(2 + i)(3 − i)+ - Polsko-Japońska Akademia Technik Komputerowych

ALGEBRA LINIOWA. ĆWICZENIA
Liczby Zespolone
ALEXANDER DENISJUK
Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem
http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/
Ćwiczenie 1. Oblicz:
(1) (2 + i)(3 − i) + (2 + 3i)(3 + 4i),
(2) (2 + i)(3 + 7i) − (1 + 2i)(5 + 3i),
√ 3
(1+i)5
3
1
−
,
−
.
3
(1−i)
2
2 i
√ 3
(5+i)(7−6i) (5+i)(3+5i) (3−i)(1−4i)
3
1
3
3
,
,
,
(2
+
i)
+
(2
−
i)
,
−
+
3+i
i
2−i
2
2 i .
, (3 + i)3 − (3 − i)3 ,
, (2+i)(4+i)
(4 + i)(5 + 3i) − (3 + i)(3 − i), (1+3i)(8−i)
(2+i)2
1+i
(3) i77 , i98 , i−57 .
Ćwiczenie 2. Rozwiąż równania: (1 + i)z + 5 − 2i = −2 − i, (7 − i)z + 1 = 7 + i, (1 + 2i)z + 1 − 2i = −i,
(3 + i)z + i = 1 − i.
Ćwiczenie 3. Rozwiąż układy równań:
(
(
(1 + i)z1 + (1 − i)z2 = 1 + i,
(1 − i)z1 − 3iz2 = −i,
(1)
(1 − i)z1 + (1 + i)z2 = 1 + 3i,
3z1 − (3 + 3i)z2 = 3 − i.
(
(
iz1 + (1 + i)z2 = 2 + 2i,
2z1 − (2 + i)iz2 = −i,
(2)
2iz1 + (3 + 2i)z2 = 5 + 3i,
(4 − 2i)z1 − 5z2 = −1 − 2i.


x + iy − 2z = 10,
(3) x − y + 2iz = 20,


ix + 3iy − (1 + i)z = 30.
Ćwiczenie 4. Rozwiąż równania:
(1) z 2 = i, z 2 = 3 − 4i, z 2 − (1 + i)z + 6 + 3i = 0.
(2) z 2 = 5 − 12i, z 2 − 5z + 4 + 10i = 0, z 2 + (2i − 7)z + 13 − i = 0.
Ćwiczenie 5. Wskaż na płaszczyźnie punkty, odpowiadające liczbom: −4, 3, −3i, 4i, −1−2i, 1−2i, −1+2i,
1 + 2i, 1 + i, 1 − i, −1 + i, −1 − i.
Ćwiczenie 6. Zapisz liczby w postaci trygonometrycznej:
√
√
√
(1) 5, i, −2, 1 + i, −1 − 3i, − 3 + i, 1 + 33 i.
√
√
√ √
√
√
√
(2) −3i, 1 − i, 1 + 3i, −1 + 3i, 1 − 3i, 3 + i, − 3 + i, − 3 − i, 3 − i
Ćwiczenie 7. Oblicz:
√ 30
√
3+i
(1) (1 + i)1000 , (1 + i 3)150 , 1−i
.
24
√ 15
√ 15
√
3)
3)
+ (−1−i
, (2 − 2 + i)12 , (−1+i
(1−i)20
(1+i)20 .
√ 30
√
√
3
(3) (1 − i)1000 , (−1 + i 3)150 , ( 3 + i)30 , 1−i
.
1+i
(2)
1+
√
3
2
+
i
2
Ćwiczenie 8. Oblicz pierwiastki:
q √
q
√ √
√ √
√
√
(1) 6 i, 6 −i, 4 1, 4 −4, 6 2 2(1 − i), 3 1 + i, 4 −72(1 − i 3).
q
q
q
q
√
√
4+14i
18√
7−2i
1+2i
4 −2+2 3i
3 1−5i
4
√ + √
√
√3+i .
,
−
(8
−
2i),
−
5
(2) 4 − 1+i
−
5
+
2,
1+i
2−i
3
1+i 2
2+2i
2+i 5
2 5+5i
q
p
√
√
√
√
√
√
√
√
√
4
3
10
3
4
6
8
3
6
(3) 1, 1, i,
512(1 − i 3), 64, 16, −27, 8 3i − 8, 2 − 2i.
E-mail address: [email protected]
Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych, Zamiejscowy Ośrodek Dydaktyczny w Gdańsku, ul. Brzegi 55, 80-045 Gdańsk
1