Modelowanie parametrów wytrzyma³oœciowych kompozytów

Modelowanie parametrów wytrzyma³oœciowych kompozytów w³óknistych z uwzglêdnieniem teorii ³añcuchów Markowa
169
Rafa³ CHATYS
Politechnika Œwiêtokrzyska
AL.1000-lecia P.P.7, 25-314, Kielce
[email protected]
Modelowanie parametrów wytrzyma³oœciowych kompozytów w³óknistych
z uwzglêdnieniem teorii ³añcuchów Markowa
Streszczenie. W poni¿szej pracy opisano zastosowanie modelu matematycznego bazuj¹cego na teorii ³añcuchów
Markowa (MM) do szacowania parametrów wytrzyma³oœciowych. Zapewnia to, z pozycji zunifikowanej, narzêdzie do skoordynowanego opisu wytrzyma³oœci statycznej, ¿ycia zmêczeniowego, do oceny wytrzyma³oœci resztkowej i pozosta³ego ¿ycia zmêczeniowego po wstêpnym obci¹¿aniu zmêczeniowym. Nie mo¿na stwierdziæ, ¿e
problem ju¿ rozwi¹zano, ale poprzez analizê konkretnego przyk³adu numerycznego pokazano, ¿e model zas³uguje
na wnikliwe przestudiowanie, a rozwiniêcie tego modelu mo¿e byæ sensowne. W tym artykule wykorzystano eksperymentalne dane kompozytu formowanego metod¹ infuzji o osnowie poliestrowej (AROPOL 605) wzmocnionej
tkanin¹ szklan¹ biaxial [0/90]2 typu E firmy Kuempers HPT o gramaturze 600 g/m2. Pokazano, ¿e model MM daje relatywnie dobre wyniki.
MODELLING OF STRENGTH PARAMETERS OF A FIBRE COMPOSITE USING THE MARKOV CHAINS THEORY
Summary. The paper discusses the application of a mathematical model based on the Markov chains theory (Mch)
to estimate strength parameters. This model is a tool for the coordinated determination of static strength and fatigue life and for the estimation of residual strength and life after initial fatigue load. The problem has not been solved completely but by analyzing a certain numerical example we show that the model requires further examination and its development may be justified. In this study, we use experimental data concerning a composite fabricated by the infusion method with a polyester matrix (AROPOL 605) reinforced with an E-type biaxial fiberglass
fabric [0/90]2 produced by Kuempers HPT with a basis weight of 600 g/m2. The paper shows that the model provides relatively good results.
1. Wstêp
Zagadnienia zwi¹zane z okreœleniem, czy szacowaniem parametrów wytrzyma³oœciowych w³óknistych materia³ów kompozytowych (WMK) przy modelowaniu staj¹ siê problemem bardzo aktualnym. Coraz wiêksz¹ uwagê zwraca siê na jakoœæ i technologiê przygotowania próbek, w których koncentracje naprê¿eñ w laminacie o ró¿nej architekturze u³o¿enia warstw w porównaniu z kompozytem jednokierunkowym s¹ bardziej z³o¿one. Z drugiej strony rozwój degradacji WMK przy okreœleniu wytrzyma³oœci resztkowej czy zmêczeniowej, ma zasadnicze
znaczenie przy okreœlaniu niezawodnoœci konstrukcji
szczególnie lotniczych. W wielu modelach fenonologicznych problem omówienia podstaw, idei i metod stochastycznego modelowania procesu zmêczenia jest dyskutowany i poruszany [1-5]. Wyró¿niamy trzy klasy modeli
fenonologicznych tzw. ewolucyjne modele parabolistyczne (oparte na teorii procesów Markowa), kumulacyjne
modele skokowe (okreœlone poprzez wzrost zjawisk jako
nieci¹g³ego procesu losowego o losowej wartoœci i liczbie
skoków), oraz modele ró¿niczkowe oparte na empirycznej randomizacji. Statystyczne rozk³ady wytrzyma³oœci,
krzywe zmêczeniowe, (akumuluj¹ce zniszczenia zmêczeniowe) s¹ s³abo opisane poprzez zwi¹zki teoretyczne i hipotezy. Rozk³ad wytrzyma³oœci statycznej jest zazwyczaj
analizowany log-normalnym Weibullowskim rozk³adem,
a krzywe zmêczeniowe okreœlone zale¿noœci¹ regresji
(KsbmaxN = 1, gdzie smax – maksymalne naprê¿enia na danym poziomie cykli; K i b parametry uzyskane doœwiadczalnie z krzywej S – N).
Sieci Markowa [6], s¹ jednym z wariantów opisania
gromadzenia siê zniszczeñ, czyli zjawiska kumulacji uszkodzeñ poprzez proste zale¿noœci jak sumowanie uszkodzeñ zmêczeniowych za pomoc¹ statycznych i zmêczeniowych w³asnoœci WKM. Jednak¿e nie jest to idea nowa
i czêœciowo niektóre zale¿noœci by³y przedstawione
w pracy [7]. W modyfikacjach [8, 9] modelu Markowa
zastosowano nowe sformu³owania zwi¹zków parametrów rozk³adu statycznej i zmêczeniowej wytrzyma³oœci.
W rozwiniêtym modelu Markowa [8] zosta³ zastosowany
Poissonowski rozk³ad prawdopodobieñstw dla okreœlenia s³abej krytycznej mikroobjêtoœci (KMO), w dowolnej
chwili t [10] poprzez kumulatywn¹ funkcj¹ rozk³adu
(kfd) wytrzyma³oœci zmêczeniowej oddzielnej KMO [11].
Zniszczenie próbki WMK powoduje zniszczenie chocia¿
by jednej mikroobjêtoœci. W odró¿nieniu od modelu zawartego w pracy [8], zosta³o przyjête, ze KMO pojawiaj¹
siê niejednoczeœnie, a stopniowo [9]. Oznaczaj¹c przez Xi
(i =1,2, 3,…) czasowe przedzia³y pojawienia siê KMO (X1,
X1 + X2, X3 + X2 + X3,…), to znaczy drugiej, trzeciej i nastêpnych mikroobjêtoœci, przyjmuj¹c Tj za wytrzyma³oœæ
zmêczeniow¹ j-ej KMO dla próbki jako (1):
lub
Y = min(T1,T2 + X1,T3 + X1 + X2,...),
Y = min(T1,X1 + Y1)
Przetwórstwo Tworzyw 3 (maj – czerwiec) 2012
(1)
170
Rafa³ CHATYS
der 8 ze sterownikiem „Catman”. Odkszta³cenia by³o
zmierzone za pomoc¹ czujnika tensometrycznego. Próby
by³y wykonane z prêdkoœci¹ przemieszczania g³owicy 2
mm/min. Naprê¿enie osiowe mierzono jako stosunek zastosowanej si³y do zmierzonego œredniego pola przekroju
poprzecznego próbek testowych, natomiast wspó³czynnik Poissona (μxy), wyznaczono z krzywej odkszta³cenie
poprzeczne-odkszta³cenie osiowe. Ustalenie œredniej
wartoœci wytrzyma³oœci statycznej (sstatist.) kompozytu polimerowego w statycznej próbie rozci¹gania pos³u¿y³o do
okreœlenia poziomu naprê¿eñ materia³u przy budowie
krzywej S-N.
gdzie: Y i Y1 – wartoœci losowe o jednakowej funkcji rozk³adu [6]: FY(y) = FY1(y)
Celem niniejszej pracy jest opisanie czy oszacowanie
wytrzyma³oœci statycznej i oceny wytrzyma³oœci resztkowej i pozosta³ego ¿ycia zmêczeniowego po wstêpnym obci¹¿aniu zmêczeniowym dla WMK o osnowie poliestrowej uwzglêdnieniem teorii Markowa.
2. Metodyka i przebieg badañ
Badania przeprowadzono na kompozycie 2-warstwowym wytworzonym metod¹ infuzji (Tablica 1) z tkaniny
szklanej biaxial [0/90]2 typu E firmy KUEMPERS HPT
o gramaturze 600 g/m2 na osnowie ¿ywicy poliestrowej
(AROPOL 605) produkowanej i sprowadzanej przez firmê Ashland.
Próbki do badañ statycznych o gruboœci 1,7 mm ciêto
wysokociœnieniowym strumieniem wody wraz z rozdrobnionym materia³em œciernym (Garnet #80) wed³ug
normy DIN-EN ISO 527-2 StablA, pod wysokim ciœnie-
3. Analiza statystyczna
w³asnoœci wytrzyma³oœciowych WMK
Z analiz publikowanych eksperymentalnych danych
WMK obserwuje siê doœæ du¿e rozrzuty w³asnoœci wytrzyma³oœciowych kompozytów, dlatego niezbêdne jest
sprawdzenie przyjêtych hipotez, statystycznych rozk³a-
Tablica 1. Parametry technologiczne metod formowania kompozytu polimerowego
Technologia
Tkanina szklana, %
¯ywica, %
Utwardzacz, %
Inhibitor, %
Ciœnienie,
bar
Czas ¿elowania, min
Infuzja
biaxial 600g/m 2
(KUEMPERS HPT), 50
AROPOL 605
(Ashland), 50
Butanox M50 (Akzo Nobel
Polymer Chemicals), 2
NCL-10, 2
0,6-0,7
60 min
(T=18°C)
niem (ok. 4000 barów). Przed zrywaniem pomierzono
geometryczne charakterystyki próbek w³óknistych wyciêtych z wytworzonej p³yty materia³u kompozytowego,
które oznaczono ‘APOL_A-xxxx’ (gdzie, ‘APOL_A’ oznacza laminat poliestrowy o u³o¿eniu [0/90]2 i numerem
próbki ‘xxxx’).
Statyczn¹ próbê rozci¹gania próbek z otrzymanych
kompozytów polimerowych przeprowadzono na MTS 5T
50 kN w Laboratorium Instytutu Mechaniki Polimerów
£otewskiego Uniwersytetu w Rydze. Maszyna wytrzyma³oœciowa MTS 5T 50 kN by³a wyposa¿ona w aparat pomiarowy Flex Test SE i sterownik firmy MTS. Obci¹¿enia
by³y mierzone przy u¿yciu rozet f irmy HBM
1-XY91-6/350 (sk³adaj¹cych siê z dwóch prostopad³ych
czujników tensometrycznych) i pojedynczych mierników
HBM 1-XY91-6/350, o jednakowych d³ugoœciach pomiarowych 6 mm i nominalnym oporze elektrycznym 350
omów. Rozeta i pojedynczy miernik naprê¿enia by³y
umieszczone po przeciwnych stronach próbki. Wyniki
naprê¿eñ, obci¹¿enie i przemieszczenie by³y rejestrowane za pomoc¹ urz¹dzenia gromadz¹cego dane HBM Spi-
dów wytrzyma³oœci WMK. Dane o wartoœci œredniej i odchyleniu standardowym wytrzyma³oœci statycznej (Sstatist)
dla otrzymanych próbek oraz wyniki badañ sprawdzaj¹cych przyjêtych hipotez rozk³adu, przedstawiono w tablicy 2.
Sprawdzenie przyjêtego rozk³adu S dokonano przy
pomocy kryterium OSPPT [11, 12], zgodnie z którym nie
zosta³o odrzucone, gdy¿ statystyka OSPPt nie przekroczy³a przyjêtej hipotezy Calfa (OSPPt < Calfa), odpowiadaj¹cemu poziomowi istotnoœci a =0,05 [13, 14].
Zaproponowany przedzia³ ufnoœci œredniej adhezyjnej wytrzyma³oœci WMK (Tablica 2) na poliestrowej osnowie, okreœlono poprzez kryterium Smirnowa – Kolmogorowa (S-K) (2) [15]:
Dn = sup|F*(x) – F(x)| = max|D+n, D–n|
æi
ö
gdzie: Dn+ = max ç - Fi ÷ – górna granica;
1<i <n è n
ø
i - 1ö
æ
Dn = max ç Fi ÷ – dolna granica;
n ø
1<i <n è
(2)
ni – iloœæ znaczeñ w zbiorze;
Tablica 2. Parametry statystycznych œrednich wytrzyma³oœci WMK w logarytmicznej skali
Odchylenie
standartowe
Kryterium S-K
[15]
Oznaczenie
próbek
n próbek
1
2
3
4
5
6
7
8
1.
SAPOL_A
8
0,460598
4,8065
1,55189
1,2952
1,30606 < 1,309
L.p.
D*
Œrednia
Dyspersja
Przetwórstwo Tworzyw 3 (maj – czerwiec) 2012
171
Modelowanie parametrów wytrzyma³oœciowych kompozytów w³óknistych z uwzglêdnieniem teorii ³añcuchów Markowa
Tablica 3. Przyk³ad struktury matrycy transformacji prawdopodobieñstw
1
jY
2
3
1
2
3
1
2
3
i\j
1
2
3
4
5
6
7
8
9
iR
1
1
1
2
2
0
3
3
0
3
3
1
iY
2
2
jR
p p
R0 Y0
p p
p p
p p
p p
R1 Y0
R0 Y0
R2 Y0
R1 Y0
0
1
p p
R0 Y1
0
0
p p
p p
p p
p p
R1 Y1
R0 Y1
0
R2 Y1
R1 Y1
0
p p
R0 Y2
0
0
p p
p p
p p
p p
R1 Y2
R0 Y2
0
R2 Y2
R1 Y2
0
1
4
0
0
0
2
5
0
0
0
0
3
6
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
7
0
0
0
0
0
0
1
0
0
2
8
0
0
0
0
0
0
0
1
0
3
9
0
0
0
0
0
0
0
0
1
p p
R0 Y0
F*(x), F(x) – doœwiadczalne i teoretyczne znaczenia
funkcji prawdopodobieñstwa.
Jeœli otrzymana wartoœæ D* (D – patrz. kolumna 3
w tablicy 2) nie spe³ni któregoœ z warunków zawartych
w [15], to przyjêty w pracy rozk³ad dla n-tych eksperymentalnych danych jest nie prawid³owo wybrany.
4. Modelowanie wytrzyma³oœci zmêczeniowej
i wytrzyma³oœci resztkowej kompozytów w³óknistych
z uwzglêdnieniem procesów Markowa
p p
p p
p p
p p
R1 Y0
R0 Y0
R2 Y0
R1 Y0
p p
R0 Y1
0
p p
p p
p p
p p
R1 Y1
R0 Y1
R2 Y1
R1 Y1
Symbole pR0, pR1, oznaczaj¹ prawdopodobieñstwo
zniszczenia odpowiadaj¹cej liczbie elementów (rigid)
pracuj¹cych w zakresie sprê¿ystym (sztywnych), a pY0,
pY1, prawdopodobieñstwo odpowiednich liczb przypadku B, którego elementy pracuj¹ w stanie plastycznym
(yielding). Zak³adamy, i¿ liczba zniszczonych elementów
pracuj¹cych w zakresie sprê¿ystym po jednym kroku ma
rozk³ad binominalny, a elementów pracuj¹cych w zakresie plastycznym rozk³ad logarytmiczno-normalny.
4.1. Równanie krzywej zmêczeniowej
W modelu bazuj¹cym na teorii ³añcucha Markowa [8]
przyjêto, ¿e zniszczenie zmêczeniowe próbki zachodzi po
zniszczeniu pewnej krytycznej mikroobjêtoœci z³o¿onej
z wzd³u¿nych do osi w³ókien (czy wi¹zek z w³ókien pracuj¹cych w zakresie sprê¿ystym) i plastycznej osnowy,
w której deformacje akumuluj¹ sie podczas cyklicznego
obci¹¿ania (tj. osnowa oraz pozosta³e warstwy o k¹cie
u³o¿enia ró¿nym ni¿ w³ókna pracuj¹ce wzd³u¿ osi w³ókien). Oprócz tego, w modelu przyjêto, ¿e w wyniku cyklicznego obci¹¿ania iloœæ pracuj¹cych w zakresie sprê¿ystym elementów w KMO zdolnych do przejêcia naprê¿enia zmniejsza siê o pewn¹ wartoœæ rR powoduj¹c zniszczenie elementów pracuj¹cych wzd³u¿ osi w³ókien, a¿ do
powolnego zniszczenia ca³ej próbki.
Po³¹czywszy proces powolnego zniszczenia próbki ze
stacjonarnym ³añcuchem Markowa, którego stany s¹
okreœlone przez liczbê zniszczonych elementów wzd³u¿
osi (przypadek A) i liczbê granic plastycznoœci z pewn¹
wartoœæ rY (przypadek B), matrycê transformacji prawdopodobieñstwa mo¿emy przedstawiæ jako zbiór z (rY+1)
bloków o (rR+1) stanów wewnêtrznych ka¿dego z nich.
Indeksy i i j stanów wejœcia i wyjœcia, zosta³y wyra¿one
odpowiednio jako czêœci lokalnych indeksów iY, iR, jY, jR
wzorem (3):
i = (rR + 1)(iY – 1) + iR; j = (rR + 1)(jY – 1) + jR
(3)
Powy¿sze wydarzenia odpowiadaj¹ przejœciowym
stanom zapisanym ³añcuchem Markowa. Symboliczne
wype³nienie matrycy dla przypadku gdy rY = rR = 2 przedstawiono w tablicy 3.
Krzyw¹ zmêczeniow¹ okreœlamy poprzez zmianê numeracji stanów w jakim znajduje siê WMK. Wówczas matryca transformacji prawdopodobieñstw przyjmuje postaæ (4):
é Q Rù
(4)
P=ê
ú
ë0 Iû
gdzie: I – jest matryc¹ sk³adaj¹c¹ siê z 1, a 0 jest matryc¹
zawieraj¹c¹ zera.
Przy zak³adamy, ¿e obci¹¿enia maj¹ charakter cykliczno pulsacyjny, mo¿na za³o¿yæ ¿e jeden krok w ³añcuchu
Markowa odpowiada kM cyklom (wówczas kM jest te¿ elementem wektora h). Przy ró¿nym stanach pocz¹tkowych,
wektor kolumnowy œrednich iloœci kroków przed transformacj¹ (przejœcia), mo¿na wyraziæ zale¿noœci¹ (5):
t=N·x
(5)
gdzie: N = (I – Q)–1; x – jest wektorem kolumnowym wype³nionym 1.
Z wektorem wariancji (6):
(6)
t2 = (2N – I)t – tsq
gdzie: tsq(i) = (t(i))2, i Î IA, i IA – jest ci¹giem indeksów stanów nieodwracalnych
Matryca prawdopodobieñstw w stanie poch³aniaj¹cym ma postaæ (7):
(7)
B = {Bij} = NR
gdzie: Bij – jest prawdopodobieñstwem w stanie poch³aniaj¹cym proces przy j-tym stanie transformacji, jeœli stan
pocz¹tkowy jest i-tym stanem nieodwracalnym.
W realizacji obci¹¿ania cyklicznego przy sta³ej wartoœci naprê¿enia cyklicznego, interesuj¹ nas tylko pierw-
Przetwórstwo Tworzyw 3 (maj – czerwiec) 2012
172
Rafa³ CHATYS
sze sk³adniki wektorów t i t2 oraz pierwszy wiersz matrycy B, co odpowiada pocz¹tkowi ³añcucha Markowa od
pierwszego stanu nieodwracalnego. Sk³adniki pierwszego wiersza matrycy B pokazuj¹ prawdopodobieñstwo
ró¿nych typów destrukcji (poprzez destrukcjê elementów
pracuj¹cych w zakresie sprê¿ystym lub z nieakceptowanym wyd³u¿eniem próbki w zakresie plastycznym, lub
ich kombinacjê). Wytrzyma³oœæ zmêczeniowa tp(S) (liczbie cykli) odpowiada prawdopodobieñstwu destrukcji p
przy pocz¹tkowym naprê¿eniem normalnym S (p – krzywa zmêczenia) poprzez zale¿noœæ:
-1
M TA
t p ( S) = k F ( p; S, h)
(8)
Szacowanie œredniej zmêczeniowej E(T(S)) przy dowolnym S, pozwala w konsekwencji doœæ dok³adnie odtworzyæ krzyw¹ zmêczeniow¹ [11, 16]. Rysunki 1 i 2 ilustruj¹ odpowiednio dopasowanie danych krzywej zmêczeniowej (T-N) do rezultatów eksperymentalnych, oraz
wytrzyma³oœæ resztkow¹ (SR) od liczby obci¹¿eñ pocz¹tkowych na trzech poziomach naprê¿eñ K*S s t a t i s t
(K0.1=0,3;0,5;0,7) z uwzglêdnieniem oszacowanych œrednich wartoœci wytrzyma³oœci resztkowej otrzymanych z
modelowania modelem Markowa. W tabeli 4 przedstawiono parametry modelu (dla wspó³czynnika asymetrii
R=0,1).
a)
Tabela 4. Parametry modelu
Wartoœci
parametrów
Parametry
Œrednia wartoœæ wytrzyma³oœci elementów
pod³u¿nych, (LR)*
4,8065
R=exp(LR), MPa
122,30
Œrednie odchylanie standardowe (StdRP)
wytrzyma³oœci pod³u¿nych elementów
w logarytmicznej skali
0,1
Iloœæ pod³u¿nych elementów w krytycznej
mikroobjêtoœci (rRP)
5
Wartoœæ wzglêdna pola powierzchni pracuj¹cych elementów pod³u¿nych w WMK (fRO)
0,65
Liczba cykli równowa¿na jednemu krokowi
w ³añcuchu Markowa (km)
1358
*obliczenia w logatytmie naturalnym
Tablica 5. Wartoœci wytrzyma³oœci resztkowej przy R=0,1
SR, MPa
Œrednia SR,
MPa
36.70
117.027;
117.027
2
61.10
129.591; 107.114;
130.216;
122.307
3
85.70
119.608; 132.519;
110.152;
120.761
N
Poziom obci¹¿enia
(K), MPa
1
5
4.8
Log(S)
4.6
4.4
4.2
4
3.8
3.6
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Log(T)
b)
140
Nie okreœlono znacz¹cego wp³ywu wytrzyma³oœci
resztkowej od liczby cykli. Zaobserwowano zmiany wartoœci na poziomie 8-10% w stosunku do œrednich naprê¿eñ przy zadanej liczbie cykli (Tablica 5). Widaæ, ¿e przy
wybranych parametrach modelu dla mniejszych naprê¿eñ po okreœlonej liczbie cyklicznych obci¹¿eñ ((S1, n1) =
61,10 MPa, 50 000) obserwujemy nieznaczne zawy¿enie,
a przy du¿ych znaczeniach ((S3, n3) = 85.70 MPa, 10000) –
nieznaczne zani¿enie „prognozowanej” wytrzyma³oœci
resztkowej w porównaniu z eksperymentaln¹. Zreszt¹,
efekt ten, nale¿y uzale¿niæ jeszcze i od d³ugotrwa³oœci obci¹¿eñ cyklicznych (liczby cykli). W tym celu, przyjêto, ¿e
liczba obci¹¿eñ cyklicznych o doœæ du¿ych wartoœciach
w przybli¿eniu jest równa minimalnemu znaczeniu wytrzyma³oœci zmêczeniowej przy okreœlonym poziomie
120
120
100
110
Test L=L , r=0.1
1
Pred. L=L1
Test L=L2, r=0.2
Pred. L=L2
100
80
S
90
S(MPa)
60
80
40
70
20
60
50
0
0
1
2
3
4
5
6
Log10(n1)
Rys. 1. Doœwiadczalne (+) i szacowane dane (o) œredniej wytrzyma³oœci
zmêczeniowej (a) i wytrzyma³oœci resztkowej (b) WMK dla trzech obci¹¿eñ (S1, n1) =(36,70 MPa 355000; 61,10 MPa, 50 000; 85,70 MPa,
10 000)
40
30
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
Log10(T)
Rys. 2. Eksperymentalne (+, x) i szacowane (O, *) wartoœci krzywych
S-T odpowiednio dla R=0.1 i R=0.5 (r=0.2)
Przetwórstwo Tworzyw 3 (maj – czerwiec) 2012
Modelowanie parametrów wytrzyma³oœciowych kompozytów w³óknistych z uwzglêdnieniem teorii ³añcuchów Markowa
obci¹¿enia otrzymanych z badañ eksperymentalnych.
Nale¿y podkreœliæ, ¿e eksperymentalne dane otrzymane
na trzech poziomach obci¹¿eñ, le¿¹ w zakresach ufnoœci,
ograniczonych wybranym p-kwantilem (przy wartoœci
90%).
W modyfikacji modelu [9, 10] zastosowano analizê w
ujêciu energetycznym [17], która pozwala otrzymaæ pe³n¹
krzyw¹ zmêczeniow¹ z mo¿liwoœci¹ przeliczania ekwiwalentnych cykli ze znanym ju¿ wspó³czynnikiem asymetrii cykli (R) na dowolny inny poziom R krzywej S-N.
Aktualnie w opisie procesu zmêczenia dominuje tzw.
podejœcie inicjacyjno-propagacyjne, które uwypukla etapy mikropêkniêcia oraz rozwój mikropêkniêcia.
3.
5. Wnioski
9.
Analiza uzyskanych obliczeñ pokazuje, ¿e rozwa¿ane
zamodelowane dane kompozytu poliestrowego modelem ze stacjonarnym ³añcuchem Markowa w miarê dobrze opisuje „ni¿sz¹ czêœæ” krzywej zmêczenia i œrednie
wartoœci wytrzyma³oœci resztkowej. Model z analiz¹ parametrów statystycznych, mo¿e byæ narzêdziem przy ca³oœciowej analizie rozk³adu lokalnej wytrzyma³oœci statycznej oraz „przewidywaniu” krzywej S-N i funkcji rozk³adu wytrzyma³oœci resztkowej po wstêpnym obci¹¿aniu zmêczeniowym.
Bibliografia:
1.
2.
4.
5.
6.
7.
8.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Found M.S., Quaresimin M.: Fatigue Fract. Eng Mater.
Structure 2003;2, pp.17–26.
Miner MA.: Cumulative damage in fatigue. J. Appl. Mech.
67/1945 – p.159–64.
17.
173
Van Paepegem W, Degrieck J.: J. Mech. Adv. Mater. Structure 9/2002 – p.19–35.
Broutman LJ, Sahu S.: ASTM STP 497, American Society for
Testing and Materials, Philadelphia, 1972. – p.170–88.
Schaff JR, Davidson BD.: J. Compos. Mater. 31/1997 –
p.128–57.
Paramonov Yu.M., Kleinhof M.A., Paramonova A.Yu.:
Mech. Compos. Mater.,Vol.42, No.5, 2006, p.615-63.
Pascual F.G.,Meeker W.Q.: Technometrics, 1999, vol.41. –
p.277-302.
Chatys R, Paramonova A.Yu., Kleinhof M.A.: Monography:
“Selected Problems of Modeling and Control in Mechanics”,
Edited by Stanis³aw Adamczak and Leszek Radziszewski,
Kielce, 2011. p.166-178.
Paramonov Yu., Chatys R, Andersons J., Kleinhofs M.: International Conferences „RelStat’2011”, Riga Latvia,
20-21.10.2011. – pp.1-10.
Paramonov Yu., Chatys R, Andersons J., Kleinhofs M.:
Mech. Compos. Mater. (in print).
Zweben C., J.: Composites, 1994, vol.25, p.451-454.
Weibull W.: Journal of Applied Mechanics, vol. 18, 1951,
pp.293-297.
Chatys R.: Kompozyty, 2012, (– in print).
Chatys R.: Polimery i kompozyty konstrukcyjne, 2011,–
pp.79- 86.
Chatys R., Kleinhof M.: Plastics in Machine Design,
29.09-01.10.2003, Kraków, pp.77-82.
Paramonov Yu.M.: Methods of Mathematical Statistics in
Problems on the Estimation and Maintenance of Fatigue
Life of Aircraft Structures. Riga: RIIGA, 1992.
Shokrieh M.M., Taheri-Behrooz F. A.: Composite structure.
Vol.75, 2006, p. 444-450.
Przetwórstwo Tworzyw 3 (maj – czerwiec) 2012