Zadanie 1 (Transmisja wiadomo±ci)

Jakub Olczyk Rachunek prawdopodobie«stwa i statystyka semestr letni 2014/2015
Zadanie 1 (Transmisja wiadomo±ci)
1
Rozwi¡zanie :
Oznaczenia:
λ - tempo zgªosze« (ilo±¢ wiadomo±ci przychodz¡cych)
µ - ±redni czas serwisu (±redni czas przesyªu wiadomo±ci)
Z tre±ci zadania wynika, »e:
A
S
λA = 5 min−1
µS = 10 s =
a)
1
min
6
Z tego z kolei mo»na policzy¢ wspóªczynnik u»ycia r, który wyniesie
r = λA /λS = λA · µS = 5/6 min
gdzie λ to tempo serwisu, czyli ilo±¢ przesªanych wiadomo±ci w jednym
momencie
b) Co pozwala nam policzy¢ ±redni¡ ilo±¢ wiadomo±ci przechowywanych w systemie:
S
EX =
5
r
= 6
1−r
1−
5
6
=5
‘rednia ilo±¢ wiadomo±ci oczekuj¡cych dla procesu kolejkowego M/M/1 wyliczana
jest ze wzoru:
c)
EX =
d)
r2
= 4.17
1−r
‘rednia ilo±¢ wiadomo±ci przesyªanych przez kanaª:
EX = r = 5/6 min
e)
‘redni czas oczekiwania w kolejce do przesyªu:
EW =
f)
µS · r
10 · 50
min =
s = 50 s
1−r
60 − 50
‘redni czas przebywania w systemie:
ER =
1
M. Baron -
µS
1/6
min =
= 1 min
1−r
1 − 5/6
Probability and Statistics for Computer Scientists
1
rozdziaª 7
Zadanie 2 (Symulacja systemu kolejkowego)
2
Rozwi¡zanie :
Cz¦±¢ analityczna
Mamy do zamodelowania system zbudowany z 4 serwerów o ró»nych charakterystykach:
S ∼ Gamma(α = 7; λ = 7 min )
S ∼ Gamma(α = 5; λ = 2 min )
S ∼ Exp(λ = 0.3 min
S ∼ U nif orm(a = 4 min; b = 9 min)
Zgªoszenia do systemu nadchodz¡ zgodnie z procesem Poissona. Oznaczmy go
przez
−1
I
−1
II
III
−1
IV
A(t) ∼ P oisson(λt)
Znamy ±redni czas mi¦dzy zgªoszeniami. Ze wzgl¦du na to, »e jest to proces
Poissona to rozkªad czasu mi¦dzy nimi b¦dzie wykªadniczy i z tego mo»emy
zacz¡¢ co± mówi¢ na temat samego procesu.
EY =
1
1
=
λ
2
dla zmiennej Y opisuj¡cej czas mi¦dzy zgªoszeniami.
Z czego wynika, »e
A(t) ∼ P oisson(2t)
2
M. Baron
Probability and Statistics for Computer Scientists
2
rodziaª 7