Dziedziny Euklidesowe
Transkrypt
Dziedziny Euklidesowe
Dziedziny Euklidesowe 1.1. Definicja. Dziedzina, Euklidesowa, nazywamy pare, (R, v), gdzie R jest dziedzina, caÃlkowitości a v : R \ {0} − → N ∪ {0} funkcja, zwana, waluacja,, która speÃlnia naste,puja,ce warunki: 1. dla dowolnych a, b ∈ R \ {0}, v(ab) ≥ v(a), 2. dla dowolnych a ∈ R oraz b ∈ R \ {0} istnieja elementy q, r ∈ R, takie że a = bq + r oraz r=0 lub v(r) < v(b). Zanim omówimy przykÃlady dziedzin euklidesowych odnotujmy pewne proste wÃlasności waluacji. 1.2. Stwierdzenie. Niech v : R \ {0} − → N ∪ {0} be,dzie waluacja,. Wówczas, a) dla każdego a ∈ R \ {0}, v(a) ≥ v(1). b) dla dowolnych a, b ∈ R \ {0}, v(ab) = v(b) wtedy i tylko wtedy, gdy a jest elementem odwracalnym. c) dla dowolnego a ∈ R \ {0}, v(a) = v(1) wtedy i tylko wtedy, gdy a jest elementem odwracalnym. Dowód. punkt a) jest oczywistym wnioskiem z definicji, zaś punkt c) wynika z punktu b). Zauważmy, że jeżeli a jest elementem odwracalnym i c elementem odwrotnym, to v(b) = v(cab) ≥ v(ab), zaś nierówność v(ab) ≥ v(b) wynika z definicji. Przypuśćmy, że v(ab) = v(b) . Wówczas istnieje c ∈ R dla którego b = abc + r i v(r) < v(ab) lub r = 0. Jeżeli r 6= 0, to r = b(ac − 1) i z wÃlasności waluacji v(r) ≥ v(b). Ponieważ v(ab) = v(b), to dostajemy sprzeczność czyli r = 0 i 0 = b(ac − 1). Sta,d ac = 1 i a jest elementem odwracalnym. ¤ PrzykÃladami dziedzin euklidesowych sa, pierścień liczb caÃlkowitych Z, gdzie waluacja, jest wartość bezwzgle,dna oraz pierścień wielomianów K[X] nad ciaÃlem K, gdzie waluacja jest stopień wielomianu. Niech d ∈ Z be,dzie liczba caÃlkowita,, d 6= 1, która nie jest podzielna przez kwadrat liczby naturalnej różnej od 1 - taka, liczbe, nazywamy bezkwadratowa,. Oznaczmy √ √ przez Z[ d] podpierścień ciaÃla √ liczb zespolonych generowany przez d - jego elementami sa, liczby postaci a + b d, a, b ∈ Z. Niech √ v : Z[ d] − →N √ v(a + b d) = |a2 − b2 d|. √ √ Wprowadzmy oznaczenia: α = a + b d, ᾱ = a − b d. Wówczas v(α) = |αᾱ|. L Ã atwy rachunek przekonuje nas o tym, że v(αβ) = v(α)v(β) oraz, że α jest elementem odwracalnym wtedy i tylko wtedy, gdy v(α) = 1 i wówczas ᾱ jest elementem odwrotnym. 2 √ 1.3. Stwierdzenie. Funkcja v(a + b d) = |a2 − b2 d| jest waluacja, euklidesowa, na √ Z[ d] dla d ∈ {−2, −1, 2, 3} √ √ Dowód. Jest oczywiste, że v(a+b d) ≥ 1, gdyż v(a+b d) = 0 oznaczaÃloby, że d = ( ab )2 , wbrew zaÃlożeniu, że d jest liczba bezkwadratowa,. Sta,d i z multyplilkatywności funkcji v wynika, że warunek pierwszy jest speÃlniony dla dowolnego √ d. Pokażemy, że dla wymienionych wartości d w pierścieniu Z[ d] można dzielić z reszta,. Dowód dostarcza także algorytm wykonywania takiego dzielenia. Niech √ √ √ αβ̄ α, β ∈ Z[ d], β 6= 0. Wówczas α β = β β̄ = x + y d ∈ Q[ d]. Niech r, s ∈ Z be,da, √ liczbami caÃlkowitymi takimi, że |x − r| ≤ 21 i |y − s| ≤ 12 . Niech γ = r + s d, zaś √ √ δ = ((x − r) + (y − s)√ d)β. Zauważmy, że α = βγ + δ przy czym α, β, γ ∈ Z[ d]. Zatem także δ ∈ Z[ d]. Wystarczy teraz pokazać, ze v(δ) < v(β) lub δ = 0. Przypuśćmy, że δ 6= 0. Mamy v(δ) = v(β)|(x−r)2 −(y −s)2 d| ≤ v(β)( 41 + 41 |d|). Dla d =∈ {−2, −1, 2}, 14 + 41 |d| < 1 i v(δ) < v(β). Jeżeli d = 3, to |(x−r)2 −(y −s)2 3| ≤ 1 1 może wysta,pić tylko wtedy, gdy x − r = y − s = 12 , jednak 4 + 4 3 = 1. Równość √ wówczas v( 12 + 12 3) = 12 < 1, co dowodzi, że dla d = 3 waluacja także jest euklidesowa. ¤ ZADANIA Z 1.4. Niech K[[X]] oznacza pierścień szeregów formalnych nad ciaÃlem K. Niech dla f 6= 0, o(f ) = min{n: an 6= 0}. Udowodnić, że: (a) o(f g) = o(f ) + o(g) (b) f | g wtedy i tylko wtedy gdy o(f ) ≤ o(g) (c) f jest odwracalny wtedy i tylko wtedy gdy o(f ) = 0 (d) jeżeli f 6= 0, to f jest stowarzyszony z X o(f ) . (e) Czy o(·) jest waluacja, Euklidesowa, na K[[X]]? Z 1.5. Niech p be,dzie liczba, pierwsza, i zdefiniujmy k k Z∧ p = {(a1 , a2 , .....) : ak ∈ (Z/p Z), ak+1 ≡ ak (mod p ), k ≥ 1} a) Pokazać, że Z∧ p z operacjami dodawania i mnożenia po wspóÃlrze,dnych jest pierścieniem z 1, zawieraja,cym Z jako podpierścień. (jest to uzupeÃlnienie Z w metryce p-adycznej). b) Pokazać, że Z∧ p jest pierścieniem Euklidesowym. 3 2. Dziedziny z jednoznacznościa, rozkÃladu W pierścieniu liczb caÃlkowitych Z podstawowym twierdzeniem jest zasadnicze twierdzenie arytmetyki mówia,ce, że każda, liczbe, caÃlkowita, można przedstawić w postaci iloczynu liczb caÃlkowitych pierwszych i że przedstawienie to jest jednoznaczne z dokÃladnościa, do kolejności czynników i ich znaku. Ważnym i naturalnym problemem jest pytanie dla jakich pierścieni możemy udowodnić podobne twierdzenie. Zaczniemy od wprowadzenia sÃlownika potrzebnych poje,ć. W rozdziale tym zakÃladamy, że rozpatrywane pierścienie sa, dziedzinami caÃlkowitości. Niech R bedzie dziedzina, caÃlkowitości.Mówimy, że: a) Element a ∈ R \ {0} dzieli element b (co oznaczamy symbolem a—b) wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element c, taki że b = ca. b) Elementy a, b ∈ R \ {0} sa, stowarzyszone (co oznaczamy symbolem a ∼ b tylko wtedy gdy istnieje odwracalny element u ∈ R dla którego a = bu. c) Element a ∈ R \ {0} nieodwracalny jest nierozkÃladalny wtedy i tylko wtedy, gdy z równości a = bc wynika, że b lub c jest elementem odwracalnym. d) Element a ∈ R \{0} nieodwracalny jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy z tego, że a|bc wynika, że a|b lub a|c. 2.1. Stwierdzenie. Element pierwszy jest nierozkÃladalny. Dowód. Niech a ∈ R \ {0} bedzie elementem pierwszym i przypuśćmy, że a = bc. Wówczas a|b lub a|c. Jeżeli a|b, to b = ad i a = adc. Ponieważ R jest dziedzina caÃlkowitosci i a 6= 0, to cd = 1 i c elementem odwracalnym. Jeżeli a|c to analogicznie wnioskujemy, ze bjest elementem odwracalnym. ¤ 2.2. PrzykÃlady. 1. W pierścieniu liczb caÃlkowitych Z zbiór elementów pierwszych jest równy zbiorowi elementów nierozkÃladalnych i skÃlada sie, z liczb pierwszych. 2. Liczba 2, która jest elementem √ pierwszym w pierścieni Z, nie jest elementem pierwszym w pierścieniu Z[ p d], dla √ dowolnej liczby √ bezkwadratowej √ d. Mamy bowiem 2|d(d − 1) = (d + )(d − d), ale 2 6| (d + d) i 2 6| (d − d). √ 3. Liczba 2 jest elementem nierozkÃladalnym w pierścieniu Z[ d], dla d ≤ −3. Przypuśćmy przeciwnie, że 2 = αβ, gdzie α, β nieodwracalne. Wówczas v(2) = 4 = v(α)v(β). Z nieodwracalności v(α) 6= 1 i v(β) 6= 1, a wie,c √ v(α) = v(β) = 2. Jeżeli α = x + y d, to |x2 − y 2 d| = 2, ale dla d ≤ −3, to nie jest mozliwe. Bowiem |x2 − y 2 d| ≥ x2 + 3y 2 > 2 dla y 6= 0, ale y 6= 0, bo w przeciwnym razie 2 byÃlaby kwadratem liczby naturalnej. 2.3. Stwierdzenie. W dziedzinie Euklidesowej każdy element nierozkÃladalny jest pierwszy. Zanim udowodnimy to twierdzenie wzorem pierścienia liczb caÃlkowitych wprowadzimy definicje,. 2.4. Definicja. Niech R be,dzie dziedzina, caÃlkowitości i niech ∅ 6= A ⊂ R. Powiemy, że element d ∈ R jest najwie,kszym wspólnym dzielnikiem (oznaczamy go symbolem NWD(A)) jeżeli a) dla każdego x ∈ A, d|x, b) jeżeli e|x dla każdego x ∈ A, to e|d. Jeżeli NWD(A) = 1, to mówimy że zbiór A jest wzgle,dnie pierwszy. 4 Zauważmy, ze z definicji wynika natychmiast, że jeżeli N W D(A) istnieje, to jest wyznaczony jednoznacznie z dokÃladnościa, do stowarzyszenia. W dziedzinach euklidesowych dysponujemy algorytmem, zwanym algorytmem Euklidesa, który pozwala na znalezienie N W D dowolnych dwóch elementów i tym samym dowodzi, ze istnieje N W D dowolnej skończonej liczby elementów. Możemy teraz przysta,pić do dowodu stwierdzenia 2.3 Dowód. Niech a be,dzie elementem nierozkÃladalnym i niech a | bc. Zastosujmy algorytm Euklidesa do dzielenia b i a znajduja,c ich najwie,kszy wspólny dzielnik d. Mamy a = de b = df dla pewnych e, f . Z nierozkÃladalności a, element e lub d jest odwracalny. Jeżeli element e jest odwracalny, to d = ae−1 i b = ae−1 f i a | b. Jeżeli d jest odwracalny, to d = ax + by dla pewnych x, y i mnoża,c obie strony równości przez cd−1 otrzymujemy c = acd−1 x + bcd−1 y = acd−1 x + azd−1 y i a | c. ¤ √ 2.5. Wniosek. Dziedzina Z[ d] nie jest dziedzina, euklidesowa, dla d ≤ −3. SformuÃlujmy teraz gÃlówna, definicje, tego rozdziaÃlu. 2.6. Definicja. Dziedzina caÃlkowitości R nazywa sie dziedzina, z jednoznacznościa, rozkÃladu (DJR) wtedy i tylko wtedy, gdy a) każdy element a ∈ R \ {0} może być przedstawiony w postaci iloczynu a = up1 . . . pk , gdzie u jest elementem odwracalnym, zaś p1 , . . . , pk sa, elementami nierozkÃladalnymi. b) rozkÃlad ten jest jednoznaczny z dokÃladnościa, do stowarzyszenia, to znaczy ze jeżeli a = up1 . . . pk = vq1 . . . ql sa, rozkÃladami, u, v sa, elementami odwracalnymi, zaś p1 , dots, pk , q1 , . . . , ql nierozkÃladalnymi, to k = l i po ewentualnym przenumerowaniu pi jest stowarzyszone z qi , 1 ≤ i ≤ k. Grupuja,c nierozkÃladalne elementy stowarzyszone możemy dowolny niezerowy element zapisać jednoznacznie ( z dokÃladnościa, do kolejności i stowarzyszenia) w postaci: a = upk11 . . . pks s , gdzie pi nie jest stowarzyszone z pj , dla i 6= j. Zauważmy, ze w DJR jest tak, jak w pierścieniu liczb caÃlkowitych, to znaczy . 2.7. Stwierdzenie. Jeżeli R jest dziedzina, z jednoznacznościa, rozkÃladu, to każdy element nierozkÃladalny jest pierwszy. Dowód. Niech a be,dzie elementem nierozkÃladalnym i niech a|bc. Zatem ad = bc, dla pewnego elementu d. Elementy b, c, d przedstawiamy w postaci iloczynu czynników nierozkÃladalnych. Z jednoznaczności rozkÃladu wynika, że po prawej stronie musi znaleźć sie, czynnik stowarzyszony z a. ¤ Jest jasne, że informacja iż dany pierścień jest dziedzina, z jednoznacznościa, rozkÃladu bardzo pomaga badać jego wÃlasności. Odnotujmy, że zachodzi twierdzenie: 2.8. Twierdzenie. Dziedzina Euklidesowa jest dziedzina, z jednoznacznościa, rozkÃladu. Dowód. Niech R be,dzie dziedzina, euklidesowa, z waluacja, v. Pokażemy przez indukcje, wzgle,dem wartości waluacji, że każdy element można przedstawić w postaci iloczynu elementów nierozkÃladalnych. 5 Jeżeli v(x) = 1, to x jest elementem odwracalnym. ZaÃlóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla elementów o waluacji ≤ k. Niech v(x) = k + 1. Jeżeli x jest elementem nierozkÃladalnym, to x = x jest rozkÃladem. Jeżeli x nie jest nierozkÃladalny, to x = yz, przy czym z i y nie sa, odwracalne. Z wÃlasności waluacji wynika, że v(z) < v(x) i v(y) < v(x). Z zaÃlożenia indukcyjnego, y i z moga, być przedstawione w postaci iloczynu elementów nierozkÃladalnych, a wie,c x także. Należy teraz pokazać jednoznaczność rozkÃladu. Wynika ona z faktu, że w dziedzinie euklidesowej, każdy element nierozkÃladalny jest pierwszy. Niech bowiem x = up1 . . . pk = vq1 . . . ql . NierozkÃladalny, a wie,c pierwszy, element p1 |q1 . . . ql , wie,c p1 |qi dla pewnego 1 ≤ i ≤ l. Z nierozkÃladalności elementu qi wynika, że p1 i qi sa, stowarzyszone. Możemy wie,c obie strony podzielić przez p1 i otrzymujemy dwa rozkÃlady o mniejszej liczbie czynników. Teza wynika przez indukcje, ze wzgle,du na liczbe, czynników w rozkÃladzie. ¤ W szkole podstawowej znajdowaÃlo sie, najwie,kszy wspólny dzielnik podzbioru A zbioru licz caÃlkowitych w ten sposób, że należaÃlo rozÃlożyć wszystkie liczby ze zbioru A na czynniki pierwsze i najwie,kszy wspólny dzielnik byÃl iloczynem tych, które wyste,puja, w każdej liczbie ze zbioru A. DokÃladnie to samo rozumowanie prowadzi do dowodu naste,puja,cego faktu. 2.9. Stwierdzenie. W każdej dziedzinie z jednoznacznościa, rozkÃladu istnieje NWD(A), dla dowolnego niepustego podzbioru A ⊂ R. Klasa pierścieni z jednoznacznościa, rozkÃladu jest znacznie szersza niż klasa pierścieni Euklidesowych. Naste,puja,ce ważne twierdzenie jest tego ilustracja,: 2.10. Twierdzenie. Jeżeli R jest dziedzina, z jednoznacznościa, rozkÃladu, to pierścień wielomianów R[X] jest także dziedzina, z jednoznacznościa, rozkÃladu. ZADANIA √ √ Z 2.11. Pokazać, że w Z[ 5] nie istnieje N W D(4, 2 + 2 √5). Z 2.12. Podać przykÃlad elementu nierozkÃladalnego w Z[ 5], który nie jest pierwszy. Z 2.13. Znaleźć N W D(3456, √ 18564). Z 2.14. W pierścieniu Z[ −2] √ √ znaleźć: (a) N W D(a + b √−2, a − b √−2) (b) N W D(6 + 4 −2, 8 − 2 −2). Z 2.15. W pierścieniu Z[i] znaleźć N W D(2 + 11i, 1 + 3i) Z 2.16. Niech K[[X]] oznacza pierścień szeregów formalnych nad ciaÃlem K. pokazać, że jedynym elementem nierozkÃladalnym jest X Z 2.17. W Z5 [X] 3X 3 + 4X 2 + 3 = (X + 2)2 (3X + 2) = (X + 2)(X + 4)(3X + 1). Dlaczego nie jest to sprzeczne z tym, że Z5 [X] jest dziedzina, z jednoznacznościa, rozkÃladu? Pierścień Z[i]. Z 2.18. Znaleźć wszystkie elementy odwracalne w Z[i]. Z 2.19. Udowodnić, że dla liczby pierwszej p > 2 naste,puja,ce warunki sa, równoważne: a) p jest elementem rozkÃladalnym pierścienia Z[i] 6 b) p ≡ 1(mod 4) c) p = m2 + n2 dla pewnych m, n ∈ N Z 2.20. Pokazać, że w rozkÃladzie na czynniki pierwsze w Z liczby naturalnej be,da,cej suma, kwadratów l = m2 + n2 każdy czynnik postaci 4k-1 wyste,puje w pote,dze parzystej. Znaleźć wszystkie liczby caÃlkowite, które można przedstawić w postaci sumy kwadratów dwóch liczb caÃlkowitych. Z 2.21. Pokazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci 4k + 1 oraz postaci 4k + 3. √ Pierścień Z[ 2]. √ Z 2.22. Znaleźć wszystkie elementy odwracalne w Z[ 2]. Z 2.23. √ Udowodnić, że z dokÃladnościa, do stowarzyszenia elementami pierwszymi w Z[ 2] sa,: √ (a) 2 (b) liczby pierwsze√caÃlkowite postaci 8n ± 3 (c) dzielniki a + b 2, b 6= 0 liczb pierwszych caÃlkowitych postaci 8n ± 1. Z 2.24. Udowodnić, że jeżeli K jest ciaÃlem, to podpierścień K[X 2 , X 5 ] pierścienia K[X] nie jest dziedzina, z jednoznacznościa, rozkÃladu. (jednoznaczność rozkÃladu nie dziedziczy sie, na podpierścienie).