VI Lista zadań z Ubezpieczeń Życiowych 2014

VI Lista zadań z Ubezpieczeń Życiowych 2014
(jeszcze z poprzedniej listy zostały zadania 33-36)
Zadanie 37.
Opisać obecną wartość renty dożywotniej, płatnej z góry, z gwarantowanym okresem płatności n lat.
Zadanie 38.
Przy założeniu jednostajności śmierci w ciągu roku wyrazić ax t (0  t  1) za pomocą ax , ax 1 .
Wskazówka: skorzystać z zależności: kpx tpx+k = tpx kpx+t.
Zadanie 39.
Osoba w wieku 65 lat ma do wyboru dwie, aktuarialnie równoważne, renty dożywotnie. Obydwie
renty wypłacają raz w roku świadczenie w każdą rocznicę polisy, od zaraz do końca życia. W rencie
R1 płatności są dokonywane nie krócej niż 5 lat. W rencie R2 gwarantowany okres świadczeń wynosi
10 lat. Oblicz o ile procent wysokość świadczenia z renty R1 jest większa od wysokości świadczenia
z renty R2.
Dane są:
D65  320 000 ,
N 70  1 970 000 ,
N 75  1 050 000 .
i  5% ,
Zadanie 40.
Należy wskazać, które z poniższych zależności między funkcjami komutacyjnymi, są prawdziwe.
a) C x  vDx  Dx1 ,
b) M x  Dx  dN x ,
c) Rx  N x  dS x .
Zadanie 41.
Znajdź wariancję wartości obecnej świadczenia w 10-letnim ubezpieczeniu na życie (x) z sumą
ubezpieczenia 1 płatną na koniec roku śmierci, wiedząc że wariancja w analogicznym ubezpieczeniu
na życie i dożycie wynosi W. Ponadto dane są:
ax : 10|   .
v  0.95 ,
10 p x  0.9 ,
Zadanie 42.
Dożywotnia renta dla (x) wypłaca w sposób ciągły świadczenie z intensywnością 1000 zł na rok.
Ubezpieczyciel gwarantuje, że wypłaty będą trwały tak długo, aż suma świadczeń (bez
oprocentowania) osiągnie 2/3 wartości aktuarialnej renty. Podaj wartość jednorazowej składki netto
za to ubezpieczenie, jeśli (x) jest z populacji o wykładniczym rozkładzie trwania życia z µ = 0,05
oraz δ = 0,05
Zadanie 43.
Potraktujmy wielkości Ax oraz a x jako funkcje technicznej intensywności oprocentowania  .
Przyjmijmy, że pochodne tych wielkości względem tej intensywności są następujące:
dAx
da x
 ,
 .
d
d
Wyrazić sumę Ax  a x za pomocą  ,  oraz  .