4 Dusza - Politechnika Wrocławska

Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych
Nr 60
Politechniki Wrocławskiej
Nr 60
Studia i Materiały
Nr 27
2007
filtracja sygnałów pomiarowych,
filtry analogowe i cyfrowe
Daniel Dusza*
WŁAŚCIWOŚCI FILTRÓW SYNCHRONICZNYCH DLA
WYBRANYCH UKŁADÓW STEROWANIA
W artykule przedstawiono właściwości filtrów synchronicznych składających się z dwóch kaskad
tłumiących parzyste harmoniczne oraz 3. harmoniczną i jej krotności. W pracy przedstawiono wyniki
badań symulacyjnych, opracowanych na podstawie modelu matematycznego filtru synchronicznego,
oraz wyniki badań eksperymentalnych dla dwóch wybranych układów sterowania. Wykazano
ponadto wpływ układu sterowania na prawidłowe działanie filtru synchronicznego.
1. WSTĘP
Filtry synchroniczne należą do klasy filtrów grzebieniowych, realizowanych
zarówno w technice analogowej jak i cyfrowej. Analogowe filtry synchroniczne od lat
są stosowane głównie w technice pomiarów nieelektrycznych w celu wyeliminowania
harmonicznych parzystych. Filtry synchroniczne skutecznie redukują szumy
i umożliwiają niemal dowolne zawężenie szerokości pasma, co jest trudne do
uzyskania w standardowych filtrach RC lub LC, ze względu na ograniczoną dobroć
elementów. Tłumienie wyższych harmonicznych w sygnałach pomiarowych przy
wykorzystaniu filtrów synchronicznych odbywa się za pomocą tych samych sygnałów
ale przesuniętych o odpowiedni kąt.
Filtry synchroniczne charakteryzują się stałym przesunięciem fazowym
niezależnym od częstotliwości sygnału wejściowego. Przesunięcie to zmienia się
natomiast wraz ze zmianą konfiguracji filtru, która zależy od harmonicznej tłumionej
przez filtr. Na przykład przy tłumieniu 2. harmonicznej i jej wielokrotności
przesunięcie fazowe, nazwane strukturalnym przesunięciem fazowym filtru, wynosi 0,
__________
*
Politechnika Wrocławska, Instytut Maszyn, Napędów I Pomiarów Elektrycznych, ul. Wybrzeże
Wyspiańskiego 27, 50-372 Wrocław, [email protected]
natomiast dla innych struktur filtru tłumiących wyższe harmoniczne przesunięcie to
przyjmuje wartości różne od zera.
Oddzielnym zagadnieniem jest sposób sterowania filtru synchronicznego.
Analizując literaturę [1,5] można wnioskować, że istotną rolę pełni symetryczność
impulsów sterujących filtr synchroniczny, a tym samym istotny jest dobór
podzespołów i ich parametrów nie tylko filtru synchronicznego ale i układu
sterowania.
2. BADANIA SYMULACYJNE
Badania symulacyjne przeprowadzono w oparciu o opracowany model
matematyczny filtrów synchronicznych.
2.1. MODEL MATEMATYCZNY FILTRU SYNCHRONICZNEGO
Napięcie wejściowe podawane na filtr synchroniczny, którego ogólny schemat
przedstawiono na rys. 1, ma postać
n
u (t ) =
∑ A sin(iω t +ψ
i
i = 1,2,3... ,
i ),
(1)
i =1
gdzie:
Ai - amplituda i-tej harmonicznej,
ψ i - przesunięcie fazowe i-tej harmonicznej.
uwe(iω1 t)
R
uFS(t)
P1
1
2
n
C1 C2 Ck
P2
1'
N
2'
n'
N
'
C
N
uwe (ω1 t)
Układ sterujący
klucze filtru
Nf 1
Rys. 1. Zmodyfikowany filtr synchroniczny [1,3]
Fig. 1. Modified synchronous filter [1,3]
Przełączniki P1 i P2 są ze sobą sprzężone i przełączane cyklicznie. Kondensatory C
są przez rezystor R kolejno łączone ze źródłem napięcia określonego wzorem (1).
T
Każda próbka napięcia jest pobierana w czasie t = , gdzie T jest okresem
N
sygnału wejściowego, a N jest liczbą przedziałów na które dzielony jest sygnał wejściowy.
Dla tak uzyskanej próbki równanie określające napięcie na kolejnym
kondensatorze filtru definiuje wzór
u (t ) = RC
duC
+ uC . ,
(2)
dt
Ogólnie, na podstawie splotu napięcie na kondensatorze opisuje zależność
−
u C (t ) = u C (0)e
t
RC
+
t
1
∫
RC
−
u (τ )e
t −τ
RC d
τ.
(3)
0
Ostatecznie w stanie ustalonym, przy odpowiednio dobranej dużej stałej czasowej,
napięcia na kondensatorze na początku i końcu okresu są sobie równe i wynoszą
T
u C (0) =
−
1
T

−
RC 1 − e NRC






e
T
k
τ
N
∫
NRC
T
u (τ )e RC dτ .
(4)
( k −1)
N
Po wyznaczeniu całki występującej w równaniu (4) otrzymano zależność
określającą napięcie na kondensatorze dla wymuszenia określonego równaniem (1)
−
u Ck (t ) =
NRC
Ai e

−
1 − e NRC


Ti
Ti

 (iωRC )2


[
Ti
  2π i k

 − NRC
 2πi (k − 1)

sin
e

+

sin
+
−
+
ψ
ψ
i
i



  N

N



. (5)


Ti


−






2π i k
2πi (k − 1)
+ ψ i e NRC − cos
+ ψ i  
+ 1 iωRC cos


N


 

  N
]
Równanie (5) przyjmuje prostszą formę przy założeniu, że stała czasowa RC → ∞
i wówczas równanie (3), określające napięcie na kondensatorze Ck, ma postać
T
uCk (t ) =
N
N
∫ u(t )dt .
T
(6)
0
Zależność ta przy wymuszeniu opisanym wzorem (1) jest równa
 πi 
sin  
 N  sin  2(k − 1)πi + ψ ,
u Ck (t ) = Ai

i
πi
N


i = 1,2,3... .
(7)
N
Różnicę napięć występujących na dwóch kondensatorach określa wyrażenie
*
u Ck
= uCk − u C ( k −q ) ,
(8)
gdzie q jest przesunięciem kluczowania i jest określone wzorem
q=
N
,
(9)
λ
a λ jest harmoniczną tłumioną przez filtr.
Przy spełnionym założeniu (10), różnicę napięć podawaną na węzeł sumacyjny
można zapisać w postaci [3]


 πi 
sin  


n
 (2k − 1 − q )π i

πi

N

*
u Ck (t ) =
+ ψ i  .
sin cos 
2 Ai
πi
i =1 
λ
N




N


∑
(10)
Wyrażenie (10) składa się z trzech czynników:
 πi 
sin  
 N  odpowiedzialny jest za wartość amplitudy sygnału
• czynnik 2 Ai
πi
N
wyjściowego filtru synchronicznego,
•
czynnik sin
πi
odnosi się do tłumionej harmonicznej λ i jej wielokrotności,
λ
•
 (2k − 1 − q )π i

cos 
+ ψ i  odpowiada
N


strukturalnego filtru synchronicznego.
czynnik
za
wartość
przesunięcia
Wartość napięcia wyjściowego filtru
N
u FS (t ) =
∑u
k =1

*

Ck (t ) ⋅ e t

− ( k − 1)
T 
,

N
(11)
m=1,2,3…,
(12)
gdzie zależność


1
1, mT ≤ t <  m + T
e (t ) = 
,
N


0, dla innych przypadków
będzie dążyła do zera dla częstotliwości f we = kλ f1 , czyli filtr będzie tłumił sygnały
wejściowe będące wielokrotnością częstotliwości λf1 [3].
*
Z przedstawionych powyżej rozważań wynika, że dla λ=2 wartość napięcia uCk
wyrażonego wzorem (10) wynosi
0
*
u Ck
=
2u Ck
i = 2l
i = 2l − 1
l = 1,2,3... ,
(13)
i = 3l
0
*
uCk
=
 3u Ck i = 3l − 1
l = 1,2,3... .
(14)
natomiast dla λ=3
Z relacji (13) i (14) wynika, że przy tłumieniu parzystych harmonicznych
amplituda sygnału wyjściowego będzie dwa razy większa od amplitudy sygnału
wejściowego, a przy tłumieniu 3. harmonicznej i jej wielokrotności amplituda sygnału
wyjściowego będzie 3 razy większa.
Wyrażenia (7) oraz (10) umożliwiają przeprowadzenie analizy wpływu
konfiguracji filtru na strukturalne przesunięcie fazowe wprowadzane przez filtr, które
określa końcowa zależność [3]
ξ = k1' − k n' =
π
2
−
π
.
(15)
λ
Z powyższej zależności wynika, że filtr tłumiący harmoniczne parzyste nie
wprowadza przesunięcia fazowego, natomiast gdy tłumi trzecią harmoniczną i jej
krotności to przesunięcie fazowe filtru wynosi ξ = 30 o , przesunięcie fazowe przy
tłumieniu piątej harmonicznej wynosi ξ = 54 o itd. Gdy filtr jest tak zaprojektowany,
że tłumi harmoniczne o dużych wartościach to przesunięcie, nazwane strukturalnym
przesunięciem fazowym, dąży do ξ = 90 o .
3. WYNIKI BADAŃ UZYSKANE Z MODELU MATEMATYCZNEGO
Przy tłumieniu 3. harmonicznej i jej wielokrotności przez filtr synchroniczny,
zgodnie z zależnością (15), strukturalne przesunięcie fazowe omawianego filtru
wynosi π 6 . W celu uzyskania przesunięcia fazowego równego zeru podjęto próbę
opracowania takiej struktury filtru, która przesunęłaby 3. harmoniczną o wartość
- π Rysunek
6.
2 przedstawia przebiegi napięć wejściowego i wyjściowego
opracowanego modelu matematycznego filtru opisanego wzorem (10) dla RC → ∞ i
N=6:
rys. 2a dla klasycznej struktury filtru tłumiącego 3. harmoniczną, rys. 2b dla struktury
odpowiedzialnej za korekcję fazową, a rys. 2c wypadkowy sygnał na wyjściu filtru
synchronicznego tłumiącego 3. harmoniczną i nie wprowadzającego przesunięcia
fazowego (rys. 2c).
Otrzymane przebiegi wskazują, że sygnały wyjściowe są przesunięte odpowiednio
π
π
o ξ =+
i ξ = − . Przesunięcia te pozwalają wysnuć wniosek, że kaskadowe
6
6
połączenie filtrów, wprowadzającego przyspieszenie fazy i opóźnienie fazy, pozwoli
uzyskać filtr o przesunięciu fazy równym zeru.
1,5
U[V]
1,5
1
U[V]
uFS (t)
uFS(t)
1
A1 sin ω t
0,5
A1 sin ω t
0,5
t [s]
0
0
0,01
0,02
0,03
-0,5
t [s]
0
0,04
0
0,01
0,02
0,03
0,04
-0,5
-1
-1
-1,5
-1,5
a)
2,5
b)
U[V]
2
uFS(t)
1,5
A1 sin ω t
1
0,5
t [s]
0
-0,5 0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035
0,04
-1
-1,5
-2
-2,5
c)
Rys.2. Przebiegi sygnałów na wyjściu filtru synchronicznego, a) klasycznego tłumiącego 3. harmoniczną,
ξ =+
π
, b) opracowanego przez autora, wprowadzającego korekcję fazową,
6
ξ =−
π
,c) sygnał
6
wyjściowy filtru dla połączenia kaskadowego
Fig. 2. Output signal courses of synchronous filter a) classical, attenuation 3rd harmonic,
ξ =+
π
,
6
b) designed by author with phase correction,
ξ =−
π
, c) filter output signal for cascade connection
6
3. BADANIA EKSPERYMENTALNE ZBUDOWANEGO MODELU
Zbudowany model filtru synchronicznego zawiera w swojej strukturze trzy
kaskady (rys.3.), które są odpowiedzialne za tłumienie 2. oraz 3. harmonicznej, przy
czym przesunięcie fazowe filtru równe jest zeru. Na rys.4 przedstawiono strukturę
filtru synchronicznego tłumiącego 3. harmoniczną przy zachowaniu zerowego
przesunięcia fazowego. Struktura filtru zawierająca kaskadę tłumiącą parzyste
harmoniczne została zawarta w pracy [2,4].
Tłumione harmoniczne
będące krotnością
trzeciej harmonicznej
Tłumione harmoniczne
parzyste
wejście
λ=2
λ =3
q=3
q=2
wyjście
q = −2
STEROWANIE
Rys. 3. Połączenie kaskadowe filtru synchronicznego
Fig.3. Synchronous filter cascade connection
R1
u(t)
W1
a
b
c
d
e
f
C
C
C
C
C
C
a
b
c
US d
e
f
c
d
e
f
a
b
q=2
R2
W2
a
b
c
d
e
f
C
C
C
C
C
C
e
f
a
b
c
uFS(t)
d
q=-2
Rys.4. Schemat strukturalny filtru synchronicznego tłumiącego 3. harmoniczną o ξ=0
Fig.4. Synchronous filter structural diagram with 3rd harmonic attenuation, ξ=0
Jak wynika z powyższego rysunku do powyższego układu należy doprowadzić 6
symetrycznych impulsów sterujących synchronizowanych sygnałem wejściowym
u (t ) . Wymagane sygnały sterujące uzyskano dla dwóch układów sterowania: układu
opartego na przerzutnikach typu JK oraz układu opartego na liczniku Johnsona, przy
czym synchronizacja w obydwu układach realizowana jest z wykorzystaniem pętli
synchronizacji fazowej. W pracy [1] opisany został trzeci układ sterowania, lecz ze
względu na jego inną zasadę działania nie zostanie szczegółowo omówiony.
3.1. UKŁAD STEROWANIA OPARTY NA PRZERZUTNIKACH JK
Na rys. 5 przedstawiono układ pętli synchronizacji fazowej (PLL), której zadaniem
jest zsynchronizowanie częstotliwości układu generującego impulsy sterujące klucze
filtru, w skład którego wchodzi dzielnik częstotliwości pokazany na rys.6a, z
częstotliwością sygnału pomiarowego.
Ucc
50 Hz
16
Komparator fazy PC I
14
2 PC I OUT
PCI IN
PC II OUT
3
Komparator fazy PC II
13
1
PHASE
RULSES
PC II IN
Dzielnik
częstotliwości
(:N)
R3
4
9
VCO OUT
C2
VCO IN
6
C1
7
Uss
R1
11
R2
12
INHIBIT
5
Generator
sterowany
napięciem
VCO
Źródło
sterowane
10
Demodulator OUT
8
15
Rys.5. Schemat zastosowanej pętli synchronizacji fazowej
Fig.5. Used phase locked-loop diagram
Zakres zmian częstotliwości pętli synchronizacji fazowej determinują elementy
R1 , R2 , C1 . Wartość minimalną oraz maksymalną częstotliwości opisują wyrażenia
f min =
f max =
1
,
(16)
.
(17)
R2 (C1 + 32[ pF ])
1
R1 (C1 + 32[ pF ])
Na rys. 6a przedstawiono zastosowany dzielnik częstotliwości, natomiast rys. 6b
obrazuje układ formujący impulsy sterujące filtr synchroniczny.
+5V
+5V
100Hz
a)
P1
J
50Hz
P2
Q
J
Q
K
150Hz
P3
Q
J
Q
K
P4
Q
J
Q
K
Q
300Hz
K
CLR
CLR
+5V
CLR
układ
zerujący
+5V
b)
syg. ster. 1
50Hz
1k
syg. ster. 2
+5V
syg. ster. 3
syg. ster. 4
100Hz
1k
Q
CLR
syg. ster. 5
+5V
syg. ster. 6
150Hz
1k
+5V
Rys.6. a) dzielnik częstotliwości, b) układ formujący
Fig.6. a) frequency divider, b) forming system
W układzie jak pokazano na rys. 6b na wyjściach bramek NAND otrzymano
synchroniczne prostokątne przebiegi sterujące klucze filtru synchronicznego.
Na rys. 7. pokazano oscylogram sygnału wyjściowego filtru synchronicznego
tłumiącego 2. oraz 3. harmoniczną i ich krotności dla pobudzenia pierwszą
harmoniczną.
U [V]
10
Sygnał
wyjściowy
8
Sygnał
pomiarowy
6
4
Sygnał
sterujący
2
t [s]
0
-0,01
-0,005
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035
-2
-4
-6
-8
-10
Rys. 7. Sygnał wyjściowy filtru synchronicznego
Fig.7. Synchronous filter output signal
Uzyskany oscylogram potwierdza wynik otrzymany z modelu matematycznego
filtru synchronicznego.
3.2. UKŁAD STEROWANIA OPARTY NA LICZNIKU JOHNSONA
Innym rozwiązaniem jest oparty na liczniku Johnsona układ sterowania filtru
synchronicznego, który przedstawia rys.8.
W układzie jak pokazano na rys. 8 na wyjściach licznika Johnsona, składającego
się z 10 dekodowanych wyjść, przy zamkniętym przełączniku JP7, otrzymano sześć
prostokątnych
przebiegów
sterujących
klucze
filtru
synchronicznego
synchronizowanych przy pomocy pętli PLL (U2) z sygnałem wejściowym.
Częstotliwości graniczne działania pętli są określone wzorami (16) i (17).
Na rys. 9. pokazano oscylogram sygnału wyjściowego filtru synchronicznego
tłumiącego 2. oraz 3. harmoniczną i ich krotności dla pobudzenia pierwszą
harmoniczną.
U1A
INPUT_50Hz
1
2
50Hz
HCF4069UBEY
Wybór Częstotliwości PLL
U1B
VCC
3
JP1 JP2 JP3 JP4 JP5
x8 x6 x4 x3 x2
VCC
12
3
2
4
7
10
1
5
6
9
11
U2
14
3
4
6
7
11
12
5
HCF4069UBEY
U3
16
4
VDD
RST
CLK
CKEN
CO
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
15
14
13
U1D
8
C1
U1E
9
HCF4069UBEY
10
11
HCF4069UBEY
R1
R2
8
SIG IN
VCC
COMP IN
VCO OUT PH COMP1 OUT
C1A
PH COMP2 OUT
C1B
PH PULSE
R1
R2
VCO IN
INH
DMD OUT
GND
ZEN
CD4046BCN
Wybór N
GND
8
CD4017BCN
JP6
N=4
JP7
N=6
JP8
N=8
U4
15
14
13
RST
CLK
CKEN
8
GND
VDD
CO
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
16
12
3
2
4
7
10
1
5
6
9
11
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
CD4017BCN
Linie Sterujące Kluczami Filtru
VCC
Rys.8. Schemat strukturalny układu sterowania opartego na liczniku Johnsona
Fig.8. Control system scheme basis on Johnson counter
U [V]
10
8
Sygnał
wyjściowy
Sygnał
sterujący
Sygnał
pomiarowy
6
4
2
t [s]
0
-0,01
-0,005
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
-2
-4
-6
-8
-10
Rys. 9. Sygnał wyjściowy filtru synchronicznego
Fig.9. Synchronous filter output signal
0,035
16
2
13
1
R3
9
10
15
C2
Oscylogram pokazany na rys. 9 potwierdza poprawność działania filtru
synchronicznego oraz wynik otrzymany z modelu matematycznego.
Porównując oscylogram z rys. 7 z oscylogramem przedstawionym na rys. 9 można
stwierdzić, że nie ma żadnej wyraźnej różnicy w poziomach napięć uzyskanych na
wyjściu rozpatrywanego filtru. Różnicę w działaniu obu układów widać w momencie
kiedy na wejście układu dodane zostanie zakłócenie w postaci szumu. W wyniku
badań eksperymentalnych, wykonanych przy pomocy generatora AFG3022 firmy
Tektronix, okazało się, że układ sterowania wykorzystujący przerzutniki JK traci
synchronizację, jeżeli w sygnale wejściowym (pomiarowym) pojawi się 5% szumu,
natomiast w układzie wykorzystującym liczniki Johnsona zmierzona, dopuszczalna
wartość szumu w sygnale wyniosła 23%.
Charakterystykę tłumienia filtru synchronicznego sterowanego za pomocą różnych
układów generujących impulsy sterujące pokazano na rys. 10.
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
f [Hz]
-10
a)
-20
Tłumienie [dB]
c)
-30
-40
b)
-50
-60
-70
Rys. 10. Tłumienie harmonicznych dla układu sterowania wykorzystującego licznik Johnsona a),
przerzutniki JK b), analogowy układ sterujący [1] c)
Fig.10. Harmonic attenuation for control system basis on Johnson counter a), JK flip-flop b), analogue
control system [1] c)
Z charakterystyki przedstawionej na rys. 10 wynika, że wykorzystanie pętli
synchronizacji fazowej w układzie sterowania, w porównaniu do analogowego układu
wytwarzającego 2. i 3. harmoniczną, na podstawie którego zrealizowano sterowanie
filtru synchronicznego [1], poprawia symetryczność impulsów sterujących, a w
rezultacie zwiększa wartość tłumienia harmonicznych.
PODSUMOWANIE
Zaletą filtru synchronicznego jest jego właściwość, że przesunięcie fazowe filtru,
nazwane strukturalnym, nie zmienia się wraz z częstotliwością sygnału wejściowego.
Strukturalne przesunięcie fazowe ma stałą wartość uwarunkowaną strukturą filtru,
która zależy od rzędu tłumionej harmonicznej. Jest to ważna właściwość filtru.
Opracowany model matematyczny wyjaśnia szczegółowo zasadę działania filtru oraz
umożliwia projektowanie filtrów synchronicznych tłumiących dowolne harmoniczne
bez wprowadzania przesunięcia fazowego. Otrzymana na jego podstawie
charakterystyka odpowiedzi filtru na pobudzenie pierwszą harmoniczną jest
charakterystyką wzorcową z którą pokrywają się oscylogramy pokazujące odpowiedź
filtru dla obu układów sterowania.
W artykule pokazano, że od symetryczności impulsów sterujących generowanych
przez układ sterowania zależy wartość tłumienia harmonicznych oraz odporność filtru
na zakłócenia zewnętrzne.
LITERATURA
[1] DUSZA D., NAWROCKI Z., Nadążny filtr synchroniczny w paśmie częstotliwości
akustycznych, Prace Naukowe IMNiPE, Zeszyt 56, Seria: Studia i Materiały, Wrocław
[2] DUSZA
2004. D., NAWROCKI Z., Nadążny filtr synchroniczny oraz sposób tłumienia trzeciej
harmonicznej i jej wielokrotności. Zgłosz. pat. nr P 372406 z 24.01.2005. 14 s.
[3] DUSZA D., Model matematyczny filtru synchronicznego, PAK, nr 9, 2007, str 34-36
[4] DUSZA D., Nadążny filtr synchroniczny w paśmie częstotliwości akustycznych, Materiały
Konferencyjne MKM 2006, PAK nr 9bis, 2006.
[5] Yushi KOMACHI, Sueo TANAKA: Lock-in amplifier using a sampled-data synchronous
filter, J. Phys. E. : Science Instrument 1975 nr 8
SYNCHRONOUS FILTERS PROPERTIES FOR THE CHOSEN CONTROL SYSTEM
The paper presents synchronous filters properties consisting of three cascades attenuation suitably
even and odd variable harmonic being multiplied of 3rd harmonic. Simulation research results was presented, worked out on the basis synchronous filter mathematical model, and experimental research results
for two chosen control systems. Effect of control system on synchronous filter correct working was
proved.