Filtry o nieskończonej odpowiedzi impulsowej NOI

Politechnika Wrocławska
Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki
Przetwarzanie sygnałów – laboratorium
ETD5067L
Ćwiczenie 5.
Filtry o nieskończonej odpowiedzi impulsowej (NOI)
1. Wprowadzenie
Podstawową różnicą między filtrami o nieskończonej odpowiedzi impulsowej (NOI)
a filtrami o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) jest fakt, że do filtracji za pomocą filtrów
SOI wykorzystuje się tylko próbki wejściowe, natomiast filtry NOI wymagają także podania na
wejście przeszłych próbek wyjściowych. Stąd filtry NOI nazywane są często filtrami rekursywnymi.
Algorytm przetwarzania informacji przez filtr NOI można przedstawić jako:
y [n]=a 0 x [ n]a1 x [n−1]a 3 x [n−2 ]b1 y [n−1]b 2 y [n−2]b 3 y [n−3] ,
gdzie: n – numer próbki, ai – współczynnik dla sygnału wejściowego, bi – współczynniki
dla sygnału wyjściowego.
W ogólnym przypadku odpowiedź impulsowa filtru NOI dąży asymptotycznie do zera. Filtry NOI
charakteryzują się gorszymi parametrami użytkowymi takimi jak tłumienie w pasmie zaporowym
bądź zafalowanie, ale odznaczają się znacznie większą szybkością działania w porównaniu
z filtrami SOI, gdyż do ich budowy wystarczy tylko niewielka liczba współczynników.
2. Filtry jednobiegunowe
Filtr jednobiegunowy posiada jeden biegun na płaszczyźnie liczb zespolonych. Do jego
budowy za pomocą metody rekursywnej stosuje się tylko dwa współczynniki dla filtru
dolnoprzepustowego oraz trzy współczynniki dla filtru górnoprzepustowego.
a 0=1−x
b 1=x
a 0=1x / 2
a 1=−1x/ 2
b 1=x
Współczynniki filtru dolnoprzepustowego
Współczynniki filtru górnoprzepustowego
Parametr x opisuje szybkość zmian między kolejnymi próbkami i powinien mieścić się w przedziale
(0, 1). Łączy go zależność z częstotliwością odcięcia filtru f c w postaci x=e−2 f . Aby poprawić
c
charakterystykę częstotliwościową filtru jednobiegunowego można łączyć kaskadowo kilka stopni.
1
3. Filtry wąskopasmowe
Filtry wąskopasmowe należą do grupy filtrów NOI, które umożliwiają wydzielenie bardzo
wąskiego pasma częstotliwości z widma sygnału wejściowego. Dzielą się na filtry
pasmowoprzepustowe i pasmowozaporowe. Ich współczynniki można wyznaczyć z wzorów:
a 0=1−K
a 1=2K −R cos 2 f 
a 2=R 2−K
b 1=2 R cos2 f 
b 2=−R2
K=
a 0=K
a 1=−2 K cos 2 f 
a 2=K
b 1=2 R cos2 f 
b 2=−R2
1−2 R cos 2 f R2
2−2 cos 2  f 
R=1−3 BW
Współczynniki filtru pasmowoprzepustowego
Współczynniki filtru pasmowozaporowego
gdzie: BW - szerokość pasma sygnału wyjściowego nie mniejszego niż 1/ 2 amplitudy
sygnału wejściowej, f - częstotliwość środkowa filtru. Podobnie jak w przypadku filtrów
jednobiegunowych, w celu poprawienia charakterystyki częstotliwościowej filtrów
wąskopasmowych można łączyć je kaskadowo.
UWAGA: Zarówno częstotliwość odcięcia, jak i pasmo przenoszenia filtru definiuje się jako
ułamek częstotliwości próbkowania, więc ich wartości muszą mieścić się w przedziale od 0 do 0,5.
4. Filtry Czebyszewa
Filtry Czebyszewa charakteryzują się szybką charakterystyką opadania i często są
wykorzystywane do rozdzielania pasm częstotliwości. Niekorzystnym zjawiskiem występującym
w odpowiedzi częstotliwościowej filtru Czebyszewa jest zafalowanie, przy czym im większe jest
zafalowanie, tym bardziej strome jest opadanie charakterystyki.
Charakterystyka częstotliwościowa dolnoprzepustowego filtru Czebyszewa w skali liniowej
2
Projekt filtru Czebyszewa wymaga podania czterech parametrów:
1. odpowiedzi dolno- lub górnoprzepustową
2. częstotliwości odcięcia
3. procentowej zawartość zafalowań w paśmie przepustowym bądź współczynnik zafalowania
w decybelach
4. liczby biegunów.
Najczęściej zawartość procentową ustala się na poziomie 0,5%, natomiast w skali logarytmicznej
typowo stosuje się 0,5 dB lub 3 dB. Współczynniki filtru można obliczyć, skorzystać z tabel bądź
wykorzystać
dostępne
aplikacje
komputerowe
takie
jak
np.
WinFilter
(http://www.winfilter.20m.com/).
5. Zadania do realizacji
W trakcie zajęć należy rozwiązać pięć podanych poniżej zadań. Za każde zadanie można
otrzymać jeden punkt pod warunkiem, że zostanie ono całkowicie poprawnie zrealizowane. Zaleca
się wykorzystywanie funkcji napisanych podczas realizacji wcześniejszych ćwiczeń
laboratoryjnych.
Zadanie nr 1
Zadanie pierwsze polega na napisaniu funkcji w postaci
function [a,b] = onepole_LPF(fc)
# definicja ciała funkcji
endfunction
która będzie wyznaczać współczynniki dolnoprzepustowego filtru jednobiegunowego oraz funkcji
function [a,b] = onepole_HPF(fc)
# definicja ciała funkcji
endfunction
zwracającej współczynniki górnoprzepustowego filtru jednobiegunowego o częstotliwości odcięcia
fc.
Zadanie nr 2
Zadanie polega na napisaniu funkcji postaci
function [y] = NOI_filter(x,a,b,N)
# definicja ciała funkcji
endfunction
która będzie realizowała filtrowanie rekursywne próbek wejściowych x z wykorzystaniem
współczynników a oraz b, gdzie N to długość rekordu wynikowego. Wyniki działania funkcji
należy przedstawić na przykładzie filtracji sygnału wejściowego typu delta Kroneckera bądź skoku
jednostkowego.
3
Zadanie nr 3
W zadaniu trzecim należy napisać funkcję postaci
function [a,b] = narrow_BF(f,BW)
# definicja ciała funkcji
endfunction
wyznaczającą współczynniki pasmowoprzepustowego filtru wąskopasmowego oraz funkcję
w postaci
function [a,b] = narrow_NF(f,BW)
# definicja ciała funkcji
endfunction
wyznaczającą współczynnik pasmowozaporowego filtru wąskopasmowego,
częstotliwość środkowa, a BW to szerokość pasma przenoszenia filtru.
gdzie
f
to
Zadanie nr 4
Zadanie czwarte polega na porównaniu charakterystyk częstotliwościowych filtrów dwu-,
cztero- i sześciobiegunowych Czebyszewa o zafalowaniu 0,5%. Częstotliwość odcięcia ustala
prowadzący zajęcia.
Zadanie nr 5
W zadaniu piątym należy porównać w skali liniowej i logarytmicznej odpowiedzi
częstotliwościowe filtru utworzonego z okienkowanej funkcji sinc oraz sześciobiegunowego filtru
Czebyszewa dla ustalonej przez prowadzącego częstotliwości odcięcia oraz zadanego zafalowania
wyrażonego w decybelach. Należy dobrać odpowiednią długość odpowiedzi impulsowej filtru typu
sinc.
Pytania na kartkówkę
1. Co to są filtry NOI i jakie są ich podstawowe właściwości?
2. Napisz funkcję realizującą filtrowanie NOI metodą rekursywną dla a współczynników
sygnału wejściowego, b współczynników sygnału wyjściowego dla 20-punktowego sygnału
wejściowego oraz wyjściowego (liczby a i b podaje Prowadzący).
3. Napisz funkcję realizującą jednobiegunowy górnoprzepustowy filtr NOI o częstotliwości
odcięcia f c .
4. Jaka jest relacja między częstotliwością odcięcia a częstotliwością próbkowania?
5. Co to jest filtr Czebyszewa i jakie ma właściwości?
4