KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO r

KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO
wektor położenia
w kartezjańskim układzie współrzędnych:
r (t ) = [x (t ), y (t ), z (t ) ]
ϕ
z
er
eϕ
ϑ r eϑ
tor
r
y
x
w układzie biegunowym
i sferycznym:
r (t ) = r ( t ) ⋅ e r
prędkość
v (t ) =
dr (t )
dt
 dx(t ) dy (t ) dz (t ) 
=
,
,
dt
dt 
 dt
V(t)
∆r
r(t)
r(t+∆t)
wektor prędkości jest styczny do toru
∆r - wektor przesunięcia
przyspieszenie
v(t)
∆v
a
v(t+∆t)
dv
a=
dt
droga
vi
i+1
A
(t1)
B
i+2
(t2)
i
1
2
3
∆s ≈ ∆r
4
ds = dr
ds = dr = v ⋅ dt =
=
( v x ⋅ dt ) + ( v y ⋅ dt ) + ( v z ⋅ dt )
( vx ) + ( v y ) + ( vz )
2
2
2
2
2
⋅ dt = v ⋅ dt
t2
S AB ≈ ∑ vi ⋅ ∆ti
i
2
S AB = ∫ v(t) ⋅ dt
t1
=
przyspieszenie styczne i normalne
niech:
wtedy:
składnik
v = v⋅τ
a=
v⋅τ
τ - wersor styczny do toru
dv
= vɺ ⋅ τ + v ⋅ τɺ
dt
jest styczny do toru
- przyspieszenie styczne
Uzupełnienie:
okrąg
ściśle styczny
P
B2
A2
B1
A1
O1
O2
ciąg okręgów poprowadzonych przez punkty A1PB1 , A2PB2 , .....
zbiega się do okręgu ściśle stycznego
τ(t)
n
∆τ
∆ϕ
ρ
τ(t+∆t)
∆τ
n
okrąg
ściśle styczny
do toru
∆τ
τɺ ≈
∆t
∆τ τ ⋅ ∆φ
v
∆s
τɺ ≈
=
=
=
∆t
∆t
ρ ⋅ ∆t ρ
ostatecznie:
τ =
v
ρ
⋅n
n – wektor normalny do toru
a zatem:
v ⋅ τɺ = v ⋅
v
ρ
⋅n =
v2
ρ
⋅n
- przyspieszenie normalne
Przyspieszenie w ruchu po dowolnym torze z dowolnie zmienną prędkością:
a = v ⋅τ +
v2
ρ
⋅n
przyspieszenie całkowite = p. styczne + p. normalne
względność ruchu
V
r2
O2
R
r1
O1
Układ odniesienia O2 ma prędkość V względem układu O1.
Wtedy prędkość ciała w układzie odniesienia O1 jest:
v1 =
dr1 d
dR dr2
= ( R + r2 ) =
+
= V + v2
dt dt
dt
dt
zaś prędkość ciała w układzie odniesienia O2 :
dr2 d
dr1 dR
v2 =
= ( r1 − R ) =
−
= v1 − V
dt dt
dt dt
v1 = V + v 2
⇒
v 2 = v1 − V