Wielomiany cyklotomiczne

Maciej I.W.
2013
Wielomiany cyklotomiczne
Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby t ∈ C nazywamy tak¡ liczb¦ zespolon¡ s,
»e sn = t; stopie« n pierwiastka jest liczb¡ caªkowit¡ i n > 1.
B¦d¦ zajmowa¢ si¦ tutaj tylko przypadkiem t = 1, czyli pierwiastkami z
jedynki. Mówimy, »e s jest pierwiastkiem pierwotnym stopnia n z jedynki, gdy
2mπi
sn = 1 i dla »adnego 1 6 m < n nie jest sm = 1, lub równowa»nie, gdy s = e n
i m, n s¡ wzgl¦dnie pierwsze.
Wobec tego drugiego kryterium jest jasne, »e pierwiastków pierwotnych ktego stopnia z jedynki jest dokªadnie ϕ(k) (ϕ to tocjent Eulera).
Zbiory pierwiastków danego stopnia k s¡ interesuj¡ce same w sobie, na
przykªad dlatego, »e sko«czona grupa cykliczna rz¦du k jest izomorczna ze
zbiorem pierwiastków stopnia k z jedynki, z dziaªaniem mno»enia jako dziaªa2πi
niem grupowym, jedynk¡ jako elementem neutralnym i e k jako generatorem
2mπi
(przy tym nie jest to jedyny wybór; generatorem mo»e by¢ ka»da liczba e k
dla której m, k s¡ wzgl¦dnie pierwsze).
Niech teraz x1 , x2 , . . . , xϕ(k) b¦d¡ pierwiastkami pierwotnymi stopnia k z
jedynki. k-ty wielomian cyklotomiczny Φk (x) jest równy
ϕ(k)
Φk (x) =
Y
(x − xj )
j=1
Poni»ej przedstawione s¡ wszystkie Φk (x) stopnia co najwy»ej czwartego
Φ1 (x) = x − 1
Φ2 (x) = x + 1
Φ3 (x) = x2 + x + 1
Φ4 (x) = x2 + 1
Φ5 (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
Φ6 (x) = x2 − x + 1
Φ8 (x) = x4 + 1
Φ10 (x) = x4 − x3 + x2 − x + 1
Φ12 (x) = x4 − x2 + 1
Mo»naby przypuszcza¢, »e wspóªczynniki tych wielomianów s¡ zawsze równe
−1, 0 lub 1; tak jednak nie jest (Φ105 (x) ma dwa wspóªczynniki równe −2).
To co jest prawd¡, to »e poza pierwszymi dwoma nie istniej¡ wielomiany
cyklotomiczne stopnia nieparzystego (to st¡d, »e warto±ci ϕ(k) dla k > 3 s¡
parzyste).
1
Pierwiastki wielomianów cyklotomicznych s¡ ±ci±le zwi¡zane z warto±ciami
funkcji trygonometrycznych dla argumentów wspóªmiernych z π , tzn. takich x,
»e πx jest liczb¡ wymiern¡.
Wyra»aj¡c pierwiastki Φk (x) trygonometrycznie mamy (zapis (j, k) symbolizuje najwi¦kszy wspólny dzielnik liczb j, k)
Y
Φk (x) =
06j<k∧(j,k)=1
2πj
2πj
x − cos
+ i sin
k
k
sk¡d otrzymujemy ukªad ϕ(k) równa«
2jπ
2jπ
+ i sin
= xj
k
k
lub równowa»ny ukªad 2ϕ(k) równa«
cos
2jπ
= Im xj
(1)
k
gdzie j przebiega te liczby ze zbioru 0, 1, . . . , k − 1 które s¡ pierwsze wzgl¦dem k, a pierwiastki xj uªo»one s¡ wedªug rosn¡cego argumentu (poniewa»
cos
2jπ
= Re xj
k
sin
pierwiastki wyst¦puj¡ w parach ze swoimi sprz¦»eniami, istotnych równa« jest
tylko ϕ(k)).
Pierwszy nietrywialny przypadek to
Φ3 (x) = x2 + x + 1 =
√ !
√ !
1
3
1
3
x+ +i
x+ −i
2
2
2
2
Równania (1) przyjmuj¡ wtedy posta¢
cos
2π
π
1
= − cos = −
3
3
2
sin
√
2π
π
3
= sin =
3
3
2
sk¡d
√
π
3
sin =
3
2
π
1
cos =
3
2
Równie ªatwo oblicza si¦
√
π
2
π
cos = sin =
4
4
2
bior¡c Φ4 (x). Równania generowane przez Φ6 (x) s¡ powtórzeniem równa« z
Φ3 (x).
Do rozwi¡zania równania
x4 + x3 + x2 + x1 + 1 = 0
2
(2)
przyda si¦ fakt, »e wobec |x| = 1 mamy xx = 1, wi¦c mo»na zast¡pi¢ x4 =
1
3
2
x = x i x = x (x to liczba sprz¦»ona do x). Mamy wi¦c
x5
x
=
x + x + x2 + x2 + 1 = 2 Re x2 + 2 Re x + 1
co przy
|x|2 = Re2 x + Im2 x = 1
oraz
Re x2 = Re2 x − Im2 x = 2 Re2 x − 1
staje si¦
2 Re x2 + 2 Re x + 1 = 4 Re2 x − 2 + 2 Re x + 1 = 4 Re2 x + 2 Re x − 1.
Równanie (2) upraszcza si¦ wobec tego do
Re2 x +
sk¡d
1
Re x =
2
1
− ±
2
Re x 1
− =0
2
4
r !
√ 5
1
=
−1 ± 5 .
4
4
4π
Przyporz¡dkowuj¡c rozwi¡zanie dodatnie do cos 2π
5 i ujemne do cos 5 otrzymujemy
√
cos
π
4π
= cos π −
5
5
oraz
sin
π
=
5
= − cos
s
r
1 − cos2
π
=
5
1−
1+ 5
4π
=
5
4
√
q
√
6+2 5
1
10 − 2 5.
=
16
4
Nale»y zwróci¢ uwag¦, »e o ile cos π5 jest niewymierno±ci¡ drugiego stopnia,
to sin π5 jest ju» niewymierno±ci¡ stopnia czwartego.
3