t - Repozytorium UMK

Transkrypt

a c ta u n i v e r s i tat i s n i c o l a i c o p e r n i c i
zarządzanie XXXIX – zeszyt 407 – toruń 2012
Uniwersytet Mikołaja Kopernika
Katedra Logistyki
Joanna Bruzda
Prognozowanie
metodą wyrównywania falkowego*
Z a r y s t r e ś c i. W artykule dyskutuje się metody wyznaczania prognoz falkowych
na podstawie szeregów jednowymiarowych oraz proponuje nowe rozwiązanie w tym
zakresie, oparte na nieparametrycznej estymacji losowego sygnału metodą wyrównywania falkowego. Podejście to jest falkowym odpowiednikiem metody wyrównywania wykładniczego, będąc jednak rozwiązaniem znacznie bardziej uniwersalnym
przy niewiele większej złożoności obliczeniowej. Badanie empiryczne wykonane
na podstawie 17 szeregów czasowych z bazy M3-IJF-Competition dostarcza bardzo
obiecujących wyników, które potwierdzają przydatność proponowanego rozwiązania.
S ł o w a k l u c z o w e: prognozy falkowe, nieparametryczna estymacja sygnałów,
przeskalowywanie falkowe.
Wstęp
Analiza czasowo-skalowa (falkowa) jest rodzajem analizy częstotliwościowej
pozwalającym efektywnie badać zmienne w czasie charakterystyki spektralnej procesów. Chociaż nie jest ona techniką prognostyczną per se, jej cechy
wyróżniające, takie jak dekompozycja procesów według pasm częstości, do
* Praca finansowana z grantu MNiSW nr N N111 285135.
78
Joanna Bruzda
bre własności lokalizacyjne w czasie, efektywność obliczeniowa i względna
prostota metodyczna nasuwają przypuszczenie, że może być ona użyteczna
w prognozowaniu ekonomicznych szeregów czasowych, szczególnie szeregów charakteryzujących się niestacjonarnością, przejawiających krótkookresowe oscylacje o zmiennej amplitudzie, dla których ogniwa poprzedzające
w łańcuchach przyczynowych zależą od skali czasu (horyzontu decyzyjnego).
Z teoretycznego punktu widzenia falki powinny – z jednej strony – umożliwiać dokładniejszą analizę przez specyfikacje osobnych zależności według
pasm częstości, a następnie konstruowanie prognoz oryginalnych szeregów
w postaci agregatów prognoz wyznaczonych dla poszczególnych komponentów procesów (skal czasu), z drugiej zaś – upraszczać analizę przez przekształcenie szeregu do postaci, dla której może być łatwiej dobrać odpowiedni
predyktor. W tym drugim przypadku zakłada się, że dekompozycja falkowa
upraszcza strukturę procesów, czyniąc je łatwiejszymi w prognozowaniu (por.
Kaboudan, 2005). Należy jednak pamiętać o możliwych wadach takiego podejścia, wiążących się z większa ilością parametrów podlegających estymacji
i arbitralnością wyboru falki czy poziomu dekompozycji.
Celem artykułu jest zaprezentowanie metod konstrukcji prognoz falkowych ograniczonych do przypadku prognoz konstruowanych na podstawie
szeregów jednowymiarowych, ocena użyteczności predyktorów falkowych
z punktu widzenia m.in. zastosowań logistycznych oraz propozycja nowego rozwiązania w zakresie sposobu wykorzystania falek w prognozowaniu.
Proponowana metoda opiera się na nieparametrycznej estymacji losowego
sygnału z wykorzystaniem falkowej redukcji szumu, który to sygnał jest następnie prognozowany z użyciem liniowych bądź nieliniowych modeli typu
autoregresyjnego. W dotychczasowych pracach falkowe metody redukcji
szumu jako podstawę prognozowania zawężano jedynie do tzw. falkowej
eliminacji progowej (ang. wavelet thresholding) – patrz Alrumaih, Al-Fawzan (2002), Ferbar, Čreslovnik, Mojškerc, Rajgelj (2009), Schlüter, Deuschle
(2010). W artykule argumentuje się, że progowanie falkowe ma zastosowanie
jedynie w przypadku sygnałów deterministycznych, proponowane zaś tutaj
wyrównywanie falkowe zakłada implicite, że badany sygnał ma charakter losowy i – wobec tego – jedynie przeskalowuje się spektrum badanego procesu,
zwłaszcza w zakresie częstości wysokich, a nie redukuje jego wartość do zera.
Proponowaną metodę prognozowania weryfikuje się w oparciu o 17 szeregów
czasowych z bazy M3-IJF-Competition (patrz np. Makridakis, Hibon, 2000),
wskazując na jej przewagę nad klasycznym wyrównywaniem wykładniczym,
błądzeniem przypadkowym czy liniowymi modelami autoregresji.
Prognozowanie metodą wyrównywania falkowego
79
1. Dyskretna analiza falkowa
Analiza falkowa polega na dekompozycji szeregu na składowe będące przesuniętymi i przeskalowanymi wersjami pewnej funkcji ѱ(x) zwanej falką
podstawową, wycałkowującej się do zera i mającej jednostkową energię.
Dekompozycja ta może mieć różny charakter w zależności od rodzaju zastosowanej transformaty falkowej. W przypadku tzw. analizy dyskretnej
(DWT – ang. Discrete Wavelet Transform), która pojawia się najczęściej
w zastosowaniach prognostycznych, efektem transformacji są współczynniki
falkowe zdefiniowane dla oktaw częstości, co skutkuje oszczędną reprezentacją danych. Ponadto rozważanie wyłącznie oktaw częstości może być uzasadnionePrognozowanie
w przypadku
analizy sygnałów
procesów
ekonomicznych,
dla których – jak
ii estymacja
metodą
wyrównywania
falkowego
3
Prognozowanie
estymacja
sygnałów
metodą
wyrównywania
falkowego
się wydaje sięsygnałów
przedziałami
częstości, a falkowego
– posługiwanie
nie pojedynczymi33
Prognozowanie
i estymacja
metodą wyrównywania
Prognozowanie
i estymacja
sygnałów
częstościami
nie powinno
wiązać
się z nadmierną
utratą falkowego
informacji, co na-3
zać
się
z
nadmierną
utratą
informacji,
co
będzie
miało
miejsce
w
szczególności
zać
się
z
nadmierną
utratą
informacji,
co
będzie
miało
miejsce
w szczególności
szczególności
stąpi
w szczególności
w przypadku
procesów,
których
dynamika
zależy od
zać
się z nadmierną
utratą
informacji,
co będzie
miało
miejsce w
w
przypadku
procesów,
których
dynamika
zależy
od
diadycznej
skali
czasu.
w
przypadku
procesów,
których
dynamika
zależy
od
diadycznej
skali
czasu.
diadycznej
skali czasu.
zaćprzypadku
się z nadmierną
utratą
informacji,
co będzie
miejsce wskali
szczególności
w
procesów,
których
dynamika
zależymiało
od diadycznej
czasu.
definiuje
się
dyskretną
transformatę
falkową
(dyskretnego)
sygnału
(x
)) definiuje
Dyskretną
transformatę
falkową
(dyskretnego)
sygnałuff f(x)
w przypadku
procesów,
których
dynamika
zależy
od
diadycznej
skali
czasu. się
definiuje
się
dyskretną
transformatę
falkową
(dyskretnego)
sygnału
(x
się
dyskretną transformatę falkową (dyskretnego) sygnału f (x) definiuje
następująco:
następująco:
następująco:
dyskretną transformatę falkową (dyskretnego) sygnału f (x) definiuje się
następująco:


następująco:
 f ( x)
W
dx
(1)
jj ,, tt 
W

 jj ,, tt (((xxx))) dx
dx ,,,
(1)(1)
W j , t   ff ((xx))
(1)
j, t
W j , t   f ( x) j , t ( x) dxJ , j J–j
(1)
2,
, ...,
J2
j
gdzie
j =1
1,,, 
t=
0,,,
1,,, 2
...,
–1,
funkcje
zaś
ѱjj,,t t(((x)
wersjami
falki
xx)) są
gdzie
,, zaś
funkcje
są
wersjami
falki
0
,,1
1
jj 
,, 2
JJ ,, J,tt 
J j 

gdzie
zaś
funkcje
są
wersjami
falki

0
1

2

1

1
2

,
j ,t ( x) są wersjami falki

gdzie
 1 , zaś funkcje
j  1, 2, ,przesuniętymi
J , t  0,1,, 2i przeskalowanymi
j
,
t
podstawowej,
na
skali
diadycznej,
tj.:
J j
podstawowej,
przesuniętymi
i
przeskalowanymi
na
skali
diadycznej,
tj.:
 j ,diadycznej,
gdzie
falki
, 2  1 , zaś funkcje
j  1, 2, 
, J , t  0,1,
podstawowej,
przesuniętymi
przeskalowanymi
na skali
skali
tj.:
t ( x) są wersjami
podstawowej,
przesuniętymi
ii przeskalowanymi
na
diadycznej,
tj.:
 j/2
j
podstawowej,
przesuniętymi
i
na skali diadycznej, tj.: (2)

2  j / 2
t . (2)(2)
 jj ,,tt (((xxx))) 

 222 jj xxx 
przeskalowanymi

22 j / 2
tt ..
(2)
j ,t
2
j
 j ,t ( x)  2  j /jest
 2zwykle
x  t definiowana
.
(2)
Falka podstawowa
podstawowa
jest
zwykle
za pomocą
pomocą tzw.
tzw. funkcji
funkcji skalującej,
skalującej,
Falka
definiowana
za
Falka
podstawowa
jest zwykle
definiowana
za pomocą
tzw.
funkcji
skaluFalka
podstawowa
jest
zwykle
definiowana
za
pomocą
tzw.
funkcji
skalującej,
odpowiednio
przeskalowanej
i przesuniętej
funkcji
skalującej
z
 (x
) . Splot
Splot
odpowiednio
przeskalowanej
przesuniętej
funkcji
skalującej
(x
Falka
zwykle
definiowana
pomocą
tzw.
funkcji
skalującej,
jącej,
ϕ(x).odpowiednio
Splot jest
odpowiednio
przeskalowanej
i przesuniętej
funkcji
skalują-zz
Splot
przeskalowanej
iizaprzesuniętej
funkcji
skalującej
(x
)) .. podstawowa
sygnałem
dostarcza
tzw.
współczynników
skalujących
postaci:
sygnałem
dostarcza
tzw. współczynników
współczynników
skalujących
postaci:
Splot
odpowiednio
przeskalowanej
i przesuniętej
funkcji
skalującej z
 (xcej
) . z sygnałem
dostarcza
tzw. współczynników
skalujących
postaci:
sygnałem
dostarcza
tzw.
skalujących
postaci:


sygnałem
dostarcza
tzw.
współczynników
skalujących
postaci:
V
dx
(3)
V jj ,, tt 
  fff (((xxx)))
 jj ,, tt (((xxx))) dx
dx (3)(3)
V
(3)

j, t
j, t

V j, t 
f ( x)  j , t ( x) dx
(3)
Te
dwa
rodzaje
tworzą
dekompozycję
wyjściowej
funkcji
  współczynników
Te dwa
dwa
rodzaje
współczynników
tworzą
dekompozycję
wyjściowej
funkcji
Te rodzaje
dwa rodzaje
współczynników
tworzą
dekompozycję
wyjściowejfunkcji
funkTe
współczynników
tworzą
dekompozycję
wyjściowej
postaci:
postaci:
Tecjidwa
rodzaje współczynników tworzą dekompozycję wyjściowej funkcji
postaci:
postaci:
postaci:ff (( xx)) 
V
 JJ ,, tt (( xx)) 
 JJ ,, tt (( xx)) 
 11,, tt (( xx)) 
VJJ ,, tt
 W
WJJ ,, tt


 W
W11,, tt

f ( x)  t V
J , t J , t ( x)  t WJ , t J , t ( x)    t W1, t 1, t ( x) 
(4)
t
t
t
(4)
f ( x)  t VJ , t J , t ( x)  t WJ , t J , t ( x)    t W1, t 1, t ( x)  (4)

S
(
x
)

D
(
x
)

D
(
x
)



D
(
x
).
J
J
J

1
1
DJ ((xx))  D
D
t J 1 ( x)    D1 ( x). t
(4)
(4)
 SStJJ ((xx))  D
J
J 1 ( x)    D1 ( x).

S
(
x
)

D
(
x
)

D
(
x
)



D
(
x
).
D
(x
(x
znane
są
wartości
lub
aproksymaFunckje
Jand
1 jako
1 wygładzone
D jj (x
(xJ))) znane
S jj (x
(x))) and
and D
znane Jsą
są
jako wartości
wartości
wygładzone lub
lub aproksymaaproksymaFunckje SS
jako
wygładzone
Funckje
j
j
cje
(ang.
smooths)
i
detale
(ang.
details).
aproksymacje
z
najwyższego
pozioznane details).
są jako wartości
wygładzone
lub aproksymaFunckje
cje (ang.
(ang. Ssmooths)
smooths)
detale
aproksymacje
najwyższego
pozioj (x) andi D
j (x) (ang.
cje
i detale
(ang. details).
aproksymacje
zz najwyższego
pozioS
(x
)
mu,
,
reprezentują
komponent
niskoczęstotliwościowy
procesu,
podczas
J
(xsmooths)
mu,(ang.
reprezentują
komponent
procesu, podczas
podczas
cje
i detalekomponent
(ang. details).
aproksymacje z najwyższego
pozioSSJJ (x
)) ,, reprezentują
mu,
procesu,
D
(
x
)
D
(
x
)
D
(x
)
gdy
detale
,
,
…,
są
związane
z
oscylacjami
o
okresach
S
(x
)
mu,
,
reprezentują
komponent
procesu,
podczas
gdy detale D1 (x) , D2 (x) , …, DJ (x) są związane z oscylacjami o okresach zz

















80
Joanna Bruzda
Funckje SJ (x) and DJ (x) znane są jako wartości wygładzone lub aproksymacje (ang. smooths) i detale (ang. details). Aproksymacje z najwyższego poziomu, SJ (x), reprezentują komponent niskoczęstotliwościowy procesu, podczas gdy detale D1 (x), D2 (x) , …, DJ (x) są związane z oscylacjami o okresach
z przedziałów 2–4, 4–8, …, 2J–2J+1. Dekompozycja postaci (4) określana jest
jako analiza wielorozdzielcza (ang. multiresolution analysis).
Rozważmy wektor długości N = 2 J 0 postaci x = (x0, x1, ..., xN–1)′. Wówczas możliwa jest maksymalnie J0-poziomowa dekompozycja szeregu, przy
czym liczby (konwencjonalnych) współczynników falkowych i skalujących
z każdego poziomu są następujące: N 2 , N 4 ,  , 1. Natomiast tzw. maksymalnie nachodząca (ang. maximal overlap) dyskretna transformata falkowa
(MODWT), zwana również transformatą niezdziesiątkowaną lub ciągło-dysJoannawspółczynników
Bruzda
obu typów (odpowied4 kretną, dostarcza takiej samej liczby
Joanna Bruzda
4
~
~
i )
na
każdym
poziomie
dekompozycji
ze
względu
na brak operacji
nio
W
V
j ,t
j ,t
Joanna Bruzda
4
Joanna
Bruzda
4
podpróbkowania
(decymacji),które
przy czym
ta wynosi
N. Współczynniki
czynniki
te po przeskalowaniu,
służy liczba
zachowaniu
energii,
dane są nastęczynniki
którezachowaniu
służy zachowaniu
energii,
dane są nastęte po przeskalowaniu,
które służy
energii, dane
są następująco:
pująco:
czynniki
pująco: te po przeskalowaniu, które służy zachowaniu energii, dane są nastęczynniki
które
służy
zachowaniu energii, dane są nastęL j 1
Joanna
pująco:
4
,
(5)(5)
, Bruzda
t  0, ,2 JJ  jj  1,
L j 1 h j , l x j
j, t 
[
2
(
1
)
1
]
mod
t



l
N
0
l

pująco:W
(5)
W j , t  lLj 01 h j , l x[ 2 j (t 1) 1l ] mod N , t  0, ,2  1 ,
J j
,
(5)
Wjj/,2t 
,
t

0
,

,
2

1
L j 1 hLjj,l 1x j
~
J

j
l L0j 1h x[ 2 ( t 1) 1l ] mod N ,
J,
j 1 , 1 ,
(5)(5)
W

t

0
,

2
j x
2 jW

h
,
t

0
,

,
N

(6)
L

1
~
,
j/,2t W
j
l
j
,

h
x
,
t

0
,

,
2

1
[
2
(
1
)
1
]
mod
t



l
N
j
,
t
j
,
l
(
t

l
)
mod
N
l  0 l j0,l

,t
[ 2 j (tx
1)1l ] mod N,
l 0
2 j / 2 jW

h
t

0
,

,
N

1
,
(6)
,
(6)
j
,
t
j
,
l
(
t

l
)
mod
N
~
lLj 01
LLj 11h j , l x( t l ) mod N ,
2 j / 2jW

t

0
,

,
N

1
~
,
(6)
L
j 1
J

j
~
j
,
t
/2
2 W
j01
, , t t 0,
,0
,N
(6)(6)
(7)
V

gllj,00lj xh
,, N

hjj, l xx(t l ) mod
,21J, 1j,  1 ,
j , tj ,ltL
l ] mod
NN,N ,t t0
l 0x[ 2 jj ,(lt 1(t)l1)mod
,
(7)
V jj2,,tt  W
g
0
,

,
2

1
,
j
l
1
L

[ 2 ( t 1) 1l ] mod N
l 0
(7)(7)
V j ,/t2 ~ lLjjL0j 11gL jj ,l1x[ 2 j (t 1) 1l ] mod N , t  0, J,2 jJJ  jj  1, (7)
V

g
x
,

g
x
,,2N,2 1
 ,1, 1 ,
j
2 jV,/t2j V

g
, ,, t tt
00,,0
(8)(7)
,t~j , t
mod
l]]mod
)lmod
NNN
1()t11l
l l00 lLjj 0,j,ll1 [[22jj, (ltx
2 j / 2 V~j , t  lLj 01 g j , l x(t l ) mod N , t  0, , N  1 ,
(8)
~
L

1
L

1
2
V

g
x
,
t

0
,

,
N

1
~
,
(8)
j
/
2
jj
j ,it {g
j , l x ( t l ) mod N, tfiltrami
}V
odpowiednimi
j-tego
dekompozycji
gdzie {2hj2/j ,l2 V
0 g
 ,l }l lsą
,N
 1, 1poziomu
t00,
,
,N
(8)(8)
,, (8)
00 g
jj,,ll ((ttll))mod
modNN , filtrami
{g jj
}
są
odpowiednimi
j-tego
poziomu
dekompozycji
gdzie {h j ,l } j ,itj ,t
l

,l
j
} i (i{2gj{j
są
odpowiednimi
gdzie
)(
 1odpowiednimi
)  1 (patrz filtrami
długości
Percival,
Walden,
2000,dekompozycji
Rozdział
4).
{jj h,l,lL
g,l,l }}1
}L
filtramij-tego
j-tegopoziomu
poziomu
dekompozycji
gdzie{{h
są
odpowiednimi
filtrami
j-tego
poziomu
dekompozycji
gdzie
L}jjj,l}}i i {g
({2g j
1j ,l)(
Lsą
 1)  1 (patrzfiltrami
długości
Percival,
Walden,
2000,dekompozycji
Rozdział
4).
gdzieh{h
}
są
odpowiednimi
j –
tego
poziomu
j, l
j j, l
j 1
j
j
L

(
2

1
)(
L

1
)

1
długości
(patrz
Percival,
Walden,
2000,
Rozdział
4).4).
{hdługości
}
jest
filtrem
pasmowym
z
pasmem
przenoszenia
,
na1
/
2

f

1
/
2
j ,l
j2000,
12000,
(patrz
Percival,
Walden,
L 1) 1) 1z pasmem
1(patrz
(patrzPercival,
Percival,Walden,
Walden,
L jjLj (2(j2pasmowym
 1)(1L)(
długości
Rozdział
4).
{hdługości
przenoszenia
1 / 2 2000,
 f Rozdział 4).
Rozdział
1 / 2 j , naj ,l } jest filtrem
j
j 1 j +1
j
}
jest
filtrem
pasmowym
z pasmem
przenoszenia
,
{
g
}
tomiast
jest
filtrem
dolnoprzepustowym
z
częstotliwością
odcięcia
1
/
2
≤
f
≤
1
/
2
{h{{h
}
j

1
j
jest
filtrem
pasmowym
z
pasmem
przenoszenia
,
na1
/
2

f

1
/
2
j
,l
1
j2 , najh
,l j, l} jest filtrem pasmowym z pasmem przenoszenia 1 / j2

f

1
/
{
g
}
tomiast
jest
filtrem
dolnoprzepustowym
z
częstotliwością
odcięcia
{hnatomiast
}
jest
filtrem
pasmowym
z
pasmem
przenoszenia
,
naj
,l
1
/
2

f

1
/
2
j
,l
j ,l
{g
}
jest
filtrem
dolnoprzepustowym
z częstotliwością
odcięcia
l
tomiast
1 /tomiast
2 j 1 .j +1{g j ,l } j, jest
jestfiltrem
filtremdolnoprzepustowym
dolnoprzepustowymzz zczęstotliwością
częstotliwościąodcięcia
odcięcia
tomiast
filtrem
dolnoprzepustowym
częstotliwością
odcięcia
1 / 12/j 21 . {. g{jg,l }j ,l }jest
j

1
Współczynniki
falkowe
i
skalujące
nie
tworzą
jeszcze
wielorozdzielczej
j.1
Współczynniki
falkowe
i skalujące
nie tworzą
tworzą jeszcze
1 /12/Współczynniki
2
falkowe
icelu
skalujące
nie
jeszcze wielorozdzielczej
wielorozdzielczej
1 / dekompozycji
2 j21 . .
przeprowadzenia
analizy
wielorozdzielczej
dekompozycji
procesu
2. 1.W
procesu
W celu
przeprowadzenia
analizy
wielorozdzielczej
Współczynniki
falkowe
i
skalujące
nie
tworzą
jeszcze
.
W
celu
przeprowadzenia
analizy
wielorozdzielczej
dekompozycji
procesu
Współczynniki
falkowe
i skalujące
tworzą
jeszcze
wielorozdzielczej
stosuje
sięsię
odpowiednie
przekształcenie
falkowe,
które
prowadzi
bezWspółczynniki
falkowe
icelu
skalujące
nienietworzą
jeszcze
wielorozdzielczej
2 odwrotne
stosuje
odpowiednie
przekształcenie
falkowe,
które
prowadzi
2Wodwrotne
przeprowadzenia
analizy
wielorozdzielczej
dekompozycji
procesu
stosuje
się do
odpowiednie
przekształcenie
falkowe,
które
prowadzi
bez2.odwrotne
.
W
celu
przeprowadzenia
analizy
wielorozdzielczej
dekompozycji
procesu
pośrednio
addytywnej
dekompozycji
szeregu
czasowego.
Dekompozycja
ta
W celu przekształcenie
przeprowadzenia
analizyktóre
wielorozdzielczej
dekompozycji
procesu .odwrotne
stosuje
się
odpowiednie
falkowe,
prowadzi
bezpośrednio
do
addytywnej
dekompozycji
szeregu
czasowego.
Dekompozycja
ta
stosuje
się
odpowiednie
odwrotne
przekształcenie
falkowe,
które
prowadzi
bezmoże być
wykonana zodwrotne
użyciemprzekształcenie
zarówno konwencjonalnej
jak i ciągłostosuje
się do
odpowiednie
falkowe, które
prowadzi
bezpośrednio
addytywnej
dekompozycji
szeregu
czasowego.
Dekompozycja
ta ta
może
być
wykonana
z
użyciem
zarówno
konwencjonalnej
jak
i
ciągłopośrednio
doaddytywnej
addytywnej
dekompozycji
szeregu
czasowego.
Dekompozycja
dyskretnej
transformaty,
dostarczając
za każdym
razem
składowych
o długości
pośrednio
do
dekompozycji
szeregu
czasowego.
ta
1być
Wyjątkiem
jest popularna
w prognozowaniu
falka
Haara,
którejDekompozycja
współczynniki
falmoże
wykonana
z
użyciem
zarówno
konwencjonalnej
jak
i
ciągłodyskretnej
transformaty,
dostarczając
za
każdym konwencjonalnej
razem
składowych
osię
długości
może
być
wykonanadekompozycję
zużyciem
użyciemzarówno
zarówno
jak
iciągłoidentycznej
z addytywną
oryginalnym
sygnałem.
Problemem
praktycznym,
jaki
tuciągłopokowebyć
tworzą
wyjściowego
sygnału.
może
wykonana
z
konwencjonalnej
jak
i
dyskretnej
transformaty,
dostarczając
razem
składowych
identycznej
ztransformaty,
oryginalnym
sygnałem. za
Problemem
praktycznym,
jaki osię
tuoraz
podyskretnej
dostarczając
zakażdym
każdym
razem
składowych
odługości
długości
jawia,
są zniekształcenia
współczynników
falkowych
bądź
skalujących
dyskretnej
transformaty,
dostarczając
za
każdym
razem
składowych
o
długości
identycznej
z
oryginalnym
sygnałem.
Problemem
praktycznym,
jaki
się
tu
jawia,
są
zniekształcenia
współczynników
falkowych
bądź
skalujących
oraz
identycznej
z oryginalnym
sygnałem.
Problemem
praktycznym,
jakisię
siętu tupopodetali
i aproksymacji
na krańcach
próby.
Powoduje
to konieczność
usuwania
identycznej
z oryginalnym
sygnałem.
Problemem
praktycznym,
jaki
pojawia,
są
zniekształcenia
współczynników
falkowych
bądź
skalujących
oraz
detali
i
aproksymacji
na
krańcach
próby.
Powoduje
to
konieczność
usuwania
jawia,
są
zniekształcenia
współczynników
falkowych
bądź
skalujących
oraz
odpowiednich
współczynników
brzegowych
i
jest
szczególnie
istotne
w
przyjawia,
sąaproksymacji
zniekształcenia
współczynników
falkowychto bądź
skalujących
oraz
detali
nanakrańcach
próby.
konieczność
odpowiednich
współczynników
brzegowych
i jest szczególnie
istotneusuwania
wusuwania
przydetaliiisygnałów
i aproksymacji
krańcach
próby.Powoduje
Powoduje
konieczność
padku
niestacjonarnych.
detali
aproksymacji
na krańcach
próby.
Powoduje
totokonieczność
usuwania







 





81
bezpośrednio do addytywnej dekompozycji szeregu czasowego. Dekompozycja ta może być wykonana z użyciem zarówno konwencjonalnej, jak i ciągło-dyskretnej transformaty, dostarczając za każdym razem składowych o długości identycznej z oryginalnym sygnałem. Problemem praktycznym, jaki się
tu pojawia, są zniekształcenia współczynników falkowych bądź skalujących
oraz detali i aproksymacji na krańcach próby. Powoduje to konieczność usuwania odpowiednich współczynników brzegowych i jest szczególnie istotne
w przypadku sygnałów niestacjonarnych.
W części trzeciej niniejszej pracy, gdzie prezentowane są metody konstrukcji predyktorów falkowych, zwraca się w szczególności uwagę na to,
jakie elementy analizy falkowej stanowią podstawę budowy prognoz: podpróbkowane bądź maksymalnie nachodzące współczynniki falkowe i skalujące czy też odpowiednie detale i wartości wygładzone.
2. Metody konstrukcji prognoz falkowych
Wśród metod konstrukcji prognoz falkowych z wykorzystaniem jednowymiaPrognozowanie i estymacja sygnałów metodą wyrównywania falkowego
5
rowych szeregów czasowych Schlüter i Deuschle (2010) wyróżniają cztery
następujące:
 redukcja
reprezentacji
redukcja
– redukcja
reprezentacjiczasowo-częstotliwościowej
czasowo-częstotliwościowej(falkowa
(falkowa redukcja
szumu,
ang. wavelet
denoising)
z wykorzystaniem
techniki
eliminacji
proszumu,
ang. wavelet
denoising)
z wykorzystaniem
techniki
eliminacji
gowejprogowej
miękkiejmiękkiej
lub twardej;
lub twardej;
 Falkowe
modele
strukturalne
szeregów
czasowych;
modele
strukturalne
szeregów
czasowych;
– falkowe
– prognozowanie
dziedzinie
w falkowej
(prognozowanie
współczynni Prognozowanie w dziedzinie falkowej (prognozowanie
współczynników
ków falkowych);
falkowych);
– prognozowanie
z wykorzystaniem
lokalnie
stacjonarnych
modelifalkofal Prognozowanie
z wykorzystaniem
lokalnie
stacjonarnych
modeli
kowych.
wych.
W pierwszym z tych podejść bazuje się na obserwacji, że białoszumowy
W pierwszym z tych podejść bazuje się na obserwacji, że białoszumowy składskładnik losowy w reprezentacji postaci ‘sygnał + szum’ w jednakowym stopnik losowy w reprezentacji postaci ‘sygnał + szum’ w jednakowym stopniu
niu zniekształca współczynniki falkowe różnych poziomów dekompozycji.
zniekształca współczynniki falkowe różnych poziomów dekompozycji. Dlatego
dla poziomów
wszystkichproponuje
poziomówsięproponuje
redukcję współczynników
dlaDlatego
wszystkich
redukcję się
współczynników
co do wartoco
do
wartości
bezwzględnej
mniejszych
od
wybranej
wielkości
ści bezwzględnej mniejszych od wybranej wielkości progowej.
Takprogowej.
zmodyfiTak zmodyfikowane
współczynniki
następnie
do dziedziny
kowane
współczynniki transformuje
siętransformuje
następnie dosię
dziedziny
czasu
uzyskując
czasu, uzyskując
sygnał wyjściowy.
Przekształcone
współprzekształcony
sygnałprzekształcony
wyjściowy. Przekształcone
współczynniki
otrzymuje
się
czynniki
otrzymuje
się,
stosując
eliminację
progową
miękką
lub
twardą,
przy
stosując eliminację progową miękką lub twardą, przy czym ta pierwsza dana
ta pierwsza dana jest następująco:
jestczym
następująco:
W' j , t  W j , t 1 W
zaś druga:
j ,t


,, 
W' j , t  sig(W j , t ) W j , t   1 W
j ,t

,
(9a)
(9a)
(9b)
ści bezwzględnej mniejszych od wybranej wielkości progowej. Tak zmodyfikowane współczynniki transformuje się następnie do dziedziny czasu uzyskując
przekształcony sygnał wyjściowy. Przekształcone współczynniki otrzymuje się
stosując eliminację progową miękką lub twardą, przy czym ta pierwsza dana
jest następująco:
Joanna Bruzda
82
W' j , t  W j , t 1 W    ,
(9a)
druga:
zaśzaś
druga:
j ,t


W' j , t  sig(W j , t ) W j , t   1 W
j ,t

,,
(9b)
(9b)
gdzie
λ jestprzyjętą
przyjętąwartością
wartościąprogową.
progową.Wartość
Wartość progu
progu dyskryminacji może
 jest
może
gdzie
byćbyć
wyznaczana
na podstawie
charakterystyk
całego
szeregu
(eliminacja
prowyznaczana
na podstawie
charakterystyk
całego
szeregu
(eliminacja
2 zastosowagowa
globalna)
lub adaptacyjnie
(patrz augustyniak,
2003)3,2003)
lecz w
, lecz w zaprogowa
globalna)
lub adaptacyjnie
(patrz Augustyniak,
niach
prognostycznych
spotyka się,
jak dotąd,
jedynie
to jedynie
pierwszeto podejście,
stosowaniach
prognostycznych
spotyka
się, jak
dotąd,
pierwsze
realizowane
najczęściej
w
oparciu
o
tzw.
próg
uniwersalny
i
implementowane
podejście, realizowane najczęściej w oparciu o tzw. próg uniwersalny i implena mentowane
bazie konwencjonalnej
dWT.
na bazie konwencjonalnej
DWT.
W
badaniu
prezentowanym
w pracy
Schlüterai i Deuschle
(2010)okazało
okazaW badaniu prezentowanym w pracy Schlütera
Deuschle (2010)
że falkowa
eliminacja
progowa
poprawia
krótkookresowe
prognozy
się,łożesię,
falkowa
eliminacja
progowa
poprawia
krótkookresowe
prognozy
generowane
z modeliz modeli
arMa ARMA
i ariMa.
Wniosek
ten otrzymano
na podstawie
anagenerowane
i ARIMA.
Wniosek
ten otrzymano
na podstalizywie
cenanalizy
ropy i kursów
Podobne
otrzymali
cen ropywalut.
i kursów
walut.wnioski
Podobne
wnioskialrumaih,
otrzymalial-Fawzan
Alrumaih,
(2002),
analizując
notowania
artykułem artykułem
jest praca
(2002),
analizującgiełdowe.
notowaniaInteresującym
giełdowe. Interesującym
Al-Fawzan
Ferbara
i
in.
(2009),
w
której
proponuje
się
zastosowanie
metody
eliminacji
jest praca Ferbara i in. (2009), w której proponuje się zastosowanie
metoprogowej
do prognozowania
w łańcuchu
dostaw.
Wedle moje
wiedzy,
dy eliminacji
progowej do popytu
prognozowania
popytu
w łańcuchu
dostaw.
Wejestdle
to moje
pierwsza
propozycja
aplikacjipropozycja
prognoz falkowych
optymalizacji
koszwiedzy
jest to pierwsza
aplikacji do
prognoz
falkowych
do
tówoptymalizacji
w ramach łańcucha
dostaw.
Z
analizy
symulacyjnej
prezentowanej
w
cytokosztów w ramach łańcucha dostaw. Z analizy symulacyjnej
wanym
opracowaniu
wynika, że prognozy
falkowe
mają że
przewagę
nadfalkowe
wygłaprezentowanej
w cytowanym
opracowaniu
wynika,
prognozy
mają przewagę nad wygładzaniem wykładniczym, które zostało potraktowane
3
jako
metoda
benchmarkowa.
Na temat
różnych
metod ustalania wartości progu dyskryminacji patrz np. Percival, Walden
falkowych na podstawie szeregów
Druga metoda
(2000), Rozdział
X, Nason wyznaczania
(2008), Rozdziałprognoz
III.
jednowymiarowych polega na zastosowaniu analizy wielorozdzielczej w celu
dekompozycji szeregu, a następnie osobnym modelowaniu i prognozowaniu
składowych procesu. Ostateczna prognoza jest sumą prognoz poszczególnych
składników. Podejście to zaproponowano w pracy Arino (1995), a stosowane było ono także m.in. przez Wonga i in. (2003) i Fernandez (2008), przy
czym Arino i Fernandez rozważają osobne modelowanie dwu składowych
procesów, a Wong i in. dekomponują szeregi na trzy części. Na przykład
w pracy Arino analizowano miesięczną sprzedaż samochodów w Hiszpanii,
przyjmując składnik trendowy postaci Y = S 7 + D7 + D6 + D5 oraz składnik zawierający wahania sezonowe i komponent przypadkowy w postaci
Z = D1 + D2 + D3 + D4. Dla każdego z tak zdefiniowanych szeregów dopasowano następnie odpowiedni model (S)ARIMA.
2Na temat różnych metod ustalania wartości progu dyskryminacji patrz np. Percival,
Walden (2000), Rozdział X, Nason (2008), Rozdział III.
83
Trzecie podejście do prognozowania jest stosowane m.in. w pracach Chena i in. (2004), Conejo i in. (2005), Renaud i in. (2002) oraz Minu i in. (2010).
Na przykład w pierwszej ze wspomnianych prac opracowano oryginalną metodę prognostyczną WAW (skrót od ang. wavelet-armax-winters), w myśl
której stosuje się transformatę MODWT w celu zdefiniowania komponentów
trendu, sezonowości i wysokiej częstotliwości, a następnie prognozuje osobno te składniki z wykorzystaniem metod takich jak wyrównywanie wykładnicze, modele harmoniczne i modele ARMA(X). Ostateczna prognoza powstaje
po zastosowaniu odwrotnego przekształcenia falkowego. Natomiast Renaud
i in. (2002) wprowadzają modele MAR (ang. Multiscale Autoregression), definiowane z wykorzystaniem współczynników konwencjonalnej DWT, przeprowadzanej z użyciem falki Haara, Minu i in. (2010) zaś przekształcają ten
model do postaci nieliniowej z zastosowaniem sieci neuronowych. W każdym
z przypadków zakłada się implicite, że współczynniki falkowe można opisać
z wykorzystaniem prostszych modeli niż dane oryginalne.
Czwarta z metod prognozowania falkowego, opracowana przez Fryźlewicza i in. (2003), bazuje na pojęciu lokalnie stacjonarnych procesów falkowych
(patrz Nason, 2008, i znajdujące się tam odwołania do literatury). W metodzie tej stosuje się predyktor typu autoregresyjnego o parametrach zmieniających się w czasie, wyznaczanych przez falkowy odpowiednik równań Yule’
a–Walkera. Podstawą metody jest niezdziesiątkowana (maksymalnie nachodząca) dyskretna transformata falkowa, a wykorzystanie tej metody w praktyce wymaga estymacji ewolucyjnego spektrum falkowego metodą skorygowanego periodogramu falkowego.
Porównanie jakości różnych metod prognozowania falkowego na podstawie jednowymiarowych rzeczywistych szeregów czasowych prezentowane w pracy Schlütera i Deuschle (2010) wskazuje na przewagę pierwszego
i trzeciego podejścia, które są w stanie wygenerować prognozy lepsze od tych
uzyskanych metodami klasycznymi.
3. Prognozowanie z wykorzystaniem
Wyrównywania falkowego
Jak wspominano we wprowadzeniu, metoda prognozowania oparta na eliminacji progowej zakłada, że prognozowany proces jest sumą deterministycznego sygnału i losowego szumu. Takie założenie skutkuje eliminacją wysokich
częstotliwości w szeregu, tj. w praktyce współczynniki falkowe z niższych poziomów dekompozycji (w szczególności z pierwszego poziomu) traktuje się
Prognozowanie
estymacja
sygnałów
metodą
wyrównywania
falkowego
Prognozowanie
i estymacja
sygnałów
metodą
wyrównywania
falkowego
Prognozowanie
estymacja
sygnałów
metodą
wyrównywania
falkowego
Prognozowanie
estymacja
sygnałów
metodą
wyrównywania
falkowego
Prognozowanie
iiiiestymacja
sygnałów
metodą
wyrównywania
falkowego
7
7777
dejścia, które są w stanie wygenerować prognozy lepsze od tych uzyskanych
3. ProGnoZoWanie Z WYKorZYSTanieM
metodami
klasycznymi.
dejścia,
które
wygenerować
prognozy
lepsze
uzyskanych
dejścia,
są
w
stanie
wygenerować
prognozy
lepsze
od
tych
uzyskanych
dejścia,
które
są
w
stanie
wygenerować
prognozy
lepsze
od
tych
uzyskanych
dejścia,
które
są są
w
stanie
wygenerować
prognozy
lepsze
odod
tych
uzyskanych
dejścia,
które
sąw
wstanie
stanie
wygenerować
prognozy
lepsze
odtych
tych
uzyskanych
WYRÓWNYWANIA
FaLKoWeGo
dejścia,które
które
są
w
stanie
wygenerować
prognozy
lepsze
od
tych
uzyskanych
dejścia,
które
są
w
stanie
wygenerować
prognozy
lepsze
od
tych
uzyskanych
metodami
klasycznymi.
metodami
klasycznymi.
metodami
klasycznymi.
metodami
klasycznymi.
metodami
klasycznymi.
metodami
klasycznymi.
metodami
Jak
wspominano
we wprowadzeniu,Zmetoda
prognozowania oparta na eli3.klasycznymi.
ProGnoZoWanie
WYKorZYSTanieM
minacji progowej zakłada,
że prognozowany
proces
jest sumą deterministyczWYRÓWNYWANIA
FaLKoWeGo
JZoanna
Bruzda
84
3.
ZZZ
WYKorZYSTanieM
3.
ProGnoZoWanie
WYKorZYSTanieM
3.
ProGnoZoWanie
ZZZ
WYKorZYSTanieM
ProGnoZoWanie
WYKorZYSTanieM
3.ProGnoZoWanie
ProGnoZoWanie
WYKorZYSTanieM
3.
ProGnoZoWanie
WYKorZYSTanieM
3.
ProGnoZoWanie
WYKorZYSTanieM
nego sygnału 3.
i losowego
szumu. Takie założenie
skutkuje eliminacją wysokich
WYRÓWNYWANIA
FaLKoWeGo
WYRÓWNYWANIA
FaLKoWeGo
Jak wspominano
we
wprowadzeniu,
metoda
prognozowania
oparta napoeliWYRÓWNYWANIA
FaLKoWeGo
WYRÓWNYWANIA
FaLKoWeGo
WYRÓWNYWANIA
FaLKoWeGo
WYRÓWNYWANIA
FaLKoWeGo
częstotliwości
w szeregu,
tj.
w praktyce współczynniki
falkowe z niższych
WYRÓWNYWANIA
FaLKoWeGo
minacji
progowej
zakłada,
że
prognozowany
proces
jest
sumą
deterministyczziomów
dekompozycji
(w
szczególności
z
pierwszego
poziomu)
traktuje
się
jako
szum.
Podejście
takie
jest jednak
niewłaściwe,
jeśli przyjmie
założeJak
wprowadzeniu,
metoda
prognozowania
oparta
na
Jak
wspominano
we
wprowadzeniu,
metoda
prognozowania
oparta
na
eliJak
wspominano
we
wprowadzeniu,
metoda
prognozowania
oparta
na
eliJak
wspominano
wewe
wprowadzeniu,
metoda
prognozowania
oparta
nasię
eliJakwspominano
wspominano
we
wprowadzeniu,
metoda
prognozowania
oparta
naelieliJak
wspominano
we
wprowadzeniu,
metoda
prognozowania
oparta
na
eliJak
wspominano
we
wprowadzeniu,
metoda
prognozowania
oparta
na
elinego
sygnału
i losowego
szumu.
Takie
założenie
skutkuje
eliminacją
wysokich
jako
szum.
Podejście
takie
jest
jednak
niewłaściwe,
jeśli
przyjmie
się
założenie
minacji
progowej
zakłada,
że
prognozowany
proces
jest
sumą
deterministyczminacji
progowej
zakłada,
że
prognozowany
proces
jest
sumą
progowej
zakłada,
że
prognozowany
proces
jest
sumą
deterministycznie
o losowym
charakterze
sygnału.
Założenie
o losowości
sygnałów
jest
minacji
progowej
zakłada,
że
prognozowany
proces
jest
sumą
progowej
zakłada,
że
prognozowany
proces
jest
sumą
progowej
zakłada,
że
prognozowany
proces
jest
sumą
deterministyczminacji progowej
zakłada,
prognozowany
procesfalkowe
jest sumą
deterministyczczęstotliwości
wi szeregu,
tj.szumu.
wże
praktyce
współczynniki
z niższych
po- podonego
losowym
charakterze
sygnału.
Założenie
ozałożenie
losowości
sygnałów
jest
podstawą
nego
sygnału
losowego
Takie
skutkuje
eliminacją
wysokich
nego
sygnału
i
losowego
szumu.
Takie
założenie
skutkuje
eliminacją
wysokich
nego
sygnału
i
losowego
szumu.
Takie
założenie
skutkuje
eliminacją
wysokich
sygnału
i
losowego
szumu.
Takie
założenie
skutkuje
eliminacją
wysokich
nego
sygnału
i
losowego
szumu.
Takie
założenie
skutkuje
eliminacją
wysokich
nego
sygnału
i
losowego
szumu.
Takie
założenie
skutkuje
eliminacją
wysokich
stawą
konstrukcji
tzw.
strukturalnych
modeli
szeregów
czasowych
czy
modeli
nego sygnału
i losowego
szumu.
Takie
skutkuje
eliminacją
wysokich
ziomów
dekompozycji
(w szczególności
zzałożenie
pierwszego
poziomu)
siępokonstrukcji
tzw.wstrukturalnych
modeli
szeregów
czasowych
czy
modeli
wyczęstotliwości
w
szeregu,
tj.
w
praktyce
współczynniki
falkowe
zztraktuje
niższych
częstotliwości
w
szeregu,
tj.
w
praktyce
współczynniki
falkowe
niższych
poczęstotliwości
w
szeregu,
tj.
w
praktyce
współczynniki
falkowe
z
niższych
poczęstotliwości
szeregu,
tj.
w
praktyce
współczynniki
falkowe
z
niższych
poczęstotliwości
w
szeregu,
tj.
w
praktyce
współczynniki
falkowe
z
niższych
poczęstotliwości
w
szeregu,
tj.
w
praktyce
współczynniki
falkowe
z
niższych
poczęstotliwości
w
szeregu,
tj.
w
praktyce
współczynniki
falkowe
z
niższych
powyrównywania
wykładniczego
i wydaje
się
bardziej
adekwatne
w opisie
projako
szum. dekompozycji
Podejście
takie(w
jednak
niewłaściwe,
jeśli przyjmie
sięprocesów
założenie
równywania
wykładniczego
ijest
wydaje
się
bardziej
adekwatne
w
opisie
ziomów
szczególności
zzzzzzpierwszego
poziomu)
traktuje
się
ziomów
dekompozycji
(w
szczególności
pierwszego
poziomu)
traktuje
się
ziomów
dekompozycji
(w
szczególności
pierwszego
poziomu)
traktuje
się
ziomów
dekompozycji
(w
szczególności
z
pierwszego
poziomu)
traktuje
się
ziomów
dekompozycji
(w
szczególności
pierwszego
poziomu)
traktuje
się
ziomów
dekompozycji
(w
szczególności
pierwszego
poziomu)
traktuje
się
ziomów
dekompozycji
(w
szczególności
pierwszego
poziomu)
traktuje
się
o
losowym
charakterze
sygnału.
Założenie
o
losowości
sygnałów
jest
podstawą
cesów
ekonomicznych,
dla
których
zwykle
lepsze
efekty
w modelowaniu
daje
ekonomicznych,
dla których
zwykle
lepsze
efekty w jeśli
modelowaniu
daje
przyjjako
szum.
Podejście
takie
jest
jednak
niewłaściwe,
jeśli
przyjmie
się
założenie
jako
szum.
Podejście
takie
jest
jednak
niewłaściwe,
jeśli
przyjmie
się
założenie
jako
szum.
Podejście
takie
jest
jednak
niewłaściwe,
jeśli
przyjmie
się
założenie
jako
szum.
Podejście
takie
jest
jednak
niewłaściwe,
przyjmie
się
założenie
jako
szum.
Podejście
takie
jest
jednak
niewłaściwe,
jeśli
przyjmie
się
założenie
jako
szum.
Podejście
takie
jest
jednak
niewłaściwe,
jeśli
przyjmie
się
założenie
jako
szum.
Podejście
takie
jest
jednak
niewłaściwe,
jeśli
przyjmie
się
założenie
konstrukcji
tzw.
strukturalnych
modeli
szeregów
czasowych
czy
modeli
wyprzyjmowanie
paradygmatu
losowości
i których
kształt
spektrum
odbiega
mowanie
paradygmatu
losowości
i
których
kształt
spektrum
odbiega
od
spekooooolosowym
charakterze
sygnału.
Założenie
ooooolosowości
sygnałów
podstawą
charakterze
sygnału.
Założenie
sygnałów
jest
podstawą
losowym
charakterze
sygnału.
Założenie
losowości
sygnałów
jest
podstawą
orównywania
losowym
charakterze
sygnału.
Założenie
o losowości
sygnałów
jestjest
podstawą
olosowym
losowym
charakterze
sygnału.
Założenie
olosowości
losowości
sygnałów
jest
podstawą od
losowym
charakterze
sygnału.
Założenie
losowości
sygnałów
jest
podstawą
losowym
charakterze
sygnału.
Założenie
losowości
sygnałów
jest
podstawą
wykładniczego
i
wydaje
się
bardziej
adekwatne
w
opisie
procesów
trów
w
reprezentacjach
‘funkcja
deterministyczna
+
biały
szum’.
spektrów
w reprezentacjach
‘funkcja
deterministyczna
+
biały
szum’.
konstrukcji
tzw.
strukturalnych
modeli
szeregów
czasowych
modeli
wykonstrukcji
tzw.
strukturalnych
modeli
szeregów
czasowych
czy
modeli
wykonstrukcji
tzw.
strukturalnych
modeli
szeregów
czasowych
czy
modeli
wykonstrukcji
tzw.
strukturalnych
modeli
szeregów
czasowych
czyczy
modeli
wykonstrukcji
tzw.
strukturalnych
modeli
szeregów
czasowych
czy
modeli
wykonstrukcji
tzw.
strukturalnych
modeli
szeregów
czasowych
czy
modeli
wykonstrukcji
tzw.
strukturalnych
modeli
szeregów
czasowych
czy
modeli
wyekonomicznych,
dla
których
zwykle
lepsze
efekty
w
modelowaniu
daje
przyjrównywania
wykładniczego
i
wydaje
się
bardziej
adekwatne
w
opisie
procesów
równywania
wykładniczego
i
wydaje
się
bardziej
adekwatne
w
opisie
procesów
Załóżmy,
że
interesujący
nas
proces
jest
generowany
według
modelu:
Załóżmy,
że
interesujący
nas
proces
jest
generowany
według
modelu:
równywania
wykładniczego
i
wydaje
się
bardziej
adekwatne
w
opisie
procesów
równywania
wykładniczego
i
wydaje
się
bardziej
adekwatne
w
opisie
procesów
równywania
wykładniczego
i
wydaje
się
bardziej
adekwatne
w
opisie
procesów
równywania
wykładniczego
i
wydaje
się
bardziej
adekwatne
w
opisie
procesów
równywania
wykładniczego
i wydaje
się bardziej
adekwatne
w opisie
procesów
mowanie
paradygmatu
losowości
i których
kształt
spektrum
odbiega
od
spekekonomicznych,
dla
zwykle
lepsze
efekty
w
daje
przyjekonomicznych,
których
zwykle
lepsze
efekty
w
modelowaniu
daje
przyjekonomicznych,
dla
których
zwykle
lepsze
efekty
w
modelowaniu
daje
przyjekonomicznych,
których
zwykle
lepsze
efekty
w
modelowaniu
daje
przyjekonomicznych,
dlaktórych
których
zwykle
lepsze
efekty
wmodelowaniu
modelowaniu
daje
przyjekonomicznych,
dla
których
zwykle
lepsze
efekty
w
modelowaniu
daje
przyjekonomicznych,
dla
których
zwykle
lepsze
efekty
w
modelowaniu
daje
przyjYt reprezentacjach
 X t  t dladla
(10)
trów
w
‘funkcja
deterministyczna
+
biały
szum’.
mowanie
paradygmatu
losowości
i
których
kształt
spektrum
odbiega
od
mowanie
paradygmatu
losowości
i
których
kształt
spektrum
odbiega
od
spekmowanie
paradygmatu
losowości
iiiktórych
których
kształt
spektrum
odbiega
od
spekmowanie
paradygmatu
losowości
i których
kształt
spektrum
odbiega
od spekmowanie
paradygmatu
losowości
których
kształt
spektrum
odbiega
odspekspekmowanie
paradygmatu
losowości
których
kształt
spektrum
odbiega
od
spek=
X
+
η
,
(10)
Y
mowanie
paradygmatu
losowości
i
kształt
spektrum
odbiega
od
spekt
t że interesujący
t
Załóżmy,
nasdeterministyczna
proces
jest generowany
według
modelu:
trów
reprezentacjach
‘funkcja
deterministyczna
+dla
biały
szum’.
trów
w
reprezentacjach
‘funkcja
deterministyczna
++
biały
szum’.
wt w
jest
białym
szumem
nieskorelowanym
z X+t biały
wszystkich
opóźnień i
gdzie
trów
w
reprezentacjach
‘funkcja
deterministyczna
+++
biały
szum’.
trów
reprezentacjach
‘funkcja
szum’.
trów
w
reprezentacjach
‘funkcja
deterministyczna
biały
szum’.
trów
w
reprezentacjach
‘funkcja
deterministyczna
biały
szum’.
trów
w
reprezentacjach
‘funkcja
deterministyczna
biały
szum’.
YZałóżmy,
 XChcąc
 że
interesujący
(10)
Załóżmy,
interesujący
nas
proces
jest
generowany
według
modelu:
Załóżmy,
że
interesujący
nas
proces
jest
generowany
według
modelu:
X t jest
wyprzedzeń.
oszacować
sygnał
, rozwiązujemy
następujący
problem:
Załóżmy,
że
interesujący
nas
proces
jest
generowany
według
modelu:
Załóżmy,
nas
proces
generowany
według
modelu:
interesujący
nas
proces
jest
generowany
według
modelu:
Załóżmy,
że
interesujący
nas
proces
jest
generowany
według
modelu:
tZałóżmy,
t że
tże
że
interesujący
nas
proces
jest
generowany
według
modelu:
gdzie ηt jest białym szumem nieskorelowanym z Xt dla wszystkich opóźnień

XX
(10)
YY
(10)
Y
X2t


(10)
X
(10)

i wyprzedzeń.
Chcąc
oszacować
sygnał X
(10)
Yt Yjest
nieskorelowanym
z t,Xrozwiązujemy
opóźnień
i progdzie
(10)
tY
t
tY
tszumem
tbiałym

(10)
t dla wszystkichnastępujący
tttt
tttt
ˆXXtXttttt
E
X

X
min
,
(11)
blem:
X t , rozwiązujemy
wyprzedzeń.
Chcąc
oszacować
sygnał
następujący
problem:
białym
szumem
nieskorelowanym
wszystkich
opóźnień
gdzie
jest
białym
szumem
nieskorelowanym
dla
wszystkich
opóźnień
gdzie
XXtXt dla

jest
białym
szumem
nieskorelowanym
dla
wszystkich
opóźnień
gdzie
t jest
białym
szumem
nieskorelowanym
z zXzzzzXXdla
wszystkich
opóźnień
i iiiii
gdzie
jest
białym
szumem
nieskorelowanym
dla
wszystkich
opóźnień
gdzie
jest
białym
szumem
nieskorelowanym
dla
wszystkich
opóźnień
gdzie
t
t ttjest

gdzie
t t jest białym szumem nieskorelowanym zt X ttt t dla wszystkich opóźnień i
2Chcąc
wyprzedzeń.
Chcąc
oszacować
sygnał
następujący
problem:
wyprzedzeń.
Chcąc
oszacować
sygnał
następujący
problem:
gdzie
X i X̂ są
wektorami
(wierszowymi)
T odpowiednio
– problem:
wartości
Xdługości
wyprzedzeń.
Chcąc
oszacować
sygnał
następujący
problem:
X t X,XX
wyprzedzeń.
Chcąc
oszacować
sygnał
rozwiązujemy
następujący
wyprzedzeń.
oszacować
sygnał
,rozwiązujemy
rozwiązujemy
następujący
problem:
X
wyprzedzeń.
Chcąc
oszacować
sygnał
,rozwiązujemy
rozwiązujemy
następujący
problem:
tX
t,tt,t,,rozwiązujemy
wyprzedzeń.
oszacować
sygnał
t rozwiązujemy następujący problem: (11)
,
X ocen.
Xˆ Chcąc

min
,
sygnału E
i jego
Z222własności
przekształcenia falkowego otrzymujemy: (11)
2
22
ˆX
ˆX
ˆ 2
ˆ
ˆ
XX
min
(11)
EE

min
(11)
2 (11)
ˆˆX
X


min
(11)
E EX
XX
min
J

min
, ,,,,,, 2
(11)
EEX
XXX

min
(11)
2X

min
(11)
~ X ~ˆ XT 2odpowiednio
~ X ~ˆ–X wartości
gdzie X i E
są
wektorami
długości
X̂
X (wierszowymi)
X
ˆ
ˆ
E
X

X

E
W

W

E
W

W

E
V

V
, wartości
T odpowiednio –
gdzie X i są wektorami (wierszowymi)
j
j
j długości
j
sygnału
i jego
ocen.wektorami
Z własności
przekształcenia
falkowego
otrzymujemy:
1
jprzekształcenia
gdzie
iii jego
(wierszowymi)
długości
TTfalkowego
––––––wartości
gdzie
są
wektorami
(wierszowymi)
długości
odpowiednio
wartości
gdzie
XXX
są
wektorami
(wierszowymi)
długości
TTTodpowiednio
odpowiednio
wartości
X̂X̂X̂są
gdzie
XX
iXX
wektorami
(wierszowymi)
długości
T odpowiednio
– wartości
X̂
gdzie
są
wektorami
(wierszowymi)
długości
odpowiednio
wartości
sygnału
ocen.
Z własności
otrzymujemy:
gdzie
są
wektorami
(wierszowymi)
długości
odpowiednio
wartości
gdzie
iiiiX̂X̂są
są
wektorami
(wierszowymi)
długości
T
odpowiednio
wartości
X̂
2
2
J
2
2
(12)
sygnału
i
jego
ocen.
Z
własności
przekształcenia
falkowego
otrzymujemy:
sygnału
i
jego
ocen.
Z
własności
przekształcenia
falkowego
otrzymujemy:
sygnału
iiijego
jego
ocen.
Z
własności
przekształcenia
falkowego
otrzymujemy:
sygnału
i jego
ocen.
Z
własności
przekształcenia
falkowego
otrzymujemy:
~
~
~
~
sygnału
jego
ocen.
Z
własności
przekształcenia
falkowego
otrzymujemy:
sygnału
jego
ocen.
Z
własności
przekształcenia
falkowego
otrzymujemy:
ˆ
ˆ
X
X
X
X
X
X
sygnału
i
ocen.
Z
własności
przekształcenia
falkowego
otrzymujemy:
EX X  XˆX  E W  Wˆ
 JE W j  W j 22E V j  V j , 22
J JJ
222
2
22wektorami
222
2X 222222jJ1T JJwspółczynników
~~
~ˆ~
~~
~ˆ~
długości
DWT
gdzie W i Ŵ ˆ 2ˆsą
~~~
~ˆˆ~ˆ~
~~X~XXXX~
~ˆˆ~ˆX2~ˆXXX,XX 22,22 (12)
X
X
XXXXX~
XˆXXXX 2 klasycznej
~W
~V
2
X
ˆW
XXXˆ XˆˆˆˆˆX
XXX
X~
Xˆ~
X
X~
Xˆ~
Xˆ V
ˆX
ˆX
ˆˆ E
X
XW
X E
EX
X

XXX

EEE
W

W

E


E

EE
XX
W

W

E
W

W

E
V

V
ˆ
ˆ
E
X

X

E
W

W

E
W

W

E
V

V
E

X
W

W

E
W

V

V
E
X


E
W

W

E
W

W

E
V

E
X


E
W

W

E
W

W

E
V

V
j
j
j
j
j
j
~ X ~W ~ˆ X 1 Ej W jjjj j W jjjj  Ej V jjjj j VjVj jjj,j ,,,,,
~X W
(12)
1
sygnału i jego oceny, W j , V j , Ŵ jX , Vjj1 j jsą
jjjj1111odpowiednimi wektorami długoX
X
(12)
(12)
(12)
(12)
(12)
(12)
W i Ŵ są MODWT,
wektoramizaś
długości
T współczynników
DWT
gdzie
ści
T(12)
współczynników
J jest przyjętym
poziomemklasycznej
dekompozycji.
XXX
XXanalizowane
~
~
~
~
ˆ
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Dalej
zakłada
się,
że
współczynniki
falkowe
mają
średnią
0,
co
jest
ii są
wektorami
TTT
współczynników
klasycznej
DWT
gdzie
W
ioceny,
są
wektorami
długości
współczynników
klasycznej
DWT
gdzie
W
Ŵ
są
wektorami
długości
TTT
współczynników
klasycznej
DWT
gdzie
W
Ŵdługości
WiW
sygnału
jego
, V j , długości
, V j T są
odpowiednimi
wektorami
długowektorami
współczynników
klasycznej
DWT
gdzie
Wi XŴ
ŴsąXsą
iŴ
są
wektorami
długości
współczynników
klasycznej
DWT
gdzie
W
Ŵ
są
wektorami
długości
współczynników
klasycznej
DWT
gdzie
gdzie
wektorami
współczynników
klasycznej
DWT
W
Ŵ
iiiŴ
są
długości
współczynników
klasycznej
DWT
gdzie
j wektorami
jdługości
równoważne
założeniu,
że
filtry
falkowe
mają
wystarczającą
liczbę
zerowych
~
~
~
~
~
~
~
~
ˆ
ˆ
~
~
~
~
X
X
X
X
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
X
X
X
X
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
XXX X J
XXX
XXX X ~ zaś
XXX X przyjętym
X~X
~
~
ˆ
ści
T
współczynników
MODWT,
jest
poziomem
dekompozycji.
X
X
X
V
V
W
Ŵ
sygnału
i
jego
oceny,
,
,
,
są
odpowiednimi
wektorami
długosygnału
ii jego
oceny,
,,,,VV
,,,,VV
są
wektorami
długoW
Ŵ
sygnału
jego
oceny,
są
odpowiednimi
wektorami
długoW jW
W
Ŵ
sygnału
i jego
oceny,
,j j V
,jVj Ŵ,,,,Ŵ
,j j Vdeterministycznych
wektorami
długosygnału
ijego
jego
oceny,
sąodpowiednimi
odpowiednimi
wektorami
długomomentów
dla
eliminacji
komponentów
badanego
szeregu.
V
sygnału
oceny,
VjVsą
są
odpowiednimi
wektorami
długoW
Ŵ
sygnału
jego
oceny,
odpowiednimi
wektorami
długoj odpowiednimi
W
sygnału
iiijego
oceny,
jjj j j, V jjj j ,j Ŵ jjj j j, V jjj j są odpowiednimi wektorami długoDalej
zakłada
się,
że
analizowane
współczynniki
falkowe
mają
średnią
0, dekompozyco jest
ponadto
zakłada
się
także
stacjonarność
tych
współczynników.
ści
T
współczynników
MODWT,
zaś
J
jest
przyjętym
poziomem
dekompozycji.
ści
T
współczynników
MODWT,
J
jest
zaś
przyjętym
poziomem
ści
współczynników
MODWT,
zaś
J
jest
przyjętym
poziomem
dekompozycji.
ści
TTTwspółczynników
współczynników
MODWT,
zaś
jest
przyjętym
poziomem
dekompozycji.
ści
T
współczynników
MODWT,
Jzaś
jest
przyjętym
poziomem
dekompozycji.
ści
współczynników
MODWT,
jestprzyjętym
przyjętym
poziomem
dekompozycji.
ści
współczynników
MODWT,
zaś
jest
przyjętym
poziomem
dekompozycji.
ści
T
zaś
JJJJjest
poziomem
dekompozycji.
równoważne
założeniu,
żeMODWT,
filtry zaś
falkowe
mają
wystarczającą
liczbę
zerowych
Dalej
zakłada
się,
że
analizowane
współczynniki
falkowe
mają
średnią
0,
co
jest
Dalej
zakłada
się,
że
analizowane
współczynniki
falkowe
mają
średnią
0,
co
jest
Dalej
zakłada
się,
że
analizowane
współczynniki
falkowe
mają
średnią
0,
co
jest
cji.
Dalej
zakłada
się,
że
analizowane
współczynniki
falkowe
mają
średnią 0,
Dalej
zakłada
się,
że
analizowane
współczynniki
falkowe
mają
średnią
0,szeregu.
co
jest
Dalej
zakłada
się,
że
analizowane
współczynniki
falkowe
mają
średnią
0,
co
jest
Dalej
zakłada
się,
że
analizowane
współczynniki
falkowe
mają
średnią
0,
co
jest
Dalej
zakłada
się,
że
analizowane
współczynniki
falkowe
mają
średnią
0,
co
jest
momentów
dla
eliminacji
komponentów
deterministycznych
badanego
równoważne
założeniu,
że
filtry
falkowe
mają
wystarczającą
liczbę
zerowych
równoważne
założeniu,
że
filtry
falkowe
mają
wystarczającą
liczbę
zerowych
równoważne
założeniu,
że
filtry
falkowe
mają
wystarczającą
liczbę
zerowych
równoważne
założeniu,
że
filtry
falkowe
mają
wystarczającą
liczbę
zerowych
równoważne
założeniu,
że
filtry
falkowe
mają
wystarczającą
liczbę
zerowych
równoważne
założeniu,
że
filtry
falkowe
mają
wystarczającą
liczbę
zerowych
co
jest
równoważne
założeniu,
że
filtry
falkowe
mają
wystarczającą
liczbę
równoważne
założeniu,
że
filtry
falkowe
mają
wystarczającą
liczbę
zerowych
ponadto
zakłada
się
także stacjonarność
tychdeterministycznych
współczynników. badanego szeregu.
momentów
dla
eliminacji
komponentów
momentów
dla
eliminacji
komponentów
deterministycznych
badanego
szeregu.
momentów
dla
eliminacji
komponentów
deterministycznych
badanego
szeregu.
momentów
dlamomentów
eliminacji
komponentów
badanego
szeregu.
momentów
dla
eliminacji
komponentów
deterministycznych
badanego
szeregu.
momentów
dla
eliminacji
komponentów
deterministycznych
badanego
szeregu.
momentów
dla
eliminacji
komponentów
deterministycznych
badanego
szeregu.
zerowych
dla
eliminacjideterministycznych
komponentów
deterministycznych
badaponadto
zakłada
się
także
stacjonarność
tych
współczynników.
ponadto
zakłada
się
także
stacjonarność
tych
współczynników.
ponadto
zakłada
się
także
stacjonarność
tych
współczynników.
ponadto
zakłada
się
także
stacjonarność
tych
współczynników.
ponadto
zakłada
się
także
stacjonarność
tych
współczynników.
ponadto
zakłada
się
także
stacjonarność
tych
współczynników.
ponadto
zakłada
się takżezakłada
stacjonarność
tychstacjonarność
współczynników.
nego
szeregu.
Ponadto
się także
tych współczynników.






W dalszej kolejności przyjmujemy estymator postaci3:
3 Propozycję taką wysuwają Percival i Walden (2000), s. 407, w odniesieniu do
współczynników konwencjonalnej transformaty falkowej. W niniejszej pracy koncentrujemy się na współczynnikach transformaty niezdziesiątkowanej z kilku powodów. Po
pierwsze, dają one dokładniejsze estymatory wariancji falkowej wykorzystywane dalej
w operacyjnej wersji proponowanego nieparametrycznego estymatora sygnału. Po drugie,
transformata niezdziesiątkowana działa na szeregach dowolnej długości (niekoniecznie
8
8
88
Joanna Bruzda
88
W8 dalszej
~
Joanna Bruzda
Joanna
Bruzda
kolejności przyjmujemy estymator
postaci:4
Joanna
Bruzda
Joanna
Bruzda
Joanna
Bruzda
Joanna Bruzda
85
~
ˆ X kolejności
Y
WW
dalszej
przyjmujemy
estymator
postaci:4
44
 adalszej
(13)
j W
jW j
Joanna
Bruzda
kolejności
przyjmujemy
estymator
postaci:
Joanna
Bruzda
4
W
dalszej
kolejności
przyjmujemy
estymator
przyjmujemy estymator postaci:
(13)
4postaci:
W
dalszej
kolejności
4
W
dalszej
kolejności
przyjmujemy
estymator
postaci:
~ˆ
~Y
W dalszej
przyjmujemy
estymator postaci:
i rozwiązujemy
zadanie:
~ˆ~jˆW
~
~
W jX ~ˆW
akolejności
(13)
XX j
YY
~jW
(13)
X j~ aa
YWj
W
(13)
~
WW
dalszej
kolejności
przyjmujemy
estymator postaci:
postaci:44
j
Wajkolejności
j YYazadanie:
(13)
~ˆˆ XX 
~
iW
rozwiązujemy
dalszej
estymator
2 jj przyjmujemy
jW
W
(13)
~ˆjj X
W jj ~X a jjW
(13)
i rozwiązujemy
zadanie:
(14)
E
W

min ,
i~ˆirozwiązujemy
zadanie:
rozwiązujemy
zadanie:
X j W
~ YYj zadanie:
X
i rozwiązujemy
W

a
W
(13)
2
(13)
ii rozwiązujemy
zadanie:
j
j
j
j ~
j zadanie:
j
rozwiązujemy
~
22
X
~ˆ~jXXX 2~
~ˆpostaci:
,
~ˆX2min
,
(14) (14)
E W rozwiązanie
~W
X
j E
ˆ
,,
(14)
W

W
min
2
X
X
iiotrzymując
rozwiązujemy
zadanie:
(14)
Ezadanie:
W

min
~
~
rozwiązujemy
ˆˆ jXXj WjWj j 
X W
,
E
min
~
~
X
j
(14) (14)
EW
Wj 
~W
WXj ~ 2Y 
 min
min ,,
(14)
E
j E W jW 2
otrzymując
rozwiązanie
j t postaci:
otrzymując
postaci:
~
~ˆj t XXrozwiązanie
.
(15)
aotrzymując
 jXX rozwiązanie
otrzymując
rozwiązanie
postaci:
(14)
E
W
jW
,,postaci:
(14)
jY ~2  min
~
otrzymując
rozwiązanie
postaci:
~
j
j
X
Y postaci:
otrzymując
rozwiązanie
otrzymując rozwiązanie
EEWWj t jW
XX ~~YY
t ~j t ~~postaci:
E
X j.~
YWj t
E2YW
W
~
tj tW
(15) (15)
a j rozwiązanie
jt
X ~
E
~
~W
XW
Yj t W
otrzymując
postaci:
~
jt
.
(15)
a
E
W
~ Y ~ X ~
Y
otrzymując
rozwiązanie
postaci:
(15)
a
j
j
t
j
t
22. .
E
W
W
jjt
~
(15)
a

~
E
W
Y
j
t
.
W

W

W
Y
oraz
z
nieskorelowania
Następnie,
korzystając
z
faktu,
że
.. 2
(15)
a
~W
j
j
j
~~XX Yj t~E
YW
(15)
a jj 
 Ej W
E
2Y
Y
j
t
j
t
E 2W
~W
~
E
~
~~ X ~~
EW
Wjjtt jjYtt jjtt W~j..tzX faktu,
(15)
a jj  wektorów
elementów
dostajemy:
~~z nieskorelowania
(15)
~j YY ~W~j XX oraz
W jYże~W
Następnie,
korzystając
j i W j ,że
~
22
Y
~W
W

W
z
nieskorelowania
Następnie,
korzystając
z
faktu,
Y
YW
Xj 
Wj oraz

W
oraz
z
nieskorelowania
Następnie,
korzystając
z
faktu,
że
~
~
~
j
E
W
Y
X

j
j
j
oraz z nieskorelowaNastępnie,
korzystając
że
~że
~  WW
~  W j oraz
z nieskorelowania
Następnie,
z~z faktu,
~zX faktu,
Y W
jj tt
W
Następnie,
korzystając
2 ~
~korzystając
~faktu,
W
W
Wj jjX 
 Wj jj oraz
oraz zz nieskorelowania
nieskorelowania
Następnie,
korzystając
żedostajemy:
,że
X 2 Wz faktu,
~~
~~jj ,
W
elementów
wektorów
j XX
j iE
E
W
W
~
~
i dostajemy:
nia elementów
wektorów
~
~
W
W
elementów
wektorów
i
,
dostajemy:

X
jt wektorów
i W,j dostajemy:
, dostajemy:
~
W
~jWj ijjt,że
elementów
wektorów
~1Xfaktu,
~
aelementów
.WjjjYY  W jjXX  W jj oraz
oraz zz nieskorelowania
nieskorelowania
Następnie,
korzystając
Następnie,
korzystając
elementów
iiWW
dostajemy:
j wektorów
22 j
~ YX 22 W
~jj Y,że
W
WzzjjX faktu,
elementów
wektorów
dostajemy:
W jtjt ~ ~~2 22
~~~XXX2X 2E
2 ~
E W jtjt E~W
Wjt
X1
E.W
2E W
2E
elementów
wektorów
dostajemy:
~
jtj jtii W~
W
a j wektorów
elementów
,, dostajemy:

X W
~~E
~
jj 
j
2 jt jt
E 2W
X 22
1~

aW
E
E
W
1
aW
j j jtY żejt~z
jtY o białoszumowści
E
W
E
W
2
~~Y2Y .22 . .
t wynika, iż:
Zauważmy
ponadto,
założenia
2
1



a
~
E
E
W
jtjt
Y2
Y
1
 j ~ jtXjt E

a
.W
2E
2E
~
~
W
E
Y
Y
2
1


a jj 
.

W
W
2
~

X
YE 2W jtjt E W
YE 2W jtjt
~
~
E
W
jt
E
E2 W
E2 W
WjtjtjtjtY 1 żejt 1z~założenia
W jtjtjtY o..białoszumowści
~ ponadto,
E
t wynika, iż:
Zauważmy

aE
2 E W1t że
2
~ YY ponadto,
.
jj W
iż:
Zauważmy
z
założenia
oobiałoszumowści
2
2
jt
Y
~
wynika,
Zauważmy
ponadto,
że
z
założenia
białoszumowści
t t wynika,
Y
twynika,
iż: iż:
Zauważmy
ponadto,
żeEzW
założenia
o białoszumowści
2jtjt j 1że z założenia
E
W
jt

wynika,
iż:
Zauważmy
ponadto,
o
białoszumowści
jt
t

wynika,
iż:
Zauważmy~ ponadto,
że
z
założenia
o
białoszumowści
2
2
1 2 ~
t

111t wariancja
~~2 22 falkowa
2E W
E W przyjmiemy,
 ~~2ponadto,
.~ z założenia
Zauważmy
że
o białoszumowści
ηt wynika,
iż:
jt E~
Jeśli teraz
że
szumu nawynika,
pierwszym
j1że
1
W

E
W
.
W

iż: poziomie
Zauważmy
ponadto,
z
założenia
o
białoszumowści
E

E
W
.
2
2
jt
t
1
1
~
~
2

Zauważmy
ponadto,
że
z
założenia
o
białoszumowści
t wynika, iż:
jt
1t.
jE
112W

j
2
E
W
t
1
~
~
1t 1 ) dana jest następująco:
EW
W jt (tj.

E
W
j2
2
11t  .. 
dekompozycji
skali
E
jt2dla
W
j 1 E
jt
1t 1
j 1 2 że
Jeśli teraz~
przyjmiemy,
2
2wariancja falkowa szumu na pierwszym poziomie
1
~
~
2
2
2


1
~
 teraz
przyjmiemy,
szumu
na pierwszym
poziomie
Jeśli
teraz
przyjmiemy,
że wariancja
wariancja
szumu
pierwszym
poziomie
2
~
~ falkowa
EJeśli
Wteraz
przyjmiemy,
E2W
W11tt .. że2że
2W
Yfalkowa
E

jt
Jeśli
falkowa
szumu
na na
pierwszym
11E
jt
)1dana
jest
następująco:
dekompozycji
(tj.
skali
jj

W
hwariancja
1skali
Y 1(wariancja
) h
) Edana
W
dla
pewnego
h  [0,poziomie
1] , poziomie
Jeśli
teraz
przyjmiemy,
że
wariancja
falkowa
szumu
na pierwszym
pierwszym
poziomie
1)  E
1t (tj.
1t jest
 (
Jeśli
teraz
przyjmiemy,
że
falkowa
szumu
na
22dla

1
następująco:
dekompozycji
dla


1
)
dana
jest
następująco:
dekompozycji
(tj.
dla
skali
111 ) dana
jest2 następująco:
dekompozycji
(tj.skali
dla skali


1)1 dana
jest następująco:
dekompozycji
(tj. dla
dla
2
~ skali
~
1


21 )wariancja
Y szumu
dana
następująco:
dekompozycji
(tj.
Jeśli
teraz
przyjmiemy,
że
wariancja
falkowa
szumu
na
pierwszym
poziomie
Jeśli
teraz
przyjmiemy,
że
falkowa
na pierwszym
1
to ostatecznie
otrzymujemy:
2
2
Jeśli
teraz
że
wariancja
na
~
~~Yszumu
2
2 pierwszym
 2 (przyjmiemy,
)

E
W

h


(

2falkowa
h2 jest
EW
dla
pewnego
h  [0,poziomie
1] , pozio Y h1 )
1  22( )1t E~W~
1h
t  E~W
2
(

)

pewnego
h [[00,1,1]], ,
2
2


(

)

E
W

h


(

)

h22następująco:
E YW12t1Yt dladla
dla
pewnego
2
1~
1t1t 
1

Y
~
1 E
1
 )dla
Y
)
dana
jest
następująco:
dekompozycji
(tj.
dla
skali
2  (tj.
2
Y
mie dekompozycji
(tj.
dla
skali
λ
)
dana
jest
2
(

W
h


(
)
h

E
W
pewnego
h
h[0
,1] ,
~
~


1
)
dana
jest
następująco:
dekompozycji
skali
1 2 ( )Y1 h1  E W Y
1dla
t
E
pewnego
 2 ((
11 ))
otrzymujemy:
E1 W
W11tt 
1th
h 1
 YY (11 )  h  E W11tt
dla
pewnego h
h
 [[0
0,,1
1]] ,,
to ostatecznie
toto
ostatecznie
~
~ YY 22
otrzymujemy:
22
otrzymujemy:
~
~
22 ostatecznie

toostatecznie
otrzymujemy:
E
EW
W
 hh   YY22 ((11)) 
 hh  E
EW
W
dla pewnego
pewnego hh 
[[00,,11]] ,,

dla
to
otrzymujemy:
 ((11 )) 
11tt
11tt

to ostatecznie
ostatecznie
otrzymujemy:
to to
ostatecznie
otrzymujemy:
otrzymujemy:
4 ostatecznie
to
ostatecznie
Propozycję otrzymujemy:
taką wysuwają Percival i Walden (2000), s. 407, w odniesieniu do współczynni88









 





 
   
   



   
  
 
   



  
 
   

      
    
   
   
  
 





  
 

ków konwencjonalnej transformaty falkowej. W niniejszej pracy koncentrujemy się na współ4
czynnikach
transformaty
niezdziesiątkowanej
z kilku
powodów.
pierwsze, dają
one dokładPropozycję
taką wysuwają
Percival i Walden
(2000),
s. 407, Po
w odniesieniu
do współczynni44
Propozycję
taką
wysuwają
Percival
i iWalden
(2000),
s.s.407,
ww
odniesieniu
do
współczynniPropozycję
taką
wysuwają
Percival
Walden
(2000),
407,
odniesieniu
do
współczynni4
niejsze
estymatory
wariancji
falkowej
wykorzystywane
dalej
w operacyjnej
wersji
proponowaneków4 konwencjonalnej
transformaty
falkowej.
W
niniejszej
pracy
koncentrujemy
się do
na współczynniwspółPropozycję
taką
wysuwają
Percival
i
Walden
(2000),
s.
407,
w
odniesieniu
4 Propozycję
długości
będącej
potęgą
liczby
2). iiPonadto
można
wykazać,
że
w przypadku
stosowania
taką
wysuwają
Percival
Walden
(2000),
s.
407,
w
odniesieniu
do
współczynników
konwencjonalnej
transformaty
falkowej.
W
niniejszej
pracy
koncentrujemy
się
na
ków
konwencjonalnej
transformaty
falkowej.
W
niniejszej
pracy
koncentrujemy
się
nawspółwspółgo
nieparametrycznego
estymatora
sygnału.
Po
drugie,
transformata
niezdziesiątkowana
działa
Propozycję
taką
wysuwają
Percival
Walden
(2000),
s.
407,
w
odniesieniu
do
współczynniczynnikach
transformaty
z
kilku
powodów.
Po
pierwsze,
dają
one
dokładków konwencjonalnej
transformaty
falkowej.
W niniejszej
pracy
koncentrujemy
się
nanawspółków
konwencjonalnej
transformaty
falkowej.
W
niniejszej
pracy
koncentrujemy
się
na
współczynnikach
transformaty
z
kilku
powodów.
Po
pierwsze,
dają
one
dokładprzekształcenia
odwrotnego
podejście
takie
wiąże
się
z mniejszym
błędem
średniokwaczynnikach
transformaty
z
kilku
powodów.
Po
pierwsze,
dają
one
dokładszeregach
dowolnej
długości
(niekoniecznie
długości
będącej
potęgą
liczby
2).
Ponadto
można
ków
transformaty
falkowej.
W niniejszej
pracy
koncentrujemy
się dają
na współniejsze
estymatory
wariancji
falkowej
wykorzystywane
dalej
w
operacyjnej
wersji
proponowane44 konwencjonalnej
czynnikach
transformaty
z
kilku
powodów.
Po
pierwsze,
one
dokładPropozycję
taką
wysuwają
Percival
Walden
(2000),
s. 407,
407,dalej
w odniesieniu
do współczynniwspółczynniczynnikach
zzwykorzystywane
kilku
powodów.
Po
pierwsze,
dają
one
dokładPropozycję
taką
wysuwają
Percival
iiBruzda,
Walden
(2000),
s.
w
do
niejsze
estymatory
wariancji
falkowej
wwto
operacyjnej
wersji
proponowaneniejsze
estymatory
wariancji
falkowej
wykorzystywane
dalej
operacyjnej
wersji
proponowanewykazać,
żetransformaty
w
przypadku
stosowania
przekształcenia
odwrotnego
podejście
takie
wiąże
się
estymacji
sygnału
(patrz
2011)
niż
pokazuje
formuła
(12),
opisująca
czynnikach
transformaty
kilku
powodów.
Powodniesieniu
pierwsze,
dają
one
dokładgo dratowym
nieparametrycznego
estymatora
sygnału.
Po
drugie,
transformata
niezdziesiątkowana
naz
niejsze
estymatory
wariancji
falkowej
wykorzystywane
dalej
operacyjnej
wersji
proponowaneków
konwencjonalnej
transformaty
falkowej.
W
niniejszej
pracy
koncentrujemy
się na
nadziała
współniejsze
estymatory
wariancji
falkowej
wykorzystywane
dalej
w
operacyjnej
wersji
proponowaneków
konwencjonalnej
transformaty
falkowej.
W
niniejszej
pracy
koncentrujemy
się
współgo
nieparametrycznego
estymatora
sygnału.
Po
drugie,
transformata
niezdziesiątkowana
na
go
nieparametrycznego
estymatora
sygnału.
Po
drugie,
transformata
niezdziesiątkowana
działa
mniejszym
błędem
średniokwadratowym
estymacji
sygnału
(patrz
Bruzda,
2011)
niż
pokazuje
todziała
niejsze
estymatory
wariancji
falkowej
wykorzystywane
dalej w
operacyjnej
wersji
proponowaneodpowiedni
błąd
wynikający
z zastosowania
transformaty
zdziesiątkowanej.
Dodatkowo,
szeregach
dowolnej
długości
(niekoniecznie
długości
będącej
potęgą
liczby
2).
Ponadto
można
go
nieparametrycznego
estymatora
sygnału.
Po
drugie,
transformata
niezdziesiątkowana
działa
na na
czynnikach
transformaty
kilku długości
powodów.
Poniezdziesiątkowana
pierwsze,
dają
one
dokładgo
nieparametrycznego
estymatora
sygnału.
Po
transformata
działa
na
czynnikach
transformaty
zzdrugie,
kilku
powodów.
Po
pierwsze,
dają
one
dokładszeregach
dowolnej
długości
(niekoniecznie
będącej
potęgą
liczby
2).
Ponadto
można
szeregach
dowolnej
długości
(niekoniecznie
długości
będącej
potęgą
liczby
2).
Ponadto
można
formuła
(12),
opisująca
odpowiedni
błąd
wynikający
z
zastosowania
transformaty
zdziesiątkowago
nieparametrycznego
estymatora
sygnału.
Po
drugie,
transformata
niezdziesiątkowana
działa
na
wykazać,
że
w
przypadku
stosowania
przekształcenia
odwrotnego
podejście
takie
wiąże
się
z
oceny
sygnału
uzyskane
tą
metodą
nie zależą
odbędącej
momentu
czasu,
w którym
rozpoczynamy
szeregach
dowolnej
długości
(niekoniecznie
długości
potęgą
liczby
2).
Ponadto
można
niejsze
estymatory
wariancji
falkowej
wykorzystywane
dalej będącej
w potęgą
operacyjnej
wersji
proponowaneszeregach
dowolnej
długości
(niekoniecznie
długości
liczby
2).
Ponadto
można
niejsze
estymatory
wariancji
falkowej
wykorzystywane
dalej
w
operacyjnej
wersji
proponowanewykazać,
że
wwsygnału
przypadku
stosowania
przekształcenia
odwrotnego
podejście
wiąże
z
wykazać,
że
przypadku
stosowania
przekształcenia
odwrotnego
podejście
takie
wiąże
się
nej.
dodatkowo,
oceny
uzyskane
tądługości
metodą
nie
zależą
od
momentu
czasu,
wtakie
którym
szeregach
dowolnej
długości
(niekoniecznie
będącej
potęgą
liczby
2).
Ponadto
można
mniejszym
błędem
średniokwadratowym
estymacji
sygnału
(patrz
Bruzda,
2011)
niż takie
pokazuje
to sięsię
wykazać,
żewspółczynników
w
przypadku
stosowania
przekształcenia
odwrotnego
podejście
wiąże
z z
wyznaczanie
falkowych,
co
wiąże
się
z niezmienniczością
transformaty
go
nieparametrycznego
estymatora
sygnału.
Po
drugie,
transformata
niezdziesiątkowana
działa
na
wykazać,
że
w
przypadku
stosowania
przekształcenia
odwrotnego
podejście
takie
wiąże
się
z
go
nieparametrycznego
estymatora
sygnału.
Po
drugie,
transformata
niezdziesiątkowana
działa
na
mniejszym
błędem
średniokwadratowym
estymacji
sygnału
(patrz
Bruzda,
2011)
niż
pokazuje
toto
mniejszym
błędem
średniokwadratowym
estymacji
sygnału
(patrz
Bruzda,
2011)
niż
pokazuje
rozpoczynamy
wyznaczanie
współczynników
falkowych,
co
wiąże
się
z
niezmienniczością
transwykazać,
że
w
przypadku
stosowania
przekształcenia
odwrotnego
podejście
takie
wiąże
się
z
formuła
(12),
opisująca
odpowiedni
błąd
wynikający
z
zastosowania
transformaty
zdziesiątkowamniejszym
błędem
średniokwadratowym
estymacji
sygnału
(patrz
Bruzda,
2011)
niżmożna
pokazuje
to
szeregach
dowolnej
długości
(niekoniecznie
długości
będącej
potęgą
liczby
2).
Ponadto
można
MODWT
względem
przesunięć
kołowych.
mniejszym
błędem
średniokwadratowym
estymacji
sygnału
(patrz
Bruzda,
2011)
niż pokazuje
pokazuje
to
szeregach
dowolnej
długości
(niekoniecznie
długości
będącej
liczby
2).
Ponadto
formuła
(12),
opisująca
odpowiedni
błąd
wynikający
zzpotęgą
zastosowania
transformaty
zdziesiątkowaformuła
(12),
opisująca
odpowiedni
wynikający
zastosowania
transformaty
zdziesiątkowaformaty
MODWT
względem
przesunięć
kołowych.
mniejszym
błędem
średniokwadratowym
estymacji
sygnału
Bruzda,
2011)
niż
to
nej. dodatkowo,
oceny
sygnału
uzyskane
tą błąd
metodą
nie
zależą
od
momentu
czasu,
wzdziesiątkowaktórym
formuła
(12),
opisująca
odpowiedni
błąd
wynikający
z(patrz
zastosowania
transformaty
wykazać,
że
w
przypadku
stosowania
przekształcenia
odwrotnego
podejście
takie
wiąże
się
z
formuła
(12),
opisująca
odpowiedni
błąd
wynikający
z
zastosowania
transformaty
zdziesiątkowawykazać,
że
w
przypadku
stosowania
przekształcenia
odwrotnego
podejście
takie
wiąże
się
z
nej.
dodatkowo,
oceny
sygnału
uzyskane
tą
metodą
nie
zależą
od
momentu
czasu,
w
którym
nej.
dodatkowo,
oceny
sygnału
uzyskane
metodą
nie
zależą
od
momentu
czasu,
w którym
formuła
(12),
opisująca
odpowiedni
błąduzyskane
wynikający
ztązastosowania
transformaty
zdziesiątkowarozpoczynamy
wyznaczanie
współczynników
falkowych,
co(patrz
wiąże
się
z od
niezmienniczością
transnej.
dodatkowo,
oceny
sygnału
tąsygnału
metodą
nie
zależą
momentu
czasu,
wto
mniejszym
błędem
średniokwadratowym
estymacji
sygnału
Bruzda,
2011)
niż
pokazuje
toktórym
nej.
dodatkowo,
oceny
sygnału
uzyskane
tą metodą
metodą
nie
zależą
od
momentu
czasu,
w którym
którym
mniejszym
błędem
średniokwadratowym
estymacji
(patrz
Bruzda,
2011)
niż
pokazuje
rozpoczynamy
wyznaczanie
współczynników
falkowych,
co
się
zczasu,
transrozpoczynamy
wyznaczanie
współczynników
falkowych,
cowiąże
wiąże
sięniezmienniczością
zniezmienniczością
niezmienniczością
transnej.
dodatkowo,
oceny
sygnału
uzyskane
tą
nie
zależą
od
momentu
w
formaty
MODWT
względem
przesunięć
kołowych.
rozpoczynamy
wyznaczanie
współczynników
falkowych,
co
wiąże
się
z
transformuła
(12),
opisująca
odpowiedni
błąd
wynikający
z
zastosowania
transformaty
zdziesiątkowarozpoczynamy
wyznaczanie
współczynników
falkowych,
co
wiąże
się
zz niezmienniczością
transformuła
(12),
opisująca
odpowiedni
błąd
wynikający
z zastosowania
transformaty
zdziesiątkowaformaty
MODWT
względem
przesunięć
kołowych.
formaty
MODWT
względem
przesunięć
kołowych.
rozpoczynamy
wyznaczanie
współczynników
falkowych,
co
wiąże
się
niezmienniczością
transformaty
MODWT
względem
przesunięć
kołowych.
nej.
dodatkowo,
oceny
sygnału
uzyskane
tą metodą
metodą
nie zależą
zależą od
od momentu
momentu czasu,
czasu, w
w którym
którym
formaty
MODWT
względem
przesunięć
kołowych.
nej.
dodatkowo,
sygnału
uzyskane
tą
nie
formaty
MODWToceny
względem
przesunięć
kołowych.
rozpoczynamy wyznaczanie
wyznaczanie współczynników
współczynników falkowych,
falkowych, co
co wiąże
wiąże się
się zz niezmienniczością
niezmienniczością transtransrozpoczynamy
86
Joanna Bruzda
Prognozowanie ii estymacja
estymacja sygnałów
sygnałów metodą
wyrównywania falkowego
falkowego
Prognozowanie
Prognozowanie i estymacja sygnałów metodą wyrównywania falkowego
Prognozowanie i estymacja sygnałów metodą wyrównywania falkowego
99
9
9
22 (
)  ~
h
~
~ˆˆ XX 
~
11 ) W
(16) (16)
 ~jjYY Y,,,
 11
 hj h1 YY2 Y(2(
W
)W
(16)
~ˆjj X
W
1

1
2
j
 YY2 ((2 jj))) ~W j ,
(16)
~ˆWX j  1 22h2 j 1
1 
(16)
W j  1 j 1 Y2 Y (
 jY ,
j )W

~ 2( j ) 
2 ~
Yt dla
jest wariancją
wariancją falkową
falkową procesu
procesu Y
dla skali
skali
gdzie  YY22 ((2 jj )) 
E
EW
W~jjYYtt YY2 2 jest
gdzie
gdziej 1 Y ( j )  E~W j t2 jest
falkową
procesu
Yt dlatYtskali
= 2 j–1
jestwariancją
wariancją
falkową
procesu
dlaλj skali
gdzie
Y
j 12 (j = 1, 2, …,


2
J).
Skorzystanie
ze
wzoru
(16)
będzie
w
praktyce
wyjest ze
wariancją
falkową
dla skali
gdzie
 2,((j…,
W
=) 
1,
…,
ze(16)
wzoru
(16)procesu
będzie wYpraktyce
wy-zaj(j=21,
J).E2,Skorzystanie
wzoru
będzie
w praktyce
wymagać
j t J). Skorzystanie
j j  2 Yj 1 (jj = 1, 2, …,
J). Skorzystanie ze
wzoru (16) będzie wt praktyce wy2 ocenami uzyskanymi na podstawie
j 1 wariancji falkowych σ 2 (λ ) ich
stąpienia
2
 YY wzoru
 j )) ich
magać
zastąpienia
wariancji
falkowych
ich
ocenami
uzyskanymi
na
 j  2 zastąpienia
(j = 1, 2,wariancji
…, J). Skorzystanie
(16)ocenami
będzie w
praktyce wyY
j ze

((
magać
falkowych
uzyskanymi
na
 Y2 (j j ) ich ocenami uzyskanymi na
magać
zastąpienia MODWT
wariancji 4falkowych
współczynników
.
5
5
2
podstawie
współczynników
MODWT
podstawie
współczynników
MODWT
..5  Ynieparametrycznej
( j ) ich ocenami estymacji
magać
zastąpienia
wariancji
falkowych
uzyskanymi
na
Proponowaną
procedurę
falkowej
sygnału
podstawie
współczynników
MODWT
.
Proponowaną procedurę
procedurę falkowej
falkowej
nieparametrycznej estymacji
estymacji sygnału
sygnału
5
Proponowaną
nieparametrycznej
podstawie
współczynników
MODWT
. dwoma
losowego
należy procedurę
uzupełnić
dalszymi
rozwiązaniami
szczegółowymi.
Proponowaną
falkowej
nieparametrycznej
estymacji
sygnału
losowego
należy uzupełnić
uzupełnić dalszymi
dalszymi
dwoma
rozwiązaniami szczegółowymi.
szczegółowymi.
Po
losowego
należy
dwoma
rozwiązaniami
Po
Po
pierwsze,
do
tej
pory
nie
dyskutowaliśmy
jeszcze
sposobu
redukcji
współProponowaną
procedurę
falkowej
nieparametrycznej
estymacji
sygnału
losowego
należy
uzupełnić
dalszymi
dwoma
rozwiązaniami
szczegółowymi.
Po
pierwsze, do
do tej
tej pory
pory nie
nie dyskutowaliśmy
dyskutowaliśmy jeszcze
jeszcze sposobu
sposobu redukcji
redukcji współczynwspółczynpierwsze,
czynników
skalujących.
W tym
zakresie
można
zaproponować
albo
pozostalosowego
należy
uzupełnić
dalszymi
dwoma
rozwiązaniami
szczegółowymi.
Po
pierwsze,
do
tej
pory
nie
dyskutowaliśmy
jeszcze
sposobu
redukcji
współczynników skalujących.
skalujących. W
W tym
tym zakresie
zakresie można
można zaproponować
zaproponować albo
albo pozostawienie
pozostawienie
ników
pierwsze,
do
tej
pory postaci
nie tym
dyskutowaliśmy
jeszcze
sposobu
redukcji
współczynwienie
ich
w niezmienionej
postaci
(por.
Percival,
Walden,
2000,
s. 424),
ników
skalujących.
W
zakresie
można
zaproponować
albo
ich
w
niezmienionej
(por.
Percival,
Walden,
2000,
s.
424),
co ma
ma
uza- co
ich w niezmienionej postaci (por. Percival, Walden, 2000, s. 424),pozostawienie
co
uzaników
skalujących.
W
tym
zakresie
można
zaproponować
albo
pozostawienie
ich
w
niezmienionej
postaci
(por.
Percival,
Walden,
2000,
s.
424),
co
ma
uzama
uzasadnienie
w przypadku
procesów
niestacjonarnych
kowariancyjnie,
sadnienie w
w przypadku
przypadku procesów
procesów niestacjonarnych
niestacjonarnych kowariancyjnie,
kowariancyjnie, albo
albo przeprzesadnienie
ich
w
niezmienionej
postaci
(por.
Percival,
Walden,
2000,
s.
424),
co
ma
uzasadnienie
w
przypadku
procesów
niestacjonarnych
kowariancyjnie,
albo
przealbo przeskalowanie
tych współczynników
ich wartości
średmtt w
skalowanie
odchyleń tych
tychodchyleń
współczynników
od ich
ich wartości
wartościod
średniej
w spospom
skalowanie
współczynników
od
średniej
sadnienie
wodchyleń
przypadku
procesów
niestacjonarnych
kowariancyjnie,
albo
przem
skalowanie
odchyleń
tych
współczynników
od
ich
wartości
średniej
w
sponiej m
w sposób
zgodny
ze
wzorem
(17),
tj.
następująco:
t
sób zgodny
zgodny
ze wzorem
wzorem (17),
(17), tj.
tj. następująco:
następująco:
t
sób
ze




skalowanie
tych(17),
współczynników
sób zgodnyodchyleń
ze wzorem
tj. następująco:od ich wartości średniej mt w spo
sób zgodny
(17),

 ~ Y
22  )
następująco:
h tj.
~ˆˆ XX ze wzorem
h
~
Y ((2
1)

Y m ,

Y
1



1
V
m
V~jt~
(17)
V jt~
mtt ,
(17)
jtˆ X mtt  1 
jt Y
Y Y (1 ) 22   V
j
h
1
~
j
1
~



Y2  m
 1 22h j 1E



V
m

V

m
,
(17)(17)

E
V
jt
t
jt
t
V
jt (
~
 m) tt 2  ~ Y
~ˆ
V jtX  mt  1 2j 1 E~VjtY jtY 1 m
(17)
t2  V jt  mt ,
 2 Ezastosowanie
co może
może mieć
mieć praktyczne
praktyczne
zastosowanie
w przypadku
przypadku procesów
procesów niestacjonarniestacjonarV jtY  mt  w
co

co
może
mieć
praktyczne
zastosowanieww przypadku
procesówniestacjonarniestacjonarco
może
mieć
praktyczne
zastosowanie
przypadku
procesów
nych
w
średniej
oraz
procesów
stacjonarnych.
nych
w średniej
orazoraz
procesów
stacjonarnych.
nych
w średniej
procesów
stacjonarnych.
conych
może
mieć
praktyczne
zastosowanie
w
przypadku
procesów
niestacjonarw średniej oraz procesów stacjonarnych.
Drugie uzupełnienie
uzupełnienie procedury
procedury estymacji
estymacji dotyczy
dotyczy sposobu
sposobu uzyskania
uzyskania końkońnychDrugie
wDrugie
średniej
oraz procesów
stacjonarnych.
uzupełnienie
procedury
estymacjidotyczy
dotyczysposobu
sposobuuzyskania
uzyskaniakońkońDrugie
uzupełnienie
procedury
estymacji
cowej
oceny
sygnału.
Z
zasady
ma
tu
zastosowanie
odwrotne
przekształcenie
cowej
oceny
sygnału.
Z
zasady
ma
tu
zastosowanie
odwrotne
przekształcenie
cowej
oceny
sygnału.
Z zasady
ma
zastosowanie
odwrotne
przekształcenie
Drugie
estymacji
dotyczy sposobu
uzyskania
końcowej
oceny
sygnału.
zasady ma
tutu zastosowanie
odwrotne
przekształcenie
falkowe,
couzupełnienie
rodzi
jednakZprocedury
potrzebę
ustalenia
przeskalowanych
wartości
współfalkowe,
co
rodzi
jednak
potrzebę
ustalenia
przeskalowanych
wartości
współfalkowe,
co
rodzi
jednak
potrzebę
ustalenia
przeskalowanych
wartości
współcowej
oceny
sygnału.
Z
zasady
ma
tu
zastosowanie
odwrotne
przekształcenie
falkowe,
co
rodzi
jednak
potrzebę
ustalenia
przeskalowanych
wartości
współczynników także
także poza
poza próbą
próbą estymacyjną,
estymacyjną, gdyż
gdyż filtry
filtry odwrotnego
odwrotnego przekształceprzekształceczynników
falkowe,
co
rodzi
jednak
potrzebę
ustalenia
przeskalowanych
wartości
współczynników
także
poza
próbą
estymacyjną,
gdyż
filtry
odwrotnego
przekształczynników
także
poza
próbą
estymacyjną,
gdyż
filtry
odwrotnego
przekształcenia falkowego
falkowego są
są symetrycznymi
symetrycznymi filtrami
filtrami nieprzyczynowymi.
nieprzyczynowymi. W
W niniejszej
niniejszej praprania
czynników
także
poza
próbą
estymacyjną,
gdyż
filtry
odwrotnego
przekształcenia
falkowego
są
symetrycznymi
filtrami
nieprzyczynowymi.
W
niniejszej
pracenia
falkowego
są
symetrycznymi
filtrami
nieprzyczynowymi.
W niniejszej
cy
proponuje
się
więc
rozwiązanie
dwojakiego
rodzaju.
Po
pierwsze,
przy
przycy proponuje się więc rozwiązanie dwojakiego rodzaju. Po pierwsze, przy przynia
falkowego
są
symetrycznymi
filtrami
nieprzyczynowymi.
W
niniejszej
pracy
proponuje
się
więc
rozwiązanie
dwojakiego
rodzaju.
Po
pierwsze,
przy
przypracy
proponuje
się więc
rozwiązanieoraz
dwojakiego
rodzaju. Poii pierwsze,
przy
jęciu
niskich
poziomów
dekompozycji
oraz
filtrów falkowych
falkowych
skalujących
jęciu
niskich
poziomów
dekompozycji
filtrów
skalujących
cy
proponuje
siępoziomów
więcma
rozwiązanie
dwojakiego
rodzaju.
Po pierwsze,
przy
przyjęciu
niskich
dekompozycji
oraz
filtrów
falkowych
i
skalujących
Haara
zastosowanie
prosta
formuła
postaci
(patrz
Bruzda,
2011):
przyjęciu
niskich
poziomów
dekompozycji
oraz
filtrów
falkowych
i skalująHaara zastosowanie ma prosta formuła postaci (patrz Bruzda, 2011):
jęciu
niskich
poziomów
dekompozycji
oraz filtrów
falkowych
i skalujących
Haara
zastosowanie
ma prosta
formuła
postaci
(patrz
Bruzda,
cych
prosta formuła
postaci
(patrz2011):
Bruzda,
2011):
~ˆˆ zastosowanie
~ˆˆ ma prosta
~ˆˆ ma
ˆHaara
~
~
~
ˆ
Haara zastosowanie
formuła
postaci
(patrz
Bruzda,
2011):
(18)
Xˆ ˆ
V
VJJ~ˆ 
W
W11~ˆ 
 ...
... 
W
W~
(18)
X
Jˆ ..
J
ˆ  V  W  ...  W .
(18)
X
J
1
J
~
~
~
ˆ
ˆ
ˆprzy dekompozycji
ˆ
W szczególności,
szczególności,
jednopoziomowej
błąd
estymacji
sygnału
.
(18)
(18)
Xˆ  VJ  Wprzy

...

W
W
dekompozycji
jednopoziomowej
błąd
estymacji
sygnału
1
J
W szczególności,
przy dekompozycji
błąd wyższych
estymacji sygnału
związany
estymatorem
(18) jest dany
danyjednopoziomowej
wzorem (12),
(12), aa przy
przy
wyższych
poziozwiązany
zz estymatorem
(18)
jest
wzorem
pozioW
szczególności,
dekompozycji
jednopoziomowej
estymacji
sygnału
związany
z estymatorem
(18)
jest
dany
wzorem
(12), błąd
a przy
wyższych
poziomach
jest
od
niegoprzy
większy.
Do
oceny
sygnału
uzyskanej
wzorem
(18)
stosuje
mach
jest
od
niego
większy.
Do
oceny
sygnału
uzyskanej
wzorem
stosuje
W szczególności
przy
dekompozycji
jednopoziomowej
błąd(18)
estymacji
syzwiązany
z
estymatorem
(18)
jest
dany
wzorem
(12),
a
przy
wyższych
poziomach
jest
od
niego
większy.
Do
oceny
sygnału
uzyskanej
wzorem
(18)
stosuje
sięgnału
w etapie
etapie
postestymacyjnym
założone
proste
metody prognozowania
prognozowania
(np.
się
w
postestymacyjnym
założone
proste
metody
(np.
związany
z estymatorem
(18)
jest
dany
wzorem
(12),
a przy
wyższych
mach
od niego
większy. Do oceny
uzyskanej
(18) stosuje
się wjest
etapie
postestymacyjnym
założone
proste
metodywzorem
prognozowania
(np.
model
błądzenia
przypadkowego
czy sygnału
modele
autoregresyjne).
Niewątpliwą
model
błądzenia
przypadkowego
czy
modele
autoregresyjne).
Niewątpliwą
się
w etapie
postestymacyjnym
założone
proste metody
prognozowania
(np.
model
błądzenia
przypadkowego
czy modele
autoregresyjne).
Niewątpliwą
4Na
temat własności
DWT- i MODWT-estymatorów
wariancji falkowej
patrz np.
model
błądzenia
przypadkowego
czy modele autoregresyjne).
Niewątpliwą




 
 



Percival, Walden (2000), Rozdział VIII.
55
Na temat
temat własności
własności DWTDWT- ii ModWT-estymatorów
ModWT-estymatorów wariancji
wariancji falkowej
falkowej patrz
patrz np.
np. Percival,
Percival,
Na
5
tematRozdział
własności
DWT- i ModWT-estymatorów wariancji falkowej patrz np. Percival,
WaldenNa
(2000),
Rozdział
VIII.
Walden
(2000),
VIII.
5
Walden
(2000),
RozdziałDWTVIII. i ModWT-estymatorów wariancji falkowej patrz np. Percival,
Na temat
własności
Walden (2000), Rozdział VIII.
87
poziomach jest od niego większy. Do oceny sygnału uzyskanej wzorem (18)
stosuje się w etapie postestymacyjnym założone proste metody prognozowania (np. model błądzenia przypadkowego czy modele autoregresyjne). Niewątpliwą zaletą tego podejścia jest to, iż opiera się ono w całości na filtrach
przyczynowych i, jako takie, nie wymaga prognozowania współczynników
falkowych.
Drugie rozwiązanie polega natomiast na przeniesieniu całego procesu prognozowania do dziedziny falkowej, co wiąże się z wyznaczeniem osobnych
prognoz dla współczynników z różnych poziomów dekompozycji w horyzoncie obejmującym założony na początku horyzont predykcji i powiększonym
o okres niezbędny dla przeprowadzenia transformaty odwrotnej. Podejście to
nawiązuje więc do założenia, w myśl którego współczynniki falkowe i współczynniki skalujące można prognozować z użyciem prostszych narzędzi niż
procesy oryginalne. W praktyce – ze względu na problemy związane z koniecznością ekstrapolacji próby już na etapie estymacyjnym – zastosowanie
mogą mieć krótkie filtry Daubechies. Warto natomiast podkreślić, że w zakresie samej jedynie estymacji sygnału błąd średniokwadratowy jest tutaj niższy
od wartości danej wzorem (12).
4. Ocena własności predyktywnych
proponowanego narzędzia
W celu praktycznej weryfikacji proponowanej metody prognozowania zastosowano ją do wyznaczenia prognoz 17 szeregów gospodarczych z bazy M3-IJF-Competition. Były to szeregi o numerach: N2863–N2883, które wybrano
ze względu na to, iż wydają się one mieć stałą wartość średnią, tj. nie zawierają wyraźnej tendencji wzrostowej lub spadkowej. Metodę zaimplementowano, przyjmując pierwszy sposób podejścia do współczynników skalujących5
oraz ustalając arbitralnie stałą wygładzania na poziomie h = 0.5. Rozważono dwa najkrótsze filtry falkowe Daubechies (falkę Haara i falkę d4), po 20
prognoz w horyzoncie od jednego do pięciu okresów, wydłużając stopniowo
próbę o jedną obserwację, szacując za każdym razem wariancje falkowe i wyznaczając nowe prognozy i błędy ex post. W charakterze prostych z założenia
metod prognozowania współczynników transformaty MODWT oraz oszaco 5 W istocie, dalsze wyniki przeprowadzonego badania wskazują, że drugi sposób
potraktowania tych współczynników, tj. przyjęcie formuły (17) z wartością m szacowaną
na poziomie średniej arytmetycznej szeregu, dostarcza jeszcze bardziej przekonywających
wyników na rzecz proponowanej tutaj metody.
88
Joanna Bruzda
wanego sygnału przyjęto modele takie jak błądzenie przypadkowe oraz modele autoregresyjne dla poziomów i przyrostów z liczbą opóźnień ustaloną
zgodnie ze wskazaniem kryterium AIC6. W przypadku falki Haara zastosowano podejście bez inwersji (patrz wzór (18)) oraz z inwersją. Przyjęto do pięciu
poziomów dekompozycji w metodzie bez inwersji, do czterech w metodzie
z inwersją przy zastosowaniu falki Haara i do dwóch – w metodzie z inwersją
przy zastosowaniu falki d4. Należy dodać, że prognozowane szeregi czasowe
mają długości w przedziale: 76–79, tak więc długość pierwszej próby będącej
podstawą estymacji sygnału była liczbą z przedziału 52–55. Dla porównania
zastosowano także klasyczne podejście w postaci modelu błądzenia przypadkowego, modelu wyrównywania wykładniczego Browna z optymalizowaną
stałą wygładzania i wartością początkową identyczną z pierwszą obserwacją
oraz modeli autoregresji dla poziomów i przyrostów dla oryginalnych (nieprzekształconych) danych. W Tabeli 1 prezentuje się średniokwadratowe błędy dla prognoz jednokrokowych, które to prognozy są najczęściej wykorzystywane w logistyce, np. w kontekście optymalizacji rozmieszczenia towarów
w magazynie. Należy dodać, że przewaga proponowanego podejścia nad metodami klasycznymi była bardziej widoczna dla dłuższych horyzontów. Dwa
najlepsze rezultaty dla każdego szeregu wyróżniono tłustym drukiem.
Wyniki badania można podsumować następująco. Klasyczne metody
prognozowania pozwoliły osiągnąć najmniejszy średniokwadratowy błąd
prognozy tylko w czterech przypadkach spośród 17 przebadanych. Najlepsze
wyniki osiągnięto, stosując falkową wersję wyrównywania wykładniczego realizowaną za pomocą metody bez inwersji, która w wielu sytuacjach pozwoliła znacznie zredukować błąd prognoz. Tylko w jednym przypadku klasyczne wyrównywanie wykładnicze dostarczyło prognoz o mniejszym średnim
błędzie. Metody z inwersją uplasowały się na drugiej pozycji, przy czym nie
daje się zaobserwować wyraźnej przewagi falki Haara lub falki d4. Ponadto
można zauważyć, że dobre prognozy uzyskane za pomocą falki d4 wydają się
korespondować z odpowiednimi prognozami uzyskanymi metodą z inwersją
za pomocą falki Haara, ale dla wyższych poziomów dekompozycji.
Zaprezentowany przykład wskazuje, że podejście do prognozowania sugerowane w niniejszej pracy jest obiecujące i może stanowić alternatywę względem klasycznych metod wygładzania szeregów. Do zastosowań praktycznych
należy zarekomendować metodę bez inwersji wymagającą użycia falki Haara.
Kolejne badania empiryczne na tym samym i rozszerzonym zestawie danych,
6 Wskazania uzyskane kryterium Schwartza nie różniły się od tych uzyskanych kryterium Akaike’a. Maksymalna liczba opóźnień wynosiła 8.
89
nieprzytaczane w tym artykule, wskazują także, że dalszą poprawę przynosi
wygładzenie współczynników skalujących oraz, co jest oczywiste, optymalizacja stałej h i poziomu dekompozycji, wymagająca podziału próby estymacyjnej na dwie części. W dalszych badaniach zwraca uwagę także fakt, że
przyjęcie stałej wygładzania h na poziomie 1, co w przybliżeniu odpowiada
metodzie falkowej eliminacji progowej, dostarcza wyraźnie gorszych wyników niż te przytaczane w pracy, prowadząc w mniejszej liczbie przypadków
do dominacji nad metodami klasycznymi.
Podsumowanie
Metoda prognozowania zaproponowana w niniejszym artykule zakłada, że
obserwowane szeregi gospodarcze są realizacjami procesów będących sumą
losowego (stacjonarnego lub niestacjonarnego) sygnału i szumu będącego
procesem czysto losowym. Ważnym etapem procedury prognostycznej jest tu
nieparametryczna estymacja sygnału z użyciem metod falkowych. Do wygładzonych szeregów stosuje się proste narzędzia prognostyczne, takie jak metoda naiwna czy modele autoregresyjne. Podstawową zaletą takiego podejścia
jest redukcja złożoności obliczeniowej wynikająca z obejścia konieczności
estymacji parametrów modeli strukturalnych szeregów czasowych z użyciem
takich metod, jak filtracja Kalmanowska. Jednym z możliwych obszarów zastosowań tej metody są prognozy procesów nieliniowych generowanych według prostych modeli typu STAR czy SETAR, zanieczyszczonych dodatkowo
szumem białym, jednakże interesujące wyniki otrzymuje się także w przypadku prognozowania procesów liniowych.
Zaprezentowana w artykule analiza empiryczna dostarczyła obiecujących
wyników pozwalających na zarekomendowanie do zastosowań praktycznych
wariantu metody opartej na falce Haara, który nie wymaga prognozowania
współczynników transformaty falkowej. Dalszą poprawę metody można uzyskać, optymalizując stałą wygładzania h i liczbę poziomów dekompozycji
falkowej oraz – w przypadku procesów stacjonarnych bądź trendo-stacjonarnych – stosując, obok przeskalowywania współczynników falkowych, także
redukcję współczynników skalujących. Wydaje się, że proponowana metoda
w praktyce może dominować nad innymi mechanicznymi podejściami do prognozowania w rodzaju wyrównywania wykładniczego i średnich ruchomych
z arbitralnie przyjmowanym systemem wag. Ze względu na fakt, że uniwersalność tego podejścia nie jest okupiona dużą złożonością obliczeniową, metodę tę można zarekomendować do zastosowań w ramach automatycznych
systemów prognostycznych.
N2867
N2866
N2865
N2864
N2863
(H5)
152.0
(H5)
89.31
(iH4)
72.74
(iH4)
61.73
(H1)
131.4
(H5)
36.55
(H5)
29.86
(H1)
90.53
(H1)
31.16
(iH4) >>
(iH4)
38.47
(H1)
29.15
(H5)
19.17
(H5)
5.736
(iH4)
14.65
(iH4)
15.55
(H1)
5.522
(H5)
19.23
(H5)
11.02
(H1)
5.761
(H1)
12.71
(iH4)
28.48
(iH4)
30.93
(H1)
11.03
(H5)
23.45
(H5)
21.59
AR
(H1)
18.14
(H1)
21.80
RW
(H5)
131.3
(H1)
122.5
(iH4)
52.69
(H5)
32.55
(H1)
29.14
(iH4)
16.56
(H5)
26.10
(H1)
6.912
(iH4)
13.52
(H5)
17.68
(H1)
13.12
(iH4)
23.51
(H5)
20.58
(H1)
17.30
∆AR
(iH1)
91.79
(H2)
89.28
(D1)
49.62
(iH1)
38.65
(H2)
29.44
(D1)
7.610
(iH1)
7.035
(H2)
5.734
(D1)
14.00
(iH1)
12.01
(H2)
11.04
(D1)
39.39
(iH1)
28.34
(H2)
21.99
RW
(iH1)
130.4
(H2)
130.3
(D1)
42.00
(iH1)
36.70
(H2)
32.25
(D1)
7.459
(iH1)
4.830
(H2)
5.216
(D1)
13.79
(iH1)
12.63
(H2)
12.55
(D1)
27.33
(iH1)
21.95
(H2)
18.80
AR
RW
(iH1)
120.0
(H2)
119.1
(D1)
41.71
(iH1)
34.62
(H2)
30.06
(D1)
8.872
(iH2)
85.83
(H3)
89.11
(D2)
80.75
(iH2)
49.16
(H3)
29.92
(D2)
14.88
(iH2)
9.175
(H3)
5.802
(H2)
6.649
(iH1)
7.515
(D2)
21.53
(iH2)
14.00
(H3)
11.04
(D2)
63.15
(iH2)
32.67
(H3)
21.68
(D1)
13.91
(iH1)
12.55
(H2)
13.03
(D1)
21.99
(iH1)
19.20
(H2)
17.02
∆AR
Tabela 1. Średniokwadratowe błędy prognoz na jeden okres w przód
AR
(iH2)
121.1
(H3)
130.2
(D2)
61.67
(iH2)
42.40
(H3)
32.69
(D2)
8.917
(iH2)
4.719
(H3)
6.330
(D2)
15.68
(iH2)
13.21
(H3)
12.86
(D2)
43.30
(iH2)
26.24
(H3)
18.98
∆AR
RW
(iH2)
109.3
(H3)
119.8
(D2) >>
(iH2)
40.32
(H3)
30.20
(iH3)
88.23
(H4)
89.10
27.22
(iH3)
73.44
(H4)
29.94
5.594
(iH3)
20.25
(iH2)
6.904
(D2)
84.70
(H4)
5.791
11.04
(iH3)
15.61
(H4)
11.03
20.10
(iH3)
31.40
(H4)
21.59
(H3)
7.692
(D2)
25.11
(iH2)
13.42
(H3)
12.80
(D2)
91.57
(iH2)
23.83
(H3)
16.89
AR
(iH3)
121.3
(H4)
130.5
32.35
(iH3)
52.67
(H4)
34.02
6.839
(iH3)
12.56
(H4)
9.509
13.26
(iH3)
14.85
(H4)
13.15
18.81
(iH3)
36.61
(H4)
19.22
∆AR
(iH3)
103.5
(H4)
118.6
29.41
(iH3)
41.13
(H4)
29.50
7.249
(iH3)
8.079
(H4)
12.29
13.72
(iH3)
14.90
(H4)
13.21
17.64
(iH3)
33.48
(H4)
17.08
29.98
5.610
11.04
20.10
ES
[90]
N2872
N2871
N2870
N2869
N2868
(H1)
33.61
(iH4)
15.63
(iH4)
23.14
(H1)
27.49
(H5)
12.63
(H5)
16.13
(iH4)
10.44
(iH4)
8.211
(H1)
9.660
(H5)
7.308
(H5)
8.881
(H1)
16.29
(H1)
7.899
(iH4)
20.21
(iH4)
20.13
(H1)
9.248
(H5)
14.85
(H5)
20.98
(iH4)
30.91
(iH4)
41.36
(H1)
11.68
(H5)
19.30
(H5)
31.14
(H1)
21.66
(H1)
17.06
(H1)
31.88
AR
(iH4)
119.6
RW
(iH4)
100.1
Cd. tabeli 1
∆AR
(H1)
33.63
(iH4)
13.27
(H5)
10.60
(H1)
10.02
(iH4)
8.199
(H5)
6.404
(H1)
7.653
(iH4)
19.07
(H5)
18.96
(H1)
13.11
(iH4)
21.32
(H5)
14.63
(H1)
15.89
(iH4)
105.8
RW
(H2)
27.17
(D1)
31.25
(iH1)
22.65
(H2)
16.31
(D1)
10.65
(iH1)
9.671
(H2)
8.910
(D1)
35.46
(iH1)
26.26
(H2)
21.22
(D1)
60.51
(iH1)
42.68
(H2)
31.33
(D1)
83.06
AR
(H2)
33.58
(D1)
13.43
(iH1)
11.25
(H2)
10.05
(D1)
9.247
(iH1)
8.940
(H2)
7.092
(D1)
14.20
(iH1)
12.28
(H2)
11.62
(D1)
24.54
(iH1)
19.39
(H2)
16.28
(D1)
120.1
(H2)
33.29
(D1)
12.36
(iH1)
9.599
(H2)
10.28
(D1)
10.59
(iH1)
8.198
(H2)
7.485
(D1)
16.69
(iH1)
14.41
(H2)
13.11
(D1)
23.03
(iH1)
16.56
(H2)
14.57
(D1)
110.7
∆AR
RW
(H3)
26.95
(D2)
48.69
(iH2)
25.07
(H3)
16.16
(D2)
9.682
(iH2)
7.496
(H3)
8.899
(D2)
31.13
(iH2)
20.83
(H3)
21.05
(D2)
54.31
(iH2)
33.74
(H3)
31.19
(D2)
70.73
AR
(H3)
34.90
(D2)
20.15
(iH2)
11.73
(H3)
10.32
(D2)
8.063
(iH2)
8.595
(H3)
6.995
(D2)
19.03
(iH2)
14.46
(H3)
12.03
(D2)
40.40
(iH2)
25.10
(H3)
13.98
(D2)
92.58
∆AR
(H3)
34.80
(D2)
68.85
(iH2)
11.02
(H3)
10.43
(D2)
18.02
(iH2)
7.060
(H3)
6.840
(D2)
54.14
(iH2)
14.15
(H3)
12.59
(D2)
98.95
(iH2)
20.67
(H3)
13.13
(D2)
99.06
RW
(H4)
26.84
14.79
(iH3)
20.82
(H4)
16.14
9.376
(iH3)
7.916
(H4)
8.885
20.57
(iH3)
18.86
(H4)
21.01
29.27
(iH3)
30.46
(H4)
31.17
96.99
AR
(H4)
36.56
9.497
(iH3)
13.17
(H4)
12.49
7.174
(iH3)
7.485
(H4)
7.023
11.46
(iH3)
14.86
(H4)
12.11
16.32
(iH3)
32.74
(H4)
13.43
134.5
∆AR
(H4)
35.22
9.913
(iH3)
12.18
(H4)
12.94
7.721
(iH3)
8.070
(H4)
6.089
13.07
(iH3)
12.45
(H4)
13.73
17.20
(iH3)
21.54
(H4)
12.65
126.0
ES
14.79
9.378
20.57
29.27
102.1
[91]
N2876
N2875
N2874
N2873
(H5)
0.8193
(H5)
0.2645
(iH4)
28.98
(iH4)
27.02
(H1)
0.3910
(H5)
31.03
(H5)
22.99
(H1)
0.2579
(H1)
22.87
(iH4)
12.60
(iH4)
15.17
(H1)
23.31
(H5)
14.49
(H5)
13.90
(iH4)
19.96
(iH4)
22.75
(H1)
10.63
(H5)
19.92
(H5)
13.63
(H1)
14.31
(H1)
12.57
(iH4)
48.88
(iH4)
34.90
(H1)
13.82
(H5)
39.33
(H5)
38.95
(H5)
26.83
(H5)
0.7263
(H1)
0.4298
(iH4)
26.83
(H5)
36.08
(H1)
23.85
(iH4)
10.61
(H5)
12.64
(H1)
11.39
(iH4)
10.89
(H5)
18.42
(H1)
11.95
(iH4)
35.47
∆AR
AR
RW
Cd. tabeli 1
(iH1)
0.3753
(H2)
0.2681
(D1)
35.93
(iH1)
27.65
(H2)
23.40
(D1)
27.76
(iH1)
19.40
(H2)
14.23
(D1)
21.08
(iH1)
17.67
(H2)
13.82
(D1)
34.69
(iH1)
31.22
RW
(iH1)
0.4717
(H2)
0.4002
(D1)
24.96
(iH1)
22.80
(H2)
22.99
(D1)
13.89
(iH1)
12.26
(H2)
10.43
(D1)
13.88
(iH1)
13.42
(H2)
12.83
(D1)
35.40
(iH1)
31.72
AR
(iH1)
0.5261
(H2)
0.4381
(D1)
21.26
(iH1)
23.12
(H2)
25.58
(D1)
15.36
(iH1)
13.37
(H2)
11.25
(D1)
12.45
(iH1)
12.34
(H2)
12.02
(D1)
35.96
(iH1)
30.14
∆AR
(iH2)
0.5624
(H3)
0.2700
(D2)
54.46
(iH2)
31.54
(H3)
23.07
(D2)
42.27
(iH2)
21.47
(H3)
13.96
(D2)
29.92
(iH2)
20.71
(H3)
13.62
(D2)
42.59
(iH2)
33.53
RW
(iH2)
0.5739
(H3)
0.4173
(D2)
30.40
(iH2)
22.63
(H3)
24.80
(D2)
22.17
(iH2)
12.45
(H3)
10.18
(D2)
17.53
(iH2)
13.78
(H3)
13.11
(D2)
38.59
(iH2)
33.90
AR
(iH2)
0.5940
(H3)
0.4705
(D2)
90.44
(iH2)
25.07
(H3)
23.64
(D2)
47.24
(iH2)
14.46
(H3)
11.03
(D2)
44.81
(iH2)
12.13
(H3)
12.49
(D2)
84.45
(iH2)
31.60
∆AR
(iH3)
0.7187
(H4)
0.2668
22.33
(iH3)
31.23
(H4)
23.00
13.23
(iH3)
18.09
(H4)
13.91
13.48
(iH3)
15.83
(H4)
13.63
27.67
(iH3)
36.21
RW
(iH3)
0.9584
(H4)
0.4496
24.81
(iH3)
30.92
(H4)
24.72
10.68
(iH3)
12.05
(H4)
10.60
12.46
(iH3)
14.77
(H4)
17.79
35.16
(iH3)
35.65
AR
(iH3)
0.9264
(H4)
0.4684
25.70
(iH3)
32.70
(H4)
26.84
11.84
(iH3)
12.72
(H4)
11.51
12.48
(iH3)
13.25
(H4)
13.52
34.79
(iH3)
30.99
∆AR
22.33
13.23
13.58
27.98
ES
[92]
(H5)
0.6210
(H5)
0.5616
(iH4)
0.4715
(H5)
0.3946
(iH4)
0.5448
(iH4)
0.5604
(H1)
0.4870
(iH4)
0.1298
(H1)
0.4114
(iH4)
0.1202
(iH4)
0.1302
(H5)
0.2484
(H1)
0.1091
(iH4)
0.3207
(H5)
0.3218
(H1)
0.2228
(H1)
0.4086
(H5)
0.2472
(H5)
0.1170
(iH4)
0.7351
(iH4)
0.2110
(H1)
0.1148
(H5)
0.3042
(H5)
0.2167
(H1)
0.1193
(H1)
0.2182
(H1)
0.2227
∆AR
(iH4)
0.8848
RW
(D1)
0.5464
(iH1)
0.4825
(H2)
0.4113
(D1)
0.1256
(iH1)
0.1121
(H2)
0.1214
(D1)
0.2347
(iH1)
0.2392
(H2)
0.2184
(D1)
0.4820
AR
(D1)
0.4436
(iH1)
0.4182
(H2)
0.4331
(D1)
0.1037
(iH1)
0.1137
(H2)
0.1088
(D1)
0.2759
(iH1)
0.2316
(H2)
0.2297
(D1)
0.5512
(D1)
0.5311
(iH1)
0.4784
(H2)
0.5061
(D1)
0.1202
(iH1)
0.1177
(H2)
0.1126
(D1)
0.2336
(iH1)
0.2225
(H2)
0.2325
(D1)
0.6092
∆AR
RW
(D2)
0.8003
(iH2)
0.6169
(H3)
0.3998
(D2)
0.3266
(iH2)
0.1766
(H3)
0.1179
(D2)
0.1883
(iH2)
0.2100
(H3)
0.2166
(D2)
0.9702
AR
(D2)
0.5214
(iH2)
0.4434
(H3)
0.4259
(D2)
0.1548
(iH2)
0.1160
(H3)
0.1028
(D2)
0.3473
(iH2)
0.2566
(H3)
0.2349
(D2)
0.9011
∆AR
(D2)
1.0135
(iH2)
0.5194
(H3)
0.5106
(D2)
0.2594
(iH2)
0.1514
(H3)
0.1141
(D2)
0.2142
(iH2)
0.2119
(H3)
0.2311
(D2)
1.998
RW
0.4064
(iH3)
0.6196
(H4)
0.3959
0.1281
(iH3)
0.1200
(H4)
0.1175
0.2348
(iH3)
0.1806
(H4)
0.2167
0.2425
AR
0.4246
(iH3)
0.4303
(H4)
0.4421
0.1177
(iH3)
0.1105
(H4)
0.1117
0.2326
(iH3)
0.2915
(H4)
0.3493
0.4131
∆AR
0.5029
(iH3)
0.4815
(H4)
0.5401
0.1030
(iH3)
0.1350
(H4)
0.1284
0.2253
(iH3)
0.1980
(H4)
0.2211
0.4646
ES
0.5172
0.1217
0.2033
0.4347
(H1)–(H5) – metoda oparta na falce Haara bez inwersji; (iH1)–(iH4) – metoda oparta na falce Haara z inwersją; (D1)–(D2) – metoda
oparta na falce d4 z inwersją; liczby w nawiasach oznaczają poziom dekompozycji; RW – prognoza z modelu błądzenia przypadkowego; AR – prognoza z modelu autoregresji; ∆AR – prognoza z modelu autoregresji dla przyrostów; ES – wyrównywanie wykładnicze;
‘>>’ oznacza wartość o co najmniej dwa rzędy wielkości przewyższającą pozostałe wartości błędów; wszystkie wielkości przemnożono
przez 0.0001.
N2879
N2878
N2877
AR
(iH4)
0.8457
RW
(iH4)
0.8184
Cd. tabeli 1
[93]
94
Joanna Bruzda
Literatura
Alrumaih R. M., Al-Fawzan M. A. (2002), Time Series Forecasting Using Wavelet
Denoising, Journal of King Saudi University, Engineering Sciences, 14, 221–
–234.
Arino M. (1995), Time Series Forecasts via Wavelets: An Application to Car Sales
in the Spanish Market, Discussion Paper No. 95–30, Institute of Statistics and
Decision Sciences, Duke University.
Augustyniak P. (2003), Transformacje falkowe w zastosowaniach elektrodiagnostycznych, Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne, AGH, Kraków.
Bruzda J. (2011), Wavelet Analysis in Economic Applications, monografia w przygotowaniu.
Chen H., Vidacovic B., Mavris D. (2004), Multiscale Forecasting Method using
ARMAX Models, Biomedical Engineering Technical Report No. 30/2004,
Georgia Institute of Technology.
Conejo A. J., Plazas M. A., Espínola R., Molina A. B. (2005), Day-Ahead Electricity
Price Forecasting Using the Wavelet Transform and ARIMA Models, IEEE
Transactions on Power Systems, 20, 1035–1042.
Ferbar L., Čreslovnik D., Mojškerc B., Rajgelj M. (2009), Demand Forecasting Methods in a Supply Chain: Smoothing and Denoising, International Journal of
Production Economics, 118, 49–54.
Fernandez V. (2008), Traditional versus Novel Forecasting Techniques: How Much
do We Gain?, Journal of Forecasting, 27, 637–648.
Fryźlewicz P., Van Bellegem S., von Sachs R. (2003), Forecasting Nonstationary
Time Series by Wavelet Process Modelling, Annals of the Institute of Statistical Mathematics, 55, 737–764.
Kaboudan M. (2005), Extended Daily Exchange Rates Forecasts Using Wavelet Temporal Resolution, New Mathematics and Natural Computation, 1, 79–107.
Makridakis S., Hibon M. (2000), The M3-Competition: Results, Conclusions and Implications, International Journal of Forecasting, 16, 451–476.
Minu K. K., Lineesh M. C., Jessy John C. (2010), Wavelet Neural Networks for Nonlinear Time Series Analysis, Applied Mathematical Sciences, 4, 2485–2495.
Nason G. P. (2008), Wavelet Methods in Statistics with R, Springer-Business Media,
New York.
Percival D. B., Walden A. T. (2000), Wavelet Methods for Time Series Analysis, Cambridge University Press, Cambridge.
Renaud O., Starck J.-L., Murtagh F. (2002), Wavelet-based Forecasting of Short and
Long Memory Time Series, Working Paper No. 2002.04, University of Geneva.
95
Schlüter S., Deuschle C. (2010), Using Wavelets for Time Series Forecasting – Does
it Pay Off?, Diskussionspapier No. 4/2010, Institut für Wirtschaftspolitik und
Quantitative Wirtschaftsforschung, Friedrich-Alexander-Universität.
Wong H., Ip W.-C., Xie Z., Lui X. (2003), Modelling and Forecasting by Wavelets, and
the Application to Exchange Rates, Journal of Applied Statistics, 30, 537v553.
Forecasting via wavelet smoothing
A b s t r a c t. In the paper we discuss existing techniques for univariate time series
forecasting based on the wavelet transform and introduce also a new method of forecasting with wavelets. The new approach is based on a nonparametric estimation of
a stochastic signal via a wavelet smoothing. The method can be thought of as a wavelet variant of the exponential smoothing, which is, however, much more universal,
being at the same time relatively computationally efficient. Our empirical verification
based on 17 time series from the M3-JIF-Competition database provides very promising results, confirming the practical relevance of the suggested approach.
K e y w o r d s: wavelet forecasting, nonparametric signal estimation, wavelet
smoothing.

t - Repozytorium UMK

Transkrypt

Podobne dokumenty

Religijna sztuka południa Indii

[ CORAB SAT FINDER

wskaźnik sygnału satelitarnego dsf-10

Parametry techniczne kanału WP Nadawanie satelitarne: System

oferta solarny odstraszacz kretów kret krety gryzoni

3.4.5. Dekompozycja sygnałów i okresowa filtracja adaptacyjna

Harmonogram spotkania

Granty dla młodych naukowców i uczestników studiów

1-2 kwietnia 2014, Poznań - Ogólnopolska konferencja naukowa