Mechanika kwantowa — zagadnienia do egzaminu

Kraków, 12 czerwca 2014 roku.
Mechanika kwantowa — zagadnienia do egzaminu
1. Klasyczna i kwantowa teoria rozchodzenia siȩ światla (fal elektromagnetycznych). Zjawisko
fotoelektryczne i kwantowanie promieniowania. Dualna struktura materii.
2. Stany i operatory w mechanice kwantowej — przyklady. Notacja Diraca.
3. Przestrzeń Hilberta i interpretacja probabilistyczna mechaniki kwantowej. Iloczyn skalarny.
Baza w przestrzeni Hilberta. Zasada superpozycji.
4. Kot Schrödingera i paradoks EPR. Wyjaśnić dlaczego sa̧ to tylko pozorne sprzeczności.
5. Równanie Schrödingera i funkcja falowa. Zwia̧zek funkcji falowej z notacja̧ Diraca. Interpretacja probabilistyczna.
6. Rola operatorów hermitowskich w mechanice kwantowej. Wartości wlasne i ich wyznaczanie. Reprezentacja macierzowa.
7. Komutatory i wielkości komutuja̧ce. Uklad wielkości jednocześnie określonych. Zwia̧zek z
liczbami kwantowymi charakteryzuja̧cymi stan ukladu.
8. Oscylator harmoniczny jednowymiarowy w fizyce klasycznej i kwantowej – podobieństwa i
różnice.
9. Zasada nieokreślości dla polożenia i pȩdu. Omówić tȩ zasadȩ na przykladzie jednowymiarowego oscylatora harmonicznego i znaleźć energiȩ stanu podstawowego.
10. Oscylator harmoniczny jednowymiarowy — energie i stany wlasne. Opis przez operatory
bozonowe i interpretacja.
11. Opis ukladu dwóch cza̧stek za moca̧ wspólrzȩdnych wzglȩdnych i środka masy. Problem
atomu wodoru.
12. Cza̧stki nierozróżnialne i statystyki kwantowe: fermiony i bozony. Operatory kreacji i
anihilacji dla fermionów i bozonów. Operator liczby cza̧stek.
13. Stan ukladu N fermionów — wyznacznik Slatera. Zakaz Pauliego. Przyklad: Funkcje
falowe dla dwóch fermionów: stany singletowy i trypletowy.
14. Orbitalny moment pȩdu. Operatory i relacje komutacji. Konsekwencje dla problemu atomu
wodoru.
15. Atom wodoru w mechanice kwantowej. Liczby kwantowe. Energie i stany wlasne.
16. Generatory grupy obrotów. Reguly komutacji dla generatorów. Elementy macierzowe
operatorów Gz , G+ i G− .
17. Reprezentacje redukowalne i nieredukowalne. Reprezentacje nieredukowalne grupy obrotów
i ich wymiar. Operator Casimira.
18. Pojȩcie spinu. Opis stanów i operatorów spinowych dla cza̧stki o spinie 1/2 (macierze
Pauliego).
19. Reguly skladania krȩtów. Reprezentacje redukowalne. Wspólczynniki Clebscha-Gordana i
konwencje Condona i Shortley’a ich obliczania.
20. Operatory tensorowe. Twierdzenie Eckarta-Wignera i jego znaczenie dla ustalania tzw.
regul wyboru. Omówić przyklad: przejście elektryczne dipolowe.
21. Równanie Schrödingera dla cza̧stki swobodnej i jego rozwia̧zania. Interpretacja wyniku.
22. Studnia potencjalu o nieskończonych brzegach. Rozwia̧zania – fale stoja̧ce i energie wlasne.
23. Operatory symetryczne jednocza̧stkowe. Problem diagonalizacji operatora jednocza̧stkowego i stan podstawowy ukladu N fermionów. Omówić na przykladzie modelu metalu z
jednym pasmem czȩściowo wypelnionym.
24. Stan podstawowy ukladu fermionów jako próżnia fizyczna. Wzbudzenie jednoczaa̧stkowe i
kwazicza̧stki.
25. Molekula dwuatomowa z odpychaniem V miȩdzy elektronami na dwóch atomach, bez spinu:
ściśle i w przybliżeniach Hartree i Hartree-Focka. Interpretacja wyników dla N = 1 i N = 2
elektronów.
26. Krysztal jednowymiarowy zlożony z dwóch rodzajów atomów. Stan podstawowy tego
ukladu — izolator walencyjny. Kiedy z tego stanu można otrzymać metal i dlaczego?
27. Problem oddzialuja̧cych elektronów. Operatory symetryczne dwucza̧stkowe. Przybliżenie
Hartree-Focka: idea i przybliżenie wariacyjne. Hamiltonian efektywny Hartree-Focka i
energia korelacji.
28. Struktura elektronowa atomów i uklad okresowy. Konfiguracje elektronowe z przykladami.
Okresowość wlasności fizycznych i chemicznych.
29. Spektroskopia jako źródlo informacji o budowie atomu. Serie widmowe i ich pochodzenie.
30. Gaz elektronowy w metalu. Stan podstawowy i zakaz Pauliego. Cieplo wlaściwe.
31. Pólprzewodniki samoistne i domieszkowane. Porównanie przewodności elektrycznej dla
metalu i pólprzewodnika.
32. Zla̧cza p-n i ich zastosowania.
33. Zjawisko nadprzewodnictwa i efekt Meissnera. Zastosowania nadprzewodników.
34. Rachunek zaburzeń dla stanów niezdegenerowanych i poprawka pierwszego rzȩdu do energii
i do funkcji falowej.
35. Poprawka drugiego rzȩdu do energii dla stanu podstawowego w przypadku braku degeneracji. Omówić na przykladzie molekuly dwuatomowej z silnym oddzialywaniem kulombowskim.
36. Operatorowa postać poprawki wynikaja̧cej ze wzbudzeń o wysokiej energii. Zasada posȩpowania. Omówić na przykladzie modelu Hubbarda w przypadku jednego elektronu na
atom.
37. Poprawki do energii w rachunku zaburzeń dla widma zdegenerowanego — metoda obliczeniowa i przyczyna zniesienia degeneracji energii.
38. Efekt Starka i rozszczepienie w polu elektrycznym. Stany wlasne w podprzestrzeni stanów
{2s, 2p}.
39. Metoda wariacyjna i jej zastosowanie do atomu helu. Ladunek efektywny.
40. Obraz Heisenberga i zasada nieokreślonościu dla czasu i energii.
41. Rachunek zaburzeń zależny od t — metoda postȩpowania. Zlota regula Fermiego.
42. Izolator Motta. Różnice w stosunku do izolatora walencyjnego.
43. Nadprzewodnictwo wysokotemperaturowe. Wystȩpowanie zjawiska. Typowe zwia̧zki chemiczne. Plaszczyzny CuO2 jako wspólny element struktury tych zwia̧zków.
44. Nadprzewodnictwo wysokotemperaturowe: diagram fazowy. Model t-J. Wyjaśnić zachowanie jednej dziury w izolatorze Motta. Wyjaśnić dlaczego brak jak dota̧d teoretycznego wyjaśnienia zjawiska.
Andrzej Michal Oleś