Prof., Dr hab. M.Borsuk Zagadnienia brzegowe eliptyczne drugiego

Prof., Dr hab. M.Borsuk
Zagadnienia brzegowe eliptyczne drugiego rzędu w
obszarach niegładkich
(Wykłady specjalizujące).
1. Klasyfikacja zagadnień brzegowych.
2. Układ współrzędnych biegunowych i sferycznych. Obliczenie elementów
objętości i powierzchni w tych układach.
3. Gradient we współrzędnych biegunowych.
4. Gradient we współrzędnych sferycznych.
5. Rodzaje zagadnień brzegowych: zagadnienie Dirichleta, Neumana, mieszane
trzecie zagadnienie brzegowe.
6. Pojęcie o słabym i silnym rozwiązaniach zagadnienia brzegowego.
7. Główne twierdzenie rachunku wariacyjnego.
8. Wzór Gaussa-Ostrogradskiego.
9. Operator Laplace’a we współrzędnych biegunowych i sferycznych.
10. Metoda Furiera (rozdzielenia zmiennych) rozwiązania równania Laplace’a
we współrzędnych sferycznych.
11. Fundamentalne rozwiązanie równania Laplace’a.
12. Twierdzenie pośrednie dla funkcji harmonicznych.
13. Zasada maximum dla funkcji harmonicznych. Sub- i super-harmoniczne
funkcje.
14. Wzór Greena i przedstawienie funkcji harmonicznej za pomocą rozwiązania
fundamentalnego równania Laplace’a.
15. Funkcja Greena dla operatora Laplace’a i jej własności. Przedstawienie
rozwiązania równania Poisona za pomocą funkcji Greena operatora
Laplace’a.
16. Wzór Poisona dla funkcji harmonicznych w kuli.
17. Operator Laplace’a - Beltramiego na sferze.
18. Nierówności Couchy’ego, Young’a i Höldera.
19. Nierówności Höldera i Minkowskiego dla całek.
20. Nierówność Hardy’ego ze ścisłą stałą.
21. Pojęcie funkcjonału i jej pierwsza wariacja.
22. Zasada wariacyjna.
23. Zagadnienie Dirichleta na wartości i funkcje własne.
24. Interpretacja wariacyjna wartości i funkcji własnych.
25. Twierdzenie o istnieniu minimum funkcjonału w zagadnieniu Dirichleta na
wartości i funkcje własne.
26. Nierówność Wirtingera. Obliczenie najlepszej stałej w przypadku
n = 2, n = 3
27. Nierówność Hardy’ego-Wirtingera.
28. Twierdzenie o wartości średniej (dla całek).
1
29. Różniczkowalna nierówność dla zagadnienia Couchy’ego i jej rozwiązania.
30. Ślad funkcji na brzegu ograniczonego obszaru dla funkcji z klasy W 1, 2 i
dowód nierówności:
∫ u ds ≤ c ∫ ( ∇u + ∇u )dx ,
∂G
∫u
∂G
G
2
(
)
ds ≤ ∫ ε ∇u + cε ∇u dx .
2
2
G
31. Twierdzenia Fatou i B.Levy’ego.
32. Ciągłość funkcji względem Höldera i Diniego. Przykłady.
33. Silne i słabe rozwiązania zagadnienia Dirichleta dla jednostajnie
eliptycznego liniowego równania drugiego rzędu w obszarze gładkim:
-- twierdzenie o jednoznacznej rozwiązalności,
-- zasada maximum i zasada porównawcza,
-- L p -oszacowanie,
-- lokalne oszacowanie maximum modułu rozwiązania.
34. Pojęcie o punkcie stożkowym i obszarze z punktem stożkowym.
35. Wagowa przestrzeń Sobolewa, przestrzeń Kondratieva.
36. Quasiodstęp i jego własności.
37. Oszacowanie silnych rozwiązań zagadnienia Dirichleta dla jednostajnie
eliptycznego liniowego równania drugiego rzędu w obszarze z punktem
stożkowym w przestrzeni Kondratieva:
-- wypadek 4 − n ≤ α ≤ 2 ,
-- wypadek 4 − n − 2λ < α < 4 − n .
38. Lokalne oszacowanie całki Dirichleta dla silnych rozwiązań zagadnienia
Dirichleta dla jednostajnie eliptycznego liniowego równania drugiego rzędu
w pobliżu punktu stożkowego.
39. Lokalne oszacowanie całkowe (w przestrzeni Kondratieva) silnych
rozwiązań zagadnienia Dirichleta dla jednostajnie eliptycznego liniowego
równania drugiego rzędu w pobliżu punktu stożkowego.
40. Lokalne oszacowanie maximum modułu silnych rozwiązań zagadnienia
Dirichleta dla jednostajnie eliptycznego liniowego równania drugiego rzędu
w pobliżu punktu stożkowego (wypadek ciągłości względem Diniego
starszych współczynników równania).
41. Lokalne oszacowanie maximum modułu silnych rozwiązań zagadnienia
Dirichleta dla jednostajnie eliptycznego liniowego równania drugiego rzędu
w pobliżu punktu stożkowego (wypadek prostej ciągłości starszych
współczynników równania).
42. Lokalne oszacowanie maximum modułu silnych rozwiązań zagadnienia
Dirichleta dla jednostajnie eliptycznego liniowego równania drugiego rzędu
w pobliżu punktu stożkowego (wypadek ekwiwalentności starszych
współczynników równania do
1
).
1
ln
r
2
43. Przykłady równań, że lokalne oszacowania i założenia są najlepsze.
44. Lokalne L p -oszacowanie silnych rozwiązań zagadnienia Dirichleta dla
jednostajnie eliptycznego liniowego równania drugiego rzędu w pobliżu
punktu stożkowego.
45. Lokalne oszacowanie maximum modułu gradientu silnych rozwiązań
zagadnienia Dirichleta dla jednostajnie eliptycznego liniowego równania
drugiego rzędu w pobliżu punktu stożkowego.
46. C λ − gładkość silnych rozwiązań zagadnienia Dirichleta dla jednostajnie
eliptycznego liniowego równania drugiego rzędu.
47. Trzecie zagadnienie na wartości i funkcje własne.
48. Twierdzenie o istnieniu minimum funkcjonału w trzecim zagadnieniu na
wartości i funkcje własne.
49. Nierówność Poincare’go.
50. Nierówność Friedrichsa z najlepszą stałą.
51. Nierówność Hardy’ego-Friedrichsa-Wirtingera.
52. Transcendentalne równanie dla najlepszej stałej w nierównościach
Friedrichsa i Wirtingera i jego rozwiązanie.
53. Zagadnienie Robina dla równania Poisona w obszarze z punktem
stożkowym.
54. Funkcja barierowa dla zagadnienia Robina.
55. Słabe oszacowanie modułu rozwiązania zagadnienia Robina.
56. Globalne oszacowania słabych rozwiązań zagadnienia Robina w przestrzeni
Kondratieva.
57. Lokalne oszacowanie modułu słabego rozwiązania zagadnienia Robina w
otoczeniu punktu stożkowego.
58. Przykład zagadnienia Robina w płaskim obszarze z punktem kątowym.
59. Przestrzeń Banacha funkcji ciągłych względem Diniego. α -Dini funkcje i
jej własności.
60. Oszacowanie Diniego potencjału Newtona oraz uogólnionego potencjału.
61. Eliptyczne równania ze stałymi współczynnikami drugiego rzędu. Funkcja
Greena i jej własności.
62. Całkowe przekształcenie Furiera i jego własności. Równość Parsewal’a.
63. Zastosowanie przekształcenia Furiera do ilorazu różnicowego funkcji.
64. Zachowanie się słabych rozwiązań zagadnienia Dirichleta dla liniowych
eliptycznych równań drugiego rzędu postaci dywergencyjnej.
65. Przestrzeń Sobolewa H s (G ).
66. Oszacowanie wagowej całki Dirichleta dla słabych rozwiązań zagadnienia
Dirichleta dla liniowych eliptycznych równań drugiego rzędu postaci
dywergencyjnej.
67. Oszacowanie modułu rozwiązania zagadnienia Dirichleta dla liniowych
eliptycznych równań drugiego rzędu postaci dywergencyjnej w pobliżu
krawędzi z najlepszą potęgą.
68. Metoda Furiera rozwiązania zagadnienia Dirichleta dla równania Poisona w
obszarze z krawędzią.
3
69. Ciągłość względem Diniego pierwszych słabych pochodnych słabych
rozwiązań zagadnienia Dirichleta dla liniowych eliptycznych równań
drugiego rzędu postaci dywergencyjnej w obszarze stożkowym.
70. Przestrzeń ℵ1m,q (ν ,ν 0 , G ) dla obszaru G z krawędzią.
71. Sformułowanie mieszanego zagadnienia brzegowego dla quasiliniowego
równania eliptycznego drugiego rzędu z potrójną degeneracją w obszarze z
krawędzią. Definicja słabego rozwiązania.
72. Nierówności Sobolewa o zanurzeniu w wagowych przestrzeniach z
degeneracją.
73. Słaba zasada porównawcza dla quasiliniowych operatorów
degeneracyjnych.
74. Silna zasada maksymum Hopfa.
75. Ograniczoność słabych rozwiązań mieszanego zagadnienia brzegowego dla
quasiliniowego równania eliptycznego drugiego rzędu z potrójną
degeneracją w obszarze z krawędzią.
76. Ciągłość względem Höldera słabych rozwiązań mieszanego zagadnienia
brzegowego dla quasiliniowego równania eliptycznego drugiego rzędu z
potrójną degeneracją w obszarze z krawędzią.
77. Konstrukcja funkcji barierowej w układzie cylindrycznym dla modelowego
równania.
78. Nieliniowe zagadnienie Sturma-Liouvill’a odpowiadającego modelowemu
równaniu. Własności rozwiązań tego zagadnienia.
79. Przykład modelowego równania dla m = 2 i jego rozwiazanie.
80. Metoda zaburzeń dla nieliniowego zagadnienia Sturma-Liouvill’a.
81. Oszacowanie maksymum modułu słabego rozwiązania mieszanego
zagadnienia brzegowego dla quasiliniowego równania eliptycznego
drugiego rzędu z potrójną degeneracją w obszarze z krawędzią.
Literatura.
1. Borsuk M., Kondratiev V. Elliptic boundary value problems of second order
in piecewise smooth domains. North-Holland Mathematical Library, v. 69.
Elsevier, 2006.
2. Evans L. Równania różniczkowe cząstkowe. Warszawa, PWN, 2004.
3. Gelfand I., Fomin S. Rachunek wariacyjny. PWN, 1970.
4. Gilbarg D., Trudinger N. Elliptic partial differential equations of second
order. Springer, 1998.
5. Marcinkowska H. Dystrybucje i przestrzenie Sobolewa. W-wo Uniwersytetu
Wrocławskiego, 1990.
6. Marcinkowska H. Wstęp do teorii równań różniczkowych cząstkowych.
PWN. Warszawa, 1972.
7. Sobolev S.L. Some applications of functional analysis in mathematical
physics. AMS, 1991.
4