O jednoznaczności konstrukcji pierścieni półgrupowych

O jednoznaczno±ci konstrukcji
pier±cieni póªgrupowych
Jan Krempa
(Notatki zwi¡zane z referatem)
1 Wprowadzenie
Wszystkie rozwa»ane w tym tek±cie pier±cienie b¦d¡ ª¡czne, z 1 6= 0. B¦d¡
one na ogóª oznaczane pocz¡tkowymi literami alfabetu.
U(A) to grupa elementów odwracalnych czyli jedno±ci pier±cienia A.
Póªgrupy to faktycznie b¦d¡ monoidy ze wzgl¦du na mno»enie. B¦d¡ one na
ogóª oznaczane ko«cowymi literami alfabetu.
Niech A b¦dzie dowolnym pier±cieniem i X dowoln¡ póªgrup¡. Tej parze
przyporz¡dkowany jest pier±cie« póªgrupowy póªgrupy X o wspóªczynnikach z
pier±cienia A, oznaczany zwykle przez A[X] lub AX. Jest to A-moduª wolny
z baz¡ X oraz z mno»eniem pochodz¡cym od mno»e« w A i w X przy pomocy
rozdzielno±ci i warunku xa = ax dla a ∈ A i x ∈ X. Wobec przyj¦tych umów
mamy:
β
α
A −→ AX ←− X gdzie αa = a1, β(x) = 1x.
(1)
Ten wzór pozwala ju» ªatwo wyobrazi¢ sobie, co to s¡ A-homomorzmy AX
w AY i X -homomorzmy AX w BX.
Celem notatek b¦dzie dyskutowanie problemu, kiedy pier±cieniowe wªasno±ci pier±cienia AX wyznaczaj¡ pier±cie« A, a kiedy wyznaczaj¡ póªgrup¦
X. Wiele tego typu wyników mo»na znale¹¢ w cytowanej literaturze, dalekiej jednak od kompletno±ci. Obok sformuªowa« szeregu wyników z tych prac
pojawi si¦ te» kilka pyta«, które wydaj¡ si¦ warte zainteresowania.
2 Jednoznaczno±¢ póªgrupy
Zaczniemy od kwestii zwi¡zanych z wyznaczaniem póªgrupy przez pier±cie«
póªgrupowy.
Problem 1 Niech A b¦dzie (wa»nym z matematycznego punktu widzenia)
pier±cieniem i X grup¡ (póªgrup¡). Czy dla dowolnej grupy (póªgrupy) Y
mamy AX 'A AY ⇒ X ' Y ? Je±li tak jest, to powiemy, »e pier±cie« A
wyznacza grup¦ (póªgrup¦) X.
1
Poniewa» ka»da grupa jest póªgrup¡, wi¦c natychmiast pojawia si¦ nast¦puj¡ca kwestia:
Pytanie 1 Niech X b¦dzie grup¡. Czy je±li A wyznacza X jako grup¦, to
wyznacza X jako póªgrup¦?
Oto przykªad rezultatu redukuj¡cego zakres wspóªczynników w pytaniu
wy»ej
Lemat 1 Niech X b¦dzie grup¡ (póªgrup¡), A pier±cieniem, C jego centrum
i D obrazem homomorcznym C. Wówczas:
A wyznacza X ⇔ C wyznacza X;
Je±li D wyznacza X, to A wyznacza X.
Uwaga. W lemacie wy»ej zamiast centrum mo»na u»y¢ dowolnego centralizatora, z podobnym skutkiem.
Naturalnym oczekiwaniem jest, »e prawie ka»da grupa (póªgrupa) jest
wyznaczona przez jaki± pier±cie« wspóªczynników. Wobec tego umówmy si¦,
»e grupa (póªgrupa) X jest wyj¡tkowa je±li istnieje grupa (póªgrupa) Y taka,
»e X 6' Y, ale AX 'A AY dla dowolnego pier±cienia A. Okazuje si¦, »e
wyj¡tkowo±¢ wystarczy testowa¢ tylko na jednym pier±cieniu.
Lemat 2 Grupa (póªgrupa) X jest wyj¡tkowa ⇔ istnieje grupa (póªgrupa)
Y taka, »e X 6' Y ale ZX ' ZY.
Je±li zamiast wszystkich pier±cieni rozwa»amy tylko te, ktore s¡ algebrami
nad ustalonym pier±cieniem przemiennym K, to w lemacie wy»ej pier±cie«
Z nale»y zast¡pi¢ przez K, z tym samym skutkiem. Tak wi¦c przykªady
sko«czonych grup podane przez Dade'a ([8]) s¡ wyj¡tkowe w klasie algebr
grupowych nad ciaªami, a grupy sko«czone skonstruowane przez Hertwecka
([1]) s¡ wyj¡tkowe dla wszystkich wspóªczynników.
Pytanie 2 Czy istnieje sko«czona grupa wyj¡tkowa jako póªgrupa, ale nie
jako grupa? Je±li tak, to znale¹¢ przykªady maªego rz¦du.
Bez wi¦kszego trudu mo»na pokaza¢, »e taka grupa sko«czona nie istnieje.
Pytanie, wpisane do pocz¡tkowej wersji notatek, pozostawiªem jako ilustracj¦ faktu, »e nie wszystkie kwestie formuªowane tutaj s¡ trudne. Poniewa»
przykªady Hertwecka maj¡ stosunkowo du»y rz¡d, to pozostaje do rozwa»enia
2
Pytanie 3 Znale¹¢ mo»liwie maªe przykªady póªgrup wyj¡tkowych nale»¡ce
do wa»nych klas póªgrup.
Z do±wiadcze« wynika, »e obok przypadku grup (póªgrup) sko«czonych
warto oddzielnie rozwa»y¢ przypadek beztorsyjny. Wprowadzimy jednak pewne typowe ograniczenia chroni¡ce od bezproduktywno±ci tych rozwa»a«. Przyjmiemy mianowicie, »e póªgrupa X jest up-póªgrup¡ (tup-póªgrup¡) je±li dla
dowolnych niepustych sko«czonych podzbiorów Y, Z ⊆ X z |Y | + |Z| > 2, w
zbiorze Y Z istnieje co najmniej jeden element (co najmniej dwa elementy)
reprezentowany w Y Z tylko na jeden sposób. Wiadomo ([7]), »e nie ka»da up-póªgrupa jest tup-póªgrup¡, ale Strojnowski pokazaª w [11], »e ka»da
up-grupa jest tup-grup¡. Mamy wi¦c
Lemat 3 Niech X b¦dzie up-grup¡. Wtedy dla dowolnej dziedziny D mamy
U(DX) = U(D) × X.
Korzystaj¡c równie» z wcze±niejszych obserwacji otrzymujemy
Twierdzenie 1 Dowolna up-grupa jest wyznaczona przez dowolny pier±cie«
wspóªczynników.
Pytanie 4 Niech X b¦dzie up-póªgrup¡, a D dziedzin¡. Czy
U(DX) = U(D) × U(X)?
Pytanie 5 Czy dowolna up-póªgrupa jest wyznaczona przez dowolny (lub
przynajmniej jaki±) pier±cie« wspóªczynników?
Istniej¡ oczywi±cie dalsze ciekawe pytania z tego zakresu. Dla przykªadu,
w algebrach grupowych wiele kwestii zwi¡zanych ze zmian¡ ciaªa skalarów
mo»na znale¹¢ w [8]. Jako przykªad pytania, którego dyskusji nie widziaªem
mo»e sªu»y¢ nast¦puj¡ce:
Pytanie 6 Nieh K b¦dzie ciaªem charakterystyki p > 0 z prostym podciaªem
K0 i niech G b¦dzie dowoln¡ sko«czon¡ p-grup¡. Czy z K -izomorzmu algebr
KG i KH wynika zawsze izomorzm algebr K0 G i K0 H?
Ja umiem tylko zast¡pi¢ nieefektywnie K przez pewne sko«czone podciaªo
F ⊇ K0 .
3
3 Jednoznaczno±¢ wspóªczynników
Teraz przejdziemy do dyskusji jednoznaczno±ci wspóªczynników pier±cieni
póªgrupowych.
Problem 2 Niech X b¦dzie interesuj¡c¡ dla matematyków póªgrup¡ i A
pier±cieniem. Czy dla dowolnego pier±cienia B mamy AX ' BX ⇒ A ' B?
Przez analogi¦ do badania jednoznaczno±ci grupy mo»na by próbowa¢ ograniczy¢ si¦ do X -izomorzmów. Jednak je±li X jest dowoln¡ póªgrup¡, to dla
dowolnych A, B mamy
AX 'X BX ⇒ A ' B.
(2)
Ta obserwacja jest cz¦sto wykorzystywana do znajdowania efektywnych sposobów poprawiania izomorzmów pier±cieni póªgrupowych.
W trakcie badania izomorzmów pier±cieni póªgrupowych tej samej póªgrupy wypracowano dla dowolnej póªgrupy X poni»sze poj¦cia. Pier±cie« A
jest:
X -niezmienniczy je±li dla dowolnego B mamy AX ' BX ⇒ A ' B;
silnie X -niezmienniczy je±li dla dowolnego B i izomorzmu
ϕ : AX −→ BX B -endomorzm β BX dany wzorem β(x) = ϕ(x) jest
automorzmem;
caªkowicie X -niezmienniczy je±li dla dowolnego B i izomorzmu ϕ : AX −→
BX mamy ϕ(A) = B.
Zawsze pier±cie« caªkowicie X -niezmienniczy jest silnie X -niezmienniczy,
a pier±cie« silnie X -niezmienniczy jest X -niezmienniczy.
Twierdzenie 2 Niech X b¦dzie albo póªgrup¡ woln¡ o co najmniej dwu generatorach, albo grup¡ woln¡ o co najmniej dwu generatorach. Wówczas ka»dy
przemienny pier±cie« zredukowany jest caªkowicie X -niezmienniczy.
Dalej skorzystamy z nast¦puj¡cej prostej obserwacji: Je±li A jest pier±cieniem, a X, Y póªgrupami, to
A[X × Y ] ' (AX)Y
Jako jeden ze skutków tego wzoru i wcze±niejszych faktów mamy
4
(3)
Lemat 4 Niech A b¦dzie pier±cieniem z dzieleniem, a X up-grup¡. Je±li dla
pewnego pier±cienia B i pewnej grupy Y mamy izomorzm ϕ : AX −→ BY,
to mamy rozkªad X = Z × W taki, »e ϕ(AZ) = B, oraz W ' Y.
Szkic dowodu. AX, a wi¦c i BY s¡ dziedzinami. St¡d Y jest beztorsyjna.
Z Lematu 3 mamy U(AX) = U(A) × X. Dla y ∈ Y niech
ϕ−1 (y) = γ(y)δ(y) : γ(y) ∈ U(A), δ(y) ∈ X.
Przeksztaªcenia γ i δ to homomorzmy grup.
Niech 1 6= y ∈ Ker(δ), czyli 1 6= ϕ−1 (y) = γ(y) ∈ U(A).
St¡d y − 1 ∈ U(BY ), ale o(y) = ∞. δ jest wi¦c zanurzeniem Y w X
i Y jest up-grup¡.
Z Lematu 3 mamy wi¦c U(BY ) = U(B) × Y. St¡d ϕ(A) ⊆ B, poniewa»
A jest z dzieleniem.
Dla x ∈ X niech ϕ(x) = α(x)β(x) gdzie α(x) ∈ U(B), β(x) ∈ Y.
Wystarczy przyj¡¢
Z = Ker(β),
a
W = {x ∈ X : α(x) ∈ ϕ(A)}.
Grup¦ X b¦dziemy dalej nazywa¢ sztywn¡ je±li dla dowolnej grupy Y
mamy
X ' X × Y ⇒ Y = 1.
Przykªad 1 Wszystkie grupy wolne i wszystkie grupy abelowe wolne sko«czonej rangi s¡ sztywnymi up-grupami.
Pytanie 7 Które (sko«czenie generowane) grupy relatywnie wolne s¡ upgrupami? Które z nich s¡ sztywne?
Podobne pytanie nale»y postawi¢ dla grup beztorsyjnych maj¡cych abelowe
dzielniki normalne sko«czonego indeksu.
Twierdzenie 3 Niech A b¦dzie zredukowanym pier±cieniem regularnym (w
sensie von Neumanna) i X up-grup¡. Równowa»ne s¡ warunki:
1. A jest X -niezmienniczy;
2. A jest silnie X -niezmienniczy;
3. A jest caªkowicie X -niezmienniczy;
4. Grupa X jest sztywna.
5
Dalej Xn to b¦dzie wolna grupa abelowa rangi 1 ≤ n < ∞.
Twierdzenie 4 Niech A b¦dzie pier±cieniem regularnym i zredukowanym.
Wówczas A jest caªkowicie Xn -niezmienniczy.
Przykªad 2 Niech X b¦dzie woln¡ grup¡ abelow¡ niesko«czonej rangi. Wówczas »aden pier±cie« regularny nie jest X -niezmienniczy, poniewa» X '
X × X, czyli A[X] ' A[X × X] ' (A[X])[X].
Je±li natomiast X jest grup¡ woln¡, to ka»dy pier±cie« regularny i zredukowany jest X -niezmienniczy, niezale»nie od rangi X.
Przykªad 3 Niech A b¦dzie pier±cieniem z dzieleniem i N ≥ 1. Wówczas:
• A jest caªkowicie Xn -niezmienniczy.
• Pier±cie« wielomianów A[t] jest silnie Xn -niezmienniczy, ale nie jest
caªkowicie Xn -niezmienniczy.
• Pier±cie« AX1 jest Xn -niezmienniczy, ale nie jest silnie Xn -niezmienniczy.
Trudniejsze okazaªo si¦ konstruowanie pier±cieni, które nie s¡ Xn -niezmiennicze.
Oto jeden z przykªadów.
Przykªad 4 Niech D b¦dzie dziedzin¡ Dedekinda z ciaªem uªamków K ⊂ Q
i z ideaªem I, który ma w grupie klas rz¡d r = 5, albo r ≥ 7. Niech
A=
∞
X
n=−∞
I n tn ,
oraz B =
∞
X
I sn tn ⊆ K[t, t−1 ] ⊂ K[t, t−1 ],
n=−∞
gdzie 2 ≤ s ≤ r − 2 i NWD(r,s) =1. Wtedy AXn ' BXn , ale A 6' B, czyli
»aden z tych pier±cieni nie jest Xn -niezmienniczy.
Fakt, »e wyniki o Xn -niezmienniczo±ci wydaj¡ si¦ niezale»ne od n nie jest
przypadkowy. Mamy
Twierdzenie 5 Dla pier±cienia A równowa»ne s¡ warunki:
1. A jest (silnie, caªkowicie) X1 -niezmienniczy;
2. A jest (silnie, caªkowicie) Xn -niezmienniczy dla pewnego n ≥ 1;
3. A jest (silnie, caªkowicie) Xn -niezmienniczy dla ka»dego n ≥ 1.
Kluczowym argumentem w dowodzie jest
6
Lemat 5 Niech A b¦dzie pier±cieniem. Je±li AX1 ' BX2 dla pewnego pier±cienia B, to A ' BX1 .
Pytanie 8 Niech A, B b¦d¡ pier±cieniami. Czy istnieje n(A, B) = n ≥ 1
takie, »e
A[t1 , . . . , tn ] ' B[t1 , . . . , tn+1 ] ⇒ A[t1 , . . . , tn−1 ] ' B[t1 , . . . , tn ]?
Czy istnieje taka staªa niezale»na od A i B, a przynajmniej niezale»na od B?
4 Przypadek aniczny
Dalej K to ciaªo, a algebra to K -algebra, która jest przemienn¡ dziedzin¡,
sko«czenie generowan¡ nad K, czyli K -algebr¡ aniczn¡.
Twierdzenie 6 (Wielu autorów) Niech A b¦dzie algebr¡ wymiaru Krulla
co najwy»ej 1. Wówczas dla dowolnej algebry B mamy
A ' B ⇔ AX1 ' BX1 ⇔ A[t] ' B[t].
Z drugiej strony mamy
Lemat 6 Niech K speªnia pewne dodatkowe warunki. Istniej¡ algebry A, B
wymiaru Krulla 2 i takie, »e AX1 ' BX1 , ale A[t] 6' B[t].
Istniej¡ te» algebry A0 , B 0 takie, »e A0 X1 6' B 0 X1 , ale A0 [t] ' B 0 [t].
Pytanie 9 Czy w lemacie wy»ej K mo»e by¢ dowolnym ciaªem? Czy mo»na
przyj¡¢, »e algebra A0 ma wymiar Krulla 2?
Przykªad 5 Niech K = K b¦dzie ciaªem charakterystyki 0,
A − K[x, y, z]/(xy − z 2 + 1) i B = K[x, y, z]/(x2 y − z 2 + 1).
Wiadomo, »e A 6' B, ale A[t] ' B[t].
Pytanie 10 Czy dla A, B zdeniowanych wy»ej mamy AX1 ' BX1 ?
Ogólniej: Czy istniej¡ algebry (pier±cienie) A 6' B takie, »e AX1 ' BX1 i
A[t] ' B[t]?
7
Literatura
[1] M. Hertweck, A counterexample to the isomorphism problem for integral
group rings, Ann. of Math. 154(2001), 115-138.
[2] E. Jespers & J. Okni«ski, Noetherian semigroup algebras, Springer, Dordrecht 2007.
[3] J. Krempa, Isomorphic group rings with nonisomorphic commutative coecients, Proc. Amer. Math. Soc. 83(1981) 459-460.
[4] J. Krempa, Isomorphic group rings of free abelian groups, Canad. J. Math.
34(1982) 8-16.
[5] J. Krempa, Homomorphisms of group rings, in: Banach Center Publications vol. 9, PWN, Warszawa 1982, pp 233-255.
[6] J. Krempa, Coecient rings of multidimensional torus extensions, J. of
Algebra 105(1987), 60-75.
[7] J. Okni«ski, Semigroup algebras, Marcel Dekker Inc., New York 1991.
[8] D.S. Passman, The algebraic structure of group rings, John Wiley &
Sons, New York 1977.
[9] C. Polcino Milies & S.K. Sehgal, An introduction to group rings, Kluwer
Academic Publishers, Dordrecht 2002.
[10] S.K. Sehgal, Topics in group rings, Marcel Dekker Inc., New York 1978.
[11] A. Strojnowski, A note on u.p.-group, Comm. Algebra 8(1980), 231-234.
[12] M. van den Bergh, Group rings over Dedekind domains, Israel J. Math.
61(1988), 295-300.
[13] A.R.P. van den Essen, Polynomial automorphisms and the jacobian conjecture, Birkhäuser, Basel 2000.
[14] K.-I. Yoshida, On the coecient ring of a torus extension, Osaka J.
Math. 17(1980), 769-782.
8