materialy_-_laboratorium_01

Wspomaganie Zarządzania Przedsiębiorstwem - Laboratorium 01
Problem doboru optymalnego asortymentu produkcyjnego
Przykład 1.
Firma Łakocie wytwarzająca wyroby czekoladowe, postanowiła uruchomić jednodniową produkcję
próbną dwóch nowych batonów: Danek i Janek. Przedsiębiorstwo chce tak ustalić produkcję nowych
batonów, aby z ich sprzedaży osiągnąć maksymalny zysk. Na uruchomienie produkcji próbnej można
przeznaczyć sześć godzin pracy urządzania formującego batony oraz 240 kg masy bakaliowej, będącej
podstawowym składnikiem batonów. Postanowiono, że pracownicy oddelegowani do tej produkcji
powinni zarobić co najmniej 400 PLN. W przedsiębiorstwie tym, wielkość produkcji nie jest mierzona
w sztukach, ale tzw. masą produkcji, przyjmując 100kg jako jednostkę podstawową.
W tabeli 1. zestawiono wielkości określające nakłady jednostkowe poszczególnych elementów oraz
wielkość zysku powstałego ze sprzedaży określonych batonów.
Tabela 1.
Asortyment
Danek
Janek
Zasoby
praca urządzeń
(h/j.pr.)
2,0
1,2
6
Nakłady jednostkowe
masa bakaliowa
(kg/j.pr.)
40
60
240
robocizna
(PLN/j.pr.)
100
200
400
Zysk (PLN/j.pr.)
480
210
-
Przykład 2.
Model matematyczny przykładowego zadania z nieograniczoną funkcją przedstawia się następująco:
:
Przykład 3.
Model matematyczny przykładowego zadania ze sprzecznym układem warunków ograniczających
przedstawia się następująco:
:
Zagadnienie transportowe
Przykład 4.
Firma „Karma” ma zakłady produkcyjne w Radomiu i Lesznie, w których produkuje paszę dla bydła
w ilości odpowiednio 800 i 1200 t miesięcznie. Firma ma cztery hurtowanie poza miejscami produkcji,
które zlokalizowane są w Pile, Łomży, Opolu i Tarnowie. Piąta część miesięcznej produkcji pozostaje
w magazynie każdego z zakładów produkcyjnych, zaś pozostała część paszy (1600 t) ma zostać
przetransportowana w proporcjach 20%, 30%, 25% i 25% dla odpowiednich hurtowni. Znając koszty
przewozu jednej tony paszy z poszczególnych zakładów produkcyjnych do poszczególnych hurtowni
należy wyznaczyć plan przewozów tak, aby globalny koszt transportu był minimalny. Dane dotyczące
kosztów transportu przedstawiono w tabeli 2.
Tabela 2.
Podaż / Popyt
Radom 640
Leszno 960
Piła 320
41,8
17,6
Łomża 480
23,5
46,6
Opole 400
27,5
18,4
Tarnów 400
19,1
43,9
Dla przedstawionego problemu można stworzyć ilustrację graficzną, która może ułatwić zrozumienie
problemu i proces budowy modelu matematycznego – rysunek 1.
Na tej podstawie można rozpocząć budowę modelu matematycznego. Należy zwrócić uwagę, że
globalna podaż w zadaniu i globalny popyt są takie same i zadanie takie nosi nazwę zadania
zbilansowanego lub zamkniętego. Zmienne od x13 do x26 zgodnie z przedstawionym grafem określają
wielkość masy paszy, która ma zostać przewieziona między określonymi miejscowościami.
3 - Piła
b3=320
,1
19
5 – Opole
b5=400
18
x24
5
x2
–
,4
6
x 15
,6
–
x2
5–
46
43
16
–x
,9
–
41
27,
x14
3
x2
,8
-x
13
–
,6
17
1 – Radom
a1=640
2
–
3,5
4- Łomża
b4=480
6 - Tarnów
b6=400
Rysunek 1.
2 – Leszno
a2=960
Modelowanie przepływów w sieciach
Przykład 5.
Zadanie polega na wyznaczeniu przepływu dopuszczalnego o minimalnym koszcie i największego
przepływu dopuszczalnego. Powiązania między węzłami przedstawiono na rysunku 2.
8
6
4
4
2
5
2
6
2
b1=120
b2=250
4
a2=300
5
1
1
a1=250
3
3
5
b3=100
Rysunek 2.
Liczby widniejące nad poszczególnymi łukami określają koszty przepływu między poszczególnymi
węzłami. Założono, że przepływ na łuku (1,3) powinien być nie mniejszy niż 30 i nie większy niż 50,
a na łuku (1,6) – nie większy od 150. Na pozostałych łukach przepływy mogą być dowolne.
Przykład zadania wyszukiwania najkrótszej drogi
Przykład 6.
Zadanie polega na znalezieniu najkrótszej drogi w taki sposób, aby z miejscowości początkowej
znaleźć się w miejscu docelowym. W rozpatrywanym przykładzie należy pokonać trasę z Warszawy
do Sofii. Sieć połączeń zaprezentowana jest na rysunku 3.
1 - Warszawa
300
356
402
2 - Katowice
440
5 - Wiedeń
4 - Lwów
3 - Zakopane
474
330
823
6 - Budapeszt
430
813
365
7 - Bukareszt
774
8 – Zagrzeb
403
768
9 – Sofia
Rysunek 3.
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadania o charakterze produkcyjnym
Zadanie 1
Przedsiębiorstwo wytwarza cztery rodzaje wyrobów: A, B, C, D na trzech oddziałach produkcyjnych:
O1, O2, O3. czas pracy oddziałów przypadający na obróbkę jednostek poszczególnych wyrobów
w godzinach podano w tabeli 3. Jednostkowy zysk (w PLN) wynosi odpowiednio: A – 3,0; B – 1,5; C –
4,0; D – 3,5. W jednym miesiącu poszczególne oddziały mogą pracować odpowiednio: O1 – 210 godz.;
O2 – co najmniej 100 godz.; O3 – co najwyżej 200 godz.
Które wyroby i w jakich ilościach powinny być produkowane przez przedsiębiorstwo, aby
zrealizowany zysk był maksymalny? Podać wielkość maksymalnego zysku.
Tabela 3.
Oddziały
O1
O2
O3
Czas pracy na jednostkę
wyrobu (w godz.)
A
B
C
D
1,0
0,0
1,5
2,0
0,0
0,0
3,0
1,0
1,5
2,0
0,0
1,5
Zadanie 2
Zakład dziewiarski wyspecjalizował się w produkcji dwóch wyrobów wełnianych: W1 i W2. Wąskim
gardłem procesu produkcji są maszyny typu r1 i r2. W tablicy 4. podano normy pracy maszyn przy
produkcji wyrobów W1 i W2 oraz ich zdolności produkcyjne.
a) Należy ustalić plan produkcji zapewniający maksymalny łączny przychód ze sprzedaży (cena
zbytu wyrobu W1 = 50 PLN, W2=75 PLN), z tym, że warunki rynkowe dyktują, aby ilość
produktu W1 była 2,5 raza większa niż produktu W2.
b) Czy zmieni się rozwiązanie w przypadku objęcia sezonową obniżką cen wyrobu W2 do
poziomu 45 PLN?
Tabela 4.
Maszyny
typu
r1
r2
Czas pracy maszyny (w godz.) na
jednostkę wyrobu
W1
W2
2
1
2
2
Dopuszczalny czas pracy maszyny
w ciągu dnia
12
20
Zadanie 3
Rafineria ropy naftowej typu paliwowo-olejowego zakupuje do przerobu dwa gatunki ropy: R1 i R2,
w cenach odpowiednio 7 i 14 PLN za jednostkę przerobową. Wycinkowy proces technologiczny
odbywający się w wieży rektyfikacyjnej daje trzy produkty. Z jednostki ropy R1 otrzymuje się 16 hl
benzyny, 20 hl oleju napędowego i 24 hl pozostałości. Z jednostki przerobowej R2 otrzymuje się 48 hl
benzyny, 10 hl oleju napędowego i 14 hl pozostałości.
Ile należy zakupić ropy R1 i R2, aby wyprodukować co najmniej 48000 hl benzyny oraz 20000 hl oleju
napędowego przy minimalnym koszcie nabycia surowca? Co więcej należy określić procentowo
stopień wykorzystania zdolności produkcyjnej wieży przy optymalnych rozmiarach zakupu
poszczególnych rodzajów ropy.
Należy wziąć pod uwagę fakt, że zdolność przerobowa wieży mierzona łączną objętością wszystkich
produktów wynosi 144000 hl.
Zadanie 4
Żeliwo maszynowe (przeznaczone na odlewy) wytwarzane z trzech stopów powinno zawierać
odpowiednio: C – najwyżej 14%, Si – nie więcej niż 8%, Mn – co najmniej 25% i P – co najmniej 12%.
Zawartości procentowe C, Si, Mn i P w poszczególnych stopach oraz koszt zakupu 1 tony każdego
z nich podano w tabeli 5. Należy zminimalizować koszt wytworzenia 3000 t żeliwa maszynowego.
Tabela 5.
Stopy
I
II
III
C
28
14
10
Pierwiastek
Si
Mn
10
30
12
20
6
30
P
10
10
15
Cena (w PLN)
100
50
200
Zadanie 5
Na jeden komplet składają się detal typu A, 3 detale typu B i 5 detali typu C. Detale wycinane są
z blachy siedmioma sposobami. W tabeli 6. podano liczby poszczególnych detali i odpady uzyskiwane
z 1m2 blachy przy zastosowaniu każdego ze sposobów rozkroju. Ile razy należy zastosować możliwe
sposoby cięcia, aby wyprodukować 1200 kompletów minimalizując odpad?
Tabela 6.
2
Detale
A
B
C
Odpad
I
2
0
0
0
Sposoby rozkroju 1m blachy
II
III
IV
V
VI
1
1
0
0
0
1
0
3
2
1
1
3
0
2
4
0,5
0,5
0,1
0,1
0,1
VII
0
0
6
0,1
Zadanie 6
Przedsiębiorstwo przemysłowe wytwarza dwa wyroby: I i II z surowca dostarczonego w formie
czterech rodzajów kształtek: A, B, C, D. Ilość wyrobów możliwa do uzyskania z jednej kształtki oraz
odpad pozostały po procesie produkcji jest następujący:
kształtka A – 3 wyroby I, 1 wyrób II, odpad 0,8 kg,
kształtka B – 2 wyroby I, 5 wyrobów II, odpad 1,2 kg,
kształtka C – 4 wyroby I, 0 wyrobów II, odpad 0,6 kg,
kształtka D – 0 wyrobów I, 5 wyrobów II, odpad 0,9 kg.
Zaproponować strukturę zakupu kształtek potrzebnych do wytworzenia co najmniej 1000 szt. wyrobu
I oraz co najmniej 2000 szt. wyrobu II, minimalizując koszt odpadów (po odliczeniu sum uzyskanych
ze sprzedaży odpadów na złom, koszt 1 kg odpadu wynosi 2,5 PLN). Określić wartość minimalnego
odpadu.
Zadania o charakterze transportowym
Zadanie 7
Cztery piekarnie zlokalizowane na terenie miasta są zaopatrywane w mąkę z dwóch magazynów
znajdujących się peryferiach. Zasoby mąki w magazynach wynoszą: w magazynie A – 130 t,
w magazynie B – 200 t, a zapotrzebowanie piekarń wynosi odpowiednio: 80, 120, 70, 60 t. Koszty
dostawy mąki do piekarni zależą tylko od odległości, które podano w tabeli 7.
Tabela 7.
Magazyny
A
B
1
25
17
Punkty skupu
3
3
24
28
30
15
4
13
26
Wyznaczyć taki plan przewozów, który zapewni minimalizację kosztów dostaw mąki.
Zadanie 8
Trzy cementownie: C1, C2 i C3 położone w różnych miejscowościach zaopatrują w cement cztery
składy: S1, S2, S3 i S4 materiałów budowlanych. Zdolności produkcyjne każdej cementowni wynoszą
900t, natomiast zapotrzebowanie składów wynosi odpowiednio 500, 600, 700 i 800 t. Koszty
transportu 1t cementu z cementowni do składów (w PLN) podano w tabeli 8.
Tabela 8.
Dostawcy
C1
C2
C3
S1
8
8
4
Odbiorcy
S2
S3
8
6
4
2
7
6
S4
5
3
4
Wyznaczyć taki plan przewozów, który zapewni minimalizację kosztów dostaw cementu.
Zadania dotyczące modelowania przepływów w sieci
Zadanie 9
Pewne przedsięwzięcie, na które składa się 18 czynności o łącznym czasie trwania 200 h, zaplanować
tak, aby trwało możliwie najkrócej. Czasy trwania poszczególnych czynności oraz ich następstwo
w czasie przedstawiono w tabeli 9.
Tabela 9.
Czynności i-j
1-2
1-3
1-4
1-5
2-5
Czas tij
5
10
3
12
10
Czynności i-j
3-8
4-8
5-6
5-7
6-10
Czas tij
9
7
9
12
20
2-6
3-4
3-5
3-7
23
5
3
16
7-9
7-10
8-9
9-10
13
18
15
10
Zbudować siatkę czynności dla przedstawionego przedsięwzięcia. Określić, jaki jest najkrótszy czas
wykonania całego przedsięwzięcia przy optymalnym zorganizowaniu pracy i jaka jest kolejność
wykonywania działań.
Określić tzw. ścieżkę krytyczną, czyli maksymalny czas realizacji całego przedsięwzięcia oraz kolejność
wykonywania czynności.
Zadanie 10
Sporządzić wykres sieciowy przedsięwzięcia składającego się z czynności A-N zgodnie z tabelą 10.
Tabela 10.
przed czynnością
A
B
C
D
E
F
G
H
należy wykonać
czynność:
FiM
E
D
E
FiM
C
przed czynnością
I
J
K
L
Ł
M
N
należy wykonać
czynność:
C
D, G i B
HiJ
G, D i B
A, L i K
E
I oraz Ł
Przyjmując, że czasy trwania czynności A-N wynoszą kolejno: 7, 10, 8, 5, 7, 2, 12, 12, 10, 7, 13, 10, 10,
8, 3 dni wyznaczyć najwcześniejszy możliwy termin zakończenia przedsięwzięcia oraz ścieżkę
krytyczną. Odpowiedzieć na pytania:
a) czy termin końcowy zmieni się jeżeli czynność I (ze względu na chwilowy brak środków)
rozpocznie się o 10 dni później,
b) czy termin końcowy zmieni się jeżeli czas trwania czynności J można będzie skrócić o 3 dni.
Zadania dotyczące poszukiwania najkrótszej drogi
Zadanie 11
Prywatna firma przewozowa ma zaplanować przebieg linii autobusowej z Krakowa (punkt 1) do
Paryża (punkt 9), tak aby zapewnić jej największą frekwencję. Badania rynku wykazały, że frekwencja
na danej linii zależy w bezpośredni sposób od atrakcyjności trasy przejazdu. Na rysunku 4.
przedstawiono możliwe warianty przebiegu trasy wraz ze spodziewaną liczbą pasażerów na każdym
z etapów.
6
9
2
4
12
10
11
6
14
1
13
3
11
13
12
5
8
7
14
9
4
7
10
8
Etap 1
Etap 3
Etap 2
Etap 4
Etap 5
Rysunek 4.
Zadanie 12
Dla przedsięwzięcie przedstawionego na rysunku 5. znaleźć najkrótszą drogę z punktu 1 do 9. Na
rysunku 22. podano odległości między poszczególnymi punktami.
4
100
2
50
7
30
3
200
110
110
1
100
130
50
100
100
5
300
40
9
200
120
8
100
6
Etap 1
Etap 2
Etap 3
Rysunek 5.
Etap 4
Etap 5