okresowosc - teoria - E-SGH

ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH
Szereg czasowy – zbiór wartosci badanej cechy lub wartosci badanego zjawiska
zaobserwowanych
w
róznych
momentach
czasu
uporzadkowany
chronologicznie.
Skladniki szeregu czasowego:
1. tendencja rozwojowa (trend)
2. wahania okresowa
3. wahania koniunkturalne
4. wahania przypadkowe
Najprostsza metoda analizy szeregów czasowych jest wyrównywanie szeregu
prowadzace do wyeliminowania z szeregu wahan przypadkowych a przy
odpowiednim postepowaniu okresowych. Mozna takze dokonac pomiaru wahan
okresowych poprzez porównanie pierwotnego szeregu czasowego z szeregiem
wyrównanym (wskazniki okresowosci).
WYRÓWNYWANIE SZEREGU CZASOWEGO
Jedna z metod wyrównywania szeregu czasowego jest obliczenie srednich
ruchomych i zastapienie nimi pierwotnych wyrazów szeregu czasowego.
Srednie ruchome mozna policzyc na podstawie:
1)
nieparzystej liczby podokresów w pelnym cyklu wahan:
q
1
yt =
∑y
2 q + 1 r =− q t + r
(t = q + 1, q + 2,..., n − q )
(dla q=1 otrzymujemy wzór na srednie ruchome trzyokresowe, dla q=2 wzór na
srednie ruchome pieciookresowe, itd.).
Szereg zlozony z tak obliczonych srednich ruchomych jest krótszy od
pierwotnego szeregu o 2q wyrazów.
2)
parzystej liczby podokresów w pelnym cyklu wahan tzw. srednie ruchome
scentrowane (np. wahania pólroczne, kwartalne, miesieczne)
q −1

1 1
1
yt =
y
+
y
+
y
 t −q ∑ t+r
t +q 
2q  2
2
r =− q

(t = q + 1, q + 2,..., n − q )
Przyklad:
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17
18 19 20
Czas
szereg niewyrównany
srednie ruchome 3-okresowe
srednie ruchome 5-okresowe
POMIAR WAHAN OKRESOWYCH:
Pomiaru wahan okresowych dokonuje sie za pomoca wskazników okresowosci.
Sposób konstrukcji wskazników zalezy od tego, czy w badanym szeregu
wystepuje trend oraz czy wahania okresowe nakladaja sie na trend w sposób
addytywny czy multiplikatywny.
Szereg czasowy addytywny – szereg czasowy, którego poszczególne elementy
sumuja sie a funkcja trendu jest liniowa. Wahania okresowe cechuje tu w
przyblizeniu stala amplituda wahan.
Szereg czasowy multiplikatywny – szereg czasowy, którego poszczególne
elementy nakladaja sie na trend w sposób mnoznikowy a funkcja trendu jest
nieliniowa. Amplituda wahan okresowych jest tu proporcjonalna do poziomu
zjawiska.
Wskazniki wahan okresowych dla szeregu czasowego bez trendu
Wielkosc wahan okresla sie porównujac srednie wartosci badanej zmiennej
obliczone dla poszczególnych podokresów cyklu ze srednia wartoscia tej
zmiennej obliczona na podstawie wszystkich obserwacji.
1. multiplikatywne
yi
(i=1,2,...,d)
y
Oi =
gdzie:
n – liczba elementów szeregu czasowego
d – liczba podokresów
i – numer podokresu w cyklu
Ni – zbiór numerów obserwacji, które dotycza i-tego podokresu w cyklu
1
yi = ∑ yt (i ) - srednia wartosc badanej zmiennej w i-tym podokresie cyklu
ni t∈N
i
1 n
y = ∑ yt - srednia z calego szeregu czasowego.
n t =1
Interpretacja Oi : na skutek wahan okresowych wielkosc zjawiska w i-tym
podokresie cyklu jest o (O i-1)100% wyzsza / nizsza od sredniego poziomu
zjawiska w calym okresie.
Zachodza równosci:
d
∑ (O − 1) ⋅ 100% = 0
i
i =1
d
∑O
i =1
i
=d
2. addytywne
Si = y i − y (i=1,2,...,d)
Interpretacja Si : na skutek wahan okresowych wielkosc zjawiska w i-tym
podokresie cyklu jest o Si wyzsza / nizsza od sredniego poziomu zjawiska w
calym okresie
d
Zachodzi równosc:
∑S
i=1
i
=0
Wskazniki wahan okresowych dla szeregu czasowego z trendem
W tym przypadku wielkosc wahan okresla sie porównujac pierwotny szereg
czasowy z szeregiem wyrównanym. Dlatego najpierw nalezy wyrównac szereg.
1. multiplikatywne
a)
najpierw obliczamy srednie ruchome yt
b)
nastepnie obliczamy indywidualne wskazniki okresowosci
c)
d)
yt
yt
yt
1
nastepnie obliczmy surowe wskazniki okresowosci Oi ' =
∑
ni − 1 t∈Ni yt
(i=1,2,...d); suma surowych wskazników okresowych najczesciej nie jest
równa liczbie podokresów w cyklu, dlatego wskazniki nalezy oczyscic:
d
oczyszczone wskazniki okresowosci: Oi = Oi '⋅ d
(i=1,2,...,d)
O
'
∑ i
i =1
d
Zachodzi równosc:
∑O
i =1
i
=d
Interpretacja Oi : na skutek wahan okresowych wielkosc zjawiska w i-tym
podokresie cyklu jest o (O i-1)100% wyzsza / nizsza niz wynikaloby to z trendu.
2. addytywne
Si ' =
1
∑ ( yt − yt ) (i=1,2,...,d) – nieoczyszczone
ni − 1 t∈Ni
1 d
S i = Si '− ∑ Si ' (i=1,2,...,d) – oczyszczone
d i =1
Interpretacja Si : na skutek wahan okresowych wielkosc zjawiska w i-tym
podokresie cyklu jest o Si wyzsza / nizsza niz wynikaloby to z trendu.
d
Zachodzi równosc:
∑S
i =1
i
=0
Wskazniki okresowe sa obliczane w celu:
1) pomiaru wahan okresowych
2) eliminacji wahan okresowych z szeregu czasowego
3) prognozowania zjawiska dla przyszlych okresów
ELIMINACJA WAHAN OKRESOWYCH ZA POMOCA WSKAZNIKÓW
OKRESOWOSCI:
a) w przypadku wahan multiplikatywnych procedura ta polega na dzieleniu
wyrazów pierwotnego szeregu czasowego przez odpowiadajace im
wskazniki Oi:
y% t =
yt
dla t ∈ N i
Oi
b) w przypadku wahan addytywnych procedura ta polega na odejmowaniu od
wyrazów pierwotnego szeregu czasowego odpowiadajace im wskazniki Si :
y% t = y t − Si dla t ∈ N i
Szereg czasowy o elementach y% t okreslony jest tylko przez trend i wahania
przypadkowe. Na jego podstawie mozna oszacowac za pomoca MNK parametry
funkcji trendu.
PROGNOZWANIE ZJAWISKA:
a) w przypadku wahan multiplikatywnych:
yTP = yˆT ⋅ Oi
dla T ∈ Ni
gdzie yˆ T jest wartoscia oszacowanej funkcji trendu dla t=T.
b) w przypadku wahan addytywnych:
yTP = yˆT + Si
dla T ∈ Ni