Zadania z konkursu matematycznego 2010/2011

ETAP I – ZADANIA DLA KLASY I
Zadanie 1
Oblicz
:
.
Zadanie 2.
Po dwukrotnej obniżce ceny towaru, za każdym razem o ten sam procent, jego cena końcowa
stanowi 64% ceny pierwotnej . O ile procent dokonano każdorazowo obniżki ceny towaru?
Zadanie 3.
Student musi zdać 31 egzaminów w ciągu 5 lat studiów. W każdym kolejnym roku liczba
egzaminów jest większa niż w roku poprzednim. W piątym roku studiów liczba egzaminów
jest 3 razy większa niż w pierwszym roku studiów. Ile egzaminów musi student zdać w
czwartym roku studiów.
Zadanie 4.
Suma dwóch ułamków wynosi
. Stosunek liczników tych ułamków wynosi 2 : 3, a
mianowników 3 : 4. Wyznacz te ułamki.
Zadanie 5.
W koło wpisano kwadrat i na tym kole opisano trójkąt równoboczny. Suma długości boku
trójkąta i boku kwadratu jest równa 12 cm. Oblicz promień koła.
ETAP I – ZADANIA DLA KLASY II
Zadanie 1.
Wiadomo, że dla dowolnych liczb dodatnich x i y zachodzi równość:
wartość wyrażenia
y
x + y2
2
.
x
x2 + y2
=
4
. Oblicz
5
Zadanie 2.
Koło i kwadrat mają równe pola. W dane koło wpisujemy kwadrat, a w dany kwadrat
wpisujemy koło. Co jest większe: pole kwadratu wpisanego w koło, czy pole koła wpisanego
w kwadrat?
Zadanie 3.
Wyobraźmy sobie, że ułożono wzdłuż równika Ziemi linę o długości 40070400 m. Załóżmy,
że jej końce stykają się i że odstaje ona od powierzchni Ziemi wszędzie o jednakową
odległość. Przyjmując, że długość równika wynosi 40070368m odpowiedz, czy mógłby
przejść pod tą liną nie schylając się człowiek o wzroście 180 cm?
Zadanie 4.
W trójkącie równobocznym ABC poprowadzono wysokość BD i na przedłużeniu wysokości
odłożono punkt K, tak że BK = AC. Punkt K połączono z punktami A i C. Wykaż, że suma
kątów ABC i AKC równa jest 120 0 .
Zadanie 5.
Uzasadnij, że jeżeli żadna z liczb : n-1, n, n+1 gdzie n oznacza dowolną liczbę naturalną, nie
jest podzielna przez 5 , to liczba n 2 + 1 jest podzielna przez 5.
ETAP I – ZADANIA DLA KLASY III
Zadanie 1.
Dany jest ciąg geometryczny (an) o ilorazie q = 2 − 1 . Niech p = an+1 – an-1 dla n>1.
Wyznacz wartość an w zależności od p.
Zadanie 2.
Krótsza podstawa trapezu ma długość 3 6 cm. Kąty przy tej podstawie mają miary
135 0 i 60 0 , a dłuższe ramię ma długość 13 cm. Oblicz pole tego trapezu.
Zadanie 3.
x− y
y−x
7
3
3
Wyznacz największą wartość niewiadomej x, jeżeli   −   =
i xy + y ≤ 9 .
12
4
4
Zadanie 4.
Odległość między miejscowościami A i B wynosi 19km. Z miejscowości A do miejscowości
B wyjechał kolarz z pewną stałą prędkością. W 15 minut po nim w tym samym kierunku
wyjechał samochód i po 10 minutach dogonił kolarza. Samochód nie zatrzymując się pojechał
dalej do miejscowości B , tam zawrócił i w drodze powrotnej , po upływie 50 minut od
wyjechania z miejscowości A , spotkał ponownie kolarza. Wyznacz prędkości samochodu i
kolarza.
Zadanie 5.
Przekątne i boki dowolnego trapezu wyznaczają osiem trójkątów. Wyszukaj wszystkie pary
trójkątów o równych polach. Odpowiedź uzasadnij.
ETAP II – ZADANIA DLA KLASY I
Zadanie 1.
Przy wypłacie kasjer pomylił się i zamiast groszy dał taką samą ilość złotych, a zamiast
złotych dał taką samą ilość groszy. Gdy od wypłaconej kwoty odejmiemy 5 groszy to
otrzymamy kwotę dokładnie dwa razy większą od tej, którą należało wypłacić. Jaką kwotę
należało wypłacić?
Zadanie 2.
1
x .
Uprość wyrażenie :
1
x + −1
x
Zadanie 3.
Trzy pola styczne zewnętrznie, każde o promieniu 10cm, ograniczają „trójkąt”, którego
„bokami” są łuki tych kół. Oblicz pole tego „trójkąta”z dokładnością do dwóch cyfr po
przecinku.
x2 +
Zadanie 4.
Mamy 3 beczki. Jeśli napełnimy pustą drugą beczkę z pełnej pierwszej beczki, to w pierwszej
pozostanie zawartości. Jeżeli napełnimy pustą trzecią beczkę z pełnej drugiej beczki , to w drugiej
pozostanie zawartości. Jeżeli wreszcie napełnimy drugą i trzecią z pełnej pierwszej , to zostanie w
niej 160 litrów. Oblicz pojemność każdej z tych beczek.
Zadanie 5.
Z punktu A leżącego na okręgu poprowadzono średnicę AB i cięciwę AC. Średnica i cięciwa
tworzą kąt 30 0 . Przez punkt C poprowadzono styczną do okręgu przecinającą przedłużenie
średnicy w punkcie D. Uzasadnij, że trójkąt ADC jest równoramienny.
ETAP II – ZADANIA DLA KLASY II
Zadanie 1.
Wykaż, że wielomian W(x) = (2x2 – 1 )2n + ( x2 + x- 1 )2n – 2 jest podzielny przez dwumian
x2 – x dla każdej liczby całkowitej dodatniej n.
Zadanie 2.
Rozwiąż nierówność : x
x2 − x−2
< 1.
Zadanie 3.
Na zawodach motocyklowych jeden z trzech startujących motocyklistów, mianowicie ten,
który zajął drugie miejsce, jechał 15km na godzinę wolniej od zwycięscy, a o 3km szybciej od
tego, który zajął trzecie miejsce. Wszystkie motocykle wystartowały jednocześnie, drugi
przyjechał do mety 12 minut po pierwszym, a 3 minuty przed trzecim. Motocykle nie
zatrzymywały się po drodze.
Wyznacz :
a) jaka była prędkość każdego motocykla?
b) Jaka była długość trasy?
c) Jak długo trwała jazda każdego motocykla?
Zadanie 4.
Kwadrat przecięto prostą tak, że dzieli ona obwód kwadratu w stosunku 9 : 7, a jeden z
boków kwadratu w stosunku 7 : 1 i inny jego bok w stosunku 5 : 3. W jakim stosunku prosta
ta dzieli pole kwadratu?
Zadanie 5.
Dany jest trójkąt ABC, w którym AC = BC, wiadomo przy tym, że punkt D jest spodkiem
wysokości trójkąta poprowadzonej z wierzchołka C, punkt E jest środkiem boku BC i
CD = DE. Udowodnij, że trójkąt CDE jest równoboczny.
ETAP II – ZADANIA DLA KLASY III
Zadanie 1.
Określ liczbę rozwiązań równania 2x( -x2 + 1 ) = 1
Zadanie 2.
3
Wyznacz największą wartość niewiadomej x , jeżeli  
4
x− y
3
− 
4
y−x
=
7
i
12
xy + y ≤ 9 .
Zadanie 3.
W kwadracie odległości punktu wewnętrznego od trzech wierzchołków są odpowiednio
równe : 2 5cm, 2 10cm oraz 4 5cm.
Oblicz bok kwadratu . Podaj wszystkie możliwe rozwiązania.
Zadanie 4.
W kwadrat o boku a wpisano dwa okręgi styczne zewnętrznie o środkach leżących na
przekątnej kwadratu. Wyznaczyć promienie tych okręgów , jeżeli ich obwody są w stosunku
2 : 1.
Zadanie5.
Punkty A, B, C, D są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku . Na przekątnej AC
równoległoboku obrano punkt O, który nie jest środkiem równoległoboku i poprowadzono
przezeń proste równoległe do boków równoległoboku. Poprowadzone proste przecinają boki
AB, BC, CD i DA odpowiednio w punktach : K, L, M, N. Udowodnij, że wśród powstałych
wielokątów są dwa równoległoboki o równych polach.
ETAP III – ZADANIA DLA KLASY I
Zadanie 1. ( 5p )
Wyznacz zbiór rozwiązań równania x − 3 + x + 1 = p w zależności od parametru p ( p ∈ R ).
Zadanie 2 ( 5p )
W trójkącie ABC o danych bokach AB = 12cm, BC = 8cm, AC = 10cm poprowadzono
prostą równoległą do boku AC, która dzieli obwód trójkąta na pół ABC. Oblicz odcinki na
bokach AB i BC wyznaczone przez tą prostą.
Zadanie 3 ( 2p )
Funkcja f określona jest na zbiorze wszystkich liczb naturalnych wzorem
Wyznacz liczbę nieparzystą k, dla której f
Sprawdź rozwiązanie.
=35?
Zadanie 4 ( 2p ).
Tę sama dwucyfrową liczbę naturalną napisano trzy razy obok siebie. Czy uzyskana w ten
sposób liczba 6-cio cyfrowa dzieli się przez 7?
Zadanie 5 ( 2p ).
Oblicz wartość wyrażenia a 3 a + b3 b przy założeniu , że a + b = 0 i 3 a 2 + 3 b 2 = 1 .
.................................................................................................................................................
Część II – test wyboru.
Zadanie 1 ( 1p ).
Dany jest trójkąt ABC. Odcinki AO, CO są odpowiednio dwusiecznymi katów α , γ , jak na
rysunku. Kąt β w tym trójkącie ma miarę :
A. 20 0
B. 40 0
C. 50 0
D. 80 0
Zadanie 2 ( 1p ).
2
3
Liczba odwrotna do liczby 4 to liczba :
A. 4
3
2
B. − 4
3
2
C. 4
Zadanie 3 ( 1p ).
Liczba n jest liczbą naturalną większą od 1 i
liczbą naturalną jest również liczba :
3
6
A.
B.
n+2
n
−
3
2
D. 4
−
2
3
n +1
jest liczbą naturalną. Z tego wynika , że
n −1
C.
n
n+3
D.
1
n +1
Zadanie 4 ( 1p ).
Liczbę 2 3 log 2 4+ 2 log 2 8 można zapisać jako :
A. 2 5
B. 16 2
C. 4 3
Zadanie 5 ( 1p ).
a+b 3
10a + 10b
Jeżeli
= , to wartość wyrażenia
jest równa :
x− y 5
9x − 9 y
50
5
10
B.
C.
A.
27
3
9
D. 16 3
D.
2
3
Zadanie 6 ( 1p ).
x −3 − 2 x −2
Wyrażenie
, gdzie x ≠ 0 , po uproszeniu ma postać :
x −1
B. x −2
C. − x 2 + 2 x
A. x −4 − 2 x −3
D. x −2 − 2 x −1
Zadanie 7 ( 1p ).
Wiadomo, że a = 515 , b = 3 20 , c = 2 35 . Zatem :
A. a > b > c
B. b > c > a
C. c > a > b
D. c > b >a
Zadanie 8 ( 1p ).
Ile różnych rozwiązań w liczbach naturalnych ma równanie a2b – 1 = 1999?
A.4
B.5
C.6
D.7
ETAP III - ZADANIA DLA KLASY II.
Zadanie 1. ( 5p ).
W kwadrat ABCD , którego bok ma 10cm, wpisano kwadrat KLMN, którego pole stanowi
3
pola kwadratu ABCD. Oblicz stosunek długości odcinków , na które wierzchołki kwadratu
4
KLMN dzielą każdy bok kwadratu ABCD.
Zadanie 2 ( 5p ).
Karawana o długości 1km jedzie przez pustynię z prędkością 4km/h. Co pewien czas od czoła
karawany do jej końca i z powrotem jedzie goniec z prędkością 6km/h. Oblicz długość drogi
tam i z powrotem, którą pokonuje goniec. Oblicz, ile czasu zajmuje mu przebycie tej drogi.
Zadanie 3 ( 2p ).
Znajdź wszystkie naturalne pierwiastki równania xy + x + y =1990, x, y ∈ N + .
Zadanie 4 ( 2p ).
Liczby x, y są liczbami naturalnymi większymi od zera. Określ liczbę rozwiązań równania :
1− 3 x + 2 + 3 y = 3
(
) (
)
Zadanie 5 ( 2p ).
Suma trzech liczb pierwszych jest 11 razy mniejsza od iloczynu tych liczb. Wyznacz te
liczby.
Część II – test wyboru
Zadanie 1 ( 1p ).
1 2
Liczba (tg 5 0 +
) należy do przedziału :
tg 5 0
 1
1 
A.  0, 
B.  ,1
C. (1,2)
 2
2 
D. ( 2, ∞ )
Zadanie 2 ( 1p ).
Liczba 4 17 + 12 2 jest równa :
0,5
1
A. 3 + 2 2
B.
1− 2
(
)
C.
1
2 +1
D.
1+ 2
Zadanie 3 ( 1p ).
Punkty A(a + 1,−4) i B(2, b + 2) są symetryczne względem osi OY. Suma a + b jest równa :
A. – 9
B. – 6
C. 5
D. 8
Zadanie 4 ( 1p ).
Kąt β na podanym rysunku ma miarę :
A. 225 0
B. 110 0
C. 125 0
D. 55 0
Zadanie 5 ( 1p ).
(
Suma wszystkich współczynników wielomianu W ( x) = 2 x 15 − 3 x 40
A. – 1
B. 47286
C. 3
2011
−2
2011
)
2011
jest równa :
D. 1
Zadanie 6 ( 1p ).
Jednym z pierwiastków równania x 2 − a = 0 , gdzie a jest liczbą dodatnią, jest liczba − 1 − 2 .
Zatem drugim pierwiastkiem tego równania jest liczba :
A. 1 + 2
B. 1 − 2
C. 2 − 1
D. 0
Zadanie 7 ( 1p ).
Jeśli 2 x > 2 x + 1 , to :
1
1
A. x >
B. x <
2 −2
2− 2
C. x <
2+ 2
2
D. x <
1
2 −2
Zadanie 8 ( 1p ).
Jeżeli liczby x i y są liczbami spełniającymi równanie (x-y-1)2 + (x + y – 7)2 = 0, to wartość
sumy x+y wynosi
A.4
B.1
C.-1
D.7
ETAP III – ZADANIA DLA KLASY III.
Zadanie 1.( 5p )
Wewnątrz kąta o mierze 60 0 obrano punkt odległy od jego ramion o 2 i
Oblicz odległość tego punktu od wierzchołka kąta.
3 −1.
Zadanie 2. ( 5p ).
Przez środek boku trójkąta równobocznego poprowadzono prostą tworzącą z tym bokiem kąt
ostry α i dzielącą ten trójkąt na dwie figury, których stosunek pól jest równy 1:7. Wyznacz
miarę kąta α .
Zadanie 3. ( 2p )
Niech S n ( S m , S k ) oznacza sumę n ( odpowiednio m, k ) początkowych wyrazów
nieskończonego ciągu arytmetycznego ( a i ). Oblicz wartość wyrażenia :
Sk
S
S
(m − n ) + m (n − k ) + n (k − m ) .
k
m
n
Zadanie 4 ( 2p ).
Wyznacz m i n takie, że m! + 3 = 10n + 7.
Zadanie 5 ( 2p ).
Oblicz wysokość czworościanu foremnego, jeżeli odległości jego dowolnego punktu
wewnętrznego od ścian są równe a, b, c, d.
......................................................................................................................................................
Część II – test wyboru
Zadanie 1 ( 1p ).
1
Jeśli (2, log16 x, ) jest ciągiem geometrycznym, to x jest równe :
8
1
17
1
A.
B.
C. 2 lub
2
16
2
Zadanie 2 ( 1p ).
Sinus kąta ostrego α jest połową jego cosinusa. Wówczas :
2 5
5
6
A. sin α =
B. sin α =
C. cos α =
5
5
3
D. 4 lub
1
4
D. cos α =
5
5
Zadanie 3 ( 1p ).
Suma pięciu liczb jest równa 445, a średnia arytmetyczna tych liczb jest równa medianie tego
zestawu liczb. Z powyższych warunków wynika, że suma liczb pomniejszona o średnią
arytmetyczną jest równa :
A. 351
B. 356
C. 361
D. 366
Zadanie 4 ( 1p ).
Ciąg (a n ) jest określony wzorem : a n = n 2 − 12n + 40 , gdzie n ∈ N + .
Zatem a2 n +1 = a2 n + 3 dla :
A. n = 0
B. n = 1
C. n = 2
D. n = 3
Zadanie 5 ( 1p ).
Niech α i β oznaczają miary kątów ostrych trójkąta prostokątnego oraz
a2 − b2
jest równa :
a = sin α i b = cos β . Zatem wartość wyrażenia 2
a + 2ab + b 2
2
3
A.
B. 1
C.
D. 0
2
2
Zadanie 6 ( 1p ).
Na rysunku dana jest kula o środku O i promieniu r = 3. Punkty A , B należą do sfery tej kuli.
Długość łuku AB jest równa π . Zatem kąt AOB ma miarę :
A. 15 0
B. 45 0
C. 60 0
D. 30 0
Zadanie 7 ( 1p ).
Kostka mydła ma kształt prostopadłościanu . Załóżmy, że po tygodniu używania wymiary
kostki zmniejszyły się o połowę. Pozostała ilość mydła ( przy takim samym używaniu )
wystarczy na :
A. 1 dzień
B. 2 dni
C. 5 dni
D. 7 dni
Zadanie 8 ( 1p ).
W ciągu arytmetycznym (a n ) dla dwóch różnych liczb naturalnych m , k zachodzi :
a m = m 2 oraz a k = k 2 . Z tego wynika, że różnica ciągu (a n ) jest równa :
1
A. m 2 − k 2
B. m − k
C. m + k
D. m − k
2