Zestaw 3 1. Niech (X,T ) będzie przestrzenią topologiczną. Wykazać

Zestaw 3
1. Niech (X, T ) będzie przestrzenią topologiczną. Wykazać, że dla każdego ciągu podzbiorów {An : n ∈ N} prawdziwa jest równość:
cl
[
{An : n ∈ N} =
o
[
\n [
{cl An : n ∈ N} ∪
cl {Ak+m : m ∈ N} : k ∈ N
2. Niech (X, T ) będzie przestrzenią topologiczną. Brzegiem zbioru A ⊆
X nazywamy zbiór postaci:
fr A = cl A \ Int A.
Wykazać, że
(a) x ∈ fr A ⇔ U ∩ A 6= ∅ =
6 U \ A dla każdego otoczenia otwartego
U punktu x;
(b) fr(X \ A) = fr A;
(c) fr cl A ⊆ fr A;
(d) fr Int A ⊆ fr A;
(e) fr(A ∪ B) ⊆ fr A ∪ fr B;
(f) fr(A ∩ B) ⊆ fr A ∪ fr B;
(g) A ∈ T ⇔ fr A = cl A \ A;
(h) X = Int A ∪ fr A ∪ Int(X \ A).
3. Wykazać, że jeżeli podzbiory A, B zbioru X są oddzielalne, tzn. cl A∩
B = ∅ = A ∩ cl B, to
fr(A ∪ B) = fr A ∪ fr B.
4. Podzbiór U przestrzeni topologicznej (X, T ) nazywamy regularnie
otwartym, gdy U = Int cl U . Zbiór wszystkich podzbiorów regularnie
otwartych przestrzeni (X, T ) oznaczamy symbolem: RO(X). Sprawdzić, że
(a) wnętrzne zbioru domkniętego jest zbiorem regularnie otwartym;
(b) iloczyn dwóch zbiorów regularnie otwartych jest regularnie otwarty;
(c) jeżeli U, V ⊆ X są regularnie otwarte, to U ⊆ V ⇔⇔ cl U ⊆
cl V ;
(d) jeżeli {Us : S
s ∈ S} jest rodziną zbiorów regularnie otwartych, to
zbiór Int cl {Us : s ∈ S} jest kresem górnym rodziny {Us : s ∈ S}
w zbiorze RO(X);
(e) jeżeli {UsT: s ∈ S} jest rodziną zbiorów regularnie otwartych, to
zbiór Int {Us : s ∈ S} jest kresem dolnym w zbiorze RO(X).
1
5. Rozwazmy płaszczyznę R2 z topologią naturalną wyznaczoną przez
metrykę ρ : R2 × R2 → [0, ∞) zadaną wzorem:
p
ρ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 .
Wykazać, że rodzina
P = Ui+ (r) : r ∈ Q, i = 1, 2 ∪ Ui− (r) : r ∈ Q, i = 1, 2
stanowi podbazę tej topologii, przy czym Ui+ (r) = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : xi > r}
oraz Ui+ (r) = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : xi < r} dla i = 1, 2.
6. Niech (X, T ) będzie przestrzenią topologiczną oraz f, g : X → R
będą odwzorowaniami ciągłymi. Wykazać, że wtedy ciągłe są także
następujące odwzorowania:
(a) f + g, gdzie (f + g)(x) = f (x) + g(x);
(b) f − g, gdzie (f − g)(x) = f (x) − g(x);
(c) f · g, gdzie (f · g)(x) = f (x) · g(x);
(d) min(f, g), gdzie min(f, g)(x) =min(f (x), g(x));
(e) max(f, g), gdzie max(f, g)(x) =max(f (x), g(x)).
7. Niech (X, TX ), (Y, TY ) oraz (Z, TZ ) będą przestrzeniami topologicznymi oraz niech f : X → Y i g : Y → Z będą homeomorfizmami.
Wykazać, że ich złożenie g ◦ f : X → Z jest homeomorfizmem.
8. Podzbiór A przestrzeni topologicznej (X, T ) nazywamy typu Fσ , gdy
jest sumą przeliczalnie wielu zbiorów domkniętych. Podobnie podzbiór
B przestrzeni topologicznej (X, T ) nazywamy typu Gδ , gdy jest przekrojem przeliczalnie wielu zbiorów otwartych.
Niech (X, TX ), (Y, TY ) będą przestrzeniami topologicznymi. Sprawdzić, że jeżeli f : X → Y jest odzworowaniem ciągłym, to przeciwobraz
każdego zbioru typu Fσ jest zbiorem typu Fσ oraz przeciwobraz każdego
zbioru typu Gδ jest zbiorem typu Gδ .
2