Wykład 2

Symetrie i struktury ciała stałego. W Sikora, Wykład 2
Grupy i ich przykłady
ZBIÓR G = { gi } => GRUPA
Pojęcie grupy:
Zbiór G = {gi} nazywamu grupą jeŜeli spełnione są następujące warunki:
1. Jest określone działanie między elementami zbioru, nazywane „mnoŜeniem
grupowym", które nie wyprowadza poza zbiór: g i o g j = g n
2. Działanie to jest łączne:
g i o (g j o g k ) = (g i o g j ) o g k
3. Istnieje element jednostkowy e ∈ G :
gi o e = e o gi = gi
−1
4. Istnieje do kaŜdego elementu g i ∈ G element odwrotny g i ∈ G :
gi o gi
−1
−1
= gi o gi = e
Ilość elementów grupy G nazywamy rzędem grupy i oznaczamy symbolem G
Generatory grupy – minimalna liczba elementów symetrii, taka, Ŝe ich „mnoŜenie”
przez siebie odtwarza całą grupę.
Zbiór P=> podgrupa grupy G:
G: |G|, { g i ∈ G }
P |P|,
{ pi ∈ P}
{ pi ∈ G}
ale są takie g i ∉ P , czyli : |P| < |G|
Podzbiór musi spełniać warunki grupowe aby być podgrupą. Notujemy wtedy
P⊂G
grupa G jest iloczynem prostym swoich podgrup G1 i G2 jeŜeli kaŜdy element
g ∈ G moŜna przedstawić w postaci g = g1 g 2 gdzie g1 ∈ G1 ; g 2 ∈ G2 i elementy grupy
G1 komutują z elementami grupy G2. Elementy kaŜdej z podgrup nie muszą
komutować ze sobą.
G = G1 × G2
Grupa translacji trójwymiarowych jest iloczynem prostym grup translacji jedno- i
dwuwymiarowych
Symetrie i struktury ciała stałego. W Sikora, Wykład 2
grupa cykliczna – zbiór elementów, które wszystkie moŜemy wygenerować z
jednego elementu
n ≡ rząd grupy
{g i } : g i = g ni , g n = e
Przykłady:
C22 = E
~) ( E, C 2 ,C 22 )
C2 ⋅ C2 ⋅ E = E
 −1 0 0   −1 0 0  1 0 0  −1 0 0   −1 0 0  1 0 0

 
 
 
 
 

 0 1 0  ⋅  0 1 0  ⋅ 0 1 0 =  0 1 0  ⋅  0 1 0  = 0 1 0
 0 0 − 1  0 0 − 1  0 0 1   0 0 − 1  0 0 − 1  0 0 1 

 
 
 
 

 
~) ( E, C 3 , C 32 , C 33 )
C3 ⋅ C3 ⋅ C3 ⋅ E = E
C33 = E
 0 0 − 1  0 0 − 1  0 0 − 1  1 0 0   1 0 0 

 
 
 
 

 1 0 0  ⋅  1 0 0  ⋅ 1 0 0  ⋅  0 1 0 =  0 1 0
0 −1 0   0 −1 0  0 −1 0   0 0 1  0 0 1

 
 
 
 

~) ( E, C 4 , C 42 , C 43 , C 44 )
C4 ⋅ C4 ⋅ C4 ⋅ C4 ⋅ E = E
 0 − 1 0  0 − 1 0  0 − 1 0  0 − 1 0  1 0 0  1 0 0

 
 
 
 

 
 1 0 0 ⋅  1 0 0 ⋅  1 0 0 ⋅  1 0 0 ⋅  0 1 0 =  0 1 0
0 0 1  0 0 1  0 0 1  0 0 1  0 0 1  0 0 1

 
 
 
 

 
grupa abelowa ≡ grupa przemienna; relacje komutacji spełnione między wszystkimi
elementami grupy
gi o g j = g j o gi
Przykłady:
KaŜda grupa translacji jest grupą abelową. ( ti + tj = tj + ti )
W grupie obrotów O ∈ O h mamy podgrupy abelowe, np.:
~) {E, 20y-y, 20yy, 2x}
20y-y ◦ 20yy = 20yy ◦ 20y-y = 2x
0   −1 0
 −1 0

 
0 − 1 ⋅  0 0
0
 0 −1 0   0 1

 
 −1 0 0  −1 0

 
0
 0 0 1 ⋅  0
 0 1 0  0 −1

 
0 1 0
0
 

1 = 0 −1 0 
0   0 0 − 1
0  1 0
0
 

− 1 =  0 − 1 0 
0   0 0 − 1
Symetrie i struktury ciała stałego. W Sikora, Wykład 2
~) {E, 2-x0x, 2x0x, 2y }
2-x0x ◦ 2xox = 2x0x ◦ 2-xox = 2y
 0

 0
 −1

0

0
1

− 1  0 0 1   − 1
 
 
−1 0  ⋅0 −1 0 =  0
0
0   1 0 0   0
0 1  0
0 − 1  − 1
 
 
−1 0 ⋅  0 −1 0  =  0
0 0   − 1 0
0   0
0
0

1 0
0 − 1
0
0

1 0
0 − 1
0
Odwzorowania grup:
Homomorfizm F na G
KaŜdemu elementowi {fi} jest przyporządkowany dokładnie jeden element
{g} ( zbiory nie muszą być równoliczne – całemu zbiorowi moŜe być
przyporządkowany jeden element):
∀ fi ∈ F → dokładnie jeden gi ∈ G
jeśli dodatkowo ∀ gi ∈ G → dokładnie jeden fi ∈ F (Izomorfizm),
jest zachowana relacja mnoŜenia :
( obraz fi )( obraz fj ) = obraz ( fi fj )
fi → gi , fj → gj
fi fj = fk , gi gj → gk
fk → gk
zbiór {fk} wszystkich elementów F, którym przyporządkowany jest element
jednostkowy zbioru G Eg: {fk} → Eg nazywamy jądrem odwzorowania F → G.
Przyporządkowanie elementom grupy przekształceń macierzy transformacji
współrzędnych w wybranym układzie odniesienia jest izomorfizmem.
Podgrupy sprzęŜone (symetrycznie równowaŜne)
JeŜeli P1 i P2 są podgrupami G i istnieje element c ∈ G taki, Ŝe :
P2 = c P1 c-1 (czyli kaŜdy element grupy P1 jest mnoŜony w ten sposób dając
odpowiedni element P2), to grupy te są sprzęŜone (równowaŜne).
Przykład
G = D3 = { E , 3I , 3I-1 , 2I , 2IV , 2V }
P1 = D2 = { E, 2I };
c = 3I
-1
-1
P2 = { 3I E 3I , 3I 2I 3I } = { E, 2V } = D2'
Grupy D2 i D2' są sprzęŜonymi (symetrycznie równowaŜnymi) podgrupami grupy D3.
Symetrie i struktury ciała stałego. W Sikora, Wykład 2
Grupy symetrii pozycji naleŜących do tego samego zbioru połoŜeń Wyckoffa są
podgrupami sprzęŜonymi (symetrycznie równowaŜnymi) rozwaŜanej grupy
przestrzennej.
Klasy elementów sprzęŜonych
a,b ∈ G są sprzęŜone gdy ∃ c ∈ G , takie Ŝe :
b = c a c-1
klasa elementów sprzęŜonych z a : zbiór wszystkich róŜnych elementów gi ∈ G
sprzęŜonych z a .
Przykład
G = C3V = { E , C3 , C32 , σa , σb , σc }
1) elementy sprzęŜone z elementem C3 w tej grupie:
EC3E-1 = C3
,
C3C3C3-1 = C3
2
przemienności ) C 3C3 (C32)-1 = C3E = C3
σaC3σa-1 = C32
,
σbC3σb-1 = C32
,
,
C32C3 (C32)-1 = ( z własności
σcC3σc-1 = C32
σa
C3
σa-1
C32
3 2 0  − 1 0 0   − 1 2 − 3 2 0 
 − 1 0 0  − 1 2


 


 0 1 0  =  3 2 − 1 2 0 

−
−
0
1
0
3
2
1
2
0





 0 0 1  0
0
1 
0
1  0 0 1   0







σb
12
3 2
0
C3
σb-1
C32
3 2 0  − 1 2
3 2 0  1 2
3 2 0  − 1 2 − 3 2 0

 


− 1 2 0  − 3 2 − 1 2 0  3 2 − 1 2 0  =  3 2 − 1 2 0 

 


0
1 
0
1  0
0
1  0
0
1   0
σc
C3
σc-1
C32
 12
− 3 2 0  − 1 2 − 3 2 0
− 3 2 0  − 1 2
3 2 0  1 2

 



 − 3 2 − 1 2 0  − 3 2 − 1 2 0  − 3 2 − 1 2 0  =  3 2 − 1 2 0 

 



0
1  0
0
1  0
0
1   0
0
1 
 0
elementy { C3 , C32 } są klasą elementów sprzęŜonych z C3 w grupie C3V
Symetrie i struktury ciała stałego. W Sikora, Wykład 2
2) klasa elementów sprzęŜonych z σa
,
C3 σaC3-1 = σc
E σaE-1 = σa
σa σa σa-1 = σa
, σb σa σb-1 = σc
,
,
C32 σa(C32)-1 = σb
σc σa σc-1 = σb
elementy { σa , σb , σc } stanowią klasę elementów sprzęŜonych z σa
Grupę C3V moŜemy podzielić na klasy :
{ E } , { C3 , C32 } , { σa , σb , σc }
W grupie abelowej kaŜdy element stanowi sam klasę :
Przykład
Grupa C3 = { E , C3 , C32 }
klasy w grupie C3 :
Z przykładu szukania klasy elementów sprzęŜonych do osi C3 w grupie C3V moŜna
zobaczyć, Ŝe w grupie C3 mamy klasy { E } , { C3 } , { C32 }.
Grupa C4 = { E , C4 , C42 , C43 }
1) klasa elementów sprzęŜonych z elementem C4
EC4E-1 = C4
,
C4C4C4-1 = C4 , C42C4(C42)-1 = C4
3
3 -1
C4 C4(C4 ) = C4
2) elementy sprzęŜone do elementu C42
EC42E-1 =C42
,
C4C42C4-1 = C42
C43C42(C43)-1 = C42
,
3) elementy sprzęŜone do elementu C43
EC43E-1 = C43 , C4C43C4-1 = C43
C43C43(C43)-1 = C43
,
4) elementy sprzęŜone do elementu E
EEE-1 = E , C4EC4-1 = E
C43E(C43)-1 = E
,
C42C42(C42)-1 = C42
C42C43(C42)-1 = C43
C42E(C42)-1 = E
Grupę C4 moŜna podzielić na klasy :
{ E } , { C4 } , { C42 } , { C43 }
dwie klasy elementów danej grupy albo są rozłączne ( tzn. nie mają elementów
wspólnych ) albo się pokrywają ( wszystkie elementy mają wspólne )
Symetrie i struktury ciała stałego. W Sikora, Wykład 2
Rozkład grupy G na warstwy względem podgrupy H:
sσ ∉ H (z wyjątkiem elementu jednostkowego)
{hi} ∈ H , H ⊂ G , sσ ∈ G
Lewa warstwa to jest zbiór elementów otrzymanych w wyniku działania
sσH = sσh1 ⊕ sσh2 ⊕ .... ⊕ sσhn
sσ nazywa się reprezentantem warstwy.
Jeśli n = | H | jest rzędem podgrupy H a, | G | jest rzędem grupy G liczbę |sσ| = | G|/| H |
nazywa się indeksem podgrupy H w grupie G
Warstwy względem podgrupy H w G są albo rozłączne albo się pokrywają, grupę G
moŜna więc przedstawić jako sumę ( w sensie sumy zbiorów) warstw i podgrupy
względem której tworzone były warstwy.
Sσ
G=
∑ ⊕ sσH
1
Liczba warstw ( wliczając podgrupę) jest równa indeksowi danej podgrupy w grupie
wyjściowej. Grupa H moŜe mieć kilka nadgrup (grup w których jest podgrupą) i w
kaŜdej z nich moŜe mieć inny indeks.
Podgrupa o najmniejszym moŜliwym indeksie w danej grupie nazywa się podgrupą
maksymalną tej grupy.
Prawa warstwa:
Hsσ = h1sσ ⊕ h2sσ ⊕ .... ⊕ hnsσ
Przykład:
G = C3V
H = C3 = { E , C3 , C32 }
sσ ∈ { σa , σb , σc }
Tworzymy warstwy lewostronne:
σaH = σa{ E , C3 , C32 }
σaE = σa
σa
C3
σc
− 3 2 0
3 2 0  1 2
 − 1 0 0  − 1 2

 






−
−
=
−
−
0
1
0
3
2
1
2
0
3
2
1
2
0






 0 0 1  0
0
1   0
0
1 


σa
C32
σb
Symetrie i struktury ciała stałego. W Sikora, Wykład 2
 − 1 0 0  − 1 2 − 3 2 0   1 2


 0 1 0  3 2 − 1 2 0  =  3 2
 
 0 0 1  0
0
1   0


3 2 0

− 1 2 0

0
1 
σaH = { σa , σc , σb }
podobnie
σbH = { σb , σa , σc }
σc H = { σc , σb , σa }
KaŜda z płaszczyzn moŜe być reprezentantem warstwy poniewaŜ otrzymane za ich
pomocą zbiory są identyczne (pokrywają się).
G = C3V = { E , C3 , C32 } + σa{ E , C3 , C32 }
lub
C3V = { E , C3 , C32 } + σb{ E , C3 , C32 }
C3V = { E , C3 , C32 } + σc{ E , C3 , C32 }
Inną podgrupą w tej grupie jest
H = S1 = { E , σa }
reprezentanci warstw sσ ∈ { C3 , C32 }
C3H = {C3 , σb }
C3
 −1 2

− 3 2

 0
σa
σb
3 2 0  − 1 0 0   1 2
3 2 0


 
− 1 2 0  0 1 0  =  3 2 − 1 2 0 



0
1  0 0 1   0
0
1 
C32H = { C32 , σc }
C32
σa
σc
 − 1 2 − 3 2 0  − 1 0 0   1 2
− 3 2 0



 
 3 2 − 1 2 0  0 1 0  =  − 3 2 − 1 2 0 




0
1  0 0 1   0
0
1 
 0
G = C3V = { E , σa } + C3{ E , σa } + C32{ E , σa }
Takie same warstwy moŜna otrzymać wybierając reprezentantów sσ ∈ { σb , σc}.
MoŜna rozłoŜyć grupę C3V na warstwy prawostronne:
C3V = { E , C3 , C32 } + { E , C3 , C32 }σa
Symetrie i struktury ciała stałego. W Sikora, Wykład 2
C3V = { E , σa } + { E , σa }C3 + { E , σa }C32
W tablicach krystalograficznych ("International Tables for Crystallography") rozkłada
się grupy przestrzenne na warstwy względem grupy translacji :
G = H + aH + bH + ....
G – grupa przestrzenna
H =T – grupa translacji
{ a , b , ...} – reprezentanci
warstw. Właśnie reprezentanci warstw tego rozkładu są wypisani w tablicach
krystalograficznych w bloku "Symmetry operations".
Normalizator podgrupy H w G
Normalizatorem N (H / G) = {gi} jest taki zbiór elementów
gi ∈ G, dla których
spełniona jest zaleŜność
gi H gi-1 = H, co jest równowaŜne równości gi H = H gi
(czyli stierdzeniu, Ŝe warstwy lewa i prawa są sobie równe, a takŜe, Ŝe podgrupa H
poprzez elementy gi jest sprzęŜona sama ze sobą).
JeŜeli N (H / G) = G, czyli jeŜeli dla kaŜdego gi ∈ G zachodzi : giH =Hgi, albo
inaczej gi H gi-1 = H ( w sensie równości zbiorów), to H nazywa się podgrupą
niezmienniczą w G (albo ( dzielnikiem normalnym )
Przykład
G = D3 = { E , 3I , 3I-1 , 2I , 2IV , 2V }
H = C3 = { E , 3I , 3I-1 }
Sprawdzamy czy C3 jest podgrupą niezmienniczą grupy D3
gi = E naleŜy do normalizatora
gi = C3= 3I ;poprzez C3 sprzęgamy kolejne elementy grupy C3
C3EC3-1 = C3C3-1 = E
C3C3C3-1 = C3E = C3
C3C3-1C3-1 = ( z własności przemienności ) EC3-1 = C3-1,
gi = C3 naleŜy do normalizatora
sprawdzamy dla gi = C3-1
C3-1EC3 =E
C3-1C3C3 = EC3 = C3
C3-1C3-1C3 = C3-1E = C3-1
gi = C3-1 naleŜy do normalizatora
sprawdzamy dla gi =2I
Symetrie i struktury ciała stałego. W Sikora, Wykład 2
2IE2I-1 = E
2IC32I = 2IV2I = 3I-1= C3-1
2IC3-12I = 2V2I = 3I = C3
sprawdzamy dla gi =2IV
2IVE2IV = E
2IVC32IV = 3I-1 = C3-1
2IVC3-12IV = 3I = C3
sprawdzamy dla gi =2I
2VE2V = E
2VC32V = C3-1
2VC3-12V = C3
2I , 2IV , 2V – naleŜą do normalizatora
Normalizator grupy pokrywa się w tym przypadku z samą grupą, podgrupa C3 jest
więc podgrupą niezmienniczą grupy D3.
RozwaŜana w przykładzie podgrup sprzęŜonych grupa D2 nie jest podgrupą
niezmienniczą grupy D3.
Grupa G jest iloczynem prostym swoich podgrup G1 i G2 jeŜeli kaŜdy element
g ∈ G moŜna przedstawić w postaci g = g1 g 2 gdzie g1 ∈ G1 ; g 2 ∈ G2 i elementy grupy
G1 komutują z elementami grupy G2. Elementy kaŜdej z podgrup nie muszą
komutować ze sobą.
G = G1 × G2
Przykłady
Grupa translacji trójwymiarowych jest iloczynem prostym grup translacji jedno- i
dwuwymiarowych.
Spośród krystalograficznych grup punktowych wypisane poniŜej są iloczynami
prostymi swoich podgrup:
Dla n =2,4,6 grupy Cnh = Cn x Ci lub Cnh = Cn x Cs oraz Dnh = Dn x Ci lub Dnh = Dn xCs
Dla n = 3 C3h = C3 x Cs oraz D3h = D3 x Cs a takŜe D3d = D3 x Ci
Th = T x Ci , Oh = O x Ci
Grupa G` jest rozszerzeniem G przez H` jeŜeli istnieje homomorfizm G` w G dla
którego H` jest jądrem (H` ⊂ G`)