Matematyka MAP3032

Matematyka MAP3032
E/AiR, rok IV
Wykład 4
1. Przekształcenia ciągłe
Norma, a właściwie metryka, pozwala na rozważanie ciągłości przekształceń.
Definicja 1. Niech (V, || · ||V ) i (W, || · ||W ) będą przestrzeniami unormowanymi.
Przekształcenie L : V → W jest ciągłe, gdy dla każdego v̄ ∈ V i każdego ciągu (v̄n )
zbieżnego do v̄ w V zachodzi n→∞
lim L(v̄n ) = L(v̄).
Funkcja dwóch zmiennych f : V × V → W jest ciągła, gdy dla dowolnych punktów v̄,w̄
i ciągów (v̄n ), (w̄n ) zbieżnych odpowiednio do v̄ i w̄ w X zachodzi limn f (v̄n , w̄n ) = f (v̄, w̄).
Twierdzenie 1. W przestrzeni unormowanej działania dodawania wektorów i mnożenia
wektora przez liczbę są ciągłe.
Definicja 2.
Niech V , W będą przestrzeniami unormowanymi. Operator liniowy A : V → W jest ograniczony, gdy istnieje taka liczba nieujemna m, że
kAv̄k ¬ mkv̄k
∀ v̄ ∈ V.
Twierdzenie 2. Następujące warunki są równoważne:
1. A jest ograniczony,
2. A jest ciągły,
3. A jest ciągły w 0̄.
Uwaga: istnieją operatory liniowe, które nie są ograniczone, na przykład A : C 1 ([0, 1]) →
C([0, 1])
Af (x) = f 0 (x).
Ważny przykład operatora ograniczonego - operator jądrowy na przestrzeni funkcji:
niech X ⊂ R (może być X ⊂ Rm ),
Af (x) =
Z
K(x, y)f (y) dy.
(1)
X
Oczywiście, funkcja dwóch zmiennych K(x, y) i dziedzina A musza być tak ustalone, by
powyższa całka była określona.
Twierdzenie 3.
1. Operator określony wzorem (1) jest liniowy.
2. Jeśli K jest ograniczoną funkcją ciągłą na X ×X, to A jest operatorem ograniczonym
przekształcającym C(X) w C(X).
1
W przestrzeniach unormowanych szczególną rolę pełnią podprzestrzenie domknięte.
Podprzestrzeń W przestrzeni V jest domknięta, gdy dla każdego ciągu v̄n ∈ W zbieżnego
do v̄ mamy v̄ ∈ W .
2. Iloczyn skalarny. Przestrzenie unitarne
W R2 mieliśmy iloczyn skalarny wektorów v̄ = (v1 , v2 ), w̄ = (w1 , w2 ) określony wzorem:
v̄ ◦ w̄ = (v̄, w̄) = kv̄k · kw̄k · cos α = v1 w1 + v2 w2 ,
gdzie α to kąt między wektorami v̄ a w̄. Ogólnie dla Rn przyjmowaliśmy iloczyn skalarny
(v̄, w̄) = v1 w1 + v2 w2 + ... + vn wn .
Wykorzystywaliśmy go do definiowania pojęcia kąta między wektorami (dla wymiarów
większych od 3), do sprawdzania prostopadłości, obliczania rzutu prostopadłego wektora
na inny wektor, czy na podprzestrzeń liniową. To wygodne pojęcie będziemy próbowali
wprowadzić w różnych przestrzeniach liniowych. Ponieważ chcemy mieć ogólny schemat,
nie możemy zrobić tego wzorem – podamy aksjomaty iloczynu skalarnego, czyli własności,
których od tego pojęcia oczekujemy. Zauważmy, że nawet w przypadku Rn wzór nie był uniwersalny, bo zależał od współczynników w ustalonej bazie. Zmieniając bazę, musielibyśmy
dopasować do niej wzór chcąc zachować to samo pojęcie ortogonalności (prostopadłości).
Definicja 3 (Aksjomaty iloczynu skalarnego). Iloczynem skalarnym na przestrzeni liniowej
V nazywamy funkcję dwóch zmiennych (·, ·) : V × V → K (gdzie K jest ciałem skalarów
przestrzeni V ) spełniającą warunki:
1. (v̄, v̄) ­ 0, a (v̄, v̄) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy v̄ = 0̄,
2. (v̄ + ū, w̄) = (v̄, w̄) + (ū, w̄) dla dowolnych ū, v̄, w̄ ∈ V ,
3. (λv̄, w̄) = λ(v̄, w̄) dla dowolnych v̄, w̄ ∈ V , λ ∈ K,
4. (v̄, w̄) = (w̄, v̄) dla dowolnych v̄, w̄ ∈ V .
Parę (V, (·, ·)) będziemy nazywać przestrzenią unitarną.
Uwagi: Iloczyn skalarny jest również liniowy ze względu na drugi argument. Dla przestrzeni rzeczywistej ostatni warunek oznacza symetrię.
Przykłady
1. Rn z iloczynem zadanym poprzednim wzorem.
2. Cn z iloczynem skalarnym
(x, y) =
n
X
xi y i
i=1
3. l2 z iloczynem skalarnym
(x, y) =
∞
X
xi yi ,
i=1
gdzie x = (xi ), y = (yi ). Zauważmy, że ten szereg jest bezwzględnie zbieżny, bo
|xi yi | ¬ 12 |xi |2 + 21 |yi |2 .
2
4. C([0, 1]) z iloczynem
(f, g) =
Z 1
f (t)g(t) dt.
0
Zauważmy, że te przestrzenie już znamy jako przestrzenie unormowane. Czy zawsze przestrzeń unitarna ma naturalną normę? Okazuje się, że tak. Zawsze można okreslić normę
wzorem:
q
(2)
kv̄k = (v̄, v̄).
Stosunkowo łatwo jest sprawdzić, że ten wzór istotnie określa normę – trzeba sprawdzić warunki z definicji normy (patrz poprzedni wykład). Sprawdzenie warunku trójkąta wymaga
poniższego twierdzenia.
Twierdzenie 4 (Nierówność Schwarza).
|(v̄, w̄)| ¬ kv̄k · kw̄k
Dowód. (Dla zainteresowanych) Udowodnimy najpierw nierówność dla przypadku rzeczywistego. Niech t będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Dla dowolnych v̄ i w̄ mamy
0 ¬ (v̄ − tw̄, v̄ − tw̄) = (v̄, v̄) − 2t(v̄, w̄) + t2 (w̄, w̄).
Funkcja f (t) = (v̄, v̄) − 2t(v̄, w̄) + t2 (w̄, w̄) jest funkcją kwadratową, a skoro z nierówności
wynika, że jest nieujemna, to jej wyróżnik kwadratowy ∆ nie może być dodatni (najwyżej
jedno miejsce zerowe. Zatem
∆ = 4(v̄, w̄)2 − 4(v̄, v̄)(w̄, w̄) ¬ 0.
Dzieląc przez 4 i przenosząc jedno z wyrażeń na drugą stronę oraz korzystając z faktu, że
(v̄, v̄) = ||v̄||2 otrzymujemy
|(v̄, w̄)|2 ¬ kv̄k2 · kw̄k2 ,
skąd po spierwiastkowaniu wynika teza.
Ogólniej, bez założenia, że działamy w przestrzeni rzeczywistej, mamy dla każdej liczby
λ ∈ C nierówność
0 ¬ (v̄ − λw̄, v̄ − λw̄) = (v̄, v̄) − λ(v̄, w̄) − λ(w̄, v̄) + |λ|2 (w̄, w̄).
Podstawiając λ =
(v̄,w̄)
,
(w̄,w̄)
mamy
0 ¬ (v̄, v̄) −
(v̄, w̄)(w̄, v̄) (v̄, w̄)(w̄, v̄) |(v̄, w̄)|2
−
+
,
(w̄, w̄)
(w̄, w̄)
(w̄, w̄)
czyli
0 ¬ (v̄, v̄) −
skąd po uporządkowaniu dostaniemy tezę.
3
|(v̄, w̄)|2
,
(w̄, w̄)
Twierdzenie 5 (równość równoległoboku).
kv̄ + w̄k2 + kv̄ − w̄k2 = 2kv̄k2 + 2kw̄k2
Dowód.
kv̄ + w̄k2 + kv̄ − w̄k2 = (v̄ + w̄, v̄ + w̄) + (v̄ − w̄, v̄ − w̄)
= (v̄, v̄) + (v̄, w̄) + (w̄, v̄) + (w̄, w̄) + (v̄, v̄) − (v̄, w̄) − (w̄, v̄) + (w̄, w̄)
= 2(v̄, v̄) + 2(w̄, w̄) = 2kv̄k2 + 2kw̄k2
Okazuje się, że w przestrzeni unormowanej można wprowadzić iloczyn skalarny zgodny z
tą normą (taki że zachodzi (2)) tylko wtedy, gdy norma ta spełnia równość równoległoboku.
Jeśli ta norma jest zupełna przestrzeń unitarną nazywamy przestrzenią Hilberta. Przestrzeniami Hilberta są Rn , Cn , l2 (jeszcze jeden ważny przykład pojawi się później).
Klasyfikacja: unitarne ⊂ unormowane ⊂ liniowe, unitarne ⊂ unormowane ⊂ metryczne,
Hilberta ⊂ unitarne, Banacha ⊂ unormowane.
4