynniki rozwinięcia perturbacji solitonu w podejściu Bogoliubova
Korzystając z postaci fononów uk (2.1.18) i vk (2.1.19), możemy wyliczyć brakujące współczynniki rozwinięcia bk poprawki δφ w bazie zupełnej naszej przestrzeni Hilberta.
25
4.1. Współczynniki rozwinięcia perturbacji solitonu
Podstawiając do wzoru (2.1.25):
1
[−huk |V φ0 i − hvk |V φ∗0 i] =
ǫk
√
h
i
p
π
π
π
kk02 csch (k − k0 ) + csch (k + k0 ) −
= − iV0 ρ0 ξ
1/2
2
2
2k 2 (4 + k 2 )ǫk
√
p
2 π
k 2 [δ(k − k0 ) + δ(k + k0 )].
− iV0 ρ0 ξ
1/2
k 2 (4 + k 2 )ǫk
bk =
(4.1.1)
We wzorze (4.1.1) wyrażenie huk |φ0 i + hvk |φ∗0 i = 0, ponieważ jest to iloczyn modów wzajemnie
ortogonalnych: fononów (uk , vk ) i modu zerowego (uθ , vθ ).
Współczynniki bk są funkcją wektora falowego k, dlatego można badać ich postać dla różnych
wartości k0 . Tak naprawdę interesują nas trzy przedziały:
(a) gdy k0 ≫ 1,
(b) gdy k0 ≪ 1,
(c) gdy k0 ≈ 1,
Zachowanie w każdym z tych przedziałów przedstawiają wykresy zawarte na Rysunku 4.1, gdzie
przyjęliśmy V0 = 1 oraz ρ0 ξ = 1.
Zauważmy, że współczynniki bk stają się małe dla |k| =
6 k0 i zanikają eksponencjalnie dla
|k| → ∞, natomiast wkład od modów k = ±k0 okazuje się być dominujący ze względu na człon
zawierający deltę Diraca. Ogólny charakter zależności funkcyjnej jest dokładnie taki sam dla
wszystkich przedziałów parametru k0 .
Na Rysunku 4.1 widać, że współczynniki bk mają osobliwość dla k → 0, ponieważ:
1
bk ∼ p + O k 3/2 ,
|k|
(4.1.2)
ale deformacja solitonu, którą otrzymujemy jest skończona, ponieważ:
bk uk + b∗k vk∗ ∼ const + O k 2 .
(4.1.3)
Stąd w przypadku rozpatrywanego potencjału V (x) = −V0 cos(k0 x) do obliczenia deformacji solitonu możemy rozważać nieskończony układ.
Ze wzoru (2.1.30) mamy:


δφ
δφ∗

=
Z


dk bk 
uk
vk


 + b∗k 
vk∗
u∗k

 ,
(4.1.4)
a więc posiadamy wszystkie niezbędne elementy do wyznaczenia deformacji ciemnego solitonu.
26
4.1. Współczynniki rozwinięcia perturbacji solitonu
50
0.003
40
0.002
30
ImHbk HkLL
ImHbk HkLL
0.004
0.001
0.000
20
10
-0.001
0
-0.002
-15
-10
0
-5
5
10
-10
15
-0.2
-0.1
k
0.0
0.1
0.2
k
(a) k0 = 3π
(b) k0 = π/20
20
ImHbk HkLL
15
10
5
0
-5
-2
0
-1
1
2
k
(c) k0 = 4π/9
Rysunek 4.1: Wykresy zależności Im(bk ) współczynnika bk od k dla V0 = 1 oraz ρ0 ξ = 1, dla trzech
różnych przedziałów parametru k0 : (a) k0 ≫ 1, (b) k0 ≪ 1, (c) k0 ≈ 1. Ponieważ współczynniki
bk są czysto urojone, więc Re(bk ) = 0.
4.1.2
Współczynniki rozwinięcia perturbacji solitonu w modach potencjału Pöschl – Tellera
Przypomnijmy, że w drugiej metodzie liniowej odpowiedzi korzystamy z funkcji własnych hamiltonianu Pöschl – Tellera i poprawkę δφ do stacjonarnego rozwiązania rozkładamy w bazie własnej
tego operatora. Pozostaje więc tylko wyznaczyć współczynniki rozwinięcia α1 oraz αk we wzorze
(3.1.13).
Dla j = 1 mamy energię własną E1 = − 12 oraz stan związany (3.1.9). Podstawiając do
27
4.1. Współczynniki rozwinięcia perturbacji solitonu
wzoru (3.1.12) na współczynnik α1 dostajemy:
r
Z
p
3
2
sech(y)tanh(y)V0 cos(k0 y) ρ0 ξtanh(y) =
dy
α1 =
3
2
r
p
k0 π
2π
.
(1 − k02 ) sech
=V0 ρ0 ξ
32
2
(4.1.5)
Widać, że wkład od stanu zlokalizowanego ψ1 zależy od parametru k0 potencjału zewnętrznego
i zanika eksponencjalnie dla dużych jego wartości, ponieważ wtedy α1 ∼ k02 e−k0 π/2 . Najbardziej
znaczący staje się, gdy k0 = 0, co widać ze wzoru (4.1.5) i Rysunku 4.2.
Α1 Hk0 L
1.0
0.5
0.0
-0.5
0
2
4
6
8
k0
Rysunek 4.2: Wykres zależności współczynnika α1 od parametru k0 dla V0 = 1 i ρ0 ξ = 1.
Dla j = k natomiast E =
k2
2
oraz stany rozproszeniowe (3.1.10), co prowadzi do następującej
formy współczynnika αk :
r
p
π
π
i(k 2 − 3k02 + 4)
π
αk =V0 ρ0 ξ
csch
−
(k
+
k
)
+
csch
(k
−
k
)
0
0
2 2(1 + k 2 )1/2 (4 + k 2 )3/2
2
2
p √
i3k
(δ(k + k0 ) + δ(k − k0 )).
− V0 ρ0 ξ 2π
(1 + k 2 )1/2 (4 + k 2 )3/2
(4.1.6)
Analogicznie do współczynników bk z poprzedniego punktu zbadamy zachowanie współczynników
αk dla trzech przedziałów parametru k0 . Wyniki przedstawione są na wykresach na Rysunku 4.3.
Podobnie jak wcześniej przyjmujemy V0 = 1 oraz ρ0 ξ = 1.
Porównując współczynniki αk z występującymi w podejściu Bogoliubova bk (4.1.1), widać pewne
podobnieństwo między nimi, ale również znaczące różnice. W obu przypadkach występują człony
proporcjonalne do csch(k ± k0 ) oraz delty Diraca δ(k ± k0 ). Stąd analiza zachowania tych współczynników jest podobna. Również dominujący jest wkład od modów k = ±k0 . Ponadto wszystkie
współczynniki skalują się jak V0 (pamiętajmy, że V0 wyrażone jest w jednostkach potencjału chemicznego układu bez zaburzenia). Ogólnie jednak zależność funkcyjna od k jest różna w obu
28
4.1. Współczynniki rozwinięcia perturbacji solitonu
przypadkach. Warto zauważyć, że dla k0 bliskiego 1 współczynnik αk zmienia swoje zachowanie.
Oprócz zmiany znaku, jaka występuje przy przejściu od dużych wartości k0 do małych, pojawiają
się lokalne minima i maksima wewnątrz przedziału (−k0 , k0 ), podczas gdy współczynniki bk w podejściu Bogoliubova zachowują swój charakter dla całego zakresu k0 . Ponadto współczynniki αk
nie mają osobliwości dla k → 0, w przeciwieństwie do współczynników bk w podejściu Bogoliubova.
15
0.004
10
ImHΑk HkLL
ImHΑk HkLL
0.002
0.000
5
0
-5
-0.002
-10
-0.004
-15
-10
0
-5
5
10
-0.2
0.0
-0.1
k
0.1
0.2
k
(a) k0 = 3π
(b) k0 = π/20
0.15
ImHΑk HkLL
0.10
0.05
0.00
-0.05
-0.10
-0.15
-2
0
-1
1
2
k
(c) k0 = 5π/11 (niebieska linia), k0 = 4π/9 (czerwona linia)
Rysunek 4.3: Wykresy zależności Im(αk ) współczynnika αk od k dla trzech różnych przedziałów
parametru k0 i V0 = 1 oraz ρ0 ξ = 1: (a) k0 ≫ 1, (b) k0 ≪ 1, (c) k0 ≈ 1. Re(αk ) = 0.
29
4.2. Poprawka do potencjału chemicznego
4.2
4.2.1
Poprawka do potencjału chemicznego
Poprawka do potencjału chemicznego w podejściu Bogoliubova
W poprzednim rozdziale rozważaliśmy poprawkę do potencjału chemicznego wyrażoną wzorem
(2.1.29). Dla nieskończonego układu, jakim tutaj się zajmujemy, musimy zbadać zachowanie całki:
Z
1
δµ =
dy tanhy + ysech2 y tanhyV (y + q),
(4.2.1)
L
która dla potencjału periodycznego (4.0.1) przyjmuje postać:
Z
1
δµ = −
dy tanhy + ysech2 y tanhyV0 cos(k0 y)
L
(4.2.2)
z V0 jako dowolną amplitudą potencjału.
Całka po dy oscyluje w zależności od rozmiarów układu, ale zawsze przyjmuje wartość skończoną, co obrazuje Rysunek 4.4 dla wartości parametrów V0 = 1 oraz k0 = 5π/2.
0.6
∆Μ
0.4
0.2
0.0
-0.2
0
5
10
15
20
L
Rysunek 4.4: Wykres zależności wartości δµ od wielkości układu L dla k0 = 5π/4.
Z dala od solitonu kondensat jest jednorodny. Pod wpływem słabego zewnętrznego potencjału
V (x) funkcja falowa kondensatu podąża za jego zmianami. Jeżeli hV i = 0, to średnia liczba
R
cząstek hN i ≃ dxρ0 ξ = ρ0 ξL, a więc zmiany potencjału chemicznego się uśredniają i ostatecznie
δµ = 0 [16, 17]. Jedyna niezerowa poprawka do potencjału chemicznego może pochodzić więc
z obszaru, w którym występuje soliton.
Z równania (4.2.2) i wykresu na Rysunku 4.4 widać, że dążąc z rozmiarami układu z solitonem
L→∞
do nieskończoności, poprawka do potencjału chemicznego dąży do zera, ponieważ 1/L −−−−→ 0,
co zgadza się z przewidywaniami, ponieważ niezerowa zmiana potencjału chemicznego implikowałaby nieskończoną zmianę liczby cząstek w układzie.
30
4.3. Deformacja ciemnego solitonu
4.2.2
Poprawka do potencjału chemicznego w metodzie rozwinięcia w
mody potencjału Pöschl – Tellera
W przypadku metody liniowej odpowiedzi na potencjał zewnętrzny sytuacja jest identyczna
jak w poprzednim punkcie, ponieważ zmianę potencjału chemicznego δµ (3.3.10) opisuje dokładnie
takie samo wyrażenie, jak w podejściu Bogoliubova.
4.3
Deformacja ciemnego solitonu
Poniżej na Rysunku 4.5 przedstawiona jest deformacja ciemnego solitonu w zależności od amplitudy V0 potencjału zewnętrznego dla pamaremtu k0 = π/2. Wykresy przedstawiają tylko wyniki
otrzymane w oparciu o metodę rozwinięcia w mody potencjału Pöschl – Tellera, ponieważ pokrywają się one idealnie z otrzymanymi w podejściu Bogoliubova. Jak widać wyniki uzyskane w metodach liniowej odpowiedzi solitonu na potencjał zewnętrzny niewiele odbiegają od wyników obliczeń numerycznych nawet dla silnych potencjałów, dla których V0 ≈ 1. Zgodnie z oczekiwaniami,
w miarę zmniejszania amplitudy V0 rośnie dokładność tego dopasowania. Podobnie zwiększając
rozmiary układu w obliczeniach numerycznych otrzymujemy dokładniejsze przybliżenie przypadku
układu nieskończonego.
Na wykresach przedstawiony jest jedynie fragment układu i nie są uwzględnione warunki brzegowe, ponieważ obliczenia numeryczne zostały przeprowadzone dla układu o dużo większych rozmiarach (L = 10000), niż by to wynikało z wykresów. W prawej kolumnie umieszczone są powiększenia wybranych fragmentów, aby lepiej zobaczyć porównanie metod.
Kolejna seria wykresów przedstawia deformację solitonu w zależności od parametru k0 potencjału zewnętrznego dla ustalonej amplitudy V0 = 0.1. Dla k0 ≫ 1 wyniki analityczne bardzo dobrze
odzwierciedlają numeryczne. Ponadto widać, że w miarę zwiększania k0 , deformacja solitonu staje
się coraz mniejsza, ponieważ współczynniki bk (w metodzie Bogoliubova) oraz α1 , αk (w metodzie
rozwinięcia w mody potencjału Pöschl – Tellera) zanikają z rosnącym k0 . Jeśli natomiast k0 ≪ 1,
to zmiany potencjału zewnętrznego zachodzą na dużo większym obszarze niż długość zabliźnienia,
a więc funkcja falowa kondensatu podąża za zmianami potencjału, rośnie gęstość wokół solitonu
√
i długość zabliźnienia ξ ∼ 1/ ρ0 maleje. Widać to na ostatnim wykresie na Rysunku 4.6, gdzie
soliton pod wpływem potencjału ulega zwężeniu. Dla małych k0 wystepują nieco większe rozbieżności z numeryką, ponieważ deformacja δφ wzrasta. Podobnie jak wcześniej prawa kolumna
wykresów zawiera powiększenia wybranych fragmentów.
31
4.3. Deformacja ciemnego solitonu
1.30
1.0
V0 = 1
1.25
0.5
1.20
0.0
1.15
-0.5
1.10
Φ0 +∆Φnum
Φ0 +∆Φlin
∆Φlin
Φ0
-1.0
1.05
1.00
-40
-20
0
20
40
3.5
x
4.0
4.5
4.0
4.5
4.0
4.5
x
1.0
1.06
V0 = 0.2
1.05
0.5
1.04
0.0
1.03
1.02
-0.5
1.01
-1.0
1.00
-40
-20
0
20
40
3.5
x
x
1.0
1.015
V0 = 0.05
0.5
1.010
0.0
1.005
-0.5
1.000
-1.0
-40
-20
0
20
40
3.5
x
x
Rysunek 4.5: Deformacja ciemnego solitonu w zależności od amplitudy V0 potencjału zewnętrznego
dla parametrów k0 = π/2, ρ0 ξ = 1. Wykresy przedstawiają zestawienie wyników analitycznych
otrzymanych w pracy, wyników numerycznych dla układu o rozmiarach L = 10000 oraz porównanie
√
z niezaburzoną funkcją falową solitonu φ0 = ρ0 ξtanh(x). W prawej kolumnie przedstawione są
powiększenia wybranych fragmentów wykresów. Wprowadzone oznaczenia: φ0 + δφnum – wyniki
numeryczne (czerwona linia przerywana), φ0 + δφlin – wyniki analityczne (linia czarna ciągła),
δφlin – poprawka do funkcji falowej solitonu wyliczona analitycznie (linia niebieska ciągła), φ0 –
niezaburzona funkcja falowa solitonu (linia zielona ciągła).
32
4.3. Deformacja ciemnego solitonu
1.0
1.002
k0 = 3 Π
0.5
1.000
0.0
0.998
Φ0 +∆Φnum
Φ0 +∆Φlin
∆Φlin
Φ0
-0.5
0.996
0.994
-1.0
-40
-20
0
20
40
3.0
3.5
4.0
x
4.5
5.0
x
1.0
1.0300
k0 = Π 2
0.5
1.0295
0.0
1.0290
-0.5
1.0285
-1.0
-40
-20
0
20
40
3.8
3.9
4.0
x
4.1
4.2
x
1.0
1.041
k0 = Π 20
0.5
1.040
0.0
1.039
-0.5
1.038
-1.0
-40
-20
0
20
1.037
40
3.0
x
3.2
3.4
3.6
3.8
4.0
4.2
4.4
x
Rysunek 4.6: Deformacja ciemnego solitonu w zależności od parametru k0 potencjału zewnętrznego
dla amplitudy V0 = 0.1 oraz ρ0 ξ = 1.
33
Podsumowanie
Niniejsza praca prezentuje dwie metody wyznaczenia deformacji ciemnego solitonu w słabym
zewnętrznym potencjale. Okazuje się, że metodę rozwinięcia w mody potencjału Pöschl – Tellera
można zastosować do dowolnego potencjału zewnętrznego, ponieważ możliwe było obliczenie jądra odpowiedzi K(x, y) dla układu nieskończonego. Podejście Bogoliubova wydaje się być mniej
ogólne w tym względzie, ponieważ występujące w nim osobliwości uniemożliwiają wyznaczenie jądra dla nieskończonego układu. Problem ten da się rozwiązać ograniczając układ do skończonych
rozmiarów, ponieważ kwantyzacja wektora falowego kn pozwala ominąć osobliwe wartości wektora
falowego k.
W celu zaprezentowania otrzymanych wyników, wprowadziliśmy przykładowy potencjał postaci
V (x) = −V0 cos(k0 x) i porównaliśmy rozwiązania analityczne z numerycznymi biorąc pod uwagę
amplitudę potencjału V0 oraz parametr k0 . W obu przypadkach ich zgodność jest bardzo dobra
nawet dla silnych potencjałów o amplitudzie V0 ≈ 1 (V0 jest wyrażone w jednostkach potencjału
chemicznego układu niezaburzonego). Zgodnie z oczekiwaniami dla dużych wartości parametru
k0 ≫ 1 i słabego potencjału, układ pozostawał prawie niezaburzony. Wraz ze zmniejszeniem
k0 ≪ 1, układ reagował mocniej, dążąc do zwężenia solitonu. Ponadto obie zastosowane metody
analityczne dają identyczne wyniki.
Rozpatrzyliśmy również poprawkę do potencjału chemicznego, jaką należy wprowadzić, aby
zachować ustaloną liczbę cząstek. Wyprowadzone wzory na δµ pozwoliły pokazać, że w wybranym
przez nas periodycznym potencjale δµ = 0.
35
Bibliografia
[1] A, J. Leggett, Rev. Mod. Phys. 73, 307 (2001).
[2] K. Sacha, Kondensat Bosego - Einsteina, Kraków 2004.
[3] E. P. Gross, Nuovo Cimento 20 (3), 454 (1961).
[4] L. P. Pitaevskii, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 40, 646 (1961) [Sov. Phys. - JETP 13, 451 (1961)].
[5] C. J. Pethick, H. Smith, Bose-Einstein Condensation in Dilute Gases, Cambridge University
Press 2002.
[6] F. Dalfovo, S. Giorgini, L. P. Pitajevskii, S. Stringari, Rev. Mod. Phys. 71, 463 (1999).
[7] P. G. Drazin, R. S. Johnson, Soliton: an introduction, Cambridge University Press 1989.
[8] J. Dziarmaga, Phys. Rev. A 70, 063616 (2004).
[9] Y. Castin, Coherent atomic matter waves, Les Houches Session LXXII, Springer, Berlin Heidelberg New York 2001.
[10] Y. Castin, R. Dum, Phys. Rev. A 57, 2008 (1998).
[11] M. Lewenstein, L. You, Phys. Rev. Lett. 77, 3489 (1996).
[12] C. Müller, Appl. Phys. B 102, 459-467 (2011).
[13] G. Pöschl, E. Teller, Z. Phys. 83, 143 (1933).
[14] J. Lekner, Am. J. Phys. 75, 1151 (2007).
[15] I. Bloch, Physics World 17 (4), 25 (2004).
[16] I. M. Lifshits, S. A. Gredeskul, L. A. Pastur, Introduction to the Theory of Disordered Systems,
Wiley New York 1988.
[17] L. Sanchez–Palencia, Phys. Rev. A 74, 053625 (2006).
37