Tematy zadań – arkusze maturalne 6

Tematy zadań – arkusze maturalne 6-10.
1. Zestaw 6
Arkusz1 – poziom podstawowy
1) Wyznacz wszystkie liczby x ∈ R , które spełniają nierówność x 2 < 4x , ale nie
spełniają nierówności x + 2 < 3 .
2) Dany jest wykres pewnej funkcji y = f ( x ) określonej dla x ∈ − 6,3 .
Określ:
a) zbiór wartości i miejsca zerowe funkcji,
b) przedziały monotoniczności,
c) zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne.
3) Wyznacz liczbę składników w sumie 2 + 5 + 8 + 11 + ... + 449 i oblicz tę sumę.
4) Rysunek przedstawia kształt obszaru zakreślonego przez wycieraczkę szyby
samochodu. Kąt AOC ma miarę 2,5 radiana oraz |OB|=20cm, a ramię BA
wycieraczki ma długość 30cm. Oblicz pole obszaru, który czyści wycieraczka.
5) Spośród wszystkich ścian ostrosłupa sześciokątnego wybieramy losowo trzy.
Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe wśród wybranych ścian znajdzie się podstawa
tego wielościanu?
x≥0

6) Oblicz pole figury wyznaczonej przez układ nierówności:  y + x ≤ 5
 2y − x ≥ 4

7) KaŜdą z 20 kobiet zapytano o liczbę posiadanych dzieci. Otrzymane wyniki
przedstawiono na histogramie. Oblicz średnią liczbę dzieci posiadanych przez
jedną kobietę oraz odchylenie standardowe liczby dzieci.
8) Przed ulokowaniem 400 000 euro masz do wyboru propozycje dwóch banków:
Bank A proponuje kwartalną kapitalizację odsetek przy oprocentowaniu 8% w
skali roku, natomiast Bank B proponuje roczną kapitalizację odsetek w
wysokości 9%.
W którym banku korzystniej jest złoŜyć pieniądze na rok?
Ile euro zyskałeś wybierając odpowiedni bank?
9) Pewna parabola o wierzchołku W = ( 2,5) przecina oś OY w punkcie A = (0,4) .
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej, której wykresem jest ta parabola.
Wyznacz miejsca zerowe tej funkcji.
10) W trapezie prostokątnym dłuŜsza przekątna ma długość 12cm i tworzy z
dłuŜszym ramieniem kąt o mierze 300, natomiast z krótszym ramieniem kąt o
mierze 600. Oblicz pole tego trapezu.
11) Podnosząc
liczbę
dodatnią
3− 5
do
kwadratu
otrzymamy:
(3 − 5 ) = 14 − 6
2
5 . Stąd otrzymujemy ciekawą równość
Zaproponuj analogiczną równość dotycząca liczby
zaproponowaną równość.
Arkusz2 – poziom rozszerzony
12) Dane są prawdopodobieństwa warunkowe P: P( A / B ) =
14 − 6 5 = 3 − 5 .
11 + 4 7 . Uzasadnij
2
1
, P( A / B' ) = , oraz
5
2
1
. Oblicz P( A ) oraz P( A ∩ B ) .
3
13) W kulę o promieniu R = 4 wpisano sześcian. Oblicz, jaki procent objętości kuli
stanowi objętość sześcianu. Podaj wynik z zaokrągleniem do 1%.
14) Dla jakich wartości parametru m równanie − x 2 + 4x = m ma dwa pierwiastki, z
których kaŜdy jest większy od 1?
P(B ) =
15) Określ dziedzinę funkcji f ( x ) = log 0, 5 ( x 2 − 5x + 4) − log 0, 5 (5x − 5) + 1
16) Dany jest ciąg określony rekurencyjnie:
 a1 = 2

+
a n + 1 = 3 ⋅ a n + 2, dla n ∈ N
Oblicz pięć początkowych wyrazów tego ciągu. Udowodnij metodą indukcji
matematycznej, Ŝe powyŜszy ciąg moŜna wyrazić wzorem ogólnym
a n = 3 n − 1 dla n ∈ N + .
17) Dana jest funkcja f ( x ) = x 4 .
f ( 2 + h ) − f ( 2)
dla h=0,1.
h
f ( 2 + h ) − f ( 2)
, gdy wartość h
b. Do jakiej liczby dąŜy wartość wyraŜenia
h
dąŜy do zera?
1
1
18) RozwiąŜ równanie
=
, x ∈ − π, π .
sin x sin 4x
19) Dwa krótsze boki trójkąta rozwartokątnego mają długości 5cm i 6cm. Jakie
wartości moŜe przyjmować długość trzeciego boku?
20) Wyznacz równania prostych przechodzących przez początek układu
współrzędnych i stycznych do okręgu o środku w punkcie S = (4,0) i promieniu
równym 2.
2
21) Uzasadnij, Ŝe funkcja f ( x ) = x 2 +
przyjmuje dla dodatnich argumentów
x
wartości nie mniejsze od 3.
a. Oblicz wartość wyraŜenia
2. Zestaw 7
Arkusz1 – poziom podstawowy
1) Średnia arytmetyczna liczb: 11,12,8,11,x,3,4,6,8,8 jest równa 8,5.
a) Wyznacz x.
b) Wyznacz medianę tych liczb.
2) W układzie współrzędnych zacieniowano obszar w kształcie trójkąta.
a. Napisz układ nierówności liniowych opisujących ten obszar.
b. Oblicz pole i obwód tego obszaru.
3) W okrąg o promieniu 6cm wpisano w sposób symetryczny cztery przystające
okręgi. Oblicz ich promień.
4) Pewna planeta obiega słońce w ciągu 365 dni. Orbita tej planety, to w
przybliŜeniu okrąg o średnicy 3 ⋅ 108 km. Wyznacz prędkość tej planety. Wynik
podaj w kilometrach na godzinę w zaokrągleniu do tysięcy kilometrów na
godzinę.
5) Dany jest trójmian kwadratowy y = 3x 2 − 5x − 2 .
a) Wyznacz pierwiastki tego trójmianu.
b) RozłóŜ trójmian na czynniki liniowe.
c) Oblicz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem tego
trójmianu.
6) Cena płaszcza kolejno malała najpierw o 20%, a następnie o 30% i wtedy
kosztował on 700 złotych. Jaka była cena płaszcza przed obniŜkami?
1
7) Wzór na objętość stoŜka ściętego ma postać V = π R 2 + Rr + r 2 H , gdzie R
3
oznacza promień dolnej podstawy stoŜka, r – promień górnej podstawy stoŜka i
H – wysokość stoŜka ściętego.
(
)
Pewne naczynie ma kształt stoŜka ściętego, w którym R=4, r=2 oraz H=6.
Naczynie zostało wypełnione wodą do połowy wysokości. Jaki procent objętości
całego naczynia stanowi objętość wody? Wynik podaj w zaokrągleniu do 0,1%.
8) W nieskończonym ciągu arytmetycznym czwarty wyraz jest równy 17, a suma
wyrazów trzeciego i szóstego wynosi 39.
a) Wyznacz róŜnicę i pierwszy wyraz tego ciągu.
b) Oblicz sumę stu początkowych wyrazów tego ciągu.
9) Uzasadnij, Ŝe punkty: A = ( −1,1) , B = (1,5) , C = (1000,2003) naleŜą do jednej
prostej.
10) W równoległoboku mamy dane (patrz rysunek):
a) Oblicz długość dłuŜszej wysokości równoległoboku.
b) Oblicz długość krótszej przekątnej równoległoboku.
11) Z drutu o długości 48cm wykonano szkielet ostrosłupa czworokątnego
prawidłowego o wszystkich krawędziach równych.
a) Oblicz pole powierzchni ostrosłupa.
b) Oblicz objętość ostrosłupa.
Arkusz2 – poziom rozszerzony
12) Bogdan pierwszą część drogi do szkoły szedł, a drugą biegł (patrz wykres).
Oblicz, z jaką prędkością szedł, a jaką biegł i jaka była jego średnia prędkość na
całej trasie. Wyniki podaj w kilometrach na godzinę.
13) Wyznacz wszystkie liczby całkowite dodatnie spełniające nierówność
x 3 + 90 ≤ 2( x + 5)2 .
14) Górną podstawę kwadratu podzielono na trzy równe części i skonstruowano
kwadrat, następnie górną podstawę kwadratu górnego podzielono na trzy równe
części i znów skonstruowano kolejny kwadrat, (patrz rysunek) itd.
a) Oblicz sumę obwodów wszystkich kwadratów.
b) Oblicz sumę pól wszystkich kwadratów.
15) Boki trójkąta mają długości 5 , 3 2 , 13 . Wyznacz miarę kąta znajdującego się
naprzeciw najkrótszego boku oraz pole trójkąta.
16) Na jednej prostej dane są 4 róŜne punkty, na innej prostej równoległej do niej 6
róŜnych punktów. Ile istnieje:
a) trójkątów,
b) czworokątów,
których wierzchołkami są dane punkty?
4
17) Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji f ( x ) = x + 2 .
x
2
18) Dane jest równanie 2x − 13x + m = 0 . Wyznacz te wartości parametru m, dla
których jeden z pierwiastków jest dwa razy większy od drugiego.
19) Dana jest funkcja f określona wzorem f ( x ) = 2 log 0, 5 x + 8 .
a) Określ dziedzinę tej funkcji.
b) RozwiąŜ równanie 2 log 0, 5 x + 8 = log 0, 5 x .
20) Oblicz pole przekroju sześcianu o krawędzi a płaszczyzną zawierająca przekątna
jednej ściany i środki dwóch krawędzi przeciwległej ściany.
21) Uzasadnij, Ŝe jeśli liczby x,y,z tworzą ciąg arytmetyczny rosnący, to liczby
2 3 − 5 x , 2 3 − 5 y , 23 − 5 z tworzą ciąg geometryczny malejący.
3. Zestaw 8
Arkusz1 – poziom podstawowy
 15 
1) Dana jest liczba a =   .
 12 
a) Sprawdź, czy liczba a dzieli się przez 5.
b) Sprawdź, czy liczba 2 jest dzielnikiem liczby a.
c) Wyznacz liczbę wszystkich dzielników naturalnych liczby a.
2) Dana jest funkcja f o wzorze f ( x ) = −3x + 3 .
a) Wyznacz wzór funkcji g, wiedząc, Ŝe jej wykres jest równoległy do wykresu
funkcji f oraz przechodzi przez punkt A = (1,3) .
b) Wyznacz miejsca zerowe funkcji f i g.
c) W jednym układzie współrzędnych narysuj wykresy funkcji f i g.
d) Oblicz pole figury ograniczonej wykresami funkcji f i g oraz osiami układu
współrzędnych.
3) Podczas skoku z samolotu spadochroniarz przez pewien czas spadał swobodnie, a
dopiero potem otworzył spadochron. Pomiar dostarczył następujących danych o
tym spadaniu:
Czas t spadania [s]
Wysokość h [m]
0
0
0,5
0,75
1
3
1,5
6,75
2
12
2,5
18,75
3
27
3,5
31
4
35
4,5
39
5
43
a) Po ilu sekundach spadochroniarz otworzył spadochron?
b) Oblicz średnią prędkość spadania skoczka między pierwszą, a trzecią
sekundą.
c) Wyraź wzorem zaleŜność między czasem spadania, a wysokością w
początkowych sekundach, jeŜeli wiadomo, Ŝe jest ona funkcją kwadratową.
ax + b
4) Asymptotą pionową wykresu funkcji f o wzorze f ( x ) =
, jest prosta o
x+d
równaniu x=2, a asymptotą poziomą – prosta o równaniu y=1. Wyznacz wzór
funkcji f.
5) Niech α będzie kątem ostrym, róŜnym od 450. Uzasadnij, Ŝe zachodzi toŜsamość:
tgα + 1 1 + ctgα
=
.
tgα − 1 1 − ctgα
6) Według prostej zasady utworzono z zapałek pewien ciąg figur.
a) Ile zapałek potrzeba do utworzenia pięćdziesiątej figury w tym ciągu?
b) Ile początkowych figur tego ciągu moŜna ułoŜyć ze 147 zapałek?
7) Dane są cztery okręgi parami styczne (jak na poniŜszym rysunku). Promień
największego okręgu o środku O jest równy 2.
a) Oblicz długość promienia najmniejszego okręgu.
b) Oblicz pole zacieniowanego obszaru.
8) W klasie jest trzynaście dziewcząt i trzynastu chłopców. Wychowawca przydzielił
uczniom losowo miejsca w trzynastu ławkach dwuosobowych tak, Ŝe w kaŜdej
ławce siedział po prawej stronie chłopak, a po lewej dziewczyna. Zuzia chciała
koniecznie siedzieć z Jackiem. Oblicz prawdopodobieństwo, Ŝe marzenie Zuzi się
spełni.
9) Objętość prostopadłościanu jest równa 30 cm2. O ile zmieni się jego objętość,
jeŜeli długość prostopadłościanu zwiększymy czterokrotnie, szerokość
zmniejszymy dwukrotnie, a wysokość zmniejszymy trzykrotnie?
10) Punkty A = ( −1,3) , B = ( 2,−1) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku.
Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków, wiedząc, Ŝe przekątne tego
równoległoboku są równoległe do osi układu współrzędnych.
11) Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego
czworokątnego, którego pole podstawy jest równe 81 cm2, a kąt między
przekątną ściany bocznej i krawędzią podstawy ma miarę 600.
Arkusz2 – poziom rozszerzony
5−2 5 2− 5
12) Dane są liczby: 6 − 5 , 6 + 5 ,
,
. Zbadaj, czy wśród tych
5
5
liczb jest para liczb przeciwnych i czy jest wśród nich para liczb odwrotnych.
x −1
1− x
13) RozwiąŜ równanie:
= 4−
2
1+ x
14) Dane są funkcje: f ( x ) = 9 − 8x − x 2 oraz g( x ) = 3x − 3 .
a) Wyznacz dziedzinę funkcji f.
b) RozwiąŜ równanie f ( x ) = g( x ) .
c) RozwiąŜ nierówność g( x ) ⋅ f ( x ) ≥ 0 .
15) Uzasadnij, Ŝe prostokąt o polu 2500 ma obwód co najmniej równy 200.
16) Pole figury ograniczonej okręgiem opisanym na sześciokącie foremnym i
brzegiem sześciokąta jest równe 4π − 6 3 (patrz rysunek).
Wyznacz:
a) Długość boku tego sześciokąta foremnego.
b) Długość tego okręgu.
17) Na podstawie wykresu funkcji y = log c x :
a) Wyznacz wartość c podstawy logarytmu.
b) Wyznacz zbiór argumentów funkcji, dla których przyjmuje ona wartości
dodatnie.
18) Pewne
przedsiębiorstwo
ma
trzy
miejskie
numery
telefoniczne.
3
Prawdopodobieństwo, iŜ w danej chwili korzysta się z danego numeru wynosi .
5
Oblicz prawdopodobieństwo tego, Ŝe:
a) co najmniej jeden numer jest wolny,
b) dokładnie dwa numery są wolne.
19) Punkty A = ( −2,3) , B = (1,2) i C = ( 2,−1) są kolejnymi wierzchołkami rombu
ABCD.
a) Wyznacz współrzędne wierzchołka D.
b) Wyznacz równanie prostej zawierającej jego przekątną BD.
c) Oblicz jego obwód i pole.
20) Dany jest nieskończony ciąg geometryczny, w którym a1 = log 3 x i iloraz
q = log 3 x . Oznaczmy przez f(x) sumę tego ciągu.
a) Wyznacz dziedzinę funkcji f.
b) RozwiąŜ nierówność f ( x ) > 1 .
21) Dana jest funkcja f o wzorze f ( x ) = cos 2x + 4 cos x + 3 .
a) Oblicz wartość f ( π ) .
b) Wyznacz zbiór miejsc zerowych funkcji f.
22) Pole powierzchni kuli wpisanej w stoŜek jest równe polu jego podstawy. Oblicz:
a) stosunek pola powierzchni kuli do pola powierzchni bocznej stoŜka,
b) jaką częścią objętości stoŜka jest objętość kuli?
4. Zestaw 9
Arkusz1 – poziom podstawowy
1) Zbiór A jest zbiorem tych wszystkich liczb rzeczywistych, które spełniają
nierówność x + 24 ≤ 96 , a zbiór B jest przedstawiony na osi liczbowej.
a) Przedstaw zbiór A w postaci przedziału liczbowego.
b) Opisz zbiór B za pomocą nierówności z wartością bezwzględną.
c) WykaŜ, Ŝe liczba 72 naleŜy do zbioru A \ B .
2) Dwie siostry mają razem 41 lat, a ich mama jest dwa razy starsza od starszej z
sióstr. Za pięć lat wszystkie razem będą miały 100 lat. Ile lat mają siostry, a ile
ich mama?
3) Funkcja f przyporządkowuje kaŜdej liczbie naturalnej z przedziału (0,100) sumę
jej cyfr pomniejszoną o 10.
a) Wyznacz zbiór wartości funkcji f.
b) Podaj miejsca zerowe funkcji f.
c) Ile razy funkcja przyjmuje wartość 1?
d) Narysuj wykres funkcji f dla liczb naturalnych z przedziału 45,60 .
4) Opisz za pomocą układu nierówności zbiór punktów trójkąta PAM
przedstawionego na rysunku. Uzasadnij, Ŝe trójkąt PAM jest prostokątny.
5) RozwiąŜ nierówność: − x 3 + 2005x 2 + 2x − 4010 ≥ 0 i uzasadnij, Ŝe ma ona w
zbiorze liczb naturalnych mniej niŜ 2005 rozwiązań.
1
1
6) Wykresy funkcji f ( x ) =
i g( x ) =
x przecinają się w punkcie, którego
x
k −1
1
rzędna równa się .
3
a) Oblicz odciętą punktu przecięcia wykresów.
b) Oblicz k.
1
c) Dla obliczonego k rozwiąŜ równanie f ( x ) = g( x ) .
4
7) Zbocze ma w przybliŜeniu kształt przedstawiony na rysunku.
Oblicz długość drogi z punktu S do punktu M.
α
250
400
sinα
0,42
0,64
cosα
0,90
0,77
8) Klient złoŜył w banku A 5000 zł na okres 2 lat z oprocentowaniem rocznym 5% i
roczną kapitalizacją odsetek. Okazało się później, Ŝe gdyby tę sama kwotę złoŜył
w banku B, to po dwóch latach miałby o 343 zł więcej. Oblicz jakie
oprocentowanie oferował bank B, jeśli kapitalizacja wkładów odbywała się w nim
co pół roku.
9) Dwa okręgi są styczne wewnętrznie, a trójkąt prostokątny ABC wpisany jest w
większy okrąg. Średnica małego okręgu ma długość równą połowie
przeciwprostokątnej trójkąta ABC.
a) Wyjaśnij, dlaczego trójkąty ABC i DBE są podobne i podaj skalę
podobieństwa.
b) Oblicz stosunek pól tych trójkątów.
10) W wyniku obrotu trójkąta o bokach długości 6 , 6 , 6 3 wokół wysokości
poprowadzonej do najdłuŜszego boku, otrzymujemy bryłę F. Oblicz objętość tej
bryły i wyznacz kąt nachylenia tworzącej do płaszczyzny podstawy.
11) Dziecko bawi się klockami w trzech kolorach. Klocków czerwonych jest osiem
razy więcej, niŜ białych i cztery razy więcej, niŜ niebieskich. Oblicz
prawdopodobieństwo, Ŝe losowo wybrany przez dziecko klocek będzie koloru
niebieskiego.
Arkusz2 – poziom rozszerzony
12) Liczby 0,(1) i 0,0(5) są pierwszym i drugim wyrazem nieskończonego ciągu
geometrycznego. Oblicz trzeci wyraz tego ciągu i zapisz go w postaci ułamka
okresowego.
3
2
≤
x−2 x+3
14) Napisz równanie okręgu symetrycznego do okręgu o równaniu
x 2 + y 2 − 14x + 2y + 41 = 0 względem prostej y=2x.
15) Dane są punkty A=(5,2), B=(-2,4), C=(9,4) i D=(-2,1). Wyznacz współrzędne i
1
długość wektora u = AB + AC − 3BD
2
16) Czworokąt jest wpisany w okrąg. Udowodnij, Ŝe dla kątów α i β pokazanych na
rysunku zachodzi związek 2 sin 2 β − ctgα sin 2β = 1
13) RozwiąŜ nierówność:
x −3
dla x < 4
17) Narysuj wykres funkcji f ( x ) = 
. Na podstawie wykresu
x
dla
x
≥
4

określ własności tej funkcji: monotoniczność, parzystość, róŜnowartościowość, i
ciągłość.
3
18) Funkcja f ( x ) = x 3 + x 2 − 6x − 2 przyjmuje dla argumentu p wartość 8, a jej
2
pochodna ma dla argumentu p wartość 0.
a) Oblicz p.
b) Wyznacz ekstrema funkcji f.
c) Podaj przedziały monotoniczności funkcji f.
19) W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym pole podstawy równa się 12 3 , a
pole narysowanego przekroju 20 3 . Oblicz sinus kąta nachylenia płaszczyzny
tego przekroju do płaszczyzny podstawy graniastosłupa.
20) Udowodnij indukcyjnie, Ŝe pochodna funkcji f ( x ) = x n dla n ∈ N + , jest równa
n ⋅ x n−1 , czyli ( x n )' = n ⋅ x n−1 .
5. Zestaw 10
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Arkusz1 – poziom podstawowy
R1 ⋅ R 2
Wzór R =
jest uŜywany w teorii elektryczności do wyznaczania
R1 + R 2
wypadkowego oporu R obwodu elektrycznego, gdy oporniki o oporach R1 i R2 są
połączone równolegle. Opór wypadkowy pewnego obwodu elektrycznego, w
którym połączono równolegle dwa oporniki jest równy R = 4Ω , a opór jednego z
nich jest równy 6Ω . Jaki opór musi mieć drugi opornik?
Dwa statki wypływają z portu w tym samym momencie. Jeden z nich płynie na
zachód z prędkością 17 mil na godzinę, a drugi na południe z prędkością 12 mil
na godzinę. Jeśli t oznacza czas w godzinach od momentu wypłynięcia statków z
portu, to wyraź odległość d między statkami w dowolnym momencie jako funkcję
czasu t.
Huśtawkę dziecięca najpierw odciągnięto do punktu P, a następnie puszczono. W
pierwszym wahnięciu huśtawka pokonała drogę długości 2 m do punktu Q, a w
kaŜdym następnym wahnięciu poruszała się po łuku, którego długość za kaŜdym
4
długości łuku z poprzedniego wahnięcia. Jaką długość łuku
razem malała do
5
zatoczyła huśtawka w piątym wahnięciu, a jaką długość drogi pokonała ona do
tego czasu od momentu puszczenia?
W pewnej firmie zakupiono dwie drukarki. Pierwsza kosztowała 1000 zł, a druga
1200 zł. Okazało się, Ŝe jeden wydruk uzyskany z pierwszej drukarki kosztuje 5
gr, a z drugiej 4 gr. Dla jakich x całkowity koszt (łącznie z ceną zakupu)
wykonania x wydruków na pierwszej drukarce będzie bardziej opłacalny, niŜ
całkowity koszt wykonania x wydruków na drugiej z nich?
Chcemy wyprodukować 10000 kurtek młodzieŜowych o numerach od 1 do 6.
Wyniki ankiety przeprowadzonej w pewnej grupie młodzieŜy na pytanie „Jaki
numer kurtki nosisz?”, w przeliczeniu na procenty, przedstawia poniŜsza tabela:
numer kurtki 1
2
3
4
5
6
częstość w % 5% 10% 50% 20% 10% 5%
Oblicz, ile kurtek w kaŜdym rozmiarze naleŜy uszyć?
Przemieszczenie s (w metrach) pewnego ciała jest funkcją czasu t (w sekundach)
opisaną wzorem: s(t ) = t 2 + 6t + 10 . Oblicz średnią prędkość tego ciała w czasie
t ∈ 4 ,7 .
7) Wysokość szklanego akwarium otwartego od góry, ma długość 30 cm (jak na
rysunku), a jego objętość jest równa 54 dm3. Oblicz powierzchnię szkła (grubość
szkła pomijamy) potrzebną na wykonanie tego akwarium, jeśli wiadomo, Ŝe
stosunek długości do szerokości jego dna wynosi 2:1.
8) Aby wyznaczyć wszystkie pary (x,y) liczb całkowitych spełniających równanie:
xy = x − y + 3 , moŜna postąpić następująco:
Krok 1. Najpierw przekształcamy to równanie do postaci: ( xy − x ) + y = 3 .
Krok 2. Następnie z pierwszego składnika sumy po lewej stronie tego równania,
czyli z nawiasu, wyłączamy wspólny czynnik przed nawias, a drugi składnik
sumy uzupełniamy do wyraŜenia, które występuje w nawiasie, tak, by równania
pozostały równowaŜne: x( y − 1) + ( y − 1) = 3 − 1 .
Krok 3. Lewą stronę otrzymanego równania zapisujemy w postaci iloczynowej
przez wyłączenie wspólnego czynnika (y-1) przed nawias: ( y − 1)( x + 1) = 2 .
Krok 4. PoniewaŜ lewa strona tego równania jest iloczynem dwóch czynników
całkowitych, więc jego prawą stronę, czyli liczbę 2 równieŜ przedstawiamy w
postaci iloczynu dwóch liczb całkowitych:
( y − 1)( x + 1) = 2 = 1 ⋅ 2 = 2 ⋅ 1 = −1 ⋅ ( −2) = −2 ⋅ ( −1) .
Krok 5. Porównujemy obie strony równania i zapisujemy je w postaci
alternatywy czterech układów równań (bo tyle otrzymaliśmy rozkładów liczby 2
w postaci iloczynu liczb całkowitych):
 x+1=1
x + 1 = 2
 x + 1 = −1
 x + 1 = −2 
[(x + 1)( y − 1) = 2] ⇔ 
∨ 
∨ 
∨ 

 y − 1 = − 1
y − 1 = 1
 y − 1 = −2
y − 1 = 2
Krok 6. Rozwiązujemy powyŜsze układy równań:
x = 0
x = 1
 x = −2
 x = −3
∨ 
∨ 
∨ 

y = 3
y = 2
 y = −1
y=0
Krok 7. Na koniec wyciągamy wniosek, Ŝe jedynymi parami liczb całkowitych
spełniającymi wyjściowe równanie są pary liczb: (0,3), (1,2), (-2,-1), (-3,0).
Postępując analogicznie, wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych spełniających
równanie: xy = 2x − y + 5 .
9) Obwód trapezu równoramiennego opisanego na okręgu o promieniu długości 2
cm jest równy 20 cm. Oblicz długości boków i pole trapezu.
10) Ze zbioru cyfr {1,2,3,5,7} układamy wszystkie moŜliwe liczby 3-cyfrowe o
róŜnych cyfrach. Z liczb tych wybieramy losowo jedną. Jakie jest
prawdopodobieństwo, Ŝe będzie ona wielokrotnością liczby 65?
Arkusz2 – poziom rozszerzony
11) Chemicy uŜywają wielkości pH do mierzenia stęŜenia wodoru w roztworze. Woda
ma pH równe 7, kwas ma pH mniejsze od 7, natomiast pH zasady jest większe od
7. Wielkość pH roztworu moŜna opisać formułą: pH = − log H + , gdzie H+ oznacza
liczbę jonów wodoru w roztworze w molach na litr. Oblicz pH próbki pewnej
gleby, w której liczba jonów wodoru H+ jest równa 2,3 ⋅ 10 −7 moli na litr i na
podstawie otrzymanego wyniku zdecyduj, jakie pH ma ta gleba. Wyniki podaj w
zaokrągleniu do 0,1. Przyjmij, Ŝe log 2,3 ≈ 0,4 .
12) Z punktu A widać słup telefoniczny pod kątem o mierze 640. Słup jest odchylony
od pionu o kąt miary 90 w kierunku drogi na powierzchni ziemi, na którą słońce
rzuca cień (jak na rysunku). Długość cienia słupa jest równa 6,4 m. Oblicz w
zaokrągleniu do 1 m długość tego słupa.
13) Udowodnij, Ŝe jeśli B jest takim zdarzeniem w pewnej przestrzeni Ω zdarzeń
elementarnych, Ŝe P(B)>0, to dla kaŜdego zdarzenia A ⊂ Ω prawdziwa jest
P ( A ) + P( B ) − 1
P( A )
podwójna nierówność:
≤ P( A / B ) ≤
P( B )
P( B )
14) Dwa ciała poruszają się ruchem jednostajnym po dwóch prostych przecinających
się pod kątem ostrym o mierze α = 600 ku punktowi P ich przecięcia (jak na
rysunku). W pewnym momencie zmierzono odległości tych ciał od punktu P i
okazało się, Ŝe jedno z nich było oddalone o 10 m od punktu P, a drugie o 6 m.
m
Pierwsze z nich porusza się z prędkością v 1 = 4 , a drugie z prędkością
s
m
v 2 = 2 . Oblicz dokładnie odległość tych ciał od siebie w chwili dokonania
s
pomiaru i odległość tych ciał po dwóch sekundach ich ruchu od momentu
wykonania pierwszego pomiaru.
15) Narysuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji f i g opisane
wzorami: f ( x ) = 2 x − 1 i g( x ) = 2x + 1 , oraz na podstawie ich wykresów odczytaj
liczbę rozwiązań równania f(x)=g(x).
16) Z ciągu liczb naturalnych (1,2,3,4,5,...) wybrano sto kolejnych takich liczb, z
których kaŜda ma tę własność, Ŝe jeŜeli podzielimy ją przez 3, to otrzymamy
resztę 1. Wyznacz najmniejszą z nich, wiedząc, Ŝe suma wszystkich tych liczb jest
równa 17950.
17) W pewnym zakładzie stosuje się dwa warianty technologii produkcji. W
pierwszym wariancie koszt wyprodukowania jednej jednostki produktu jest
równy 2 zł, a koszty stałe całej produkcji wynoszą 25 000 zł. W drugim wariancie
koszt produkcji jednostki produktu jest równy 3 zł, a koszty stałe całej produkcji
wynoszą 18 000 zł. Zbadaj monotoniczność funkcji, która jest ilorazem funkcji
całkowitego kosztu produkcji t jednostek produktu w pierwszym wariancie do
funkcji całkowitego kosztu produkcji t jednostek produktu w drugim wariancie.
18) Sprawdź,
czy
przekształcenie
P
płaszczyzny
opisane
wzorem
P(( x, y )) = ( y + 2, x − 1) , gdzie (x,y) jest dowolnym punktem płaszczyzny, jest
izometrią. Wyznacz równanie obrazu hiperboli x ⋅ y = 2 w przekształceniu P.
19) Dla jakich wartości parametru m ∈ C , pierwiastki funkcji kwadratowej zadanej
x 2 + x 22
wzorem f ( x ) = x 2 − 3x + m + 1 spełniają nierówność 1
> 1?
x1 x 2
20) W stoŜek, którego wysokość ma długość H=12 dm, a promień jego podstawy ma
długość R=4 dm, wpisano walec (jak na rysunku).
Jakie powinny być wymiary walca, aby jego objętość była największa?