Zadania I etap

II KONKURS MATEMATYCZNY
DLA UCZNIÓW SZKÓŁ
GIMNAZJALNYCH
Zadania I etapu
Czas rozwiązania 90 minut
POWODZENIA !
1. Uzasadnij, że 7 − 4 3 =
1
2+ 3
2. Udowodnij, że kwadrat liczby naturalnej niepodzielnej przez
3 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1.
(4p)
(5p)
3. Wśród 32 uczniów pewnej klasy 12 gra w siatkówkę i 10 w
koszykówkę, zaś 5 gra w siatkówkę i w koszykówkę. Ile procent
uczniów tej klasy nie gra ani w siatkówkę, ani w koszykówkę? (5p)
4. W trójkącie równoramiennym o bokach długości 5, 5, 6
poprowadzono wysokości. Oblicz odległość punktu przecięcia
tych wysokości od podstawy tego trójkąta
(5p)
5. Czy do naczynia w kształcie walca o średnicy 16 cm można włożyć
trzy puszki o średnicy 10 cm każda? Sporządź odpowiedni rysunek
oraz przedstaw konieczne obliczenia.
(5p)
ROZWIĄZANIA ZADAŃ
Zadanie 1.
I sposób
7−4 3 =
7−4 3 =
7−4 3 =
1
7−4 3 =
2+ 3
1
7−4 3 =
(2 + 3 )
2
1
7+4 3
7−4 3
(7 + 4 3 )⋅ (7 − 4 3 )
7−4 3
49 − 48
7−4 3 =7−4 3
7−4 3 =
1
4+2 3+3
(
II sposób
)
(
2
)
2
Zauważenie, że 7 − 4 3 = 2 − 3 wtedy 7 − 4 3 = 2 − 3 = 2 − 3 , ponieważ
1
2− 3 =
, więc zadanie jest rozwiązane.
2+ 3
Zadanie 2.
Ponieważ liczba n nie jest podzielna przez 3, więc reszta z dzielenia tej liczby przez 3
wynosi 1 lub 2. Więc liczba n jest postaci 3n+1 lub 3n+2.
(
)
n 2 = (3n + 1) = 9n 2 + 6n + 1 = 3 3n 2 + 2n + 1 , w drugim przypadku
2
(
)
n = (3n + 2) = 9n + 12n + 4 = 9n + 12n + 3 + 1 = 3 3n 2 + 4n + 1 + 1 , co oznacza, że reszta z
dzielenia liczby n 2 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1.
2
2
2
2
Zadanie 3.
X
K
5
S
5
Oznaczmy: K - liczba uczniów grających w koszykówkę
S -liczba uczniów grających w siatkówkę
7
K ∩S
K ∩ S -liczba uczniów grających jednocześnie
w koszykówkę i siatkówkę
K ∪S = K + S − K ∩S
K ∪ S = 10 + 12 − 5 = 17
więc liczba uczniów uprawiająca którąś z dyscyplin wynosi 32-17=15. Stąd wynika, że 15
uczniów nie uprawia ani koszykówki, ani siatkówki.
Oznaczmy przez x szukany procent uczniów nie uprawiających żadnej dyscypliny, wtedy
15
x=
⋅ 100% , więc x=46,875%
32
Uwaga: W rozwiązaniu nie jest wymagany formalny zapis, jednak konieczne jest precyzyjne
wyjaśnienie schematu rozumowania.
Zadanie 4.
Do trójkąta ACD stosujemy twierdzenie
Pitagorasa:
AD =
2
AC − CD
C
2
G
•
AD = 5 2 − 32 = 4
∆ABF ~ ∆BCD (KKK)
stąd wynika, że:
AF
CD
AB ⋅ CD
=
; AF =
;
AB
BC
BC
AF =
FB =
F
•
O
•
D
A
B
6⋅4
24
; AF =
5
5
AB − AF
2
2
576
 24 
FB = 6 2 −   = 36 −
=
25
 5 
2
324 18
=
25
5
( Długość odcinka AF można obliczyć również porównując wzory na pole trójkąta ABC )
Do trójkąta ABF stosujemy twierdzenie Pitagorasa:
∆ADO ~ ∆ABF (KKK)
18
OD
FB
AD ⋅ FB
5 = 21 .
=
; OD =
; OD =
24
AD
AF
AF
4
5
3⋅
C
Zadanie 5.
E
D
Oznaczmy GO = R - promień walca
GA = r - promień puszki
A
G
F


2 r 3
r 3
3
 ≈ 1,576 ⋅ r
R=r+ ⋅
=r+
= r 1 +

3 2
3
3


Jeżeli r=5 cm, to R = 1,5766 ⋅ 5 = 7,883 cm. Więc średnica walca wynosi ok. 15,
O
B